Glava IV. Dvustranno proste kolca

§ 18. Pomoćna lema

Pod ( K) razumějemo tělo, a pod ( G) grupu avtomorfizmov (izomorfnyh obrazovanj na sebe) od ( K). Množstvo elementov od ( K), ktore ostavajut neizměnjene pri vsakom avtomorfizmu naležečem k ( G), jest podtělo ( P) od ( K), invariantno tělo od ( G).

Ako ( 0) jest libovoljny element od ( K), avtomorfizm od ( K) dostava se tako, že elementu od ( K), ( ), prirędimo element ( ^-1 ); po odpovědajučem nazvanju iz teorije grup tako avtomorfizm nazyvamo vnutrnym avtomorfizmom. Invariantno tělo ( P) grupy vsih vnutrnyh avtomorfizmov těla ( K) jest njegov centar.

Nyně neka budu zadane tělo ( K), grupa avtomorfizmov ( G) od ( K) i njeno invariantno tělo ( P).

neka bude ( P)-modul ranga (n). Dějstvo elementa iz ( G), ( ), na elementy od ( M) definujemo formulom

Poslědica toga jest, že ( G) jest postala grupoju avtomorfizmov razširjenogo modula

a invariantna oblast od ( G) v ( M_ K) jest tada ( M). Pri tyh prědpoloženjah važi teorem:

Ako

jest podmodul od ( M_ K), ktory vsaky element iz ( G), ( ), obrazuje v njega samogo (ne nužno po elementah), to ( C) jest razširjeny modul, obrazovany s ( K), nekogo podmodula ( c) od ( M).

Dokaz. 1. Prědhodna pripomněnka: Mora biti ( c= C M). Bo obće važi

( c c_ K M) jest jasno. Za dokaz od ( c_ K M c) izberemo bazu (y_1, ,y_r) od ( c),

tada jest

Vsaky element iz ( c_ K M), (c), dopušča bazovy zapis kako element od ( c_ K)

i bazovy zapis kako element od ( M)

ako pod (y_r+1, ,y_n) razumějemo sistem elementov od ( M), ktory dopolnjaje (y_1, ,y_r) do bazy od ( M) (M. Z. § 6).

Poneže oba zapisa možno smatrjati bazovymi zapisami v ( M_ K), oni sut identične, ( _i= _i\ (i=1, ,r)), ( _j=0\ (j=r+1, ,n)), zato

Da by dokazati razmatrany teorem, konstruujemo bazu (z_1, ,z_r) od ( C), čiji elementi (z_i) naležet k ( M). Tada, ako položimo

naistino jest

Izberemo libovoljnu bazu (y_1, ,y_r) od ( C) i dopolnimo ju do bazy od ( M_ K) odpovědajučimi elementami (x_r+1, ,x_n) jednoj bazy (x_1, ,x_n) od ( M), ktora jest takože baza od ( M_ K). To jest možno po M. Z. § 5.

Iz toga za prvih (r) elementov (x_1, ,x_r) bazy od ( M) slědujut jednačenja

Poneže (z_i) zajedno s (x_r+1, ,x_n) očividno tvoręt bazu od ( M_ K), oni sut linearno nezavisne; zato (z_1, ,z_r) jest baza od ( C). (z_1, ,z_r) jest baza iskanoj formy, čiji (z_i) naležet k ( M):

Neka ( ) bude element iz ( G). Tada s jednoj strany

a s drugoj strany

bo ( C) dopušča vse ( G). (2) možno jest zapisati ješče v formě

Sravnjenje koeficientov v (1) i (3) davaje

Zato jest

Tedy (z_i) naležet k invariantnoj oblasti od ( G), t. j. k ( M), čto bylo dokazati.

§ 19. Predstavjenja dvustranno prostyh hiperkompleksnyh sistemov v nekomutativnyh tělah, ktore razširjajut jih polja koeficientov

neka bude dvustranno prosty, tedy polno reducibilny hiperkompleksny sistem, a ( K) tělo s centrom ( P).

Teorem 1. ( S_ K) jest dvustranno prosto (tedy takože polno reducibilno).

