Glava VI. Teorija prěkriženyh produktov

§ 27. Predstavjenje od ( K_r) kako prěkriženyh produktov

Teorija prěkriženyh produktov, razvijena v § 24 iz faktornyh sistemov, nyně bude znovu nezavisno osnovana. Značenje tyh prěkriženyh produktov jest v tom, že Galoisovo polje i jego grupy sut zajedno opisane v ( K_r).

Ako ( Z) jest Galoisovo razpadno polje od ( K_r), tedy maksimalno komutativno podpolje, i ako ( G) jest jego Galoisova grupa, to ( K_r) jest ravno prěkriženomu produktu ( Z G). Obratno, vsaky prěkriženy produkt ( Z G) stvarjaje ( K_r) takogo vida.

i definicije. Definicija 1. Neka ( G=\E,S, ,T\) bude Galoisova grupa od ( Z); ravnost od ( K_r) prěkriženomu produktu znači:

s (zu_S=u_Sz^S) i (u_Su_T=a_S,Tu_ST) ((a_S,T) v ( Z) sut male faktorne sistemy).

Stvarjajuča grupa ( G^) jest opreděljena kako množstvo regularnyh elementov (g) iz ( K_r), ktore posrědstvom transformacije prěvodet ( Z) kako cělost v sebe. (g^-1 Zg= Z), tedy (g^-1zg=z^S), s (S) v ( G). Tedy ( G) jest grupovo-homomorfny obraz od ( G^), bo vsaky avtomorfizm od ( Z) jest stvorjen nekym (g), ( G^* G), i dalje

(že ( T^= Z^), bude dokazano pozděje --- još ne bylo dokazano, že ( Z) bylo takože maksimalno komutativno podkolco. To možno jest dokazati i nezavisno).

Dokaz predstavjenja kako prěkriženogo produkta. Neka (u_E,u_S, ,u_T) budut elementi iz ( K_r), ktore stvarjajut avtomorfizmy (E, ,T), tedy (zu_S=u_Sz^S), osoblivo (u_E=e) zaradi 2. Trěba pokazati, že suma

jest prěma i ravna ( Zu_E+ + Zu_T); tada ona jest ravna ( K_r) zaradi jednakosti rangov. To ale slěduje tako (Schwarz):

( M) jest lěvy i pravy ( Z)-modul, tedy modul predstavjenja od ( Z) v ( Z), i posrědstvom ( M) stvarjajut se (n) različne predstavjenja; tedy --- poneže ( Z) jest komutativno polje prvogo vida --- ( M) imaje rang najmanje (n); inače dokaz teče upravo tako.

( G G^/ Z^), t. j. ( T^= Z^); samo elementi iz ( Z) inducirajut identitet na ( Z) posrědstvom transformacije.

Neka imenno bude (tz=zt) za vsako (z) iz ( Z); položimo

tedy

tedy zaradi prěmoj sumy:

i iz toga, poneže elementi (u_S, ) sut regularne:

(ili poneže rang jest ravny (n)). Ale po definiciji za (S, ), i tako dalje (vse neravne (E)), postojí najmanje jedno (z), tako že (z-z^S^-1 0); i neko ( z), tako že ( z- z^T^-1 0); zato dostava se (z_i=0), (i=1, ,(n-1)), i tedy (t=z_0) v ( Z^*), čto bylo dokazati.

Elementi (u) zadovoljajut zakony množenja: (u_Su_T=a_S,Tu_ST), pri čem (a_S,T) zadovoljajut prěkriženy asociativny zakon

((a_S,T) sut mali faktorny sistem).

Bo po 2. dostava se:

tedy

s (a_S,T) iz ( Z^*), tedy iz ( Z) i ( 0). Zaradi (u_R u_Su_T=u_Ru_S u_T) dalje dostava se

čto sut podane zakony množenja.

