Glava V. Faktorne sistemy — Sbornik / Biblioteka | Межславянский лексикон

Glava V. Faktorne sistemy

§ 22. Grupa těl s danym centrom

Za osnovu našego razmatranja izberemo ustanovjeno komutativno polje ( P). Množstvo vsih matricnyh kolc ( K_r), čija těla avtomorfizmov ( K) sut těla konečnogo ranga nad ( P) s samym ( P) kako centrom, jest multiplikativno zatvorjeny sistem vzhodno k ,,obrazovanju prěmogo produkta``. Prěmy produkt dvoh takyh kolc ( K_r) i ( L_s) jest prosto kolco ( K_r L_s), ktoro nastava iz ( K_r) razširjenjem osnovnogo polja do ( L_s):

Po pripomněnke na str. 22 to obrazovanje prěmogo produkta jest komutativno:

Tvrdženje, že sistem vsih ( K_r) jest multiplikativno zatvorjeny, ne znači ničto drugo než, že ( K_r L_s= K_r L_s) jest vsečasno znovu matricno kolco, čije tělo avtomorfizmov ( M) imaje centar ( P) -- konečny rang vzhodno k ( P) razuměje se sam soboju. Po teoremu 1 na str. 20 ( K_r L_s) jest dvustranno prosto i polno reducibilno, tedy matricno kolco nad nekym razširjenym tělom ( M) od ( P). Fakt, že centar od ( M) jest ravny ( P), neposrědnje slěduje iz toga, že prvo ( P) sigurno jest sadržano v centru, a drugo ono mora biti sadržano v centru ( P) od ( K) (ili od ( L)). Množenje ( K_r L_s) očividno jest asociativno. ( K_r) tvoręt multiplikativno zatvorjeny sistem, ale ne grupu, bo ako ( K_r L_s= M_m), to sigurno (m rs); tedy ne bude možno najdti ( L_s), ktoro zadovoljava jednačenje ( K_r L_s= M_m), ako (r>m).

Nyně sdružujemo vse ( K_r) s jednakym ( K) v klasu (\ K\). Tada važi: Ako ( K_r) i ( K_r') naležet k istoj klase (\ K\), a ( L_s) i ( L_s') k istoj klase (\ L\), to takože ( K_r L_s) i ( K_r' L_s') naležet k istoj klase. Dostatočno jest pokazati, že ( K_r L_s) naleži k istoj klase kako ( K L), tedy že ako ( K L= M_m), to takože ( K_r L_s) jest matricno kolco nad ( M). To jest legko viděti: Jest

Matricno kolco (r)-togo stupenja nad ( M_m), a to očividno jest matricno kolco (mr)-togo stupenja nad ( M). Tada prodolžujemo točno tako

čim naše tvrdženje uže jest dokazano. Zapomnimo, že iz ( L K= M_m) slěduje ( K_r L_s= M_mrs).

Iz dokazanogo slěduje: ako produkt dvoh klas (\ K\) i (\ L\) definujemo kako klasu produkta jednogo reprezentanta od (\ K\) s jednim reprezentantom od (\ L\), ta definicija ne zavisi od izbora reprezentantov.

Priręđenje ( K_r \ K\) jest tedy homomorfizm sistema vsih ( K_r) na množstvo vsih klas (\ K\); množstvo ( K) klas (\ K\) jest tedy multiplikativno zatvorjeny sistem. Dokazujemo, že ( K) jest grupa. Kako se neposrědnje vidi, element jedinice jest klasa (\ P\), ( K_r P= K_r).

Ostaje samo dokazati za vsaku klasu (\ K\) postojanje klasy (\ K^-1). Pokazuje se, že trěba položiti (\ K^-1=\ K\), gdje (\ K\) označaje tělo recipročno izomorfno s ( K). Drugymi slovami: ( K K) mora biti matricno kolco nad ( P), ili ako ( K) imaje rang (t^2), tedy ( K K) rang (t^4) nad ( P), to ( K K) mora razpadati se na (t^2) prostyh lěvyh idealov. To slěduje iz toga, že prosty lěvy ideal od ( K K), kako modul predstavjenja nekogo ireducibilnogo recipročnogo predstavjenja od ( K) v ( K) -- ktoro jest prvogo stupenja -- imaje rang 1 nad ( K), tedy rang (t^2) nad ( P).

( K) hočemo nazyvati prostym tělom, ako medžu ( P) i ( K) ne imaje těla, čiji centar takože jest ( P).

