Glava III. Abelove grupy

§ 14. Grupovo kolco

Neka ( G) bude konečna grupa s elementami (a_1, ,a_h), a ( P) komutativno polje. S grupovym množenjem kako množenjem obrazujemo hiperkompleksny sistem

grupovo kolco od ( G) v ( P). (M. Z. § 6, Speiser, Theorie d. Gruppen end. Ord. § 48).

Pytajemo za predstavjenja od ( o[ G]) v ( P) ili v algebraično zatvorjenom polju ( ) nad ( P). Kako uže bylo spomenuto, ireducibilna predstavjenja sut stvorjena prostymi lěvymi idealami od ( o[ G]/ C). Zato nas -- kako v Galoisovoj teoriji -- interesuje pytanje, kogda ( o[ G]) imaje radikal. O tom važi obći teorem:

( o[ G]) jest togda i samo togda polno reducibilno, ako red (h) od ( G) ne jest dělivy karakteristikoju (p) od ( P).

Najprvo dokazujemo:

jest dvustranny ideal od ( o). Bo jest

i

zaradi grupovogo svojstva elementov (a_i). ( a) očividno ne jest nula, ale jest nilpotentny:

Obratno tvrdženje:

nyně dokazujemo samo za Abelove grupy. (V M. Z. § 26 ta čest teorema jest dokazana obće.)

§ 15. Grupove kolca Abelovyh grup

Pod ( A=\a_1, ,a_h\) razumějemo Abelovu grupu. Tada ( o) jest komutativno, zato možno jest priměniti obće teoremy o komutativnyh hiperkompleksnyh sistemah.

Ako (h) ne jest dělivy karakteristikoju (p) od ( P), to ( o[ A]) imaje točno (h) različnyh ireducibilnyh predstavjenj v ( ). (Ona sut prvogo stupenja, bo ( o) jest komutativno.)

Iz toga slěduje, že ( o[ A]/ C) imaje tojže rang kako ( o), tedy že ( C=0); to jest vtora čest prědhodnogo, ostavjenogo bez dokaza teorema za Abelove grupy.

Dokaz. ( A) jest prěmy produkt cikličnyh grup ( Z_i) redov (h_i)

Ako (z_i) jest tvoreči element od ( Z_i), to jemu odpovědajuči element ireducibilnogo predstavjenja (prvogo stupenja) mora biti (h_i)-ty korenj iz jedinice ( _ ^(h_i)). S drugoj strany, ako vsakomu (z_i) prirędimo (h_i)-ty korenj iz jedinice ( _ ^(h_i)), dostava se ireducibilno predstavjenje od ( o) v ( ). Poneže nyně (h 0(p)), a tym vyše (h_i 0(p)), postojut točno (h_1h_2 h_t=h) različne predstavjenja od ( o), čto bylo dokazati.

(Takože jest legko viděti: ako (h=0(p)), tedy (h_i=0(p)) za najmenej jedno (h_i), postojut najvyše (h_i/p) različne ( _ ^(h_i)), tedy menje než (h) predstavjenj, zato ( o_ ) mora sadrževati nenulovy radikal. Ale iz toga bezposrědnje ne slěduje ničto o radikalu od ( o).)

Te (h) različne homomorfizmy od ( o_ ) na podkolca od ( ) označimo s ( _1, , _h); vsakomu ( i) odpovědaje sumand (e_i ) od ( o ) kako modul predstavjenja. Někdy priměnjujemo ( _i) samo na ( A) i tada govorimo o predstavjenju od ( A). Te homomorfizmy od ( A) na grupy korenjev iz jedinice sut (h) karakterov od ( A). Specialny karakter jest glavny karakter, ktory vsakomu elementu iz ( A) prirędžaje (1). Neka prinaležeči ( _i) bude ( _1).

Predstavjenje glavnym karakterom jest možno za vsaku grupu, ne samo za Abelove grupy. Poneže to predstavjenje uže leži v ( P), v slučaju, kogda ( o) jest polno reducibilno, ( o) mora odcěpiti prosty sumand (E o), ktory davaje to predstavjenje. (E) možno jest bezposrědnje izračunati. Mora biti (E= x_i a_i). Prvo jest

iz čego za (a=a_j a_i^-1)

tedy

slěduje.

Drugo jest:

V slučaju (h=0(p)) slěduje (E=0), t. j.: ( o) ne sadržuje modul predstavjenja za glavny karakter, zato ne moglo jest biti polno reducibilno. Tym jest znovu dokazana jedna polovica teorema na str. 13.

Ako ale (h 0(p)), tedy ( o) jest polno reducibilno, neposrědnje slěduje

§ 16. Relacije karakterov

Fakt, že (E=(1/h) a_i) davaje glavny karakter, neposrědnje vodi k relacijam karakterov. Mora biti

tedy

ili

V osoblivosti jest

ili, poneže (e_1 = (1/h) a_i),

To sut poznate relacije karakterov:

Suma jednogo karaktera po vsih elementah grupy jest nula, osim glavnogo karaktera, za ktory ona jest h.