Dokaz 1. Vsaky dvustranny ( S_ K)-ideal ( a) jest invariantny vzhodno k grupě ( G) vnutrnyh avtomorfizmov od ( K). Bo ako, pod ( ) razumějuči nenulovy element od ( K), položimo ( ^-1 a a), to ( a a) zaradi svojstva ideala od ( a); ale poneže ( a), razmatrany kako ( K)-modul, imaje nad ( K) tojže rang kako ( a), mora biti ( a= a).

Po upravo ustanovjenoj pomoćnoj lemi dvustranny ( S_ K)-ideal ( a) mora tedy biti razširjeny ideal nekogo podmodula ( A) od ( S), ( a= A_ K). ( A) jest dvustranny ideal od ( S), bo iz ( A= S a) dostava se

Ale poneže ( S) sadržuje samo dvustranne idealy 0 i ( S), v ( S_ K) takože postojut samo dva dvustranna ideala 0 i ( S_ K), čto bylo dokazati.

Nyně razmatrajemo ireducibilna predstavjenja od ( S) v ( K), i hočemo ustanoviti recipročna predstavjenja, čto imaje formalnu prědnost. V konečnom jest vsejedno, izbirajemo li prěma ili recipročna predstavjenja, bo ona sut jednoznačno vzajemno priręđena.

Neka ( M) bude recipročny modul predstavjenja od ( S) v ( K), tedy lěvy ( S)-modul i lěvy ( K)-modul konečnogo ranga,

s zakonom komutativnosti

Dokazujemo, že ( M) možno takože razmatrjati kako lěvy ( S_ K)-modul. Najprvo trěba objasniti množenje elementa od ( S_ K) elementom od ( M). Ako (s S,\ x K,\ m M), ustanovjujemo

i sootvětno za obći ( S_ K)-element ( s_ix_i)

Možno jest uvěriti se, že ta definicija jest jednoznačna i ne zavisi od načina, na ktory element od ( S_ K) zapisujemo kako sumu produktov (s_ix_i).

Trěba tedy iz

zaključiti

Prědpokladamo, že (s_1, ,s_q) sut linearno nezavisne i že (s_q+1, ,s_p) možno izraziti posrědstvom (s_1, ,s_q)

Koeficienty morajut ležati v ( P), bo (s_j) možno izraziti samo na jeden način, a zapis jest uže možny v ( S). Iz (1) dostava se

Tedy jest

Iz svojstv ( S_ K)-modula od ( M) distributivne zakony ((S+S')m=Sm+S'm,\ S(m+m')=Sm+Sm') sut jasne. Ješče trěba obratiti vnimanje na zakon asociativnosti (S(S'm)=SS' m); poneže distributivne zakony važe, možno jest ograničiti se na slučaj

S jednoj strany, po definiciji od (sx m), jest

a s drugoj strany

zaradi dvoh relacij komutativnosti (=s (x (s' (x' m))))

Tedy ( M) naistino jest lěvy ( S_ K)-modul, očividno konečny. Obratno, vsaky konečny lěvy ( S_ K)-modul jest recipročny modul predstavjenja od ( S) v ( K), bo očividno jest konečny ( K)-modul i zaradi

takože zadovoljava uslov komutativnosti. (Sravnjaj takože prostějši dokaz v § 24).

Nyně po M.Z. § 18 vsaky konečny ( S_ K)-modul jest suma prostyh modulov, ktore sut operatorno izomorfne s prostymi lěvymi idealami od ( S_ K) vzhodno k operatoram iz ( S_ K). Obratno, vsaky lěvy ideal od ( S_ K) jest modul predstavjenja od ( S) v ( K), a poneže vsi lěvi idealy od ( S_ K) sut operatorno izomorfne, važi

Teorem 2. Jedina klasa ireducibilnyh recipročnyh predstavjenj od ( S) v ( K) jest ona, ktora jest stvorjena prostym lěvym idealom od ( S_ K).

Ako to ireducibilno predstavjenje imaje stupenj (r), to stupenj libovoljnogo predstavjenja jest kratny od (r); očividno jest možno nadovezivanjem ireducibilnyh predstavjenj za zadany kratny (rs) od (r) konstruovati predstavjenje (rs)-togo stupenja. Tomu odpovědaje obrazovanje modula predstavjenja, ktory jest prěma suma od (s) prostyh modulov.

