4. K invariantnoj teoriji form v prěměnnyh

Journal f. d. reine u. angew. Math. 139 (1911), s. 118--154

Vvod. V projektivnoj invariantnoj teoriji form v prěměnnyh pytanja, prisojedinjene k glavnomu pytanju -- dokazu konečnosti sistema form, -- malo byly razmotrene, ako idemo poza binarnu i ternarnu oblast. To sut pytanja o vzaimnoj zavisimosti form i o metodah ovladanja tym svęzom medžu formami. Te metody osnovno opirajut se -- kako to v binarnoj i ternarnoj oblasti jest polno dokazano -- na dvě teoremy, ktore Study označil kako ``fundamentalne teoremy simboličnogo metoda'', imeno na teoremu o simboličnoj predstavimosti form i na teoremu o simboličnyh identičnostjah. Poslědnja teorema govori, že vse relacije medžu cělymi invariantnymi tvorjenjami dostajut se poslědovateljnym priměnjenjem malogo čisla simboličnyh identičnostij; značit, simboličny metod, i samo on, daje poznanje svęza medžu formami bez vyhoda iz oblasti invariantov.

Na pričinu trudnosti pri prěhodu k prěměnnym uže ukazal Gordan v svojem Erlangenskom programu; ona leži v tom, že prva teorema simboličnogo metoda v svojem obćem formulovanju věče ne plati. V -arnoj oblasti, kako poznano, nastavajut rędy prěměnnyh vyšego nivoja i analogično rędy simbolov vyšego nivoja ; k tym rędam se dohodit i togda, kogda se, kako izvorno pri Clebschu, izhodit iz form s libovolno mnogymi rędami , i togda, kogda se, po postupku F. Deruytsa i A. Capellija, izhodit iz form, ktore obsahujut samo libovolno mnogo kogredientnyh rędov . Simbolično predstavjenje, ktore by eksplicitno obsahovalo rędy , , teper ne obstaje; potrěbno jest razložiti , v pojedine rędy i v k nim kontragredientne i razděliti je medžu različne determinanty. Pravda, s pomočju diferencialnyh uslovij (srav. formulu (19.)) možno prověriti, že dany agregat determinantov ima vlastnost zavisěti samo od rędov , ; ale obzor nad cěloju množinoju invariantnyh tvorjenj i nad procesami za jih tvorjenje ne možno takim sposobom dobiti.

Teper pokazujemo v \ 2 i 6, kako s priměnjenjem teoremy o odgovarjajučih matricah'' možno znovu dobiti prvu fundamentalnu teoremu v jej obćnosti, zaměnivši predstavjenje črez determinanty predstavjenjem črez matrične produkty''. V \ 2 pokazuje se, že vsak matričny produkt, ktory eksplicitno obsahuje rędy , jest invariantno tvorjenje osnovnoj formy; obratnost, dana v \ 6, že vsako invariantno tvorjenje možno eksplicitno predstaviti matričnymi produktami, uspěva samo črez prěnos drugoj fundamentalnoj teoremy ( \ 3--5).

Ta teorema jest poznana za formy, ktore obsahujut samo rędy prěměnnyh . Obće pytanje -- ustanoviti cělu množinu nerazložimyh identičnostij, pri ktoryh vse rędy razmatrivajut se kako nerazložime, -- formuloval Study; on Jednočasno vidi v čislu nastavajučih identičnostij měru trudnosti metodov v -arnoj oblasti. Kogda teper uspěva se sojediniti cělu množinu identičnostij v jednu formulu (36.), ta trudnost jest najmanje snižena do minimuma. Pri priměnjenju však često nastavajut něktore vyznačene specialne slučaji od (36.), kako (20.), (21.), ktore sut karakterizovane tym, že dopušćajut eksplicitno predstavjenje bez substitucije novih rędov; abo formula (31.), ktora nazyva se ``razkladna identičnost'', bo ręd v njej na vid javja se razloženym v rędy .

Na dveh fundamentalnyh teoremah možno teper lahko izgraditi daljnu teoriju. Prva teorema neposrědnje daje procesy tvorjenja form, simboličny proces svijanja i nesimbolične procesy diferenciranja, medžutym kako razkladna identičnost medžu tymi procesami izključaje vse ekvivalentne ( \ 6). Poznanje procesov diferenciranja dalej daje prěnos pojma normalna forma'' na -arnu oblast i, s pomočju dokaznogo postupka, danogo Mertensom v kvaternarnoj oblasti, teoremu, že sistem invariantnyh tvorjenj možno zaměniti ekvivalentnym sistemom normalnyh form ( \ 7). Pod tym poslědnjim prědpoloženjem ja pokazala v mojej disertaciji, že ternarny proces svijanja možno stvoriti poslědovateljnym priměnjenjem dveh osnovnyh svijanj. Na osnově toj teoremy i teorije razloženj v rędy ja potom, vvedši pojem ręd form'', razvila glavne redukcijne teoremy za sistemy form. Cělkom analogično v -arnoj oblasti proces svijanja možno stvoriti iz osnovnyh svijanj ( \ 8), i možno ustanoviti redukcijne teoremy ( \ 9).

