2. Konstrukcija sistema form za ternarnu bikvadratičnu formu

Journal für die reine und angewandte Mathematik 134 (1908), s. 23--90 i dvě tabely

Vvod.

Sistem form ternarnoj bikvadratičnoj formy izslědovali Gordan, Maisano i Pascal. Gordan konstruuje polny sistem form, sostavjeny iz 54 konstrukcij, za specialnu avtomorfnu formu

na osnově podobnyh principov, ktore on dal za sistemy form v binarnoj oblasti.

U Maisana za obću bikvadratičnu formu konstruovane sut vse formy do petogo reda uključiteljno, a takože něktore invarianty, kovarianty i kontravarianty vyšego reda. On koristaje metodu, ktoru Gordan priměnil v prvom tomu Mathematische Annalen k ternarnoj kubičnoj formě. Pascal, opirajųći se na rezultaty Maisana, glavno se zanima pytanjem razklada bikvadratičnoj formy na faktory.

Cilj slědujućih izslědovanj jest konstrukcija sistema form za obću ternarnu bikvadratičnu formu. V toj rabotě dajut se samo glavne osnovy i konstruuje se tak nazyvany "odnosno polny sistem".

Rabota těsno primykaje k rabotě Gordana; vendar principy, ktore tam byli dane samo v obćem vidu, trěbalo bylo najprvo izrabotati v podrobnostjah. S pomočju teoremy o svęzi medžu svijanjami i črez vvedenje "ręda form" (§ 1) redukcijske teoremy formulujut se točno i doplnjajut se (§ 3), dokolě rekursivna konstrukcija specialnyh razvitij v rędy (§ 2) daje računno sredstvo za stvarno provedenje redukcij.

Osnovna myslj konstrukcije sistemov ternarnyh form jest taka sama kako v binarnoj oblasti. Počinajući od prvogo odnosno polnogo sistema --- sistema form prěnesenyh iz binarnogo slučaja, --- po opreděljenom zakonu prěhodi se k sistemam s vse vyšim modulom. Ta postupnost ide dotud, dokud sistem někojego modula, ako sam modul vzęti za osnovnu formu, ne stane konečnym i poznanym, ili dokud modul ne možno svesti k formam, ktore imajut invarianty kako faktory. V prvom slučaju absolutno polny sistem nastaje transvekcijeju odnosno polnogo sistema so sistemom modula; v drugom slučaju odnosno polny i absolutno polny sistem sut identične. Iz obćego Hilbertovogo dokaza konečnosti sistemov form slěduje, že ta procedura neobhodno mora dojti do konca.

V našem slučaju modul prvogo odnosno polnogo sistema (§ 4) svodi se k modulam

(§ 5), a potom nahodi se odnosno polny sistem modulo (§ 6). Ty rezultaty sut uže dane v rabotě Gordana za obću bikvadratičnu formu; naš sposob izvoda jednak lehče prěnosi se na formy vyšego stepena.

Kako ręd modulov teper vybirajemo formy (§ 7):

Pri konstrukciji odnosno polnogo sistema modulo dvě kvadratične formy, nastavajuće v sistemu, i , pridajut se kako moduly (§§ 9 i 10), i odtud konstruuje se odnosno polny sistem modulo . Potom pokazuje se (§ 17), že modul jest reducibilny k modulam i . Črez to slědujući vyši sistem prěhodi v odnosno polny sistem modulo . No simultanny sistem dvuh kvadratičnyh form jest konečny i poznany, a v obćem slučaju sostavjen jest iz 20 konstrukcij; tym s konstrukcijeju odnosno polnogo sistema modulo dosegnuty jest vyše označeny konec. Transvekcija togo sistema so sistemom za konstrukciju absolutno polnogo sistema ostaje zadržana za pozdnějši čas.

Kako odnosno polny sistem modulo najdene sut 331 konstrukcije; v prilagajenej tabeli one sut uporędkovane po stepenu v prěměnnyh i .

Na koncu dajemo pregled vvedenyh simbolov:

Glava I. Obće teoremy o ternarnyh formah.

§ 1. Proces svijanja. Rędy form.

Osnovny proces tvorjenja form jest proces svijanja, ktory v ternarnoj oblasti možno opreděliti slědujućim sposobom. Nehaj bude dany simboličny produkt

Ako pary faktorov

zaměniti odnošno s

to jest so svijanjami

togda nastavajuće formy proishodet iz izhodnoj formy črez svijanje.