Teorem. Vsako tělo ( K) jest prěmy produkt prostyh podtěl ( K^(i)),

Dokaz. Dostatočno jest pokazati, že ako ( K^(1)) jest podtělo od ( K) s centrom ( P), to postojí podtělo ( S) od ( K) s centrom ( P), ktoro zadovoljava jednačenje

V vsakom slučaju postojí klasa (\ S\) s svojstvom

jmenno

Tada jest

Ale ( K^(1) S_ ) jest matricno kolco stupenja najmenej ravnogo ( ), tedy ( t^2). ( S_ K^(1) K) mora razpadati se na proste idealy ranga 1 nad ( K), bo ( K^(1)) dopušča recipročna predstavjenja prvogo stupenja v ( K); zato ( t^2), (

Tedy samo ( K^(1) S) mora biti tělo, i

( K^(1) S) jest tělo avtomorfizmov prostyh lěvyh idealov v jednom razkladu od ( K_t^2), a ( K) tělo avtomorfizmov prostyh lěvyh idealov v drugom razkladu od ( K_t^2). Ale poneže vsaka dva različna lěva ideala od ( K_t^2) možno jest vměstiti v jeden razklad, ( K) i ( K^(1) S) sut izomorfne, a toj izomorfizm možno jest izbrati tako, že ( P) ostavaje po elementah nepodvižno. Zato po teoremu 7 na str. 25 toj izomorfizm jest stvorjen vnutrnym avtomorfizmom od ( K_t^2).

( ^-1 K^(1) ) jest s ( K^(1)) izomorfno podtělo od ( K); zato po teoremu 7 na str. 25 s odpovědajučim ( ) iz ( K):

tedy

čim jest tvrdženje dokazano.

§ 23. Faktorne sistemy

V slědujučih razmatranjah prědpokladamo, že osnovno polje ( P) jest sovršeno; vmesto toga možno jest učiniti obćejše prědpoloženje, že razmatrajut se samo taka nekomutativna ( K) s centrom ( P), ktore imajut svojstvo, že vsako ( K_r) sadržuje maksimalno komutativno podpolje prvogo roda nad ( P). (Kako medžutym pokazal Köthe, to važi za vsako ( K).)

Pod (Z) razumějemo razpadno polje nekomutativnogo těla ( K) s centrom ( P); neka ireducibilno predstavjenje ( Z) od (Z) v ( K) bude stupenja (r), tada ono jest maksimalno komutativno podpolje od ( K_r). Neka ( ) bude Galoisovo polje od (Z), tedy

(n) jest stupenj od (Z) nad ( P). Za s ( ) razširjeno kolco ( K_r) dostava se takože razklad

( l_i) očividno sut lěvi idealy. Oni sut čak prosti lěvi idealy, bo poneže (Z) jest razpadno polje, ( K_r ) jest matricno kolco stupenja (r t=n) nad ( ). (Teorem 4, str. 23, (n=rt) na str. 22.) Tako dostany razklad od ( K_r ) na proste lěve idealy osoblivo jest prilagodženy algebraičnym svojstvam od ( K) i (Z). Ako, kako na str. 18, dějstvo substitucije (S) iz Galoisovoj grupy ( G) od ( / P) na vse elementy od ( K_r ) definujemo tako, že za vsaky ( K_r)-element (z) položimo

to idealy ( l_i) sut konjugovane, t. j. priměnjenje jednogo (S) na neko ( l_j) davaje drugo

bo vsaka nerazloživa komponenta jedinice (e_j) mora prěhoditi v neku drugu (e_i). (Vidi takože str. 11.)

Modul predstavjenja (e_i ) obrazuje ( Z) na podpolje (Z_i) od ( ). (e_i) uže leži v ( Z_Z_i), bo predstavjenje (Z_i) od ( Z) uže jest sadržano v (Z_i), tedy ( Z_Z_i) mora odcěpiti modul predstavjenja (e_iZ_i). Neka (\Z_i,Z_k\) bude kompozitum od (Z_i) i (Z_k). ( K_r\Z_i,Z_k\) odcěpja dva lěva ideala

ktore sut proste, bo važi ( l_i= K_r l_i). Tedy jest

(c_ ^(ik)) jest sistem matricnyh jedinic od ( K_r\Z_i,Z_k\).

Vsaky izomorfizm (a_i a_k) od ( l_i) na ( l_k) s ( K_r\Z_i,Z_k\) kako oblastju operatorov opreděljen jest elementom (p_ik) s (e_i p_ik), bo tada jest (a_i=a_ie_i a_ip_ik), tedy ( l_i p_ik= l_k). Vsi možne taki (p_ik) očividno sut

Posrědstvom (a_i a_ip_ik) tada jest zadany takože operatorny izomorfizm od ( l_i) na ( l_k). Nyně izbirajemo ustanovjene sistemy takyh (p_ik), nalagajuči jim uslov konjugovanosti.

Dějstvo jednogo (S) na indeks (i) neka bude definovano tako

Za vsaky par indeksov (( , )) postojí najmenej jeden konjugovany par (S( , )) formy (S( , )=(1,k)). Iz vsakoj klasy konjugovanyh parov indeksov izbiraje se ustanovjeny par ((1,k)), a tada za toj ((1,k)):

inače se položi libovoljno, a tada, ako (S(1,k)=( , )),

(p_ ) tada naistino imaje formu

Bo dějstvo od (S) na izomorfizm

davaje izomorfizm

Ako pod (c_ ) razumějemo sistem matricnyh jedinic od ( K_r ), jasno jest, že (p_ ) možno takože zapisati v formě

relacije

imajut tedy kako poslědicu relacije

Te (n^3) veličiny ( ) tvoręt faktorny sistem od ( K) pri izbranju od (Z), ktory prinaleži k sistemu (p_ik) ,,pseudomatricnyh jedinic``.