Nyně uže znajemo jedno predstavjenje od ( S) v ( K), jmenno ono, ktoro jest stvorjeno samym ( S) kako modulom predstavjenja (glavno predstavjenje, M. Z. § 20); ono uže leži v ( P). Njegov stupenj jest (n), tedy (n) jest dělivy posrědstvom (r):

Kvocient (t) jest legko opreděliti: poneže (r) jest rang jednogo lěvogo ideala nad ( K), a (n) rang cělokupnogo ( S_ K), (t) jest čislo lěvyh idealov od ( S_ K), tedy (t^2) jest rang od ( S_ K) nad tělom avtomorfizmov njegovyh prostyh idealov.

Specializujemo naše razmatranje na slučaj, kogda ( S) jest komutativno polje.

Teorem 3. Ako ( S) jest komutativno polje, to ( S) jest centar od ( S_ K).

Dokaz. Poneže vsaky element od ( S) jest komutativen s vsakym elementom od ( S) i s vsakym elementom od ( K), tedy takože s vsakym elementom od ( S_ K), ( S) naleži k centru od ( S_ K). Element od ( S_ K) jest komutativen s vsakym elementom od ( S_ K) samo togda, ako jest komutativen hoti s vsakym elementom od ( K), tedy ako njegovi koeficienty naležet k centru od ( K), ktory jest ( P), tedy ako on leži v ( S), čto bylo dokazati.

Poneže pri komutativnyh kolcah ne imaje razlike medžu recipročnym i prěmym izomorfizmom, vsako recipročno predstavjenje možno jest smatrjati takože prěmym. Ireducibilno predstavjenje od ( S) v ( K) mora tedy takože biti dano prěmym modulom predstavjenja. Toj prěmy modul predstavjenja jest prosty pravy ideal od ( S_ K). Bo ( r) jest konečny pravy ( K)-modul ranga (r) i zaradi ( r S= S r) takože lěvy ( S)-modul (samorazumno s smješanym zakonom asociativnosti), tedy prěmy modul predstavjenja ranga (r); a poneže postojí samo jedna klasa ireducibilnyh predstavjenj, on mora stvarjati dano predstavjenje.

§ 20. Nekomutativne těla

Nyně pod

razumějemo nekomutativno tělo s centrom ( P). Za ( K) razvijemo red teoremov, analognyh teoremam iz teorije komutativnyh konečnyh algebraičnyh razširjenj polj.

Ako (Z= _1 P+ + n P) označaje hiperkompleksny sistem nad ( P), dva razširjena sistema ( K_Z) i (Z K) sut identične, bo za ( K_Z) možno jest zapisati

a za (Z_ K)

ale oba izraza sut identične zaradi (y_i _j= _jy_i).

V slědujučem (Z) vsečasno bude komutativno polje, zato možno jest priměniti teoremy iz § 19. Po teoremu 1 iz § 19 ( K_Z) jest vsečasno dvustranno prosto.

Teorem 1. Neka ( ) bude algebraično zatvorjeno razširjeno polje od ( P). Tada centar od ( K_ ) jest ravny ( ).

Dokaz. Oslanjamo se na odpovědajuči teorem 3 iz § 19. Jasno jest, že ( ) leži v centru od ( K_ ). Ako ( ) jest libovoljny element centra od ( K_ ), njegovi koeficienty naležet k nekomu konečnomu algebraičnomu razširjenomu polju (Z) od ( P) (jmenno k polju, ktoro oni stvarjajut). Samorazumno ( ) takože mora naležati k centru od ( K_Z). Ale toj centar jest (Z), tedy ( ) naleži k (Z), a zato takože k ( ), čto bylo dokazati.

Na sovsěm podobny način dokazujemo

Teorem 2. ( K_ ) jest dvustranno prosto.

Dokaz. Neka ( a=z_1 + +z_r ) bude dvustranny ideal. Koeficienty od (z_1, ,z_r) naležet k nekomu konečnomu razširjenomu polju (Z) od ( P); v ( K_Z) jest ( a'=z_1Z+ +z_rZ) dvustranny ideal, a poneže ( K_Z) jest dvustranno prosto, ( a') jest ili nula ili cělo ( K_Z); tedy ( a) jest ili 0 ili cělo ( K_ ), t. j. ( K_ ) jest dvustranno prosto, čto bylo dokazati.

