Glava II. Galoisova teorija komutativnyh polj

Dosěga razvijena teorija predstavjenj jest dostatočna za osnovanje Galoisovoj teoriji, ktora imaje prědnost nad obyčnoj teorijeju, že ne potrěbuje specialne sistemy tvorečih elementov ni teoremy o polinomah neizvěstnyh. 1Za slědujuće sravnjaj M. Z. §§ 15 --- 20. M. Z. § 21 sadržuje prve teoremy slědujučego odděla o Galoisovoj teoriji. Za definiciju hiperkompleksnyh sistemov vidi M. Z. § 6.

§ 5. Razširjenje koeficientov hiperkompleksnyh sistemov

Formulujemo slědujuči obći teorem, čij dokaz ostavjamo neizvedenym, bo on jest skoro samorazumny. Neka ( o=c_1 P+ +c_n P) bude hiperkompleksny sistem nad komutativnym poljem ( P). Neka ( ) bude razširjujuće kolco od ( P), čiji centar sadržuje ( P). Definujemo razširjeny sistem ( o_ ) kako množstvo vsih formalnyh sum ( c_i _i), ( _i ), ktoro najprvo ustanovjenjami

postavaje ( )-modulom, komutativno svęzanym s ( ), a daljnym ustanovjenjem

--- pričem (c_ic_j) jest uže definovany kako element iz ( o) --- postavaje razširjujućim kolcom od ( o). ( o_ ) imaje rang (n) nad ( ) i možno ga v formě

zapisati.

( o_ ) jest definovany nezavisno od bazy (c_1, ,c_n). Ako ( ) jest komutativno polje, to ( o_ ) jest hiperkompleksny sistem nad ( ).

§ 6. Ireducibilne predstavjenja komutativnyh sistemov

Neka ( Z=z_1 P+ +z_n P) bude komutativny sistem nad ( P). Hočemo ustanoviti vsa ireducibilna predstavjenja od ( Z) v algebraično zatvorjenom razširjenom polju ( ) od ( P). Poneže vsako predstavjenje od ( Z) v ( ) vodi k predstavjenju od ( Z_ --- bo predstavjenja bazovyh elementov, uže sadržanyh v ( P), sut dostatočne za ustanovjenje cělokupnogo predstavjenja --- i obratno vsako predstavjenje od ( Z_ ) sadržuje predstavjenje od ( Z), možno jest pytati takože za predstavjenja od ( Z_ ). Ona sut po M. Z. § 20 sadržana v regularnom predstavjenju od ( Z_ ), t. j. v predstavjenju od ( Z_ ), ktoro nastava, ako sam ( Z_ ) upotrěbimo kako modul predstavjenja. Dostatočno jest čak ograničiti se na ( Z_ / C) kako modul predstavjenja, pričem pod ( C) razumějemo radikal od ( Z_ ). (vidi M. Z. § 19).

Ale ( Z_ / C) jest polno reducibilny sistem, tedy prěma suma polj konečnogo stupenja nad ( ). Poneže ( ) jest algebraično zatvorjeno, te sumandy sut izomorfne s ( ).

Elementi (e_ ) sut komponenty jedinice. Tedy važi:

( Z_ ) imaje točno (t) različnyh klas ireducibilnyh predstavjenj v ( ), vse prvogo stupenja. Pri tom (t) jest rang od ( Z_ / C), tedy najvyše ravny (n).

Vsaka iz tyh klas predstavjenj sadržuje samo jedno predstavjenje, bo transformacija predstavjenja prvogo stupenja v komutativnom polju ne izměnjaje predstavjenje: ( ^-1

Zato postojut točno (t) različne homomorfizmy ( _1, , t) od ( Z ) na podkolca od ( ).