( ) sut konjugovane: Iz (S(i,k,j)=( , , )) slěduje

Vsaky sistem (p_ik^*) pseudomatricnyh jedinic nastava iz nekogo sistema (p_ik) tako, že početne (p_ik) množimo libovoljnymi ( _ik 0) iz (\Z_i,Z_k\):

i tada znovu, ako (S(1,k)=( , )), položimo

Tedy jest

s ( _ ) iz (\Z_ ,Z_ \); ( _ ) sut konjugovane, iz (S(i,k)=( , )) slěduje (S( _ik)= _ ). Ako ( ^) jest faktorny sistem prinaležeči k (p_ik^), to jest

Faktorne sistemy ( ^) i ( ) nazyvajut se asociovanymi (jednako (p_ik^) i (p_ik)); vsi faktorne sistemy od ( K) pri izbranju od (Z) tvoręt klasu (\ \) asociovanyh faktornyh sistemov.

Klasa (\ \) ne zavisi od toga, ktoro predstavjenje ( Z) od (Z) v ( K_r) izberemo za osnovu jej definicije. Bo prěhod od jednogo ( Z) k drugomu možno jest učiniti transformacijoju elementom ( ) iz ( K_r), ktory jest tedy ( G)-invariantny; zato iz sistema (p_ik), prinaležečego k ( Z), nastava sistem

ktory prinaleži k ( Z'); faktorne sistemy od (p_ik) i (p'_ik) ale sut identične.

Faktorny sistem ne jest ničto drugo než tablica množenja od ( K_n ), prilagodžena osoblivym algebraičnym svojstvam od ( K).

§ 24. Množenje faktornyh sistemov

Vmesto o razpadnom polju nekomutativnogo těla ( K) govorimo takože o razpadnom polju od (\ K\); to imaje smysl, bo spolu s ( K_Z) takože vsako kolco ( K_rZ) razpada se na absolutno ireducibilne komponenty, i obratno.

Vsaka dva těla ( K), ( S) s centrom ( P) imajut obća razpadna polja, napr. kompozitum razpadnogo polja od ( K) i razpadnogo polja od ( S).

Teorem 1. Klasy (\ K\), ktore imajut polje (Z) kako razpadno polje, tvoręt podgrupu ( K_Z) grupy ( K) vsih (\ K\).

Dokaz. Ako ( K) i ( S) imajut (Z) kako razpadno polje, to ( K_Z) i ( S_Z), tedy takože (( K S)_Z), razpadajut se na absolutno ireducibilne komponenty, t. j. (Z) jest razpadno polje od (\ K S\) (teorem 4 na str. 23).

Recipročno izomorfne těla imajut vsa razpadna polja obće.

Pomoćno razmatranje.

neka budu razklady od ( K_r), ( P_m) na proste lěve idealy; tada

jest razklad od ( K_rm) na (rm) nenulovyh, tedy prostyh lěvyh idealov. Zato vsaky (r)-členny lěvy ideal (A) od ( K_rm) jest svęzany s (r)-člennym lěvym idealom

posrědstvom vnutrnogo avtomorfizma od ( K_r)

Ako ( K_r = l_1+ + l_n) jest razklad od ( K_r ) na konjugovane lěve idealy, prinaležeči k nekomu ( Z) v ( K_r), ( l_i= K_r e_i), to zaradi

imajemo razklad od (A_ ) na konjugovane lěve idealy. Jest

ako položimo ( ^-1e_i a (E') označaje jedinicu od ( z'_1).

Vsaky drugy razklad

na konjugovane lěve idealy nastava iz (1) transformacijoju s ( K_rm)-elementom ( )

Dokaz jest neposrědnja poslědica slědujučej pomoćnoj lemy:

Pomoćna lema. Neka (A) bude lěvy ideal iz ( K_n), i neka

bude -- po prědpoloženju postojači -- razklad na konjugovane lěve idealy; pri tom možno jest -- bez ograničenja obćosti -- prědpokladati, že ( l_i) sut konjugovane.

Neka ( z) bude operatorno izomorfny s (A); i neka važe teže prědpoloženja:

(tedy ( q_i) i (e_i^*) sut konjugovane). Tada postojí regularny element ( ) iz ( K_n), tako že ( q_i= ^-1 l_i ).