Obrat: prěkriženy produkt (= K_r). Prěma suma:

bude opreděljena kako kolco posrědstvom relacij: (zu_S=u_Sz^S), (u_Su_T=a_S,Tu_ST), (kde (a_S,T) zadovoljajut prěkrižene asociativne relacije; tedy (u_Ru_Su_T) jest jednoznačno opreděljeno):

tym ( M) postavaje asociativnym kolcom.

teorem 2. Prěkriženy produkt ( Z G) jest dvustranno prosty, s (P) kako centrom (po pristupah R. Brauera). Dokaz osnovyvaje se na slědujučih pomoćnyh lemah:

ćna lema 1. Vsaky element, ktory jest po elementah komutativny s ( Z), prinaleži k ( Z).

. Neka (w= S c Su_S), ((c _S) v ( Z)) i neka bude prědpoloženo: (wz=zw) za vsako (z) iz ( Z). Tedy

tedy (zc_ S=c Sz^S^-1), ili (c S(z-z^S^-1)=0), za vsako (z) i (S) (linearna nezavisnost od (u)!). Iz toga ale slěduje: (c _S=0) za (S E), bo za vsako tako (S) postojí najmanje jedno (z), tako že (z-z^S^-1 0); tedy (w) jest v ( Z).

ćna lema 2. Vsaky ( Z)-dvojny modul ( A), ktory jest dvojno izomorfny s ( Zu_S=u_S Z) (za ( Z) kako lěvy i pravy operator), jest identičny s ( Zu_S).

( A) jest izomorfny s ( Zu_S) kako lěvy modul; ako tedy (u_S a) iz ( A), to ( Zu_S Za), tedy ( A= Za). Iz dvojnogo izomorfizma slěduje (1) (za=az^S) (zaradi (u_Sz az)); i iz toga ( A= Zu_S). Ako imenno položimo: (a=u_Su_S^-1a=u_Sw), dostava se: (za=zu_Sw=u_Sz^Sw), ale zaradi (1): (za=u_Swz^S), tedy (po množenju s (u_S)): (z^Sw=wz^S) za vsako (z) iz ( Z). Zato takože (z^S) proběgaje cělo ( Z), (w) jest po elementah komutativny s ( Z), tedy po 1. prinaleži k ( Z).

ćna lema 3. Vsaky ( Z)-dvojny modul iz ( Z G) imaje formu: ( Zu_S_1+ + Zu_S_k), kde (u_S_1) označaje nykoje (k) različne iz (u_S, ,u_T).

. Prěkriženy produkt ( Z G) jest polno reducibilny kako ( Z)-dvojny modul, bo vsaky sumand ( Zu_S) imaje rang 1. Kako dvojne moduly, vsi sumandy takože prinaležet k različnym klasam, tedy ne sut dvojno izomorfne. Zaradi polnoj reducibilnosti vsaky ( Z)-dvojny modul ( M) jest prěmy sumand i sam polno reducibilny. ( M= A_S_i), kde ( A_S_i) jest izomorfny s ( Zu_S_i); i zato po 2. jest identičny s ( Zu_S_i). (Vsi ( A_S_i) prinaležet k različnym klasam.)

ćna lema 4. Vsako kolco iz ( Z G), ktoro sadržuje ( Z), osoblivo samo ( Z G), jest dvustranno prosto. --- Podkolca, ktore sadržujut ( Z), jednoznačno odpovědajut podgrupam od ( G).

. Vsako kolco ( o), ktoro sadržuje ( Z), jest ( Z)-dvojny modul, tedy po 3. imaje formu ( Z u_S_i); poneže ( o) jest kolco, produkt dvoh (u_S_i) znovu prinaleži k ( o), tedy takože prinaležeči ( Z)-modul. Zato (u_S_i) tvoręt grupu do faktornyh sistemov, bo jih jest konečno mnogo. Tedy ( o= Z H), kde ( H) jest podgrupa od ( G). (Točnije, ( Z u_S_i) tvoręt multiplikativny sistem.) Ako nyně ( a) jest libovoljny dvustranny ideal ( 0) iz ( o), to on jest ( o)-dvojny modul, i tym ( Z)-dvojny modul i podmodul od ( o). Tedy vměstě s ( Zu_S_i) sadržuje cělu grupu ( H), i zato postavaje ( o= Z H).

ćna lema 5. (P) jest centar od ( Z G).

. Ako (w) jest po elementah komutativny s ( Z G), to osoblivo s ( Z), tedy po 1. prinaleži k ( Z). Zato iz (wu_S=u_Sw^S) slěduje (w=w^S), ako jest komutativny. Tedy (w) prinaleži k (P).