Pri tom izraz možno razuměti ili kako stvarny produkt dvuh form , ili kako jedinu formu s několiko rędami simbolov:

V prvom slučaju govorimo o svijanju formy s formoju , v drugom slučaju o «svijanju formy samej so soboju». Dlja kratkosti v slědujućem vsegda prědpokladamo (što v istině jest slučaj pri vsih pozdněje razmatrivanyh formah), že

za vsake i , različne od nule, i zajedno s kakymikoli drugymi svijanjami. To govori, že forma jest tak nazyvana «normalna forma», to jest pri priměnjenju -procesa ona isčezaje i po prěměnnyh i , i po prěměnnyh i .

Uslov (a) zato ne jest ograničenje; jego možno vsegda dosegnuti.

Za svęz medžu pojedinymi svijanjami plati slědujuća teorema:

Teorema I. Svijanja I i II sut osnovne svijanja; iz njih, nezavisno od poręda skladanja, možno sostaviti svijanja III i IV. Drugymi slovami: da by se stvorili vse formy nastavajuće iz danogo izraza črez svijanje, trěba priměnjati samo svijanja I i II.

Dokaz. Po teoremě identičnosti, odnošno po teoremě produkta za matrice, s uvagoj na (a) dostajemo

Zato črez skladanje svijanj I i II nastavaju svijanja III i IV; to jest takože pri priměnjenju svijanja II k svijanju I, to jest k faktoram , kako i pri priměnjenju svijanja I k svijanju II, to jest k faktoram .

Pod rędom form razumějemo početnu formu zajedno so vsimi formami, ktore iz njej nastali sut svijanjam samej so soboju, i označujemo ręd form početnoju formoju. «Vyša forma» tuto znači vsaku formu s bolj mnogym svijanjam samej so soboju; medžu ravnopravnymi svijanjami i jedno mora byti normovano kako vyše. Po zakonu tvorjenja ręda form slěduje:

1. Vsaka forma ręda form jest linearna v simbolah početnoj formy.

2. Ręd form jest jednoznačno opreděljen za početne formy s po dvěma rędami kontragredientnyh simbolov; pri početnyh formah s bolje rędami simbolov jego trěba jednoznačno normovati vyznačenjem specialnyh svijanj medžu tymi, ktore sut svęzane teoremoju identičnosti.

Po teoremě I ręd form ( ) možno razměstiti po slědujućej pręmougolnoj shemě:

i odnošno prodolženu nižnju čęst

Tuto dostajemo, ako se ide

1. jednu kolonu na pravo, vse formy, ktore nastavaju iz susědnyh form črez svijanje I;

2. jeden ręd v niz, vse formy, ktore nastavaju iz form stojećih nad nimi črez svijanje II;

i s tym vse formy, ktore nastavaju črez svijanje.

Libovoljna forma cělogo ręda form, ili , tvori početok novogo ręda form. On sostoji iz vsih tych form pręmougolnoj shemy, ktore imajut formu ili kako lěvy gorny kut i imajut faktor .

Dodatna primětka. Teorema I ima izključenje v slučaju, kogda čisla i (odnošno i ) stanut ravne nuli, tako že svijanja I, II i IV uže ne obstajajut, no svijanje III (odnošno IV) ješče obstaje. V tom slučaju rędom form nazyvajemo diagonalny člen shemy:

V soglasnosti s odsutnostju svijanj I i II, razvitje v ręd po polarah ręda form v tom slučaju vsegda snižaje se k početnomu členu; ale teoremy o reducentah ostavajut v silě.

§ 2. Razvitja v ręd po polarah ręda form.

Za formy s prěměnnymi eksplicitno sut postavjene dvě vrsty razvitij v ręd:

1. za formy s po jednym rędom kontragredientnyh prěměnnyh, , ręd, ktory ide po stepenjah i ktorego koeficienty sut «normalne formy»;

2. za formy s dvěma rędami kogredientnyh prěměnnyh razvitje po polarah elementarnyh kovariantov (polarah ręda form ), ktore v ternarnom slučaju glasi tak:

My kombinujemo oba razvitja tako, že za formy s po dvěma rędami kontragredientnyh prěměnnyh

postavljamo razvitja po stepenjah , ktoryh koeficienty sut složene polary ręda form , vzęte po prěměnnyh i .

Dostatočno jest postaviti ręd za dvě kontragredientne rędy simbolov (odnošno prěměnnyh), bo črez sjedinjanje každih dvuh rędov simbolov (prěměnnyh) v jeden novy ręd možno formy s bolje rędami simbolov (prěměnnyh) svesti k tomu slučaju.

Da by se dosegnulo, že vse formy ręda form imajut samo po dva rędy simbolov ili prěměnnyh, specializujemo:

i provodimo razvitje za specializaciju a), a').