Dokaz. 1. Fakt, že (e_i) možno prědpokladati konjugovanymi, slěduje tako: Ako (e_1) jest libovoljny tvoreči idempotent od ( l_1), tedy ( l_1= K_n e_1), priměnjenjem avtomorfizma na ( ) slěduje ( l_i= K_n e_i), gdje (e_i) jest konjugovany s (e_1) i znovu tvoreči idempotent.

Vsako ( l) jest izomorfno s vsakym ( q); bo ( l), kako konjugovane, vse imajut jednaku (absolutnu) dolžinu, čisla od ( l) i ( q) sut jednaka, a ( z) i (A) sut po prědpoloženju izomorfne.
Priręđenjem

neka budu ustanovjene izomorfizm medžu ( l_1) i ( q_1) i njegov obrat. Priměnjenjem vsih avtomorfizmov (3) prěhodi v

čim sut tedy ustanovjene izomorfizmy ( q_i= l_is_i) i ( l_i= q_it_i).

Nyně položimo:

tada dostava se:

pričem ( ) i ( ^*) ležet v ( K_n); dostava se

Ako nyně položimo: (e= E+E= E^+E^) i s tym:

to ( A) i ( z) sut takože izomorfne; ako tedy

sut obratne izomorfizmy, i ako položimo:

dostava se:

i zato

K razkladu (1) možno jest znovu opreděliti elementy

ktore posrědstvom (e'_iE' r_ik) davajut operatorne izomorfizmy medžu idealami ( l'_i z'_1) i ( l'_k z'1), i takože zadovoljavajut uslov konjugovanosti (S(r_ik)=r ), ako (S(i,k)=( , )). Oni posrědstvom

opreděljajut faktorny sistem ( ) od (A_ ). Nyně jest važno, že za opreděljenje faktornyh sistemov od (A_ ) možno jednako upotrěbiti libovoljny razklad (2). Bo ako sistem (r_ik), prinaležeči k (1), zaměnimo s (r'_ik= ^-1r_ik ), to (e_i^* r'_ik) davaje operatorny izomorfizm od ( q_i) na ( q_k); (r'_ik) zadovoljavajut uslov konjugovanosti, bo ( ) jest ( q)-invariantny, a (r'_ik) imajut tojže faktorny sistem kako (r_ik).

Ako izberemo sistem pseudomatricnyh jedinic (p_ik) od ( K), to

jest (r_ik)-sistem od (A_ ) s jednakym faktornym sistemom. Tedy imajemo pomoćnu lemu:

Teorem. Faktorne sistemy od (A_ ), obrazovane s pomoćju libovoljnogo razklada

od (A_ ) na konjugovane lěve idealy, sut jednaka faktornym sistemam od ( K_r).

Slědujuči teorem pokazuje, že ako ( _ik^(j)), ( _ik^(j)) sut faktorne sistemy od (\ K\), (\ S\) pri izbranju od (Z), to ( _ik^(j)= _ik^(j) _ik^(j)) jest faktorny sistem od (\ K S\) pri izbranju od (Z). Zato imaje smysl definirati produkt (\ \ \ \) dvoh klas asociovanyh faktornyh sistemov (\ \), (\ \) kako klasu (\ _ik^(j) _ik^(j)\).

Teorem 2. Neka (\ K\) pri izbranju od (Z) imaje klasu (\ \) asociovanyh faktornyh sistemov. Klasy (\ \) vsih (\ K\) s razpadnym poljem (Z) tvoręt grupu, ktora jest posrědstvom (\ K\ \ \) izomorfno odnesena na ( K_Z).

Za dokaz trěba pokazati dvoje:

Ako (\ K\) imaje faktorny sistem ( _ik^(j)), a (\ S\) ( _ik^(j)), to ( _ik^(j)= _ik^(j) _ik^(j)) jest faktorny sistem od (\ K S\).
Ako (\ K\) imaje faktorny sistem ( _ik^(j)=1), to ( K= P).
Neka stupenji ireducibilnyh predstavjenj od (Z) v ( K), ( S) budu (r,s)

razklady na konjugovane idealy, pričem ( l_i) i ( m_i) trěba da budu vzajemno odpovědajuči idealy (izvedene iz odpovědajučih komponentov od ( Z_r), sootvětno od ( Z'_r)). Tada jest

razklad na (n^2) nenulovyh, tedy prostyh idealov. Zato jest

ideal absolutnoj dolžiny (n). (A_1) jest invariantny pri vsih (S), bo ( m_i) transformujut se tako kako ( l_i); zato postojí ( K_r S_s)-ideal (A) s

(pomoćna lema, str. 18).

Ako (u) jest stupenj ireducibilnogo predstavjenja od ( Z) v tělu avtomorfizmov ( M) prostyh idealov od ( K S), to (A) razpada se na (u) prostyh idealov (bo absolutna dolžina jest (n)). Naša pomoćna lema davaje tedy, že faktorne sistemy od (A) sut takože faktorne sistemy od ( M).