Po tom teoremu ( K_ ) jest matricno kolco nad nekym razširjenym poljem svojego centra ( ). To polje kako podkolco cělogo ( K_ ) mora iměti konečny stupenj nad ( ), tedy mora biti ravno ( ):

Teorem 3. ( K_ ) jest matricno kolco nad ( ),

zato stupenj od ( K) nad njegovym centrom ( P) jest kvadratno čislo (m=t^2).

Čislo (t) pravyh (ili lěvyh) idealov, na ktore razpada se ( K_ ), nazyvajmo kratko absolutnym čislom komponentov od ( K).

Svojstvo od ( ), že ( K_ ) razpada se na (t) prostyh idealov, očividno imajut uže konečna razširjenja (Z) od ( P), napr. taka (Z), ktore se dostavajut priloženjem koeficientov od (c_ik) k ( P). Nyně razmatrajemo ta razpadna polja.

Definicija. Konečno algebraično razširjeno polje (Z) od ( P) nazyvaje se razpadnym poljem od ( K), ako čislo prostyh pravyh idealov, na ktore razpada se ( K_Z), uže jest ravno absolutnomu čislu komponentov (t) 1Sravnjaj pojem razpadnogo polja na str. 9.

Teorem 4. Ako (Z) jest razpadno polje od ( K), to (Z) jest tělo avtomorfizmov pravyh idealov od ( K_Z); obratno, ako tělo avtomorfizmov pravyh idealov od ( K_Z) jest ravno (Z), to (Z) jest razpadno polje.

Dokaz. 1. Neka (Z) bude razpadno polje, a ( T) tělo avtomorfizmov pravyh idealov od ( K_Z), tedy

Iz toga slěduje

rang od ( K_ ) nad ( ) jest tedy produkt od (t^2) s rangom od ( T_ ); s drugoj strany on jest ravny (t^2), zato rang od ( T_ ), a takože od ( T), jest ravny 1, ( T=Z), čto bylo dokazati.

Ako (Z) jest tělo avtomorfizmov prostyh idealov od ( K_Z), to jest

tedy

čislo elementov (c_ik) mora tedy biti ravno (t^2), čto bylo dokazati.

Teorem 5. Ireducibilno predstavjenje ( Z) razpadnogo polja (Z) od ( K) v ( K) -- po teoremu 2 na str. 22 postojí samo jedna klasa ireducibilnyh predstavjenj -- jest maksimalno komutativno podpolje matricnogo kolca ( K_r) ((r) jest stupenj ireducibilnogo predstavjenja od (Z)).

Ako obratno ireducibilno predstavjenje ( Z) komutativnogo razširjenogo polja (Z) od ( P) jest maksimalno komutativno podpolje od ( K_r), to (Z) jest razpadno

polje.

Dokaz. 1. Ako (n) jest stupenj razpadnogo polja (Z) nad ( P), to stupenj (r) ireducibilnogo predstavjenja ( Z) od (Z) jest ravny (n/t) (str. 22). Neka nyně ( Z Z^* K_r), a ( Z^) bude maksimalno komutativno polje stupenja (n^ n) nad ( P). Trěba dokazati ( Z^= Z). Vmesto toga dostatočno jest dokazati (n^=n). Ako (r^) označaje stupenj ireducibilnogo predstavjenja s ( Z^) izomorfnogo razširjenogo polja (Z^) od (Z), znovu jest (n^=r^t); s drugoj strany (r) jest dělivy posrědstvom (r^), bo v ( Z^) jest dano predstavjenje (r)-togo stupenja od (Z^), zato (r^* r). Iz

Neka ireducibilno predstavjenje ( Z) (r)-togo stupenja komutativnogo razširjenogo polja (Z) od ( P) v ( K) bude maksimalno komutativno podpolje od ( K_r). Neka tělo avtomorfizmov prostyh idealov od ( K_Z) bude ( T), tedy

( T) sadržuje (Z). Trěba dokazati ( T=Z). Nyně prosty pravy ideal ( r) od ( K_r) ne jest samo modul predstavjenja od (Z) v ( K), ale takože modul predstavjenja od ( T), bo jest

tedy ( T r= r); ( r) jest lěvy ( T)-modul i očividno pravy ( K)-modul.