Prěmym prěnosom razvitja I dostavajut se složene polary za formy , medžutym za formy vměsto složenyh polarov nastavaju členy takogo roda, ktoryh ocěnjenje potrěbuje vvedenje vse novih pomocnyh prěměnnyh, ktore trěba sravniti jedinorazno na koncu; črez to račun staje nepotrěbno skomplikovany.

Zato izbirajemo neprěmy put: predstavjamo složene polary vsih form ręda form, to jest izrazy

črez početne členy tych polarov i, obratom nastavajućego rekursivnogo sistema ravnanj, dostajemo želano razvitje po polarah.

Po principu prěnosa za -tu polaru formy ( ) plati slědujuće razvitje (slučaj svodi se k prvomu črez razvitje ):

i odnošno za -tu polaru formy

Množenjem, s vvedenjem specializacije a) i a'), slěduje

i iz togo, črez razvitje po stepenjah s vyznačenjem prvogo člena ( znači, že člen , trěba izpustiti) i s uvagoj na (a) na s. 26,

gdě

i odnošno za ostale kombinacije čisel

Izraz

jest zato svedeny k složenej polari i, pri priměnjenju identičnosti

k sumě analogno stvorenih izrazov, ktore odpowědaju vyšim formam ręda form.

Črez iteraciju prihodimo k razvitju:

Čislove koeficienty jednoznačno i rekursivno računjut se iz koeficientov , sistema ravnanj, ktory nastaje črez iteraciju (II.) (srav. primjer na s. 42). Analogna razvitja nastavaju pri ostalyh specializacijah.

§ 3. Redukcijne teoremy.

Znane teoremy o redukciji form i sistemov form trěba nyně svęzati s paragrafami 1 i 2; za to potrěbne sut něktore opreděljenja, vzęte iz teorije binarnyh form.

a) Kako relativno polny sistem po modulu danogo ręda form označajemo sistem form s takym svojstvom: vse tvorjenja, ktore nastavajut črez svijanje libovolnogo produkta tyh form, možno izraziti kako cěle racionalne funkcije form sistema, do dodatnogo člena izrazov, ktore nastali črez svijanje sistemnyh form so sistemom modula.

b) Formu nazyvajemo reducibilnoju, kogda ju možno izraziti črez formy, ktore imajut invarianty kako faktory, ili črez «vyše formy»; to jest črez vyše formy cělogo ręda form, k ktoromu ona naleži, ili črez formy, ktore soderžat simboly modula vo vyšem porędku.

Teoremy o reducentah možno v najobčejšoj formě izrekti tak:

Opreděljenje: reducent jest reducibilny ręd form.

Teorema II. Jestli početna forma ręda form jest reducibilna zato, že jeden iz jej členov nastal črez svijanje s reducentom (ima reducent kako faktor), i jestli konečna forma ręda form nastala iz togo samogo člena črez svijanje, togda cěly ręd form jest reducibilny.

Dokaz: Ręd form nastaje iz početnogo člena črez svijanje samogo sebe, to jest s jednej strany črez vyše svijanja s reducentom, s drugoj strany črez svijanje reducenta samogo sebe. V obojih slučajah, po § 2, možno vse formy ręda form predstaviti kako polary (prěkrivanja) nad rędom form reducenta.

Zaključenje od početnoj formy k cělomu rędu form uže ne plati pri ostalyh metodah redukcije. To sut:

1. tak nazyvana «dvojna redukcija».

Pod tym razumějemo redukciju izraza, ktory ima dva medžusobno nezavisne reducenty kako faktory, dvojim sposobom; črez to nastavajut relacije medžu vyšimi formami, k ktorym bylo reducirano.

Sistematičnym priměnjenjem «dvojnoj redukcije» trěba s jednej strany dobiti vse relacije; s drugoj strany, jestli «dvojna redukcija», priměnjena k različnym izrazam, ne daje novih relacij, imamo i kriterij nezavisnosti vyših form i kontrolu računa.

2. Svijanje s razložimymi formami.

Pod «razložimymi formami» -- s malym občenjem običnogo pojma -- razumějemo formy, ktore možno izraziti črez produkty form nižšego stepena i črez «vyše» formy. Produkty form pri jednokratnom svijanju prěhodet v produkty; takože produkty nelinearnyh form pri dvokratnom svijanju pri specializacijah a') i b') (§ 2) po teoremě produkta:

Prve polary (prěkrivanja) i něktore druge polary razložimyh form zato sut znovu razložime formy. Iz togo slěduje:

Člen jednokratnogo (odnošno dvokratnogo) prěkrivanja nad razložimoju formoju, ktory nastal črez jednokratno (odnošno dvokratno) svijanje s razložimoju formoju, sam staje razložima forma:

a) kogda slědujuće vyše formy v rędu form razložimoj formy razlagajut se ili stavaju reducibilne, ili takože kogda pri jednokratnom svijanju nastavajut specializacije ili ;

b) kogda ostale jednokratne svijanja vode k vyšim formam (srav. § 12, B. i ).