Ale razklad od (A_ ) na konjugovane idealy, upotrěbjeny za definiciju, jest:

Ako ( _ik^(j)), ( ik^(j)) prinaležet k pseudomatricnym jedinicam (p_ik), (q_ik) od ( K), ( S), to očividno (r_ik=p_ikq_ik) jest sistem pseudomatricnyh jedinic od (A ) vzhodno k razkladu (3); k tomu prinaležeči faktorny sistem ( _ik^(j)= _ik^(j) _ik^(j)) jest tada takože jeden iz faktornyh sistemov od ( M).

Neka (\ K\) imaje faktorny sistem ( _ik^(j)=1) s (p_ik) kako prinaležečimi pseudomatricnymi jedinicami i razkladom

na konjugovane idealy. Trěba dokazati ( K= P), ili ( K_r= P_r), ili postojanje (n)-člennogo lěvogo ideala ( l) od ( K_r) -- bo prosty lěvy ideal od ( K_r) imaje rang (t^2r), tedy (n=t^2rh) s cělym (h), ili mora biti (t=1).

Ideal od ( K_r )

ne jest nula -- (e_1 _i p_1i 0) -- i jest prosty, tedy ranga (n). ( ) jest ( G)-invariantny,

bo ( _ik^(j)=1). Zato

Tedy ( l_ ), gdje ( l) označaje ( K_r)-ideal (n)-togo ranga.

Teorem 3. Vsaky element (\ K\) grupy ( K) imaje konečny red ( ), ktory jest dělitelj absolutnogo čisla komponentov (t) od ( K).

Prvy dokaz (Brauer). Izberemo dva razklady od ( K_r ) na konjugovane lěve idealy

Neka posrědstvom (a_i a_ir_ik), specialno (e_i r_ik), bude zadany operatorny izomorfizm od ( l_i) na ( z_k). Pri njegovom obratu (e_k^) prěhodi v neko (s_ki) iz ( l_i), (s_ki r_ik=e_k^). Ako izberemo (r_ik) konjugovanymi

to (s_ik) takože sut konjugovane:

tedy (S(s_ki)=s_ ). Poneže posrědstvom (e_i e_ir_ijs_jk) jest zadany operatorny izomorfizm od ( l_i) na ( l_k), mora biti

Poneže (r)-elementi, (s)-elementi i (p)-elementi sut konjugovane, ( ) takože sut konjugovane: Iz (S(i,j,k)=( , , )) slěduje

slěduje

ili, poneže (p_ijp_jk=p_ik _ik^(j)):

Ako položimo ( _ = _ _ ^( )), to ( _ ) jest invariantny pri vsih (S), ktore ostavjajut ( ) i ( ) nepodvižnymi, leži tedy v (\Z_ ,Z_ \); nadto ( _ ) sut konjugovane, bo ( _ ^(j)) sut konjugovane. Poneže nyně

iz formuly za asociovane faktorne sistemy (str. 32) slěduje, že ( _ik^(j)n) jest asociovany s sistemom ( _ik^(j)=1); zato, poneže red od (\ K\) jest ravny redu od (\ \), red od (\ K\) jest dělitelj od (n). Ako osoblivo izberemo ( Z) kako maksimalno komutativno podpolje od ( K), to jest (n=t), tedy ( ) jest dělitelj od (t).

Drugy dokaz (Schur). Toj dokaz osnovan jest na predstavjenju (p_ik) posrědstvom regularnyh matric reda (n), (P_ik), v ( ), ktore zadovoljavajut jednaky uslovy konjugovanosti kako (p_ik). (P_ik) leži v (\Z_i,Z_k\); ako (p_ik) prinaleži k (P_ik), to (S(p_ik)) prinaleži k (S(P_ik)). To predstavjenje jest homomorfno; t. j. ako (P_ik) prinaleži k (p_ik), a (P_kj) k (p_kj), to (P_ikP_kj) prinaleži k (p_ikp_kj), ili

((P_ik_1P_k_2j=0) za (k_1 k_2) ne može važiti). Ako imajemo to predstavjenje od (p_ik), zaključujemo tako: Prěhod k determinantam davaje:

tedy, poneže matrice (P_ik) sut regularne, (|P_ | 0),

gdje jest položeno (|P_ |= _ ). I potom dalje kako v Brauerovom dokazu.

Predstavjenje od (p_ik) posrědstvom matric (P_ik):

Idealy ( l_i) razklada

sut recipročne moduly predstavjenja od ( K_r) v ( ) (teorem 2 na str. 32). Ako za osnovu izberemo ustanovjenu bazu (k_1, ,k_n) od ( K_r) vzhodno k ( Z), to jest

tedy

Iz toga slěduje

Dvě bazy ((k_1e_i, ,k_ne_i)) i ((k_1p_ik, ,k_np_ik)) od ( l_k) možno jest prěvesti jednu v drugu množenjem regularnoj matricoju (P_ik):

Iz toga slěduje konjugovanost od (P_ik):

t. j.