Dodatna zamětka. Pri Salzburgskom soobćenju prof. E. Müller iz Vědnja obratil moju vnimljivost na to, že računanje s matričnymi produktami, ktore leži v osnově toj raboty, v principu jest identično s kalkulom Grassmannovej nauky o razširjenju. V istině Grassmannov kombinatoričny produkt'' možno razmatrivati kako matricu, danu tymi rędami (srav. \ 2), i to progresivny produkt'' kako matricu samyh rędov, regresivny'' kako matricu prirędženyh rędov , medžutym kako matrica, odgovarjajuča směšanomu produktu'', nastavaje, kogda nekoliko rędov sojedinja se črez substituciju (9.) v nove rędy . Naš prirędženy ręd'' odgovarja pri tom Grassmannovomu dopolnjenju'', a naš matričny produkt'' -- směšanomu produktu stupnja 0''.

Po toj prirędženosti razloženje, dano v Ausdehnungslehre 1862, Nr. 113, stavaje identično s formuloju, dualističnoj k našoj formuli (32.). V specialnom slučaju formula (32.) prěhodi v (17.), a dualistična formula v (16.). Iz tych specialnyh slučajev Grassmannovogo razloženja Müller nedavno izvel vyše spomenute identičnosti (20.), (21.).

Naše izvodženje, v razlikě od Grassmann--Mullerovogo, Jednočasno daje dokaz polnosti identičnostij, što za pytanja, ktore tuto sut razmatrivane, javja se najvažnějšim; ono ide od (20.), (21.) dalej k najobćejšim nerazložimym identičnostjam (36.), ktore do sega časa, kako se zda, ješče ne byly zaměčene.

\ 1. Označenja i opreděljenja. Svod poznanyh rezultatov.

Kako obyčno, označajemo ręd prěměnnyh kako ręd elementov , i analogično ręd prěměnnyh ( ) kako ręd iz elementov , kde označuje determinantov, utvorenih iz matrice rędov :

Po teoremě o odgovarjajučih matricah vsakomu rědu vzaimno jednoznačno prirędžen jest drugi ręd črez relaciju, koja plati za vsak element rěda:

kde i sut oddělno uporędžene i vměstě tvorjat polnu permutaciju čisel od 1 do . Ręd sostaji iz determinantov stupnja , , utvorenih iz matrice rędov , kontragredientnyh k . Te rędy zadovoljajut uslovnym uravnenjam:

S Clebschom budemo jih smatrati tako normovanimi, že faktor proporcionalnosti, ktory by inače vhodil v (1.), postavljen jest ravnym jedinici.

Po Clebschu (i takože po pozdnějših izslědovanjah F. Deruytsa i A. Capellija, srav. Vvod), najobće formy možno svesti k takim, ktore obsahujut najviše jeden iz vsakogo od rędov , to jest simbolično se predstavjajut tako:

kde, po analogiji s (2.), postavljeno jest

Iz-za nelinearnyh identičnyh relacij medžu elementami rěda rędy simbolov možno normovati tako, že ony zadovoljajut tym samym identičnostjam, to jest vedut se kako determinanty -rędnoj matrice, ktorej rędy sut kontragredientne k . Zato vsakomu rědu možno vzaimno jednoznačno priręditi drugi ręd črez relaciju:

kde znovu i sut oddělno uporędžene i vměstě točno izčerpavajut čisla od 1 do . Elementy rěda vedut se kako determinanty, utvorene iz rędov , kogredientnyh k , a rędy i sut svęzane črez uslovij:

Iz relacij (1.) i (4.) slěduje, že vsaky faktor v (3.) dopušča ekvivalentno četverokratno simbolično predstavjenje:

kde, kako vsegda dalje, i sut skraćenja za determinanty i ; črez Laplaceovo razloženje pokazuje se, že ony zavisęt samo od rędov odnosno , što imaje označiti vyše dano pisanje. Izrazy i označajut, po vyše danom objašnjenju, produkty matric rędov i , odnosno rędov i , pri čem pod matričnym produktom razuměje se suma produktov odgovarjajučih determinantov, to jest vrědnost determinanta produktnoj matrice.

Karakteristično čislo , ktore prinadleži rědu simbolov (odnosno rědu prěměnnyh), nazyvamo po Clebschu vagoju rěda; čislo , ktore dava čislo rędov , gornym indeksom vagy, a čislo , ktore dava čislo rędov , dolnym indeksom vagy. Iz relacij (4.) slěduje, že ręd simbolov može nastupiti v jednej i toj samoj relaciji jeden raz s gornym, a drugi raz s dolnym indeksom vagy; tože plati za nastupanje odpovědajučih rędov i . Ješče zaměčajemo, že obćno označajemo: rędy prěměnnyh vyšego nivoja, ktoryh odgovarjajuča matrica sostaji iz rędov , črez ; te, ktoryh matrica sostaji iz rędov , črez ; rędy simbolov, kogredientne k , malymi grěčskymi bukvami ; rędy simbolov, kogredientne k , malymi latinskymi bukvami ; vse druge rędy simbolov velikymi latinskymi bukvami s indeksom vagy: , , odnosno , , . Soglasno gornomu abo dolnomu indeksu vagy pišemo takože pojedine elementy rěda s gornymi abo dolnymi indeksami, kako na primjer v (4.).