Postojí tedy s ( T) izomorfno podtělo ( T) od ( K_r), ktoro sadržuje ( Z). Ako by ( T) bylo različno od (Z), tedy ( T) različno od ( Z), priloženje ne naležečego k ( Z) elementa od ( T), ( ), k ( Z) dalo by pravo komutativno razširjeno polje od ( Z) v ( K_r), čto protivrěči maksimalnosti od ( Z), čto bylo dokazati.

Iz teorema 5 bezposrědnje slěduje

Teorem 6. Maksimalna komutativna podpolja od ( K) imajut stupenj (t) nad ( P) i sut razpadna polja 1Prědpoloženje, že vsako razpadno polje takože sadržuje neko maksimalno komutativno podpolje od ( K), ne jest pravilno; mogut postojati razpadna polja bez toga svojstva, a odpovědajuči (r) sigurno jest vyše od 1. Vidi: R. Brauer i E. Noether, Über minimale Zerfällungskörper irreduzibler Darstellungen; Sitzungsberichte d. preuss. Akademie der Wisssch. 1927 XXXII, str. 221..

Nyně razvijemo teorem o izomorfizmu podkolc jednogo ( K_r), na ktorom osnovana jest podrobnėjša znajemost struktury Galoisovoj grupy od ( K) i s tym svęzanyh faktov.

Teorem 7. Neka ( S_1) i ( S_2) budu dvustranno proste, ( P) sadržujuće podkolca matricnogo kolca ( K_r) nad ( K), i neka medžu nimi postojí izomorfizm, ostavjajuči ( P) po elementah nepodvižnym, ( S_1 S_2). Tada toj izomorfizm jest transformacija regularnym ( K_r)-elementom ( ).

Ako ( _1 S_1) i ( _2 S_2) sut vzajemno priręđene, to jest

Dokaz. Konstruujemo s ( S_1) i ( S_2) recipročno izomorfno kolco ( ), čije podpolje izomorfno s ( P) identifikujemo s ( P). ( S_1, S_2) sut tada dva recipročna predstavjenja jednakogo stupenja (r) od ( ) v ( K). Poneže po teoremu 2 na str. 22 postojí samo jedna klasa ireducibilnyh recipročnyh predstavjenj, tedy takože samo jedna klasa predstavjenj zadanogo stupenja od ( ) v ( K) (kratny od ireducibilnoj klasy), ( S_1) i ( S_2) morajut naležati k istoj klase; tedy jedno nastava iz drugogo transformacijoju, čto bylo dokazati.

Iz teorema 7 neposrědnje slěduje

Teorem 8. Grupa avtomorfizmov, ktore ostavjajut ( P) po elementah nepodvižnym, od ( K) -- t. j. Galoisova grupa ( G) od ( K) vzhodno k njegovomu centru -- jest grupa vnutrnyh avtomorfizmov od ( K).

V teoremu 7 trěba samo položiti (r=1) i ( S_1= S_2= K).

Slědujuča dva teorema pokazyvajut upotrěbljivost dosěga razvitoj obćej teorije za razmatranje specialnyh pytanj.

Teorem 9. Jedino nekomutativno tělo konečnogo stupenja, čiji centar jest polje (R) realnyh čisl, jest tělo kvaternionov.

Dokaz. Neka ( K) bude nekomutativno tělo s centrom (R) (konečnogo ranga nad (R)). Po teoremu 6 stupenj od ( K) nad (R) jest kvadrat stupenja (t) nekogo maksimalnogo komutativnogo podpolja od ( K); a poneže ono može biti samo polje izomorfno s poljem kompleksnyh čisl, jest (t=2), a ( K) imaje stupenj 4 nad (R). Neka ( Z_1) bude maksimalno komutativno podpolje od ( K); tada možno jest položiti ( Z_1=R(i)), gdje (i^2=-1). Ale tada takože ( Z_2=R(-i)) jest -- kako množstvo sovpadajuće s ( Z_1) -- polje izomorfno s ( Z_1), a izo-

morfizm jest zadany posrědstvom (i -i). Po teoremu 7 postojí tedy element (j^* K) s

Rang od ( Z_1(j^)) nad ( Z_1) jest nyně najmenej 2, bo (j^) ne može naležati k ( Z_1). Tedy ( Z_1(j^*)) imaje rang 4 nad (R), jest ravno ( K), i možno jest položiti:

Zaradi

(j^2) jest komutativen s vsimi elementami od ( K), naleži k centru (R), a (j^2) jest realno čislo (r). (r) ne može biti pozitivno, bo inače polinom (x^2-r) v komutativnom polju (R(j^)) imel by četyri korenja (+ r,- r,+j^) i (-j^*). Tedy (j^*2=-m^2,\ m R). Položimo (j=j^*m^-1); tada (j^2=-1), a (1,i,j,k=ij) sut jedinice kvaternionov, čto bylo dokazati.