ětka 1. Dokaz pokazuje, že teorem važi takože, kogda ( Z) jest beskonečno algebraično Galoisovo polje nad (P). Bo teoremy o polnoj reducibilnosti ostavajut važiti (Krull Zahlringe, Math. Ann. 99). Pri tom ( Z G) jest sistem vsih konečnyh sum ( S u_S_ c_S_ ).

Samo pri 4. trěba za ( o) prědpoložiti ( o= Z H), čto vsegda važi za polny produkt ( Z G), bo iz naleženja od (u_S_iu_S_k) nyně ne možno jest zaključiti grupovo svojstvo sistema, ako ( o) jest beskonečno nad ( Z).

ětka 2. Pri prěmom osnovanju tut trěba prisojediniti teoriju prěkriženogo matričnogo predstavjenja, razvijenu v §§ 25/26. V slědujučem, na koncu § 28, upotrěbja se, že ireducibilno prěkriženo predstavjenje imaje stupenj (t), kde (t) jest absolutno čislo komponentov (indeks) od ( K). Znovu trěba ukazati, že ta teorija predstavjenja davaje identitet faktornyh sistemov, uvedenyh tut kako konstanty množenja, s pojmom obyčnym v literaturě.

§ 28. Produktny teorem za faktorne sistemy

Neka bude

(( Z) i ( Z) sut izomorfne Galoisove polja, a ( G), ( G) njih grupy), tedy dostava se

s ( u_S u_T= u_ST c_S,T) (( Z) jest izomorfno s ( Z) i ( Z)). To slěduje iz računanja rangov i iz toga, že ( Z) jest takože razpadno polje).

ženje. Dostava se ( c_S,T= a_S,T b_S,T), gdje ( a, b) sut s (a) i ( b) izomorfne elementi v ( Z).

Dokaz osnovyvaje se na tom, že kolco avtomorfizmov libovoljnogo lěvogo ideala iz ( A_j), ktory imaje absolutnu dolžinu (n), jest izomorfno s ( A_f= Z G), i že to kolco avtomorfizmov možno jest prěmo opreděliti pri pogodnom lěvom idealu iz ( A_j). Obće važi slědujuči teorem, imenno s (s) vměsto (n), ale zaradi udobnosti izrečeny za ( K_r):

Teorem 1. Kolco avtomorfizmov lěvogo ideala ( l) absolutnoj dolžiny (n) iz ( K_rs= K_r P_s) jest izomorfno s ( K_r).

Dokaz slěduje iz slědujučih pomoćnyh lem.

ćna lema 1. Vsi lěve idealy absolutnoj dolžiny (n) iz ( K_rs) sut operatorno izomorfne. Njih kolca avtomorfizmov sut tedy kolcovo izomorfne. Osoblivo ( l= K_r b) imaje absolutnu dolžinu (n), pri čem pod ( b) razumějemo prosty ideal iz (P_s).

. To, že lěve idealy imajut absolutnu dolžinu (n), t. j. razpadajut se na (n) absolutno nerazložimyh prostyh idealov, imaje za poslědicu jednaku dolžinu v ( K_rs), t. j. v ( K_rs) nastupaje jednako mnogo prostyh idealnyh sumandov. Iz toga slěduje njih operatorny izomorfizm, a tym i kolcovy izomorfizm kolc avtomorfizmov. Dalje ( K_r= Z G) imaje absolutnu dolžinu (n), t. j. rang jest (n^2), tedy ( K_r P_s) imaje absolutnu dolžinu (n s), i zato ( K_r b) imaje absolutnu dolžinu (n).

ćna lema 2. Ako ( o) jest kolco s jedinicoju, ( l= o e_1) jest lěvy ideal i prěmy sumand, tedy (e_1) jest idempotent, to kolco avtomorfizmov od ( l) jest izomorfno s (e_1 o e_1).