\ 2. Predstavjenje črez matrične produkty.

V daljnjem pod matričnym produktom'' vsegda razumějemo sumu po produktah odgovarjajučih determinantov dvuh matric s ravnym čislom rędov, kde rędy drugoj matrice sut kontragredientne k rędam prvoj. Pri tom rędy vsakoj matrice mogut: 1. byti dane pojedinačno, 2. kako v (6.) byti sjedinjene v jeden ręd , 3. byti sjedinjene v različne rędy . Matričny produkt budemo označati simbolom , upotrěbjenym v (6.). Predstavjenje (6.) jest specijalno upotrěbjenje drugoj formulacije teoremy o odgovarjajučih matricah: Vsakomu -rędnomu matričnomu produktu prirędžen jest determinant; i obratno, vsakomu determinantu možno priręditi matričny produkt predzadannogo čisla rędov ( )''. V samoj dějstvitelnosti treba samo sjediniti rędy v jeden ręd (odnosno rędy v jeden ręd ) i izvršiti substitucije, dane v (1.), aby od danogo matričnogo produkta dojdti k determinantu i obratno. Vrědnost determinanta pri tom, odnako, ne jest dana njegovymi pojedinymi elementami, no javja se tek črez Laplaceovo razloženje. Tako, poněže determinant i matričny produkt pokazujut se ekvivalentnymi, teoremu o simboličnoj predstavimosti form (prvu fundamentalnu teoremu) možno izrekti tako:

Teorema I: ``Vse invariantne tvorjenja možno simbolično predstaviti matričnymi produktami, i obratno, vse matrične produkty sut invariantne tvorjenja''.

Predstavjenje črez matrične produkty dozvalja prevladati suštnu težkost neeksplicitnogo predstavjenja, uslovjenu determinantnym predstavjenjem. Pod ``eksplicitnym predstavjenjem'' tu razumějemo tako predstavjenje, v ktoro vhodęt samo rędy same, abo jednoznačno iz njih izvodime rędy , v ktorom že pojedine častne rędy više ne nastupajut. V \ 6 za vse invariantne tvorjenja, ktore zavisęt samo od rędov simbolov , polučimo eksplicitno predstavjenje v tyh rędah simbolov, i tym samym prěnos tvorjajučih procesov, procesa svijanja i procesov diferencijacije, na -arno oblast. Možnost eksplicitnogo predstavjenja stava jasna iz togo, že samo najprostějše matrične produkty možno pravo priręditi determinantam, ktore nastupajut v determinantnom predstavjenju; znači, vse druge matrične produkty sut sjedinenja različnih determinantov v jedin izraz. Bo ako razložiti rędy simbolov i rędy prěměnnyh na pojedine rędy , to po prvoj fundamentalnoj teoremě v jej obyčnoj formě neobhodno musi nastati agregat determinantov. Dokaz togo, že, obratno, vse agregaty determinantov, ktore predstavljajut invariantne tvorjenja predzadannyh osnovnyh form, možno sjediniti v eksplicitne matrične produkty, proizhodi s upotrěbjenjem drugoj fundamentalnoj teoremy ( \ 6).

Aby teper iz dvuh rędov simbolov s pomoću rędov prěměnnyh dobiti invariantno tvorjenje osnovnoj formy , ktore eksplicitno vsebuje vse rędy (proces svijanja), treba samo utvoriti matričny produkt tretjega vida po opreděljenju, danomu na početku togo paragrafa:

V razvinutom vidu (7.) dava:

to jest izraz, ktory zavisi samo od rędov . Tu , a sumu treba razuměti tako: indeksy vsakogo rěda sut medžu soboju dobro uporędžene, i za vsaku kombinaciju kako , tako i pojedinačno prohodęt vse togda ješče možne permutacije čisel . Čislo , vhodeče v (7.), nazyvamo defektom svijanja v slučaju ; pričina togo poslědnjego ograničenja stane jasna v \ 6.

Determinanty dvuh matric, vhodečih v (7.), možno smatrati elementami novih rędov , ktorym prirędžene rędy nehaj budut . Te rędy možno po (8.) izraziti črez izhodne i , odnosno črez i . To označajemo uravnenjami:

S uvažanjem (4.) potom, analogično k (6.), za matričny produkt (7.) plati ekvivalentno četverokratno simbolično predstavjenje:

Daljnu substituciju novih rędov možno izvršiti v (7.), položivši:

I tu (8.) pokazuje, že produkty elementov rędov jednoznačno se izražajut črez rędy i . Substitucije (9.) i (11.) budut upotrěbjane posebno togda, kogda s (7.) bude izvršeno daljše svijanje s drugimi rędami.