Iz toga znovu slěduje, že (P_ik) leži v (\Z_i,Z_k\) -- jmenno v invariantnom polju tyh (S), ktore ostavjajut (i) i (k) nepodvižnymi. Homomorfnost takože jest legko viděti:

Teorem 3 možno jest posiliti:

Teorem 4. Ako (p) jest prosty faktor absolutnogo čisla komponentov (t) od ( K), to (p) vhodi takože v red ( ) od (\ K\). (Brauer)

Dokaz. Neka (p^ ) bude najvyšša potencija od (p), ktora se nalazi v stupenju (n) razpadnogo polja (Z), ( H) podgrupa reda (p^ ) od ( G) (ona postojí po teoremu od Sylowa, Speiser 1. izd. § 19, str. 42, teorem 43), a (T) invariantno polje od ( H).

Tada ([ :T]=p^ ) i ([T: P]=n/p^ ) ne jest dělivy posrědstvom (p), a tym vyše ne posrědstvom (t). (T) tedy ne jest razpadno polje; tělo avtomorfizmov ( S) od ( K_T= S_m) jest različno od ( P). Ale poneže ( S) imaje razpadno polje ( ), čiji stupenj nad centrom (T) od ( S) jest ravny (p^ ), absolutno čislo komponentov od ( S) jest potencija (p^ >1), zato po teoremu 3 red od (\ S\) jest potencija (p^ >1) od (p). Poneže iz

slěduje, to ( 0 p^ ), čto bylo dokazati. (Brauer dal priměry, že ne mora biti ( Untersuchungen über die arithmetischen Eigenschaften von Gruppen linearer Substitutionen II. Math. Zeitschr. 31, str. 733 § 5, (1930).).

Teorem 5. Neka (t), razloženo na proste faktory, bude (t= _i p_i^ _i), ( _i 1), (p_i p_j), ako (i j). Tada jest ( K= K^(1) K^(2) ), gdje ( K^(i)) jest tělo s absolutnym čislom komponentov (p_i^ _i).

Dokaz. Po teoremah 3 i 4 red ( ) od (\ K\) jest

Posrědstvom (\ K\) stvorjena ciklična podgrupa ( Z) od ( K) jest prěmy produkt podgrup ( Z_i) redov (p_i^ _i), tedy

iz čego dostava se, že vsako razpadno polje (Z) od ( K) jest takože razpadno polje od ( K^(i)), tedy absolutno čislo komponentov (p_i^ _i) od ( K^(i)) děli (t), ( _i _i). Neka ( _i K^(i)= K_m), tedy

zato

§ 25. Normalno predstavjenje od ( K_r) s Galoisovym maksimalnym komutativnym podpoljem

Neka maksimalno komutativno podpolje ( Z) od ( K_r) bude Galoisovo. (n) avtomorfizmov (H_i) od ( Z/ P) sut po teoremu 7 na str. 25 vnutrne avtomorfizmy od ( K_r), t. j. postojut elementi (u_i) s

Vsaky (u_i) jest opreděljen do nenulovogo faktora (y) iz ( Z). Bo ako (u^-1zu=u'^-1zu') za vse (z) iz ( Z), to slěduje ((u^-1u')^-1z(u^-1u')=z) za vse (z Z). Priloženje od (u^-1u') k ( Z) davaje tedy komutativno podpolje od ( K_r), ktoro zaradi maksimalnosti od ( Z) sovpada s ( Z). Tedy (u^-1u') leži v ( Z).

Dokazujemo slědujuči teorem:

Za to očividno jest potrěbna samo linearna nezavisnost od (u_i) vzhodno k ( Z). Dokaz se izvodi neposrědnim zadanjem od (u_i). Neka bude

i neka (p_ik) bude sistem pseudomatricnyh jedinic vzhodno k tomu razkladu. Na str. 8 označili jesmo s ( _i) izomorfizm od ( Z) na (Z), dany posrědstvom modula predstavjenja (e_iZ), tako že

sut (n) avtomorfizmov od (Z) (ale samo koliko se oni priměnjujut na samo (Z), ne vyše za tut vsečasno prědpokladano dějstvo od (S_i) na cělo ( K_rZ)!). Zaradi prostoty hočemo vměsto ( _i) v (S_i= _i _1^-1) pisati ( _S_i), a tada takože pri (p_ik) zaměniti indeksy (i,k) prinaležečimi avtomorfizmami (S)

(n) avtomorfizmov od ( Z) sut ((E) jest identična substitucija)

Numerovanje od (H) nyně izbirajemo tako:

Pri tyh uslovjah možno jest položiti

(u_T^-1) postojí:

(Značenje od ( ) vidi na str. 32).

(u_T) jest element od ( K_r), bo jest ( G)-invariantny:
(u_T) stvarjaje (H_T), t. j. ako (z Z), to (u_T^-1zu_T=H_T(z)), ili

Jest bo

tedy

S drugoj strany imajemo

i važi slědujuće jednačenje za dějstvo na elementy od ( Z)

tedy

t. j.

tedy

(u_S) sut linearno nezavisne vzhodno k ( Z).

zaradi (z= _S _S(z)e_S) slěduje

tedy: (z_T=0).