. Množenje s elementom (e_1re_1) davaje operatorny homomorfizm od ( l) v sebe; različne elementi (e_1re_1) davajut različne homomorfizmy, bo pri tom k (e_1) sut priręđene različne elementi, i vsaky homomorfizm jest stvorjen tako: (e_1 re_1) i (re_1=e_1re_1) zaradi (e_1e_1=e_1). Suma i produkt v (e_1 o e_1) ale odpovědajut sumi i produktu priręđenyh homomorfizmov.

ćna lema 3. Ako položimo (P_s= _1^s c_ikP) s matričnymi jedinicami (c_ik) i ( b=c_11P+ +c_s1P), to kako kolco avtomorfizmov od ( K_r b) dostava se kolco ( K_rc_11), ktoro jest izomorfno s ( K_r).

. Bo (c_11) jest po elementah komutativny s ( K_r) i nijedin element iz ( K_r) ne jest anulovany, bo (c_11) jest stvarjajuči idempotent od ( K_r P_s), i jest

Iz tyh pomoćnyh lem prěmo slěduje teorem 1.

Opreděljenje i razklad od ( K_r K_r) na lěve idealy absolutnoj dolžiny (n). Po definiciji dostava se

pri čem element s črtoju jest po elementah komutativny s elementom bez črty, tedy

s ( Ze_i= Ze_i), (množenje Galoisovogo polja samogo s soboju). Poneže vsi sumandy imajut jednaky rang vzhodno k ( Z), a tedy takože jednaku absolutnu dolžinu --- absolutna dolžina od ( A_f) ale jest (=n^2) --- vsaky sumand imaje absolutnu dolžinu (n). V slědujučem za osnovu bude vzęto

pri čem relacija (ze_1=e_1 z) ustanovjaje opreděljeny izomorfizm medžu ( Z) i ( Z).

Prěkriženo predstavjenje od (e_1 A_fe_1), i tym dokaz produktnogo teorema. --- Po 1. i 2. faktorne sistemy produkta ( K_r K_r) sut izomorfne s faktornymi sistemami prěkriženogo predstavjenja od (e_1 A_fe_1= A).
( A= Z G) s ( Z= Ze_1= Ze_1), ( G=\ ,e_1u_S u_Se_1, \), pri čem

tako že s ( a_S,T=a_S,Te_1) i ( b_S,T= b_S,Te_1) produktny teorem jest dokazan; (( a) i ( b) sut v tom samom polju ( Z)).

. (e_1) postavaje jedinica kolca; elementi konjugovane s ( z=ze_1) sut tedy dane posrědstvom ( z^Se_1); trěba pokazati, že elementi (u_S u_Se_1) inducirajut te substitucije, čime bude dokazano prěkriženo predstavjenje.

ćna lema 1. (e_1u_S u_S=u_S u_Se_1), tedy (=e_1u_S u_Se_1).

. Položimo (u_S^-1e_1u_S=e^S) 1Tym ustanovjenjem dostava se (e_1=e^E). ili (e_1u_S=u_Se^S); tada (e^S) proběgajut konjugovane (e_1,e_2, ,e_n). Tada važi (1) 2zaradi ( a_i A_i u_R= a_i u_R A_i^R= u_R (a_i^R)^R^-1 A_i^-R).

Bo (e_1= a_i A_i= a_i^R A_i^R), kde (a_i) proběgaje libovoljnu ( Z)-bazu, a ( A_i) prinaležeču komplementarnu ( Z)-bazu, tedy to samo važi za (a_i^R) i ( A_i^R). Tedy (e_1 u_R= u_Re^R^-1), čime (1) jest dokazano. Iz (1) slěduje

čime jest dokazana pomoćna lema 1.

ćna lema 2. (ze_1 e_1u_S u_Se_1=e_1u_S u_Se_1 z^Se_1).

. Bo

((z) jest komutativny s ( u) i (e_1)). --- Neka (u'=u_S u_Se_1). Pomoćna lema 2 izreka, že (u') indiciraje substitucije od ( Ze_1), tako že važi prěkriženo predstavjenje podano v teoremu.

ćna lema 3. Faktorny sistem postavaje ravny (a_S,Te_1 b_S,Te_1).

Tym jest dokazan teorem iz 2., a tedy i produktny teorem za faktorne sistemy.