Matrično predstavjenje dava nam sposobnost invariantno zapisati kvadratične relacije medžu elementami rěda (iz ktoryh, kako znano, slědujut vse druge), to jest po \ 1 relacije, linearny v koeficientah osnovnoj formy, ktorym zadovoljajut rędy . To sut identičnosti:

kde i treba smatrati kako libovolne veličiny. V \ 5 uvidimo, že identičnosti s neparnym čislom defekta sut poslědica onyh s vyšim defektom. Relacije (12.) sut neposrědna poslědica relacij (5.); bo imajemo:

i upotrěbjenje teoremy produkta zaradi (5.) dava nulovy -rędny determinant. Identičnosti (12.) govoręt, že za iziskanje vseh tipov svijanij dostatočno jest svijati produkt form, linearnyh v vsakom rědu prěměnnyh; abo takože, po \ 6, že normovana forma ne imaje invariantnogo tvorjenja, linearnogo v koeficientah.

Uslovja (12.) sut takože dostatočne za karakterizaciju rędov . Poněže svojstvo, že pojedine elementy sut determinanty matrice, jest invariantno, ono musi takože byti možno izraziti invariantno; uslovja (12.) že po Teoremě VI predstavljajut największe možno invariantno ograničenje za , imenno to, že linearna forma, utvorena iz rěda kako iz koeficientov, vobće ne imaje invariantnyh tvorjenj.

\ 3. Simbolične identičnosti.

Teper imamo prěnesti drugu fundamentalnu teoremu simboličnogo metoda, imenno ustanoviti cělu množinu nereduktibilnyh nerazložimyh identičnostij, v ktoryh vse rędy razmatrivajut se kako nerazložime. Pri tom ješče ustanavljajemo slědujuče. Soglasno značenju rędov simbolov i rędov prěměnnyh, takie identičnosti treba smatrati sostavnymi, ktore nastavajut, kogda ręd prěměnnyh se specializuje do i na nastavajuče izrazy se priměnja jedna iz identičnostij sistema; medžutym s drugoj strany identičnosti, ktore obsahujut rędov simbolov, imajut platiti kako nerazložime, takože ako nastavajut iz identičnostij s menšim čislom rędov simbolov črez vyše opisany proces. Rędy ne morajut neobhodno vhoditi v identičnosti eksplicitno; za jih razuměnje kako nerazložimyh veličin dostatočno jest dokazati, že nastavajuče matrične produkty zavisęt samo od tyh rędov. My však pokažemo, že v tom slučaju, častično s upotrěbjenjem substitucije (11.), vsegda možno dostignuti eksplicitno predstavjenje. Obće identičnosti dostajemo pomoću principa matričnogo predstavjenja iz specialnyh identičnostij, danyh Pascalom, ktore obsahujut samo rędy i i sut neposrědnym prěnosom onyh, ktore Study dal za ternarnu oblast:

Dvě daljše identičnosti izhodęt iz (13.) i (15.) črez substitucije , odnosno , i zato po našem razuměnju ne treba jih smatrati suštno različnymi. (14.) predstavlja teoremu produkta za determinanty; pokažemo, kako možno zaměniti (13.) i (14.) (i dualistično (15.) i (14.)) sistemom podobno utvorenyh teorem produkta za matrice. Teorema produkta, utvorena jeden raz za -rędne, a drugi raz za -rędne matrice, imaje vid:

i iz togo slěduje sistem teorem produkta, kde :

Za (16.) prěhodi v (13.); ako dalje specializujemo , i t. d., i priměnjamo identičnosti (16.) na izrazy , i t. d., togda prihodimo od (13.) k (14.). Identičnost (14.) jest tako po našem opreděljenju sostavjena iz identičnostij (16.); abo sistem (16.) jest ekvivalentny identičnostjam (13.) i (14.). Sistem (16.) izpolnja jedno iz uslovij, potrěbnyh za obće identičnosti: on obsahuje ręd kako nerazložimu veličinu i Jednočasno v eksplicitnoj formě. To jest jediny sistem, ktory izpolnja to i samo to potrěbovanje. Bo iz rędov ne možemo utvoriti nikake daljše determinanty abo matrične produkty; a medžu nimi ne mogut obstajati relacije nezavisne od (16.), poněže inače by črez eliminaciju nastala relacija medžu ( ) izrazami , medžutym po (13.) najmanje takih izrazov mora vhoditi v jednu relaciju. Iz analogičnyh razsmotrenj dostajemo sistem, ekvivalentny (15.) i (14.):

Aby prějdti od (16.) k identičnostjam medžu libovolnymi rędami , imajemo na umu, že te identičnosti musęt stati identične s (16.), čim razložimo , i t. d.; i že ony se takože mogut sjediniti v zaključne izrazy samo črez operacije, opreděljene (16.), čim pojedine izrazy sut tipa vhodečego v (16.). Tako, ako ješče postavimo

dostajemo:

Vsaka pojedina suma (no ješče ne čast sumy) v samoj dějstvitelnosti obsahuje rędy kako nerazložimu veličinu; bo ona izpolnja potrěbne i dostatočne uslovja:

Pokazujemo, že ona obsahuje vse rędy takože eksplicitno. Bo ako postavimo , togda po (16.) i (10.) dostajemo:

Ako analogično izračunamo ostale sumy i potom, poněže rędy sut črez indeksy vagy uže označene kako različne, postavimo , , dostajemo želane identičnosti:

A iz (17.) dostajemo dualistične:

Teorema II. S (20.) i (21.) izčerpana jest cěla množina nerazložimyh identičnostij medžu rędami , odnosno , i Jednočasno cěla množina tyh nerazložimyh identičnostij, ktore dopuščajut eksplicitno predstavjenje bez izvršenja substitucije (11.).

Prva čast teoremy slěduje iz razsmotrenj za vyvedenje (20.) i (21.); druga čast iz nemožnosti identičnosti medžu dvoma rędami simbolov:

kde i nijeden iz rędov ne imaje vagy . (Druge prědpoloženja o možno svesti k tomu črez zaměnu označenj rędov.) Ta nemožnost slěduje, na primjer, črez razvijanje (8.) pri specializaciji , , ako postavimo , , , vse druge elementy rędov ravne nulu, medžutym kako i sut libovolne. Poněže identičnosti medžu libovolnymi rędami, črez razloženje rěda v , prěhodęt v identičnosti sostavjene iz (20.), druga čast tvrdženja jest dokazana, čim se pokaže, že (20.) možno proizvesti iz identičnostij samo s dvoma rędami simbolov. V samoj dějstvitelnosti iz

črez specializaciju , to jest črez

dostajemo identičnost (20.) v treh rędah simbolov; i črez daljše specializacije i t. d. obće identičnosti (20.). Neobstajanje eksplicitnogo predstavjenja identičnosti medžu dvoma rędami simbolov i dvoma libovolnymi rędami prěměnnyh tako vodi k neobstajanju pri libovolno mnogyh rędah simbolov, ako medžu rędami prěměnnyh ne jest nijeden ręd abo .

\ 4. Razkladne identičnosti.

Teper razmatrivajemo najobćejši slučaj identičnostij medžu libovolnymi rędami simbolov i rędami prěměnnyh, v čijih zaključnyh izrazah bez izvršenja substitucije (11.) ręd javja se razloženym na svoje pojedine rędy , i označajemo takie identičnosti kako razkladne identičnosti. V svęzi s zamětkoju na koncu prědhodnogo paragrafa opreděljajemo jih najprvo za slučaj samo dvuh rędov simbolov, to jest razvijajemo izraz . Pri tom postavljajemo:

S obzirom na čisla treba razlikovati četiri slučaje:

Izberemo prvi iz njih, a potom kratko karakterizujemo ostale. Po (20.), (10.) i (9.), ako ręd razložimo na i , dostajemo:

Poslědnji člen v (23.) imaje točno formu početnogo izraza -- samo jest zaměnjeno s , a s --, zato on znovu dopušča uravnenje (23.). Zato, poněže , možemo priměniti operaciju (23.) razov i, s uzimanjem v račun (10.), prihodimo k relaciji:

Vsaky člen pod znakom sumy znovu jest tipa početnogo izraza: v njem jest zaměnjeno s , s , s , takže uslovje 1) jest izpolnjeno ješče silněje. Zato, poněže , možemo priměniti operaciju (24.) razov i dostajemo želanu razkladnu identičnost:

Za modul iz (24.) slěduje:

kde treba postaviti . Znak sumy v (25.) treba razuměti tako, že k vsakoj kombinaciji , kde , se dodavajut vse vrědnosti , za ktore . Pojedine sumy v (25.), kako se s uzimanjem v račun (26.) lahko uvěrimo, izpolnjajut diferencialne uravnenja analogične k (19.):

i zato zavisęt samo od rěda . Razkladna identičnost jest tedy nerazložima identičnost medžu rędami ; k eksplicitnomu predstavjenju vratimo se v slědujučem paragrafu.

V slučaju 2) operaciju (23.) takože možno priměniti razov, no operacija (24.) prěryvaje se po -tom razu. Zato v zaključnom izrazu (25.) prvi znak sumy treba zaměniti s . V slučajah 3) i 4) operaciju (23.) možno izvršiti samo razov; vměsto (24.) togda nastavaje relacija:

-kratno povtorjenje (28.), pri ktorom znak sumy prěhodi v , -- kako pokazuje -kratno priměnjenje (23.) na členy pod znakom sumy v (28.), -- davaje vse členy pojedinoj sumy v (25.), ktora odgovarja indeksu , s odgovarjajučim znakom. Potom slučaji 3) i 4) prěhodęt v slučaje 1) i 2), bo čisla odpovědajuče stavajut: , ; a pri prodolženju postupka bude . Zato v zaključnom izrazu (25.) prvi znak sumy treba zaměniti s .