Dokaz očividno važi za vsako algebraično realno zatvorjeno polje vměsto (R).

Teorem 10 (teorem od Wedderburna). Vsako tělo iz konečnogo čisla elementov jest komutativno.

Dokaz. Neka ( K) bude tělo s konečnym čislom elementov, a ( P) jego centar. Neka (t^2) bude stupenj od ( K) nad ( P). Vsa maksimalna komutativna podpolja od ( K) imajut stupenj (t) nad ( P), tedy imajut jednako mnogo elementov; po poznatom teoremu iz teorije Galoisovyh polj (teorem od Moorea) ona sut izomorfne, a te izomorfizmy, poneže vsako Galoisovo polje jest Galoisovo razširjenje svojego prostogo polja, možno jest izbrati tako, že vsaky element od ( P) odpovědaje samomu sebe. Po teoremu 7 vsa maksimalna komutativna podpolja od ( K) nastavajut tedy iz jednogo ( Z) transformacijoju. Ale ( K) jest množstvo sjedinenja vsih svojih maksimalnyh komutativnyh podpolj. (Priloženje jednogo elementa k ( P) stvarjaje komutativno polje). Ako nyně razmatramo samo multiplikativnu grupu ( K^) od ( K) (( K) bez nuly), dostali jesmo, že ( K^) jest množstvo sjedinenja podgrup konjugovanyh podgrupě ( Z^). Ale v slučaju (t>1) to davaje protivrěčnost. Bo ako ( K^) sadržuje (M) elementov, ( Z^) (N) elementov, a (L) jest indeks od ( Z^) v ( K^*), to važi (M=NL), a čislo različnyh konjugovanyh podgrup jest najvyše (L). Čak ako to čislo bylo by ravno (L), da by vse konjugovane podgrupy zajedno izčrpale cělu grupu, nikake dvě iz njih ne směli by iměti obći element. Ale vse imajut obći element jedinice.

§ 21. Galoisova teorija nekomutativnyh těl

Pod (G) razumějemo Galoisovu grupu od ( K) vzhodno k njegovomu centru ( P). Po teoremu 8 (G) jest izomorfna s ( G= K^/ P^); smatramo toj izomorfizm ustanovjenym. Podgrupu (H) od (G) nazyvamo zatvorjenoj, ako posrědstvom izomorfizma (G K^/ P^) jej priręđena podgrupa ( H^) od ( K^) po dodanju nuly postavaje tělom.

Teorem 11. Glavny teorem Galoisovoj teorije. Zatvorjene podgrupy (H) od (G) i těla ( S) medžu ( P) i ( K) možno jest jednoznačno vzajemno priręditi tako, že ako (H) i ( S) odpovědajut jedno drugomu, (H) jest invariantna grupa od ( S), a ( S) invariantno tělo od (H).

Dokaz. Razděljamo naš teorem na tri čestne teoremy

Invariantna grupa (H) těla ( S) jest zatvorjena. Ako ( S) imaje invariantnu grupu (H), to ( S) jest invariantno tělo od (H). Ako (H) imaje invariantno tělo ( S), to (H) jest invariantna grupa od ( S).

Invariantnoj grupě (H) těla ( S) posrědstvom izomorfizma (G K^/ P^) priręđeno jest množstvo ( H^*) vsih nenulovyh elementov od ( K), ktore sut po elementah komutativne s ( S). Zajedno s 0 ona očividno tvoręt tělo, t. j. (H) jest zatvorjena.