Takovy člen prěkrivanja može takože razložiti se:

c) kogda ostale jednokratne svijanja vode k nižšim formam, ktore nezavisno od svijanja s razložimoju formoju razlagajut se, to jest možno ih izraziti črez produkty i črez formu, ktoru trěba reducirati. Pri tom trěba vsakokratno najprvo računom ověrjati, že čislovy koeficient odpovědajučego člena ne isčezaje identično. To jest ničto drugo než «dvojna redukcija» nižšej formy (srav. § 23, C. ).

Razložime formy nastavaju črez vse jednokratne svijanja s funkcionalnymi determinantami, kromě togo črez něktore vyše svijanja. Imamo

Analogične formuly platet za dualistične formy

Iz teoremov togo paragrafa za postavjenje vsih nereducibilnyh form, ktore nastavaju iz svijanja s , dobiva se slědujuće pravilo:

Iděmo, počinajući s najnižšimi svijanjami, po libovolnom naprijed ustanovjenom putu (na primjer po rędah ili simetrično k diagonalnomu členu) tako daleko v tvorjenju ręda form , poky ne dojdemo do formy, ktora ima reducent kako faktor. Ręd form opreděljeny toju formoju trěba izpustiti, kogda konečna forma izpolnja uslovje postavjeno v teoremě II. Poslě izključenja vsih reducibilnyh rędov form trěba črez priměnjenje dvojnoj redukcije odstraniti vse ostale reducibilne, i takože vse razložime formy. Města cělogo ręda form, ktore sut dvojno prěkryte nezavisno reducibilnymi rędami form, davajut povod k redukciji vyših form (srav. § 11, D).

III. Formy vzęte iz binarnoj oblasti, to jest one formy, ktore nastavaju iz sistemnyh form odpovědajučego binarnogo formy po Clebschovom principu prěnosa črez obrubljenje, tvoręt relativno polny sistem mod .

: Binarnoj relaciji, ktora govori, že formy tvoręt polny sistem jednoj binarnoj osnovnoj formy:

črez obrubljenje odgovarja ternarna relacija:

To jest ale opreděljajuće ravnanje za relativno polny sistem mod . Za biquadratičnu formu sistem vzętih form sostaji iz slědujućih form:

medžu ktorymi prve četyri tvoręt relativno polny sistem mod .

§ 5. Svedenje modula k modulam i .

Modul , dany samo jednym skobkovym faktorom, v soglasju s opreděljenjem (§ 3, a) trěba svesti k formam sistema. Drugymi slovami: ręd form trěba jednoznačno normovati (srav. § 1).

Ręd modulov: ; ; ; (sistem modula sostaji iz jedinoj formy ).

Pokáže se, že formy

dostatočne sut kako modul, to jest že formy

opreděljajut ręd form . V rędu form ne imaje formy po identičnosti

Za svedenje modula k vyšemu modulu trěba po opreděljenju svesti najobčejše svijanja, ili takože vse specialne razmatrivane svijanja s modulom, k svijanjam s vyšim modulom.

Najobčejše svijanja nastavaju v našem slučaju iz izrazov

(vzętih iz kubičnyh form),

(vzętogo iz kvadratičnyh form) i črez polarizaciju tyh izrazov.

Za izračunanje tyh izrazov črez polary i ręda form , odnošno črez ih početne členy, izbirajemo, kako v § 2, neprěmy put. Razvijamo polarny členy

kako linearne kombinacije izrazov so simboličnym faktorom i, obratom sistema ravnanj, dostajemo iskane relacije, takože relaciju medžu polarami vzętymi po različnym kombinacijam prěměnnyh. Za ocěnjenje služet teorema identičnosti i teorema produkta za determinanty.

Sistem ravnanj za glasi:

Iz togo slěduje za

i črez analogny račun za

Tako smy dobili relativno polny sistem mod , sostojęći iz četyrjeh form: . Iz togo slěduje: vse prěkrivanja nad , ktore ne sut vzęte iz binarnoj oblasti, takože kak prěkrivanje , reducibilno v binarnom na , možno izraziti črez simboly i .