Analogično iz (21.) slěduje dualistična razkladna identičnost, pri ktoroj ręd razkladaje se na pojedine rędy . Postavimo

Togda dostajemo:

kde indeks sumovanja běži od bolšej iz dolnyh vrědnostij do menšej iz gornyh. Vsi členy pojedinoj sumy v (25.) i (30.) sut polary jednoj formy, nastale črez polarne procesy

Aby to izraziti, označajemo s agregat takih polarnyh operacij, pomnoženyh konstantami, i togda vměsto (25.) i (30.) dostajemo relaciju:

\ 5. Razkladne identičnosti v eksplicitnoj formě.

Ako v slučaju 4) v (25.) specializujemo do , togda dostajemo:

kde , . To jest obćejša forma teoremy produkta za matrice než (16.) i (17.) i slěduje iz Laplacevogo razvitja determinanta produktnoj matrice

Obćejša teorema produkta jest tedy sostavjena iz identičnostij (20.), odnosno (21.), i tym jest objasnjeno vyděljenje specialnoj formy (16.), (17.).

Relacija (32.) teper davaje sredstvo za eksplicitno predstavjenje razkladnyh identičnostij. Za to razmatrivajemo formy, ktore nastupajut v (31.), kako osnovne formy; to jest izvršujemo substituciju (11.), ktora ničto ne měnja v eksplicitnom predstavjenju v rędah , bo po (8.) novo uvedene rędy možno izraziti samymi rędami , a ne jih častnymi rędami , . Nehaj tedy

togda za pojedinu sumu iz (25.), ktora odgovarja indeksu , dostajemo:

Tym jest v samoj istini dany eksplicitny zaključny izraz, a simetrična forma, v ktoroj vhode i , pokazuje, že (30.) vede k tomu samomu zaključnomu izrazu, ktory tedy ne zavisi od prvotnogo razkladanja. Razlika medžu (25.) i (30.) obstaje samo dotud, pokolě rędy i same imajut samostojno značenje, to jest pokolě razkladna identičnost po našemu opreděljenju prěhodi v razložimu identičnost. Da by se dostalo k identičnostjam s bolje rędami simbolov, treba po \ 3 (konec) samo razložiti ręd v , odnosno v . Togda nastavajut izrazy:

a oni sut točno tipa, ktory nastupaje pri dvoh rędah simbolov, i zato pri substituciji odpovědajučej k (33.) znovu dopuščajut eksplicitno predstavjenje; povtorjenjem se dostaje eksplicitno predstavjenje pri libovolno mnogih rędah. Treba ješče zamětiti, že perva i poslědnja suma v (25.), odnosno (30.), davaje eksplicitno predstavjenje bez priměnjenja (33.) samo črez formulu (32.), ili se vobće ograničuje na jedan člen, ktory vse rędy soderži eksplicitno. Relaciju, ktora nastavaje iz (32.) razloženjem v i t. d., možno razuměti kako teoremu produkta v jej najobćejšej formě.

Sostavjajuči rezultat, pokažemo:

Teorema III: S identičnostjami

kde rędy sut opreděljene črez (33.), i s tymi, ktore iz njih nastavajut razloženjem v i t. d., vyčerpana jest cělost nerazložimyh identičnostij.

V samoj istini nastavajuče identičnosti sut najobćejše svojega vida, bo pojedine rędy glede na vagu i čislo ne podležet več nikakvomu ograničenju, kako to ješče bylo pri (20.), (21.). No ne obstajut takozhe nikake druge identičnosti medžu tymi rędami; bo pri razloženju rěda v najobćejše identičnosti sut sostavjene iz (20.), tedy po \ 3 (konec) iz (20a.); i sostavljanje diskutovano po (16.) jest točno ono, ktore provedeno v \ 4. Prěhod k libovolno mnogim rędam davaje, kako pokazuje diskusija (20a.), priměnjenje vse toj samej operacije na izrazy nastavajuče razloženjem v i t. d. Iz toga takože slěduje, že neposrědny prěhod od (20.) vměsto od (20a.) ničto novo ne davaje; to možno legko potvrdžiti računom, kogda jeden raz specializujemo ręd v (25.), a drugi raz po metodu \ 4 činimo prěhod od (20.). V obadva slučaja nastavajut iste sumy, ktore črez priměnjenje obćej teoremy produkta (vidi vyše) prěhodęt v identičnosti vyhodeče iz (36.). Identičnosti (20.), (21.) odgovarjajut specialnym slučajam , ; togda nastupajut samo po dvě pojedine sumy, tedy, odpovědajuče vyše danoj zamětce, eksplicitno predstavjenje bez substitucije (33.), čto se sglaša s ranějšim.