§ 17. Galoisova teorija Abelovyh grup

Za grupove kolca Abelovyh grup možno jest ustanoviti teoremy podobne onym, ktore sut dokazivane v Galoisovoj teoriji komutativnyh polj. V Galoisovoj teoriji ( _i _1^-1) tvorili sut grupu ( G). Glavny teorem izražaje jednoznačno vzajemno priręđenje, osnovano na ustanovjenyh invariantnyh svojstvah, medžu podgrupami od ( G) i podpoljami od (Z).

Homomorfizmy ( _i) od ( o[ A]) možno jest sjediniti v grupu ( A), čije podgrupy stojęt v podobnom odnošenju k podgrupam od ( A).

Ako produkt ( _i _k = ) definujemo formulom

to množstvo vsih ( _i) jest s ( A) izomorfna grupa ( A).

Dokaz. ( = _i _k) jest zaradi

homomorfizm od ( A) na ( A), a poneže osim ( _i) ne imaje drugih homomorfizmov od ( A), ( ) jest ravny nekomu ( _j); tedy ( _i) naistino tvoręt grupu iz (h) elementov.

Nyně pod ( h ) razumějemo primitivny (h_ )-ty korenj iz jedinice. Tada ( i) obrazuje tvoreči element (z ) cikličnogo faktora ( Z_ ) od ( A) na potenciju od ( h )

Homomorfizmu ( i) prirędžajemo element ( _ z ^ _ ^(i)) od ( A). To jest jednoznačno vzajemno priręđenje od ( A) na ( A), bo poneže ( _i) jest opreděljen posrědstvom ( _ ^(i)), različnym ( i) odpovědajut različne ( _ z ^ _ ^(i)). Priręđenje jest izomorfno. Bo s jednoj strany

a s drugoj strany

Nyně definujemo

Invariantnu oblast podgrupy ( B) od ( A):

Podgrupa ( B) elementov od ( A), ktore vsaky ( B) obrazuje na 1.

Invariantnu grupu podgrupy ( B) od ( A):

Podgrupa ( B) elementov od ( A), ktore obrazujut vsaky (a B) na 1.

i formulujemo glavny teorem:

Podgrupy ( B) od ( A) i podgrupy ( B) od ( A) možno jest jednoznačno vzajemno priręditi tako, že ako ( B) i ( B) odpovědajut jedna drugoj, ( B) jest invariantna grupa od ( B), a ( B) jest invariantna oblast od ( B).

Trěba jest tedy pokazati:

Ako ( B) jest invariantna grupa od ( B), to ( B) jest invariantna oblast od ( B). Ako ( B) jest invariantna oblast od ( B), to ( B) jest invariantna grupa od ( B).

slěduje kako na str. 10 iz obćego teorema o prodolženju. Prědpokladamo, že ( B) jest invariantna grupa od ( B), ( B') invariantna oblast od ( B), a ( B') obsahvata ( B). Elementi od ( B) sut prodolženja na cělu ( A) jednogo homomorfizma od ( B), ktory obrazuje ( B) na 1. Ako te prodolženja priměnimo samo na ( B'), iz obćego teorema o prodolženju slěduje, že ona razpadajut se na (t) klas tako, že homomorfizmy iste klasy sut identične, a homomorfizmy različnyh klas sut različne na ( B'); pri tom (t) jest stupenj od ( o[ B']) nad ( o[ B]), tedy indeks od ( B) v ( B'), bo ( o[ B]) i ( o[ B']) imajut tojže element jedinice, jmenno element jedinice od cěloj ( A). Ale poneže ( B') jest invariantna oblast od ( B), mora biti (t=1), tedy ( B'= B), čto bylo dokazati.

2. svodimo na 1.

Elementy (a) od ( A) smatramo homomorfizmami od ( A). Ustanovjujemo bo, že (a ) jest ravno korenju iz jedinice ( a), kratko (a a). Tym (a) jest naistino opreděljen kako homomorfizm od ( A), bo

Produkt dvoh homomorfizmov (a,b) jest obyčny grupovy produkt:

Elementi (a,b), različne kako grupove elementi, takože sut različne kako homomorfizmy: iz (a za vse ( ) slěduje ( a= b) za vse ( ), ili ( ab^-1=1) za vse ( ). Tedy ( ) sut prodolženja na cělu ( A) identičnogo homomorfizma posrědstvom (ab^-1) stvorjene cikličnoj podgrupy ( Z) od ( A). Po teoremu o prodolženju indeks od ( Z) v ( A) jest ravny (h), t. j. ( Z=e,\ a=b).

Nyně prěvodimo tvrdženja, učinjena v novom razuměnju,

v staro razuměnje:

K a). ( B) sostoji se iz vsih (a A), za ktore (a za vse ( B), t. j. ( B) sostoji se iz vsih (a A), za ktore ( a=1) za vse ( B). Tedy prěvod od a) jest

Odpovědajuči prěvod od b) jest

Tedy prěvod tvrdženja uže dokazanogo pod 1.:

Ako ( B) jest invariantna grupa od ( B), to ( B) jest invariantna oblast od ( B), jest ravno tvrdženju, ktoro trěba dokazati:

Ako ( B) jest invariantna oblast od ( B), to ( B) jest invariantna grupa od ( B).

Ako relacije karakterov iz str. 15 zapišemo za ( A) vměsto za ( A), dostavajut se jednačenja

Suma vsih karakterov nad grupovym elementom jest nula, osim elementa jedinice, za ktory ona jest (h).