1. Konstrukcija sistema form za ternarnu formu četvrtogo stepena

Sitzungsberichte Fizikalno-medicinskogo družstva v Erlangenu 39 (1907), s. 176--179

(Izvod iz disertacije avtorky.)

Sistem form ternarnoj bikvadratičnoj formy, to jest ternarnoj formy četvrtogo stepena, izsledovali Gordan, Maisano i Pascal. Gordan konstruuje polny sistem form, sostavljen iz 54 konstrukcij, za specialnu avtomorfnu formu

na osnově podobnyh principov, ktore on dal za sistemy form v binarnoj oblasti.

U Maisana za obću bikvadratičnu formu konstruovane sut formy do petogo reda vključiteljno, a takože něktore invarianty, kovarianty i kontravarianty vyšego reda. On slěduje metodě, ktoru Gordan priměnil v prvom tomu Mathematische Annalen za ternarnu kubičnu formu. Pascal, koristajuči rezultatami Maisana, glavno se zanima pytanjem, kogda bikvadratična forma razkladaje se na faktory.

Cilj mojih izslědovanj jest konstrukcija sistema form za obću ternarnu formu četvrtogo stepena. Najprvo dajut se samo glavne osnovy i konstruuje se tak nazyvany "odnosno polny sistem".

Osnovna myslj pri konstrukciji sistemov ternarnyh form jest taka sama kako v binarnoj oblasti. Počinajuči od prvogo odnosno polnogo sistema, to jest od sistema form, prěnesenyh iz binarnogo slučaja, po opreděljenom zakonu prěhodi se k sistemam s vse vyšim modulom. To ide dotud, dokud sistem někojego modula, ako sam modul vzęti za osnovnu formu, ne stane konečnym i poznanym, ili dokud modul ne možno snižiti k formam, ktore imajut invariant kako faktor. V prvom slučaju absolutno polny sistem nastaje transvekcijeju odnosno polnogo sistema so sistemom modula; v drugom slučaju odnosno polny i absolutno polny sistem sut identični. Iz obćego Hilbertovogo dokaza konečnosti sistemov form slěduje, že ta procedura neobhodno mora dojti do konca.

V našem slučaju modul prvogo odnosno polnogo sistema možno svesti k modulam

iz toga lahko dostaje se odnosno polny sistem modulo . Kako ręd modulov vybira se teper formy

i kako daljne moduly pridajut se dvě kvadratične formy, ktore nastavajut pri konstrukciji odnosno polnogo sistema modulo , imeno i . Potom možno pokazati, že modul slědujuči po , imeno , jest reducibilny k modulu . No simultanny sistem dvuh kvadratičnyh form jest konečny i poznany; tym dosegnuty jest vyše označeny konec. Odnosno polny sistem modulo daje 331 konstrukcij. ---

Dodam ješče několiko ukazanj o priměnjenoj metodě.

Osnovny proces tvorjenja form, proces svijanja, v ternarnoj oblasti možno opreděliti tak.

Ako v simboličnom produktu

zaměniti pary faktorov

togda nastavajuče formy sut dobjene iz izhodnoj formy svijanjam.

Pri tom možno vse ješče položiti i . Za vzaimnu svęz medžu pojedinymi svijanjami plati slědujuča teorema.

Svijanja I i II sut osnovne svijanja. Iz njih, nezavisno od poręda skladanja, možno sostaviti svijanja III i IV. Drugymi slovami: da by se stvorili vse formy, ktore nastavajut iz danogo izraza svijanjam, dostatočno jest priměnjati samo svijanja I i II.

Pod "rędom form" razumějemo početnu formu zajedno so vsimi formami, ktore iz njej nastavajut povtornym svijanjam samej so soboju. Po teoremi ręd form

možno razměstiti v pręmougolnoj shemě. Pri idenju v toj shemě dostaje se:

jednu kolonu na pravo -- vse formy, ktore nastavajut iz susědnyh form svijanjam I; jeden ręd v niz -- vse formy, ktore nastavajut iz form nad nimi svijanjam II.

Tak dostajut se vse formy, ktore nastavajut svijanjam.

Pod tymi prědpoloženjami teoremy o reducentah možno izrekti v najobćejšej formě, pod opreděljenjem

reducent jest reducibilny ręd form.

Obća redukcijska teorema potom glasi:

Ako početna forma ręda form jest reducibilna zato, že jeden iz jej členov nastal svijanjam s reducentom, i ako konečna forma toga ręda nastala jest iz togo samogo člena svijanjam, togda cěly ręd form jest reducibilny.

Kako daljne metody redukcije treba nazvati:

tak nazyvanu dvojnu redukciju, to jest redukciju jednej formy dvoma sposobami, da by se dobilo odnošenje medžu vyšimi formami; svijanje s formami, ktore razkladajut se na faktory; ta metoda čęstično ima harakter redukcije s pomočju reducentov, a čęstično harakter dvojnoj redukcije.