Za slědujuće fundamentalne redukcijne formuly, črez specializaciju razvitja IV ili kraće črez prěmy račun (zaměnu simbolov), dostajemo za , , po slědujućih izhodnyh formulah:

za :

K tomu beremo formulu, ktora takože nastala iz redukcije modula :

Iz formul (1.) i (2.) i iz analogno stvorenih formul za osnovnu formu izvodet se vse pozdnějše redukcijne formuly črez polarizaciju, izjmavši relacije za razložime formy. Iz formul (1.) vidimo:

Ręd form vodi:

Možemo zato zaměniti:

mod : svijanja s odpovědajučimi s ili ; mod : svijanja s odpovědajučimi s ili ili takože specialnymi s (ktore vode samo k jednokratnomu svijanju I).

Osobito:

§ 6. Svedenje modula k modulu .

Redukcijne formuly poslědnjego paragrafa dajut nam srědstvo neposrědno postaviti relativno polny sistem mod ; uvidimo, že k sistemu vzętih form trěba dodati samo formy i (analogno kako pri kubičnoj formě i obće kako obče pravilo).

Za redukciju modula razmatrivamo vse specialne svijanja, ktore tu vhodet v razgled, to jest svijanja relativno polnogo sistema mod so sistemom , i idemo od najnižših po koeficientah form, imenno od svijanj s .

Za redukciju form , , zaměnjamo po § 5 simboly nižšimi formami rěda form, to jest razvijamo izrazy

1. po polarah rěda form (simboly i ),

2. po polarah rěda form (simboly )

i dostajemo redukcijne formuly (račun gl. niže):

(K tym samym rezultatom vodi takože dvojna redukcija izrazov , , i poslě eliminacije .)

Iz formul (3.) slěduje, že jest reducent v odnosu k modulu . Iz togo dobivamo:

1. Redukcija sistema : rěd form imaje reducent kako faktor.

2. Redukcija sistema, ktory nastal svijanjem s modulom :

rěd form imaje reducent kako faktor.

Za formy i dobivamo:

Iz reducenta slěduje redukcija sistema, ktory nastaje svijanjem s modulom .

Relativno polny sistem mod sostaji zato iz šestih form:

Kako primjer razvitja v rěd iz § 2 dajemo podrobno izvodženje formuly (3.)a; pri pozdnějših računah budemo neposrědno staviti konečnu formulu III. (Polary izčezajućih form uže sut izpuščene tokom računa; prva linija daje vrědnosti vnesene po razvitju II, druga linija -- konečne vrědnosti najdene rekursivno, počinajući s poslědnjim ravnanjem sistema.) Po razvitju II slěduje:

ědki:

1. , , , , , , sut reducenty.

2. ne vhodi v svijanje s formami i t. d. 6. poręda.

\ 24. Formy 11. poręda (sistem ).

Svijanje s formami 7. poręda (sistem III) ( \ 12).

formy:

:

A) Redukcija abo razklad črez jednokratno svijanje s odpovědajučimi formami v simvolah .

i : razklad po \ 3. 2), a), črez svijanje s , .

: razklad po \ 3. 2), b), iz razkladnoj formy .

B) Ręd form : reducent .

Forma : reducent .

Forma : razklada se črez redukciju razkladnoj formy reducentom (formula (18.)a):

C) Reducenty i .

D) Redukcija i razklad črez jednokratno svijanje s odpovědajučimi formami v simvolah .

E) Iz (30.)c slěduje redukcija razkladnogo ręda form :

ědok: ne vhodi v svijanje s formami 7. poręda.

\ 25. Formy 12., 13., 14., 15. poręda (sistem ).

Svijanje s formami 8., 9., 10., 11. poręda (sistem III) ( \ 13--16).

formy:

12. poręd.

: Redukcije, ktore nastavajut črez neposrědnje svijanje s reducentami abo razkladnymi formami, dalej ne budut spominjane.

B) Razklad i kako transvekcija črez funkcionalne determinanty.

Razklad : dvojna redukcija razkladnoj formy ( \ 13. C)):

C) Iz formul (31.) slěduje redukcija razkladnyh form

t.j. produktov i :

formy.

13. poręd.

14. poręd.

15. poręd.

: Razklad , , po \ 3. 2), c); t.j. pri jednočasnom razsmotrenju razkladnyh form , , .

ědok: ne vhodit do svijanja s oddělnymi formami sistema III.

\ 26. Sistem .

