Glava I. Predstavjenja

nehaj bude kolco --- kolco, ktore se predstavlja --- a drugo kolco --- to, v ktorom se predstavlja.

§ 1. Definicija prěmogo predstavjenja

Prěmo predstavjenje (n)-togo stupenja od ( o) v ( T) jest podkolco ( D) kolca ( T_n) matric (n)-togo stupenja s elementami iz ( T), na ktoro jest ( o) obrazovano kolcovym homomorfizmom. V znakah

Definicija recipročnogo predstavjenja

Recipročno predstavjenje (n)-togo stupenja od ( o) v ( T^) jest podkolco ( D^) kolca ( T_n^) matric (n)-togo stupenja s elementami iz ( T^), na ktoro jest ( o) obrazovano recipročnym kolcovym homomorfizmom. Recipročny kolcovy homomorfizm znači slědujuće: ako elementam iz ( o), (c,d), odpovědajut elementi iz ( D^), (c^,d^), to elementu iz ( o), (cd), trěba odpovědati element iz ( D^), (d^* c^), a elementu iz ( o), (c+d), element iz ( D^), (c^+d^). V znakah

Kako priměr pojma recipročnogo homomorfizma: ako matricam reda (n) nad komutativnym poljem priręditi jih transponovane matrice, to priręđenje jest recipročny izomorfizm kolc.

Obće možno k libovoljnomu kolcu ( T) konstruovati recipročno izomorfno kolco ( T^*) slědujučim načinom:

Vsakomu elementu iz ( T), (c), prirędimo simbol (c^) i definirujemo složenje tyh simbolov formulom (c^+d^=(c+d)^), a množenje formulom

Množstvo simbolov (c^) jest kolco, recipročno izomorfno s ( T), i označujemo je ( T^).

§ 2. Klasy predstavjenj

Prěmo predstavjenje ( D) od ( o) v ( T) možno jest prětvoriti v izomorfno predstavjenje ( D') tako, že se ono po elementah transformuje regularnoj matricoju (P), t. j. elementu iz ( o), (c), vměsto (C D) prirędi se (P^-1CP P^-1 D P).

Dva predstavjenja, ktore možno tako transformovati jedno v drugo, nazyvajut se ekvivalentnymi.

Vsa predstavjenja, ekvivalentne jednomu predstavjenju, tvoręt klasu predstavjenj (k. p.).

Tako samo definujeme ekvivalentnost recipročnyh predstavjenj; dva recipročna predstavjenja nazyvajut se ekvivalentnymi, ako jedno možno dostati iz drugogo transformacijoju regularnoj matricoju. Vsa predstavjenja, ekvivalentne jednomu ustanovjenomu recipročnomu predstavjenju, tvoręt klasu recipročnyh predstavjenj.

( ) 3. Moduly predstavjenj S 3. Moduly predstavjenj

Definicija prěmogo modula predstavjenja (p. m. p.).

Prěmy modul predstavjenja od ( o) vzhodno k ( T) jest vsaky dvojny ( o)-( T)-modul ( M) (t. j. aditivno zapisana Abelova grupa, ktora jest lěvym modulom vzhodno k ( o), pravym modulom vzhodno k ( T) i zadovoljava smješany zakon asociativnosti: (c o), (m M), ( T); ((cm) ktory možno zapisati kako prěmu sumu konečnogo čisla jednočlennyh ( T)-modulov --- pričem ( slěduje iz (x_i ---

Definicija recipročnogo modula predstavjenja (r. m. p.).

Recipročny modul predstavjenja od ( o) vzhodno k ( T^) jest vsaky lěvy ( o)-modul i lěvy ( T^)-modul ( M^), ktory zadovoljava zakon komutativnosti (ako (c o), (m M^), ( T^), to (c( ^m^)= ^(cm))) i ktory možno zapisati kako prěmu sumu konečnogo čisla prostyh ( T^)-modulov --- pričem ( ^=0) slěduje iz ( ^* x_i^*=0) ---

§ 4. Svęz medžu modulami predstavjenj i predstavjenjami

1. Vsaky modul predstavjenja jednoznačno vodi k klase predstavjenj (p. m. p. k prěmoj klase predstavjenj, r. m. p. k recipročnoj klase predstavjenj).