Na koncu nehaj budut kratko spomenute ješče dva specialne slučaje razkladnoj identičnosti. Ako v (31.) postavimo , i označimo ręd kako , togda dostajemo:

To jest formula Clebscha za razvitje formy s dvoma kogredientnymi rędami po elementarnyh kovariantah. Elementarne kovarianty, ktore naležet k formě , sut togda slědujuče:

Oni, kako budemo kratko govoriti, nastavajut iz osnovnoj formy črez ``kogredientno svijanje s defektom '' (sr. \ 2).

Drugo, ako postavimo , ; , togda dostajemo:

Tedy, kako zaměčeno v \ 2, uslovja (12.), ktore karakterizujut rędy simbolov, pri neparnom defektu sut poslědkom uslovij vyšljego defekta. Za linearnu formu iz (39.) slěduje, že jej nereduktibilne invariantne tvorjenja, ktore sut kvadratične v koeficientah, reducujut se na tvorjenja parnogo defekta; to se sglaša s poznatym faktom, že linearna forma v binarnoj i ternarnoj oblasti ne imaje invariantnyh tvorjenj.

Treba zamětiti, že obće identičnosti izvorno byly izvedene pod predpostavkoju, že pojedine rędy izpolnjajut uslovja (12.). No poněže te pojedine rędy vhode v identičnosti samo linearno, poslědnje važet takože za obćejše rędy, ktore ne izpolnjajut uslovja (12.).

\ 6. Eksplicitno predstavjenje invariantnyh tvorjenj. Procesy svijanja i diferenciacije.

Rezultaty prědhodnyh paragrafov dozvoljajut nam dovesti do konca teoremu o simboličnoj predstavimosti, izrečenu v \ 2 (prvu fundamentalnu teoremu), dodavanjem eksplicitnoj predstavimosti; imenno pokažemo:

Teorema IV: ``Vse invariantne tvorjenja libovolnyh osnovnyh form možno eksplicitno predstaviti matričnymi produktami; to jest v zaključne izrazy, osim rędov prěměnnyh , vhode samo rędy prvotnyh form ili rędy , izvedene iz njih substitucijeju (9.) ili (11.).''

Za dokaz predpostavimo, že invariantno tvorjenje, osim rędov prěměnnyh, može zavisěti od rędov ; i to nehaj ti rędy sut dostatočno daleko razložene na pojedine rędy: , aby bylo možno predstaviti jih determinantami. Rędy nehaj sut uredžene v samom po sebe libovolnom, no točno ustanovjenom porędku . Izberemo takovy agregat determinantov, ktory zavisi od prvogo cělogo rěda , a ne samo od pojedinyh jego častnyh rędov. Ta zavisnost jest po \ 3-- \ 5 poslědkom obćih identičnostij. Ako teper razložimo ręd prěměnnyh v rędy , ili jeden iz pozdnějših rędov v pojedine rędy , odnosno , togda najobćejše identičnosti sut sostavjene iz (20.), (21.). No te poslědnje identičnosti vsegda vode k izrazu, ktory eksplicitno soderži ręd , to jest lěvu stranu (20.), (21.); črez (19.) se imeno uvěrujemo, že tek polna desna suma -- a ne jej čast, ktora odgovarja členu (20a.) -- imaje svojstvo zavisěti samo od . Pri prodolženju postupka vse rędy, ktore jedin raz vhode eksplicitno, ostavajut eksplicitno sohranjene; priměnjenje identičnostij može jedino eventualno trebovati sojedinjenje nekoliko rędov v jeden, to jest substituciju (9.). Ako nakonec treba privesti k eksplicitnoj formě samo jeden ręd , možne sut dva slučaje. Može ješče nastupiti svobodny ręd prěměnnyh, to jest ręd ne svęzany s drugimi rędami substitucijeju (9.); njegovym razloženjem v častne rędy ili možno dovesti postupak do konca, i nastavajut, kako v (31.), polary jednoj ili nekoliko form, ktore eksplicitno soderžet vse rędy. Ako pak svobodny ręd prěměnnyh više ne nastupaje, togda po načinu njih nastanja poznajemo v cělosti izrazov, ktore soderžet pojedine rędy ili , no zavisęt od rěda , členy razkladnoj identičnosti; te pak po \ 5 pri priměnjenju substitucije (11.) vsegda dopuščajut eksplicitno predstavjenje vo vseh rędah. Tym jest gornja teorema obće dokazana. Treba ješče zamětiti, že kogda nastupajut samo dva rędy simbolov, substitucija (11.) nikogda ne nastupaje; bo -- iz-za -- rędy prěměnnyh mogut ne vhoditi samo togda, kogda oba rędy simbolov sut sjedinjene v jednom determinantu, tedy nastupajut eksplicitno; no kak skoro vhode rędy prěměnnyh, (34.) i (33.) pokazujut, že substitucija (11.) jest nepotrěbna.