1. Svijanje s sistemami I--III.

: Po redukcijah poslednjih paragrafov i podobne) formy , , ne dopuskajut Jednočasno svijanja I i III; zato, po \ 18, dlja tvorjenja sistema formy ne vhodęt v produktah do svijanja.

ne vhodit do svijanja, ibo po tych samyh redukcijah kontragradientnym k svijanjam

odgovarjajut kogradientne k svijanja:

2. Svijanje s sistemom II--III, t.j. s , , .

formy:

: ne vhodit do svijanja analogično k .

B) i D). i se razkladajut iz formul (27.)c) i (29.)c), s uzimanjem v račun :

odtud razklad , .

, i odtud se razkladajut po \ 25, formy 12. poręda C).

3. Svijanje s sistemom III--III, t.j. s formami sistema III:

formy:

:

Produkty II--III, pri jednakom porędu v simbolah i , treba smatrjati vyšimi než produkty III--III.

Redukcije nastavajut častično iz relacij medžu produktami (syzygij), častično črez zaměnu produktov odgovarjajučimi razkladnymi formami i redukciju svijanja tych form s . Produkty, ktore sadržat kontravarianty, vsegda sut izpuščene, ibo oni prehodęt v produkty.

A) kvadratno, simboly v proizvoljnom porędu. Po \ 11, formulah (12.) i analogičnym izčisljenjem imajemo:

Odtud slěduje:

Redukcije

(formuly (31.) i (32.)) vměstě s formulami 1) do 11) davajut redukciju vseh svijanj s produktami, ktore sut kvadratne v simbolah i proizvoljne po .

B) Produkty po dva iz simbolov ; v proizvoljnom porędu. Po formulah (17.), (18.), (20.) i črez neposrědnje izčisljenje imajemo relacije:

Odtud slěduje:

Formuly sut vedene dotud, dokle produkty stavajut se polarizovnymi; t.j. črez svijanje nastavaje samo jeden novy produkt, ibo a) svijanje produkta v samogo sebe stavaje se reducibilno, b) ostale produkty, ktore nastavajut črez svijanje, stavajut se reducibilne abo vedut do kontravariantov (sr. \ 3. 2), a) i b)).

Formuly 1) do 5) davajut redukciju vseh svijanj s produktami, ktore nastavajut iz črez svijanje. Formuly 6) do 10) davajut redukciju tych produktov, ktore nastavajut iz črez svijanje. Po \ 24 A), s uzimanjem v račun formul 6) do 10), svijanja s produktami, ktore nastavajut iz , se razkladajut.

Imajemo:

Reducenty:

vměstě s formulami 11) do 14) davajut redukciju vseh produktov, ktore nastavajut iz , , .

Naše dotedašnje izčisljenja možno jest skratiti v slědujučem zaključenju:

Relativno polny sistem mod sostojit iz slědujučih 331 form i podsistemov, ktore niže davajemo takože v tabelarnom porędku.

plain Tabela I (gl. str. 90)

1.35

max width=0.98 ,max totalheight=0.78 ,center |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|

& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21

0 & i & & & & f & & & & K_ (k x)^3 & & K_ (k x)^3 & & & & ( ^3 x)^4 & H_k(k , x)^4 & & _l( k,lx)^5 & & & & ( ^2lx)^6

1 & & u_x & & & & _ ( x)^2 & & _ ( x)^2 & N & (k x)^3 & _ ( ^2 x)^3 & (k x)^3 & H_ ( ^2 x)^3 _ ( ^2 x)^3 & & _l( ^2lx)^4 & & ( k, ,x)^4 & & ( k,l,x)^5 & & &

2 & & & a_ ^2 & & a_ ^2 & & ( x)^2 & K_ (k x)^2 & ( x)^2 & H_k(k x)^2 K_ (k x)^2 & & ( ^2 x)^3 K_l(klx)^3 & & ( ^2 x)^3 & & ( ^2lx)^4 & & & & & &

3 & & _ ^3 & & a_ & _ ( x) & _ a_ & K H_ ( x) _ ( x) & _ & (k x)^2 _l( lx)^2 & & (k x)^2 & & (klx)^3 & & & & & & & & &

4 & & & H _ ^2 & (j x)^3 a_ (aHu) & _ ^2 & ( x) a_l^2 & & N_ ( x) & & H_ N_ ( lx)^2 & & & & & & & & & & & &

5 & & a_ (aHu)^2 & _ ^2( Hu) & _ & K_ ^2(aHu) & _ & K_ ^2 ( Hu) a_l & & _l & & & & & & & & & & & & &

6 & j & & (j x)^2 (aHu)^2 & L a_ ^2(j x) H_ ( Hu) _ ( Hu) & K_ l^2 & & & K & & & & & & & & & & & & & &