I to slědujučim načinom:

Množenje prěmogo modula predstavjenja ( M) elementom iz ( o), (c), znači homomorfizm od ( M) na sebe samogo, ktory zaradi zakona asociativnosti ((cm) dopušča elementy iz ( T) kako operatory. Ono jest tedy linearna transformacija od ( M) v sebe, t. j. priręđenje (m cm=m') imaje svojstvo:

Definujmo sumu ( T_1+ T_2) dvoh linearnyh transformacij

kako transformaciju (m m'+m''(=(c_1+c_2)m)), a jih produkt ( T_1 T_2) kako složenu transformaciju (m (m'')'=c_1c_2m). Tada množstvo različnyh linearnyh transformacij od ( M), ktore stvarjajut elementi iz ( o), jest kolcovo homomorfny obraz ( D) od ( o).

Nyně izberimo libovoljnu bazu (x_1, ,x_n) modula ( M). Linearnu transformaciju, stvorjenu elementom (c), od ( M) očividno jest dostatočno zadati tym, kako se transformujut bazove elementi (x_i), to jest poznanjem matrice (( _ij)=C) sistema jednačenj

bo za druge elementy (x= x_j _j) prosto jest (x'= x'_j _j). Te matrice (C) sut jednoznačno priręđene različnym linearnym transformacijam (bo jedne opreděljajut druge) i, kako se vidi neposrědnje, tvoręt kolco izomorfno s ( D), tedy kolcovo homomorfny obraz od ( o), predstavjenje (n)-togo stupnja od ( o).

Izomorfizm medžu ( D) i predstavjenjem sadržan jest v slědujučih formulah: ako linearnoj transformaciji, stvorjenoj elementom (c o), odpovědaje matrica (C), tedy

i ako na jednaky način (d o) i (D T_n) odpovědajut jedno drugomu

to očividno jest

i

Tako linearny transformacije, stvorjene elementami iz ( o), od ( M) v sebe pri jih realizaciji posrědstvom ustanovjene bazy (x_ ) modula ( M) davajut predstavjenje (n)-togo stupenja od ( o) v ( T).

Ako ((y_1, ,y_n)) jest druga baza modula ( M), ona nastava iz (x_1, ,x_n) množenjem regularnoj matricoju

Ako linearnaja transformacija od ( M) vzhodno k baze (x_ ) jest realizovana matricoju (C), tada vzhodno k baze (y_ ) ona jest realizovana matricoju (P^-1CP), bo ako

to važi

Iz toga neposrědnje slěduje:

( M) davaje vsa predstavjenja jednoj klasy predstavjenj, ako za realizaciju linearnyh transformacij od ( M), stvorjenyh elementami iz ( o), upotrěbimo vse bazy modula ( M).

enumi.

Vsaka klasa predstavjenj jest stvorjena modulom predstavjenja na način ukazany pod 1. (Znovu se ograničujemo na prěme predstavjenja.)

Dokaz. Izberemo ustanovjeno predstavjenje iz klasy; nehaj ono bude zadano homomorfnym priręđenjem (c C). Ako (n) jest stupenj predstavjenja, to s (n) neizvěstnymi (x_1, ,x_n) obrazujemo pravy ( T)-modul

(s obyčnymi pravilami računanja ( x_i _i+ x_i _i= x_i( _i+ _i)), ( x_i _i= x_i _i) togda i samo togda, ako ( _i= _i) za vse (i), (( x_i _i) x_i _i )), i činimo ga lěvym ( o)-modulom ustanovjenjem (c x_i _i= x_i' _i), ako ((x_1', ,x_n')=(x_1, ,x_n)C), pričem pod (C) razumějemo matricu predstavjenja, priręđenu elementu iz ( o), (c).

Tym ustanovjenjem ( M) jest učinjeno dvojnym ( o)-( T)-modulom, bo prvo iz relacij homomorfizma slěduje

to sut svojstva lěvogo modula; drugo, očividno jest

to jest smješany zakon asociativnosti.

( M) jest tedy modul predstavjenja, a upotrěbjeno predstavjenje jest nim stvorjeno na način ukazany pod 1., ako za realizaciju njegovyh linearnyh transformacij upotrěbimo bazu (x_1, , x_n). Druge bazy davajut ostale predstavjenja te klasy.

Za recipročna predstavjenja i module predstavjenj vse ide jednako; dostava se, že modul

stvarja recipročno predstavjenje od ( o) v ( T^*) tako, že elementu iz ( o), (c), priręđuje matricu (C) v jednačenju

Različne bazy znovu davajut različna predstavjenja jednoj klasy.