Od nyně vměsto (H_S(z)) pišemo (z^S), ,,simbolična potencija``. Za (u_S) morajut važiti relacije slědujučego vida

Poneže

tedy

slěduje

Sistem od (a_R, T) hočemo nazyvati malym faktornym sistemom od ( K_r); veliki faktorny sistem ( _BC^(A)) i mali faktorny sistem (a_R, T) opreděljajut se vzajemno. K produktu ( _BC^(A) = _BC^(A) _BC^(A)) dvoh velikyh faktornyh sistemov prinaleži produkt (f_R, T = a_R, Tb_R, T) malyh faktornyh sistemov (a_R, T), (b_R, T), priręđenyh k ( _BC^(A)), ( _BC^(A)); to neposrědnje slěduje iz gornjih formul. K velikomu jedinčnomu faktornomu sistemu ( _BC^(A) = 1) prinaleži mali jedinčny faktorny sistem (a_R, T = 1), i obratno.

Možno jest zaměniti (u_S) i (u_S'=u_Sr_S), gdje (r_S 0) jest izbrano libovoljno iz ( Z). K (u_S') prinaleži mali faktorny sistem (a_R,T')

(a_R,T^ ) nazyvajemo asociovanym s (a_R,T). Jest

iz čego

slěduje.

K (u_S' = u_S r_S) prinaleži slědujuči sistem pseudomatricnyh jedinic

mali faktorny sistem (a'_R, T) prinaleži tedy k velikomu faktornomu sistemu ( ^(A) _BC), ktory jest asociovany s faktornym sistemom ( ^(A)_BC), prinaležečim k (a_R, T); asociovane male faktorne sistemy odpovědajut asociovanym velikym faktornym sistemam i obratno. Priręđenje klas (\ \) asociovanyh velikyh faktornyh sistemov k prinaležečim klasam asociovanyh malyh faktornyh sistemov, (\a\), jest izomorfizm grup.

Nyně prěhodimo k predstavjenju od (u_S) posrědstvom matric reda n v ( Z), ktore se sućstveno razlikuje od dosěga razmatranyh predstavjenj.

Ako ( Z)-bazu

od ( K_r) množimo s prava posrědstvom (u_S), nastava

(Regularnu) matricu (A_S), ktora prěvodi (I) v (II),

nazyvamo matricoju, ktora predstavlja (u_S). Predstavjenje se odnosi na vse elementy od ( K_r), ktore kako (u_S) stvarjajut avtomorfizm od ( Z/P), t. j. na vse elementy (u_Sr_S), gdje (r_S 0) jest izbrano libovoljno iz ( Z). Vsi ti elementi tvoręt grupu ( G^), ktora kako normalnu podgrupu sadržuje multiplikativnu grupu ( Z^) od ( Z); faktorna grupa ( G^/ Z^) jest izomorfna s Galoisovoj grupoju ( G) od ( Z/P) tako, že vsaky element jednogo pobočnogo klasa od ( G^) vzhodno k ( Z^) stvarjaje avtomorfizm od ( Z), priręđeny tomu klasu. Ta grupa ( G^*) predstavlja se upravo ukazanym načinom

(u_S A_S)

Ale to predstavjenje ne jest homomorfno, ni recipročno homomorfno; iz

(u_S A_S), (u_T A_T)

ne slěduje (u_Su_T A_SA_T), ale zaradi

To predstavjenje od ( G^*) nazyvamo prěkriženym predstavjenjem. Ako (h_S_1, , h_S_n) jest druga baza od ( K_r) vzhodno k ( Z), i

to iz (III) i (IV) dostava se:

t. j.: Ako (u_S) jest pri (k)-baze predstavljeno posrědstvom (A_S), to pri (h)-baze jest predstavljeno posrědstvom (M^-1A_SM^S), ako (M) jest matrica, ktora transformuje (k)-bazu v (h)-bazu.

Formula (III), ktora definujeme prěkriženo predstavjenje, pokazuje, že prěkriženo predstavjenje stoji v podobnom odnošenju k kolcu ( K_r), kako obyčno recipročno predstavjenje (ale zapisano s prava vmesto s lěva) k svojemu modulu predstavjenja. Razlika nastava, bo vmesto relacije komutativnosti

(vidi str. 5)

pri recipročnom modulu predstavjenja tut

nastupaje.

Prěkriženo predstavjenje od ( G^*) možno jest takože obrazovati posrědstvom bazy nekogo pravogo ideala ( r) od ( K_r). Vsaky pravy ideal od ( K_r) stvarjaje na toj način klasu ekvivalentnyh predstavjenj; pri tom predstavjenja (u_S A_S, u_S B_S) nazyvajut se ekvivalentnymi, ako postojí matrica (M) s (B_S = M^-1A_SM^S).