§ 7. Izomorfizmy polja

Nyně neka ( Z) bude polje. Vsaky homomorfizm ( i) od ( Z ) na podkolco od ( ) mora izomorfno obrazovati ( Z) na podpolje (Z_i) od ( ). Bo ili jest (Z_i=0) --- a to tut ne jest slučaj, bo jedinice od ( Z) odpovědaje jedinica od ( ) --- ili (Z_i) jest izomorfny obraz od ( Z). Zato:

Ako ( Z) jest konečno razširjenje (n)-togo stupenja od ( P), to v ( ) postojut toliko različne polja, izomorfne s ( Z), (Z_i), koliky jest rang (t) od ( Z_ / C). Čislo polj (Z_i) jest tedy najvyše ravno (n).

Nyně nazyvajemo ( Z) poljem prvogo roda nad ( P), ako čislo polj (Z_i) jest ravno (n), a poljem drugogo roda, ako to čislo jest menje od (n).

( Z) jest togda i samo togda prvogo roda nad ( P), ako ( Z_ ) jest polno reducibilno.

Tut vidimo prědnost toga osnovanja Galoisovoj teoriji nad obyčnym. V obyčnoj Galoisovoj teoriji razmatrajut se izomorfizmy jednogo iz polj (Z_i) na druge. Tut se izběgaje ta nesimetrija. Za dokaz, že polje ne imaje vyše konjugovanyh polj, než koliko ukazuje jego stupenj, obyčno se upotrěbje primitivny element. Tut toj fakt prosto slěduje iz toga, že vsa ireducibilna predstavjenja od ( Z_ ) sut sadržana v regularnom predstavjenju.

§ 8. Razpadno polje

Polja (Z_i) sut ireducibilna predstavjenja od ( Z) v ( ). Ako tedy polje ( ) medžu ( P) i ( ), ( P ), sadržuje vsa (Z_i), to uže ( Z_ / C) mora se razpadati na (t) polj prvogo stupenja ( ). Obratno, da by ( Z_ / C) razpadalo se na (t) polj, ktore sut tada ireducibilnymi predstavjenjami prvogo stupenja od ( Z_ ), polja (Z_i) morajut biti sadržane v ( ). Ako razpadnym poljem od ( Z) nazyvamo polje ( ) s svojstvom, že ( Z_ / C) postavaje prěmoju sumoju (t) polj, to imajemo:

Galoisovo polje polj, izomorfnyh s ( Z), (Z_i), t. j. jih kompozitum, jest minimalno razpadno polje od ( Z).

§ 9. Izomorfizmy od (Z_1) na (Z_i)

( _i), ako razmatramo samo ( Z), jest izomorfizm od ( Z) na (Z_i). Tedy (S_i= _i _1^-1) jest izomorfizm od (Z_1) na (Z_i). Poneže ( _i) sut različne, takože (S_i) sut različne. (S_i) sut izomorfizmy jednogo polja (Z_1) na jego konjugovana polja, ktore se obyčno razmatrajut v Galoisovoj teoriji. Drugyh ne imaje, bo ne imaje drugyh ( _i).

§ 10. Galoisova grupa

Ako ( Z) jest Galoisovo polje, tedy ako polja (Z_i) sovpadajut kako množstva elementov, to (S_i) tvoręt grupu vsih izomorfizmov, ktore ostavjajut ( P) nepodvižnym, od (Z) na sebe. Bo vsaky produkt (S_iS_j) jest avtomorfizm od (Z), a poneže ne imaje drugih osim (S_i), (S_iS_j) jest ravny nekomu (S_k). Tedy (S_i) tvoręt grupu vsih avtomorfizmov, ktore ostavjajut vsaky element iz ( P) nepodvižnym, od (Z); to jest Galoisova grupa od (Z) vzhodno k ( P).

§ 11. Glavny teorem Galoisovoj teorije

Nyně neka ( Z) bude Galoisovo razširjenje prvogo roda od ( P). Dokazujemo glavny teorem Galoisovoj teorije:

Polja ( ) medžu ( P) i ( Z) možno jest jednoznačno vzajemno priręditi podgrupam ( H) Galoisovoj grupy ( G) od (Z) vzhodno k ( P) tako, že polju ( ) priręđena grupa ( H) sostoji se iz vsih avtomorfizmov od (Z), ktore ostavjajut vsaky element iz ( ) nepodvižnym, a ( ) jest množstvo vsih elementov iz (Z), ktore ostavajut nepodvižne pri vsih avtomorfizmah, sadržanyh v ( H).