7 & & _ ( Hu)^2 & H_j(j x) a_l(aLu)^2 & & a_ (j x) ( Hu) & & _ (j x) _l & K_l^2 & & & & & & & & & & & & & &

8 & H_j^2 a_l(aLu)^3 & ( x) (j x) & ( Hu)^2 & K_ (KHu)^2 (j x) (aLu)^2 & & & & & & & & & & & & & & & & & &

9 & & H_j (aLu)^3 & a_ (aHu)H_j L_ ( Lu)^2 _l( Lu)^2 & & (KHu) & & & & & & & & & & & & & & & & &

10 & l( Lu)^3 & L_j (j x) a (aH^2u)^3 & & H_j(aHu) ( Lu)^2 & & & & & & & & & & & & & & & & & &

11 & & ( Lu)^3 & K_l(KLu)^3 L_j (aH^3u)^3 & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

12 & (aH^2u)^4 & a_l(aLu)^2L_j H_ ( H^2u)^3 _ ( H^2u)^3 & & (KLu)^3 & & & & & & & & & & & & & & & & & &

13 & ( j) & & (aLu)^2L_j ( H^2u)^3 & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

14 & ( H^2u)^4 & K_ (KH^2u)^4 (a,H! L,u)^4 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

15 & L_9( ,H! L,u)^4 & & (KH^2u)^4 & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

16 & ( ,H! L,u)^5 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

17 & K_ (K,H! L,u)^5 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

18 & & (K,H! L,u)^5 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

19 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

20 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

21 & (KH^3u)^6 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

(Čisla v najvyšem horizontalnom rědu označajut stepenj po ; čisla v prvom vertikalnom rědu označajut stepenj po .)

plain Tabela II (gl. str. 90)

1.35

max width=0.98 ,max totalheight=0.78 ,center |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|

& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16

0 & J & & & & s & & s_ ^2 & & & & & s_ & (k x)^3s_ & ( ^3 x)^3s_ s_ _ ( ^2 x)^3s_ & & _ ( ^2 x)^3s_ &

1 & & & & & & & (asu) & s_ & s_k^2 ( su) & s_ (Nsu) ( x)^2s_ & ((k x)^3,s,u)s_ (K_ (k x)^3,s,u) & & (K_ (k x)^3,s,u) & & ( ^2 x)^3s_ & & (( ^2 x)^4,s,u)

2 & & & & & (asu)^2 & s_ ( su) & ( su)^2 a_ s_ & (( x)^2,s,u)s_ ( _ ( x)^2,s,u) & & s_k ( _ ( x)^2,s,u) & & (k x)^2s_ ((k x)^3,s,u) & & ((k x)^3,s,u) & & &

3 & & & (asu)^3 & s_ ( su)^2 s_ & a_ s_ (asu) a_ ^2(asu) & s_ & ( su) (a_ ^2su) & s_k(Ksu) & (Nsu)^2 ( x)s_ (( x)^2,s,u) & ((k x)^3,s,u)^2 & (( x)^2,s,u) & & & & & &

4 & (asu)^4 & s_ ( su)^3 & a_ ^2(asu)^2 & ( _ ^3su) & ( su)^2 & s_k(Ksu)^2 a_ (asu) s_ (asu) & (( x)^2,s,u)^2 _ s_ & s_ ( su) ( _ su) (aHu)s_ (a_ su) & & ( _ su) & & & & & & &

5 & & & ( su)^3 & s_k(Ksu)^3,s_j s_ ( s^ u)^4 s_ (asu)^2 a_ (asu)^2 & (Hsu) (( x)^2,s,u)^3 ( _ ( x),s,u)^2 ( _ ^2su) & ((j x)^3,s,u) (aHu)^2s_ (a_ su)^2 & (Ksu)^2 s_l ( _ ^2su) & & ((k x)^2,s,u)^2 K_ s_ & & & & & & & &

6 & ( su)^4 & s_ (asu)^3 a_ (asu)^3 & (Hsu)^2 ( _ ( x),s,u)^3 ( _ ^2su)^2 & (a_ (aHu),s,u)^2 (a_ (aHu)^2,s,u) & (Ksu)^3 & (( x),s,u)^3 ( _ ^2su) & ((k x)^2,s,u)^3 & (( x),s,u) ( Hu)s_ ( _ su) & & & & & & & & &

7 & ( _ ( x),s,u)^4 & (a_ (aHu),s,u)^3 & (Ksu)^4 ( _ ^2( Hu),s,u)^2 (a_ ^2 a_ 1^2,s,u)^3 & s_j(asu)^2 s_k(Ks^2u)^3 ((j x),s,u)^3 ( _ su)^2 & (j x)s ((j x)^2,s,u) ((aHu),s,u)^2 ((aHu)^2,s,u) & (( x),s,u)^3 ( _ su)^2 & (aLu)^3s_l (asu)^3 & & & & & & & & & &