Produktny teorem za klasy asociovanyh faktornyh sistemov:

To prěmo slěduje iz 3., bo prěhod k novym stvarjajučim elementam (v) i ( v) označaje takože taky prěhod k (v ve_1), poneže (u=vc) i ( u= v d) davajut

Ako (\a\) jest faktorny sistem od (\ K\), a (t) jest indeks od (\ K\), to (\a^t) jest ravny jedinčnomu klasu. To slěduje iz toga, že ireducibilno prěkriženo predstavjenje od ( G) imaje stupenj (t), upravo kako Schurov dokaz po predstavjenju od (p_ik) (§ 24, str. 37).
Izomorfizm medžu grupoju ( K_ Z) od (\ K\) k ( Z), t. j. s ( Z) kako razpadnym poljem, i grupoju klas (\a_S,T\) asociovanyh faktornyh sistemov. Po konstrukciji v § 27 postojí jednoznačno odpovědanje medžu (\ K\) i (\a_S,T\); po 4. priręđenje jest homomorfno, tedy imamo izomorfizm. Iz toga osoblivo slěduje, že jedinčne klasy odpovědajut jedne drugim:

ěkriženy produkt jest tada i samo tada ravny (P), tedy matričnomu kolcu v centru, kogda faktorny sistem jest asociovany s jedinčnym sistemom.

§ 29. Teorem o glavnom rodu v minimalnom

Neka ( K_r= Z G) bude prěkriženy produkt, a ( G^*) grupa vsih elementov, ktore posrědstvom vnutrnyh avtomorfizmov prěvodet ( Z) kako cělost v sebe (( Z^*u_E, Z^*u_S), --- zapisano v pobočnyh klasah).

. „Glavny rod v minimalnom“ ( H) sostoji se iz vsih grupovyh avtomorfizmov od ( G^), ktore sut prodolženje identiteta na ( Z^). Razlog za to nazvanje slěduje iz specializacije na ciklične polja. Vidi § 30.

. Vsaky avtomorfizm glavnogo roda imaje formu (u_S u_S b^Sb^-1=u_Sb^S-1), kde (b) jest v ( Z), i obratno, vsako tako priręđenje stvarjaje avtomorfizm glavnogo roda.

. Neka pri grupovom avtomorfizmu bude (u_S v_S), (z z), za vsako (z) iz ( Z), i neka pri tom produkty odpovědajut jedni drugim; tada avtomorfizm možno jest dopolniti do avtomorfizma kolca ( K_r) posrědstvom priręđenja

pri čem (c_ _S) sut v ( Z). Ale vsaky taky avtomorfizm jest, kako znano, vnutrny.

Neka (b) bude stvarjajuči element, tedy (v_S=bu_Sb^-1), (z=bzb^-1); poneže (b) jest komutativny so vsimi (z), on leži v ( Z), i zato dostava se

Obratno, ako položimo (v_S=u_Sb^Sb^-1) s (b) v ( Z), to dostava se (v_S=bu_Sb^-1); ide tedy o avtomorfizm od ( K_r), ktory prěvodi ( Z) po elementah v sebe, a tym po definiciji prěvodi takože ( G^*) kako cělost v sebe; on jest tedy avtomorfizm glavnogo roda.

§ 30. Specializacija na ciklične razpadne polja

Ako prěkriženy produkt obrazujemo osoblivo s cikličnym poljem ( Z), prihodimo k tolkovanju znanyh normnyh teoremov. Najprvo važi

Grupa ( K_ Z) od (\ K\) s ustanovjenym cikličnym razpadnym poljem ( Z) nad (P) jest izomorfna s grupoju (P^/N Z^), kde (N Z^*) proběgaje grupu vsih norm (Nz) elementov (z 0) iz ( Z).

. Dokaz osnovyvaje se na normovanju prěkriženogo predstavjenja i na několiko pomoćnyh lemah o tom.

. Ciklično prěkriženo predstavjenje nazyvaje se normovanym, ako imaje formu

s (zu=uz^S), (u^n=a), kde (S) jest stvarjajuči element iz ( G) (ako tedy položimo (u_S^r=u^r), (r=0, ,n-1), vměsto obćego (u_S^r=b_ru^r) s (b_r) v ( Z)).