Kratko to formulujemo tako:

Ako ( H) jest invariantna grupa od ( ), to ( ) jest invariantno polje od ( H). Ako ( ) jest invariantno polje od ( H), to ( H) jest invariantna grupa od ( ).

možno svesti na pomoćnu lemu:

Ako ( P T Z) i ( T) imaje stupenj (t) nad ( ), to vsaky izomorfizm od ( ) na neko konjugovano polje (nužno sadržano v ( Z)) možno jest prodolžiti do (t) različnyh izomorfizmov od ( T) na konjugovana polja.

Ako bo prědpoložimo, že ( H) jest invariantna grupa od ( ), a ( T) jest invariantno polje od ( H), možno jest zaključiti slědujuće: Elementi iz ( H) sut prodolženja na cělo ( Z) identičnogo izomorfizma od ( ). Ako te prodolženja priměnimo samo na ( T), iz pomoćnoj lemy slěduje, že ona razpadajut se na (t) klas tako, že izomorfizmy iste klasy sut identične na ( T), a izomorfizmy različnyh klas sut različne na ( T). Ale poneže ( T) jest invariantno polje od ( H), mora biti (t=1), ( T= ), čto bylo dokazati.

Za dokaz pomoćnoj lemy vrnemo se k poljam ( S), ( T) medžu ( P) i ( Z), ktorym sut ( ) i ( T) priręđene posrědstvom ( _1). Tada trěba dokazati:

Vsaky izomorfizm (H_i) od ( S) na neko ( _i) možno jest na točno (t) različnyh načinov prodolžiti do izomorfizmov od ( T) na podpolja ( T_i) od ( Z).

Zaradi prědpoloženja, že ( Z) jest prvogo roda nad ( P), ( Z_ / C) jest identično s ( Z_ ), tedy ( S_ ) razpada se na toliko polj, koliko ukazuje njegov stupenj (s)

Moduly predstavjenj (E_ ) stvarjajut (s) izomorfizmov od ( S) na (s) podpolj ( 1, , s). Za najdanje izomorfizmov od ( T) potrěbujemo ( T ). Poneže (E ) sut idealy od ( S_ ), važi (E_ S_ E_ ). Nadalje očividno jest

Zato jest

To jest razklad od ( T_ ) na idealy. (E_ T_ ) razpada se na (t) prostyh idealov. Bo važe relacije stupnjev

tedy zaradi ( S_ E_ E_ ):

i poneže suma vsih stupnjev ([ T_ E_ : ]) mora biti ravna (s t):

Vsaky (e_ ^(i) ) davaje ireducibilno predstavjenje od ( T_ ). Pokažimo ješče, že vsa ta predstavjenja, ako jih priměnimo samo na ( S_ ), sovpadajut s predstavjenjem, stvorjenym posrědstvom (E_ ); tada jesmo gotovi. To ale jest jasno, bo iz

slěduje

tedy zaradi jednoznačnosti zapisa sumy

nove predstavjenja takože prirędžajut elementu (s) element ( _ ).

Neka ( T) bude invariantno polje od ( H). Hočemo poznati ( H) kako invariantnu grupu od ( T); za to jest dostatočno pokazati element iz ( T), ktory ne ostavaje nepodvižnym pri nekom avtomorfizmu, ne naležečem k ( H).

