3. K invariantnoj teoriji form v prěměnnyh

Jahresbericht d. DMV 19 (1910), s. 101--104

V projektivnoj invariantnoj teoriji form v prěměnnyh glavno pytanje jest rěšeno: konečnost sistema form jest dokazana. No ręd daljnyh pytanj ješče ne byl razmotren, imeno tych, ktore odnosęt se k metodam izslědovanja svęzi medžu formami. Rezultaty, ktore ja dobila v odnosu k takim pytanjam, hoču kratko podati, ale radi jasnošći najprvo načrtnuti postavky pytanj v ternarnoj oblasti, kde ony sut poznane.

Najprvo imam v vidu dvě fundamentalne teoremy simboličnogo metoda: teoremu, že vse invariantne tvorjenja možno predstaviti simbolično, i drugu teoremu, že vse relacije, obstavajuće medžu invariantami, dostajut se poslědovateljnym priměnjenjem malogo čisla simboličnyh identičnostij; značit, simboličny metod daje vse relacije bez vyhoda iz oblasti invariantov. Na toj osnově potom idut procesy tvorjenja form, simboličny proces svijanja i nesimbolične procesy diferenciranja, teorija razloženj v rędy i podobno. K tomu hoču nazvati ješče jednu teoremu, dokazanu v mojej disertaciji, imeno, že vse svijanja možno stvoriti poslědovateljnym priměnjenjem dveh možnyh ``kogredientnyh'' svijanj; pod tym pri simboličnom produktu razuměju dvě svijanja i . Na toj teoremě možno izgraditi teoriju reducentov i redukcije sistemov form, analogično kako v binarnoj oblasti, kako ja pokazala v mojej disertaciji.

Ako teper prějdemo k -arnoj oblasti, togda uže prva teorema simboličnogo metoda plati samo uslovno. Poznano jest, že uže pri kvaternarnyh formah, kromě točkovyh koordinat i ravninskih koordinat , nastavajut koordinaty prěmyh , to jest minory iz dveh rędov točkovyh koordinat. Analogično v -arnoj oblasti imamo rędy prěměnnyh , čiji pojedine elementy sut minory iz rędov , i rędy simbolov , čiji elementy ponašajut se kako minory iz rędov , kogredientnyh k . Simbolično predstavjenje črez determinanty, kako poznano, plati samo togda, kogda rędy simbolov razkladajut se v rędy i ty razprědělajut se medžu različnymi determinantami; realno značenje imajut potom samo take agregaty determinantov, ktore zavisęt od . Ale ktore agregaty determinantov to dělajut, ne možno pregledno ustanoviti; tym gubęt se vse ostale teoremy, nazvane v ternarnoj oblasti.

Teper hoču dati prosto načelo, da by se dobilo simbolično predstavjenje, eksplicitno v rędah , i s tym takože ostale teoremy. To jest priměnjenje poznanoj teoremy o odgovarjajučih matricah: ``Vsakomu rędku prěměnnyh vzaimno jednoznačno odgovarja drugy ręd , čiji pojedine elementy sut minory iz rędov , svęzanyh s rędami jednačenjami .'' Odgovarjajuće, vsakomu rędku simbolov jest prirędžen drugy , ktory ponaša se kako by byl sostavljen iz rędov, kogredientnyh k .

Ta teorema dopušča i drugu formulaciju, ugodnu za priměnjenja: Vsakomu matričnomu produktu , kde rędy drugoj matrice sut kontragredientne k rędam prvoj, prirędžuje se determinant; i obratno, vsak determinant možno prěobraziti v matričny produkt s prědpisanym čislom rędov .'' Tak determinant i matričny produkt javljajut se kako polno ekvivalentne, i prva teorema simboličnogo metoda dobiva formu: Vse invariantne tvorjenja možno simbolično predstaviti matričnymi produktami.'' Iz dveh rędov simbolov , s pomočju rędov prěměnnyh teper velmi lahko možno stvoriti matričny produkt, ktory eksplicitno obsahuje ty rędy simbolov i zato predstavlja invariantno tvorjenje formy , imeno:

Važnějša jest obratnost: že vse invariantne tvorjenja možno eksplicitno predstaviti matričnymi produktami, tak že vyše dany proces znači proširenje binarnogo i ternarnogo procesa svijanja. Za dokaz toj obratnosti potrěbno jest prěnesti drugu teoremu simboličnogo metoda na -arnu oblast, imeno ustanoviti cělu množinu nezavisnyh nerazložimyh identičnostij, pri ktoryh vse rędy , razmatrivajut se kako nerazložime. Te identičnosti dostajut se iz poznanyh, ktore obsahujut samo rędy i , črez zaměnu teoremy produkta za determinanty sistemom teorem produkta za matrice, i črez stęgnenje različnyh matričnyh produktov v jeden jediny s pomočju točno tych teorem produkta. Tak se dohodit do dveh dualističnyh formul, iz ktoryh tuto navedena jest samo jedna:

Jedina specializacija, ktora jest v tych formulah, imeno vhodenje ręda , ne može se objti; pri vpolno obćih rędah simbolov i prěměnnyh dohodimo do razkladnoj identičnosti'', identičnosti, v ktoroj ręd razkladaje se na pojedine rędy . Najprostějši specialny slučaj razkladnoj identičnosti uže upotrěbil Clebsch v svojoj fundamentalnoj zadači invariantnoj teorije'' za izvodženje elementarnyh kovariantov pri razloženjah v rędy. S pomočju tych identičnostij, ktore posrědkujut prěhod od neeksplicitnyh determinantnyh vyraženj k matričnomu produktu, možno v istině dokazati, že s matričnym predstavjenjem dobito jest želano eksplicitno simbolično predstavjenje.

Za proces svijanja pak plati cělkom analogična teorema kako v ternarnoj oblasti; na njej možno takože analogično izgraditi redukcijne teoremy. Ako v (1) označimo čislo kako defekt svijanja, a svijanja, za ktore , kako kogredientne, togda vse svijanja možno stvoriti poslědovateljnym priměnjenjem kogredientnyh svijanj defekta 1. Dokaz toj teoremy osnovno opira se na fakt, že najobćejše formy možno zaměniti ``normalnymi formami'', t. j. formami, ktore pri priměnjenju vsih invariantnyh diferencialnyh operacij identično izčezajut. V kvaternarnoj oblasti tut fakt dokazal Mertens; naše poznanje najobćejših diferencialnyh operacij -- ktore, kako poznano, izhodęt iz procesov svijanja črez zaměnu rędov simbolov diferencialnymi simbolami -- dozvoljaje nam, s priměnjenjem razkladnoj identičnosti, skoro doslovno prěnesti Mertensov dokaz na -arnu oblast.