ćna lema 1. Ciklično prěkriženo predstavjenje možno jest vsegda vzęti normovanym. Pri tom (a) leži v (P), i vsako (a) iz (P) davaje tako predstavjenje.

. Prva čest jest jasna, bo iz (u^-1zu=z^S) slěduje (u^-rzu^r=z^S^r), tedy (u^r) stvarjaje substituciju (z z^S^r). Dalje, poneže (u^n) induciraje identitet (z z^S^n), dostava se (u^n=a) s (a) v ( Z). Ale (u^n) jest komutativny so vsimi (u^r), to samo važi za (a), i tedy (a^S^r=a); zato (a) leži v (P).

Tedy (a) jest jedina sućstvena konstanta množenja. Zato uslovja asociativnosti ne imajut sodržanje; vsako (a) iz (P) davaje asociativny sistem, a tym i neko ( K_r).

ćna lema 2. Vměsto polnogo klasa (\a_S,T\) asociovanyh faktornyh sistemov dostatočno jest razmatrjati normovane faktorne sistemy, ktore sut sadržane v klasu --- t. j. ktore proizhodet iz normovanyh predstavjenj. Tu podmnožinu klasa nazyvamo normovanym klasom. Grupa polnyh klas (\a_S,T\) jest izomorfna s grupoju normovanyh klas.

. Bo po pomoćnoj lemi 1 nijedin normovany klas ne jest prazdny, priręđenje jest tedy jednoznačno. Operacija ostavaje ista, bo jest opreděljena posrědstvom libovoljnogo prědstavitelja.

ćna lema 3. Grupa normovanyh faktornyh sistemov jest izomorfna s multiplikativnoj grupoju (P^), a grupa normovanyh klas jest izomorfna s (P^/N Z^*).

. Iz pomoćnoj lemy 1 slěduje, že vsaky normovany faktorny sistem imaje vid ([1,1, ,a,a, ]), bo

Ale priręđenje

jest grupovy izomorfizm na (P^), bo, znovu po pomoćnoj lemi 1, (a) proběgaje vse elementy iz (P^). --- Dva asociovane normovane faktorne sistemy proizhodet jeden iz drugogo posrědstvom transformacije (v=uc) ((c) v ( Z)). To ale davaje

Iz (u^n=a) tedy slěduje (v^n=aN(c)). Normovany klas sostoji se tedy iz faktornyh sistemov ([1, ,aN(c),aN(c), ]), kde (c) proběgaje vse elementy ( 0) iz ( Z). Tym jest dokazana druga čest pomoćnoj lemy.

Iz pomoćnyh lem 2 i 3 slěduje gornji teorem 1, s obzirom na izomorfizm tamošnjih (\ K\) s klasami (\a_S,T\).

Grupa glavnogo roda v minimalnom jest izomorfna s grupoju tyh elementov (c) iz ( Z), za ktore (N(c)=1). Iz (N(c)=1) tedy slěduje postojanje nekogo (b 0) iz ( Z), tako že (c=b^S b^-1=b^S-1) (simbolična (S-1)-ta potencija).

. Pri dokazu pomoćnoj lemy 3 dostalo se: (N(c)=1) jest identično s tym, že transformacija (v=uc) predstavlja avtomorfizm glavnogo roda; različnym (c) odpovědajut različne avtomorfizmy i obratno, a produktu odpovědaje produkt.

ětka. Teorem 2 opravdava nazvanje glavny rod. Po smyslu faktorgrupu

možno jest nazvati grupoju rodov v minimalnom; za tu grupu važi, že ona jest izomorfna s (N( Z^*)), tedy v svezi s teoremom 1,

§ 31. Priměnjenja cikličnogo specialnogo slučaja

Ciklično prěkriženo predstavjenje davaje nove dokazy za teoremy dokazane v § 20: že vsako konečno tělo jest komutativno i že kromě kvaternionov ne postojí nikako pravo nekomutativno razširjenje polja realnyh čisel. --- Te dokazy možno by bylo nazvati dokazami teorije klasovyh polj v minimalnom.

Vsako tělo iz konečnogo čisla elementov jest komutativno (teorem 10 § 20).

Dokaz osnovyvaje se na dvoh znanyh faktah o komutativnyh konečnyh poljah (Galoisovyh poljah).