Treti čestny teorem svodimo na vtory. Tělu ( S) priręđena jest podgrupa (S) od (G), jmenno podgrupa, prinaležeča k ( S^/ P^), od (G). Jednako grupě (H) prinaleži podtělo ( H) od ( K), i jest (H H^/ P^). Ako ( S) jest invariantno tělo od (H), to ( S) sostoji se iz vsih s ( H) po elementah komutativnyh elementov od ( K); možno jest tedy takože kazati: (S) jest invariantna grupa od ( H). Sootvětno: Ako (H) jest invariantna grupa od ( S), to ( H) jest invariantno tělo od (S). Zato treti čestny teorem možno jest formulovati takože ovako:

[(3').] Ako ( H) imaje invariantnu grupu (S), to ( H) jest invariantno tělo od (S), a to jest ravno vtoromu čestnomu teoremu, ktory ješče trěba dokazati.

[3.] Toj dokaz teče, osim několiko malyh razlika, kako v komutativnom slučaju:

Konstruujemo s ( K) recipročno izomorfno tělo (K), čiji centar identifikujemo s ( P). Vmesto avtomorfizmov od ( K) možno jest razmatrjati recipročne izomorfizmy od ( S) s (K).

Znovu hočemo dokazati pomoćnu lemu, analognu teoremu o prodolženju, upotrěbjenomu v komutativnom slučaju:

Neka ( S) i ( T) budu těla medžu ( P) i ( K),

Tvrdimo, že vsaky recipročny izomorfizm od ( S) na podtělo od (K) (recipročno predstavjenje prvogo stupenja od ( S) v (K)) možno jest na najmenej toliko načinov prodolžiti do recipročnyh izomorfizmov od ( T), koliko ukazuje stupenj (s) od ( T) nad ( S).

Těla ( P), ( S), ( T), ( K) razširjajut se s (K)

Po teoremu 1 na str. 20 vsako ( S_K) jest dvustranno prosto i polno reducibilno, a prosti lěvi idealy -- medžu soboju operatorno izomorfne -- sut moduly predstavjenja za jedinu klasu ireducibilnyh predstavjenj od ( S) v (K). Poneže ta klasa predstavjenj imaje stupenj 1 -- bo po konstrukciji od (K) v (K) postojut těla recipročno izomorfne s ( S) -- vsi prosti lěvi idealy imajut rang 1, t. j. sistem jest suma toliko lěvyh idealov, koliko ukazuje njegov stupenj nad ( P)

Tada jest

Vsaky ideal ( T_K E_ ) razpada se na (s) prostyh idealov, bo

tedy

Predstavjenje, dano posrědstvom (K e_i^( )), od ( T) jest prodolženje predstavjenja, zadanogo posrědstvom (K E_ ), od ( S), bo ako ( S), to jest

Nyně trěba dokazati samo, že predstavjenja dane posrědstvom (K e_i^( )) sut vse različne. V komutativnom slučaju to bylo jasno, bo ona naležali k različnym klasam predstavjenj. Tut ona, nasuprot, vse naležet k istoj klase predstavjenj, zato trěba razmatrjati same predstavjenja. Za to razmatrajemo dane posrědstvom (K e_i^( )) (K)-homomorfizmy cělogo ( T_K); oni sut uže cělkom zadane, ako znajemo predstavjenja od ( T), bo za konstrukciju cělogo homomorfizma dostatočno jest znati, kako sut predstavljene bazove elementi. Možno jest tedy ograničiti se na dokaz, že posrědstvom (K e_i^( )) dane homomorfizmy od ( T_K) sut vse različne. Ako (e_i^( )) jeden raz predstavimo posrědstvom modula predstavjenja (K e_i^( )), a drugi raz posrědstvom (K e_j^( )), tada zaradi

prvy raz najdemo 1, a zaradi

drugi raz 0 kako predstavljajuči element od (e_i^( )); oba predstavjenja sut tedy naistino različne. (Točno teže zaključky možno jest priměniti takože v komutativnom slučaju, ale tam sut nepotrěbne).

Od nyně zaključujemo točno kako na str. 10 i str. 16. Neka (H) bude invariantna grupa od ( S), a ( T) invariantno tělo od (H). Elementi od (H) sut vsa prodolženja identičnogo avtomorfizma od ( S) na cělo ( K). Poneže po upravo dokazanoj pomoćnoj lemi medžu nimi postojut najmenej (s) različne na ( T), mora biti (s=1), ( T= S), čto bylo dokazati.