8 & (a_ ^2 a_ ^2,s,u)^4 & s_j(asu)^3 s_k(Ks^2u)^6 (( x),s,u)^4 ( _ su)^3 & ((j x)^2,s,u)^2 ((aHu),s,u)^3 ((aHu)^2,s,u)^3 & (Lsu)^2 (a_ ^2(j x),s,u)^2 (H_ ( Hu),s,u)^2 ( _ ( Hu),s,u)^2 ( _ ( Hu)^2,s,u) & (a_lsu)^3 & (K_ su)^2 & & (K_ su)^2 & & & & & & & & &

9 & (K_ ^2su)^4 ((aHu),s,u)^4 & (Lsu)^2 (a_ ^2(j x),s,u)^3 ( _ su)^4 ( _ ( Hu),s,u)^3 & (Ks^2u)^6 (a_l(aLu)^2,s,u)^2 (a_ ^2 H,s,u)^3 & (K_ su)^3 & (a_ (j x),s,u)^2 (( Hu),s,u)^2 (( Hu)^2,s,u) & & ( _lsu)^3 & & & & & & & & & &

10 & & (K_ su)^4 (a_ ^2 a_ (aHu)^2,s,u)^3 & (a_ (j x),s,u)^3 (( Hu),s,u)^3 (( Hu)^2,s,u)^2 & ((j x),s,u)^2 (H_jsu) ((aLu)^2,s,u)^2 ((aLu)^3,s,u) & & & & & & & & & & & & &

11 & (a_ (j x),s,u)^4 (( Hu),s,u)^4 & (K_ (KHu)^2,s,u)^3 ((j x),s,u)^3 ((aLu)^2,s,u)^4 (a_ H,s,u)^4 & (H^2su)^3 ( _l( Lu)^2,s,u)^2 & & ((KHu)^2,s,u)^2 & & & & & & & & & & & &

12 & & (a_ (aHu)^2 H,s,u)^3 & ((KHu)^2,s,u)^3 & ((aHu)H_j,s,u)^2 (( Lu)^2,s,u)^2 (( Lu)^3,s,u) & & & & & & & & & & & & &

13 & ((KHu)^2,s,u)^4 & ((aHu)H_j,s,u)^3 (( Lu)^2,s,u)^3 ( _ H,s,u)^4 & (L_jsu)^2 ((aH^2u)^3,s,u)^2 ((j x)^2 H,s,u)^3 ((aHu)^2 H,s,u)^3 & & & & & & & & & & & & & &

14 & ((j x)^2 H,s,u)^4 ((aHu)^2 H,s,u)^4 & ( _ ( Hu)^2 H,s,u)^3 & & ((KLu)^3,s,u)^2 & & & & & & & & & & & & &

15 & (a_l(aLu)^2 H,s,u)^4 & ((KLu)^3,s,u)^3 & ((aLu)^2L_j,s,u)^2 (( H^2u)^3,s,u)^2 (( Hu)^2 H,s,u)^3 & & & & & & & & & & & & & &

16 & (( Hu)^2 H,s,u)^4 (a_ H_j,s,u)^4 & ((j x) H,s,u)^4 (H_j H,s,u)^3 ((aLu)^2 H,s,u)^4 ((aLu)^3 H,s,u)^3 & & & & & & & & & & & & & & &

17 & ( _l( Lu)^2 H,s,u)^4 & & ((KH^3u)^4,s,u)^3 & & & & & & & & & & & & & &

18 & & (( Lu)^2 H,s,u)^4 (( Lu)^3 H,s,u)^3 ((aHu)^2 H_j,s,u)^3 & & & & & & & & & & & & & & &

19 & ((aH^3u)^3 H,s,u)^4 (L_j H,s,u)^4 & & & & & & & & & & & & & & & &

20 & & ((KLu)^3 H,s,u)^4 & ((aLu)^3 H_j,s,u)^2 & & & & & & & & & & & & & &

21 & (( H^2u)^3 H,s,u)^4 ((aLu)^2 H_j,s,u)^4 & & & & & & & & & & & & & & & &

22 & & & & & & & & & & & & & & & & &

23 & ((KH^2u)^4 H,s,u)^4 & ((aH^2u)^3 H,s,u)^3 & & & & & & & & & & & & & & &

(Čisla v najvyšem horizontalnom rědu označajut stepenj po ; čisla v prvom vertikalnom rědu označajut stepenj po .)