Elementi (S_i) Galoisovoj grupy ( G) od ( Z) sut avtomorfizmy, ktore ostavjajut ( P) nepodvižnym, od ( Z). Činimo jih avtomorfizmami od ( Z_ Z) ustanovjenjem

Priměnjenje od (S_i) na

mora prěměnjivati prěme sumandy (e_ Z), bo one sut jednoznačno opreděljene; v osoblivosti mora biti

Ako (S_1, ,S_h) sut elementi iz ( H), izberemo neko (e_ ), recimo (e'), i razmatramo vse (e_ ), ktore iz njega stvarjajut (S_i), (i h):

Poneže, ako (i h, j h),

vsaky (S_i) iz ( H) prěměnjuje (e_1, ,e_h) medžu soboju,

jest tedy pri vsih (S_i H) invariantny element iz ( Z). Ako predstavimo (E_1) posrědstvom bazy od ( Z), jego koeficienty morajut biti pri ( H) invariantne elementi iz ( Z); zato naležet k ( T).

(E_1) ne jest invariantny pri nikakom elementu izvan ( H), (S_i). Bo za tako (S_i)

sadržuje medžu komponentami, ktore ne nastupajut medžu (e_1, ,e_h), komponentu (e_i), ale zapis sumy od (E_1) jest jednoznačny.

§ 12. Formalno značenje komponentov (e_i)

Za osnovu izberemo ustanovjenu bazu (z_1, ,z_n) od ( Z).

(Nyně o ( Z) prědpokladamo samo, že ono jest prvogo roda). Izomorfizm ( _i) obrazuje sistem (z_1, ,z_n) na bazu ( _1^(i), , _n^(i)) od ( Z_i), i to relacijami

Obratno, komponenta jedinice (e_j) mora biti izraziva posrědstvom (z_ ) s koeficientami iz ( Z)

Tedy imajemo

tedy:

To znači: Matrice

sut vzajemno obratne. To možno takože izraziti slědujuće: ( _1^(i), , _n^(i)) jest baza komplementarna k ( _1^(i), , _n^(i)). Ona imaje rolu v teoriji diferenty čislovogo polja.

§ 13. Obći teorem o prodolženju

Teorem o prodolženju iz (H_i), dokazan na str. 10, možno jest obćiti.

Neka ( Z=z_1 P+ +z_n P) bude komutativny, hiperkompleksny, polno reducibilny sistem. Neka ( S) i ( T) budu -- v toj situaciji nužno takože polno reducibilne -- podsistemy od ( Z):

Po M. Z. § 13 vsaky iz troh sistemov imaje jedinicu. Ale te tri jedinice nikako ne morajut biti jednake. (Sigurno ne sut jednake, ako ( S) i ( T) sut idealy od ( Z), različne od ( Z).) Neka (E) bude jedinica od ( S). Sistem ( T E) jest modul konečnogo ranga nad ( S):

(( T) obće ne jest!).

Dokaz. ( S) jest prěma suma polj: ( S= K_1+ + K_r). Tomu odpovědaje razklad od ( T E) na prěmu sumu. Vsaky sumand od ( T E) mora sadrževati jedno iz polj ( K_i), inače by (E) anulovalo go, ale (E) jest jedinica od ( T E). Zato ( T E) jest prěma suma razširjujućih kolc od ( K_i), t. j. prěma suma formy

ili (E T=a_11 S+ +a_rp_r S), čto bylo dokazati.

Obći teorem o prodolženju.

Vsako ireducibilno predstavjenje od ( S) v ( ), zadano homomorfizmom (H_i), možno jest na točno (t) različnyh načinov prodolžiti do predstavjenj od ( T).

Dokaz jest analogny dokazu na str. 10--11. Imajemo

tedy

( T_ E_ ) razpada se tedy na (t) idealov, iz ktoryh vsaky kako sumand od ( T_ E), tedy takože od ( T_ ), davaje predstavjenje od ( T_ ), ktoro, kako na str. 10--11, okazuje se prodolženjem predstavjenja zadanogo posrědstvom (H_ ). Ostala ireducibilna predstavjenja od ( T_ ) -- stvorjena sumandami, ne sadržanymi v ( T_ E_ ), od ( T_ ) -- ne mogut biti prodolženja predstavjenj, stvorjenyh posrědstvom (H_ ), od ( S_ ), bo te idealy sut anulovane posrědstvom ( T_ E_ ), a tym vyše posrědstvom ( S_ ).