Vmesto ograničenja na predstavjenja od ( G^) v ( Z), stvorjene pravymi idealami od ( K_r), nyně možno jest obće definirati prěkriženo predstavjenje (m)-togo stupenja od ( G^) v ( Z) tako:

Vsakomu (u_S) odpovědaje matrica (A_S) reda (m) nad ( Z). Iz (u_S A_S), (u_T A_T) slěduje (u_Su_T A_TA_S^T).

Izberemo pravy ( Z)-modul ranga (m)

i ustanovjenjem

činimo go pravym ( G^*)-modulom s relacijoju komutativnosti

cělkom analogno konstrukciji modula predstavjenja k zadanomu predstavjenju na str. 5. Nyně pokazujemo, kako na str. 20, že ( M) postavaje konečnym pravym ( K_r)-modulom posrědstvom ustanovjenja

obće

Pri tom nikako ne jest potrěbno računanje analogno računanju na str. 20, bo pri našem ustanovjenju upotrěbili jesmo ustanovjenu bazu.

Ale po M.Z. § 18 vsaky konečny prosty ( K_r)-modul ( M) jest operatorno izomorfny s prostym pravym idealom od ( K_r); iz toga analogno teoremu 2 na str. 22 zaključujemo, že postojí samo jedna klasa ireducibilnyh prěkriženyh predstavjenj od ( G^*) v ( Z) --- jmenno ona, ktora prinaleži k prostym pravym idealam.

Stupenj toga ireducibilnogo predstavjenja jest (t), gdje (t) jest indeks (absolutno čislo eksponenta) od ( K). To se dostava prostym sčitanjem rangov. Bo stupenj jest ravny rangu (( r: Z)) prostogo pravogo ideala nad ( Z). Nyně na str. 22 važi:

poslědnje zaradi ( K_r = r_1 + + r_r).

ili (n t = ( r: Z) n) slěduje tedy (( r: Z) = t).

§ 26. Množenje prěkriženyh predstavjenj

Doseli jesmo vsegda razmatrali prěkriženo predstavjenje kako predstavjenje od ( G^*). Ale jego možno jest razmatrati takože kako predstavjenje Galoisovoj grupy ( G) od ( Z/P), i to tako, že vsakomu elementu (S) od ( G) priręđajemo matricu (A_S), ktora predstavlja element (u_S) iz ( K_r), stvarjajuči avtomorfizm (S) posrědstvom transformacije -- (u_S^-1zu_S=z^S) --.

Za označenje takogo predstavjenja (S A_S) 1Tako predstavjenje (nezavisno od hiperkompleksnyh sistemov)

(ili transponovano predstavjenje) bylo izhodiščem Speisera (Math. Zschr. 5) pri opreděljenju faktornyh sistemov (a_S,T). Te faktorne sistemy pokazyvajut se tedy identičnymi s tut iz drugoj osnovy uvedenymi. trěba skazati, v ktorom ( K_r) ono jest vzęto, ktore (u_S) i ktore (k_S_1, ,k_S_n) od ( K) nad ( Z) sut upotrěbjene. Zaměna bazy davaje ekvivalentno predstavjenje, a zaměna od (u) davaje asociovane faktorne sistemy (a_S, T); sućstvene sut tedy ( K_r), v ktoryh predstavjenje jest vzęto, t. j. klasa (\a_S, T\) asociovanyh faktornyh sistemov.

Neka nyně budut dane dva taka predstavjenja od ( G).

Pod Kroneckerovym produktom (A B) dvoh matric (A=(a_ik)), (B=(b_ )) razumějemo matricu (A B=(a_ikb_ )).

ženje. Takože (S A_S B_S) jest prěkriženo predstavjenje od ( G), i ono prinaleži k produktu ( K_r S_s), ako (A_S) proizhodi iz ( K_r), a (B_S) iz ( S_s).

. Predstavjenje (S A_S B_S) jest prěkriženo predstavjenje. Neka bude

tedy trěba dokazati:

To ale slěduje iz slědujučego razmatranja:

Ako matrice (A) i (B) predstavimo posrědstvom matričnyh jedinic (c_ik) i (d_ ) (ktore ne imajut ničto obće s matričnymi jedinicami od ( K_r) ili ( S_s))

t. j. ono jest ravno matrici v novih matričnyh jedinicah (c_ikd_ =d_ c_ik). Množenje (A)-matric i (B)-matric tedy jednoznačno odpovědaje množenju elementov v prěmom produktu dvoh matričnyh kolc:

Zato vsaka (A)-matrica jest komutativna s vsakoj (B)-matricoj (ale (A)-matrice ni (B)-matrice ne sut medžu soboju komutativne); i ta komutativnost vsakoj (A)-matrice s vsakoj (B)-matricoju davaje upravo --- po množenju s (a_S,T^-1b_S,T^-1) --- relaciju, ktoru trěba dokazati.