Galoisove polja sut ciklične nad vsakym svojim podpoljem.
Ako ( Z) jest Galoisovo polje, tedy ( Z) jest ciklično nad (P), to vsaky element iz (P) jest norma nekogo elementa od ( Z). (P^=N( Z^)).

Neka nyně ( K) bude konečno, (P) jego centar, a ( Z) neko ciklično razpadno polje; tada (§ 30 konec), medžu drugym, grupa ( K_ Z) od (\ K\) k ( Z) jest izomorfna s (P^/N Z^); tedy po 2. ona jest ravna jedinici (\P\). To ale znači, že ne postojí od (P) različno tělo s (P) kako centrom, ( K=P).

Jedino pravo nekomutativno razširjenje nad poljem (P) realnyh čisel sut kvaterniony (teorem 9 § 20).

. (P) mora biti centar, bo (P) imaje kako komutativno razširjenje samo polje ( Z) kompleksnyh čisel, nad ktorym kako centrom, poneže ( Z) jest algebraično zatvorjeno, ne postojí nekomutativno razširjenje těla. Jednočasno samo ( Z) prihodi v obzir kako razpadno polje. I ( Z) jest ciklično nad (P). Dalje, vsako pozitivno čislo jest norma, tedy grupa (P^/N Z^) imaje stupenj 2; zato kromě (\P\) postojí samo jeden klas (\ K\), a to sut kvaterniony. Jednočasno dostava se normalna forma, ako vzmemo (-1) kako normovany faktorny sistem v klasu asociovanyh sistemov. Bo tada dostava se ( K= Z+ Zu), s (u^2=-1). Tedy ( K=P+Pi+(P+Pi)u) s (i^2=-1), (u^2=-1).

ětka k 1. Takože dokaz znanogo fakta 2 možno jest na osnově konca § 30 voditi tako: Dostava se ( H= Z^S-1 Z^/P^), bo vse i samo elementi od (P^) stvarjajut identičny avtomorfizm glavnogo roda, ili takože pri priměnjenju od (S-1) prěhodet v jedinicu. Tedy pri konečnom ( Z) čislo elementov od ( H) jest ravno indeksu od (P^) v ( Z^). Zato čislo elementov od ( Z^/ H) jest ravno čislu elementov od (P^); to samo tedy važi za (N( Z^)= Z^/ H), i zato (P^=N( Z^)). (Sravni: čislo rodov = čislo ambigvnyh klas. Tomu čislovo-teoretičnomu načinu izražanja ale vsude trěba dodati „v minimalnom“.)

Ako (P) jest (p)-adično osnovno polje, a ( Z) jest ciklično (n)-togo stupenja nad (P), to grupa ( K_ Z) od (\ K\) k ( Z) jest izomorfna s Galoisovoj grupoju od ( Z).

To jest po koncu § 30 prěma poslědica „teorije klasovyh polj v malom“, ktora izreka

ětka k 3. Slěduje, že grupovy red elementov iz ( K_ Z), tedy eksponent od (\ K\), postavaje ravny jego indeksu. Bo eksponent stvarjajučego elementa od ( K_ Z) postavaje (=n), tedy takože indeks kako dělitelj od (n) i mnogokratnik eksponenta; grupa ( K_ Z) sadržuje tedy samo klasy, ktoryh indeks jest dělitelj od (n), i za ktore ( Z) jest razpadno polje. Nadto H. Hasse pokazal, Math. Ann. 104, že ( K_ Z) sostoji se iz vsih klas (\ K\), za ktore indeks jest dělitelj od (n). Vsako ciklično razpadno polje ( Z) (n)-togo stupenja nad (p)-adičnym (P) vodi tedy k toj samoj grupě ( K_ Z) klas těl (\ K\).

Dva fakta:

grupa vsih (\ K\) nad (P), ktoryh indeks jest dělitelj od (n), jest ciklična (n)-togo stupenja.
Vsako ciklično razpadno polje (n)-togo stupenja nad (P) stvarjaje polnu grupu od (\ K\).

možno jest smatrjati sućstvenym sodržanjem obratnogo teorema teorije klasovyh polj v malom.