Iz upravo rečenogo slěduje, že za proizvedenje vseh invariantnyh tvorjenj dostatočno jest sojedinjati rędy simbolov, s dodavanjem rędov prěměnnyh, v vse možne matrične produkty. Najobćejši matričny produkt imaje formu:

kde i mogut byti rędy prvotnyh form, ili mogut nastati iz prvotnyh rędov črez poslědovnost substitucij (9.) ili (11.), ili nakonec byti rędy prěměnnyh. Izrazy (40.) pak možno proizvesti postupnym sojedinjenjem každah dvoh rędov simbolov v matričny produkt, s pomočju rędov prěměnnyh; bo iz

sojedinjenjem s rědom dostajemo izraz

i prodolženjem postupka dostajemo izraz (40.). Ako pri tom i ne sut rędy prvotnyh form, togda (9.) i (11.) v svęzi s upravo pokazanym dokazujut, že oni takože nastali črez poslědovnost sojedinjenj každah dvoh rędov simbolov. Iz toga slěduje:

Teorema V: Proces proizvedenja vseh invariantnyh tvorjenj, proces svijanja, sostaji se iz postupnogo sojedinjenja každah dvoh rędov simbolov v matričny produkt s pomočju rędov prěměnnyh.

Iz dvoh rędov simbolov , kde , možno utvoriti slědujuče matrične produkty:

Iz (31.) pak za (42.) i (43.) slědujut vrědnosti:

Tedy formy (42.) možno linearno izraziti črez (41.) i polary od (41.), a formy (43.) črez polary osnovnoj formy i form (41.). Takože iz (31.) slěduje linearna zavisnost form (41.) od (42.) i polarov od (42.). Po definiciji Clebscha formy (42.) sut ekvivalentne formam (41.), dokolě (43.) vrača k osnovnoj formě. Proizvodeči proces jest tedy ravnopravno dany črez (41.) ili (42.); proces (41.), prostějši s obzirom na čislo , budemo opreděljati kako proces svijanja. Čislo , defekt svijanja (sr. \ 2), daje čislo rędov, ktoryh nedostaje do determinantnogo produkta, i to v onom matričnom produktu, ktory pri danom svijanju soderži maksimalno čislo rędov. Poněže běži samo do menšej iz dvoh vrědnostij , kde , jest:

Svedenje (42.) i (43.) k (41.) ostavaje važeče i togda, kogda črez daljše svijanje rędy prěšli v rędy simbolov; bo po (36.) dostajemo:

kde rędy nastali iz i po (33.). Tedy te formy, ktore soderžet samo rędy simbolov, dobivajut se svijanjem odnosno -- v zavisnosti od toga, či -- s osnovnoj formoju i formami (41.).

Iz simboličnogo procesa svijanja v poznaty sposob dobivajut se invariantne procesy diferenciacije, kogda samo rędy simbolov zaměnimo rędami diferencialnyh simbolov , , pri čem, kako poznato, vsakomu produktu odgovarja realno značenje . Poněže rędy , sut kogredientne rědam , oni izpolnjajut iste identičnosti kako te, tedy specialno takože identičnosti medžu (42.) i (42a.), (43.) i (43a.). Sostavjajuči rezultat, dostajemo:

Teorema VI: Vse invariantne tvorjenja libovolnyh osnovnyh form nastavajut iz njih črez povtorno priměnjenje simboličnogo procesa svijanja (41.) ili takože invariantnyh procesov diferenciacije:

Treba ješče zamětiti, že pri vsakom svijanji (41.) vkupna vaga formy, to jest suma vag pojedinyh rędov prěměnnyh (sr. \ 1), umenšaje se za pozitivno čislo . Iz toga, nezavisno od obćego dokaza konečnosti, slěduje konečnost rěda form, to jest cělosti invariantnyh tvorjenj danej osnovnoj formy, linearnyh v koeficientah.

Dalje treba zamětiti, že teorema VI takože važi za formy, ktore ne izpolnjajut uslovja (12.). Bo vsaky faktor iz (3.), , možno zaměniti produktom linearnyh faktorov ; tym invariantne tvorjenja prěhodęt v tvorjenja sistema linearnyh form, ktore tek pozdněje treba postaviti ravnymi jedna drugoj. Za vsaku pojedinu linearnu formu pak uslovja (12.), ktore pri uvedenju diferencialnyh simbolov soderžet samo častne derivaty 2-go reda, vsegda sut izpolnjene.

\ 7. Razloženje obćih form po normalnyh formah.

Vo slědujučem, v \ 8, izvedemo glavnu svojnost procesa svijanja (41.), imenno jego sostavljimost iz osnovnyh svijanj. Za to jest potrěbno prěnesenje na -arnu oblast važnoj teoremy, ktoru Mertens dal v kvaternarnoj oblasti. Ta teorema govori, že libovolny konečny sistem form možno zaměniti ekvivalentnym sistemom normalnyh form. Pod ``normalnoju formoju'' razuměmo, obobćavajuči binarnu i ternarnu definiciju, formu, čija vse invariantne tvorjenja, linearne v koeficientah, identično izčezajut, osim same osnovnoj formy. Tedy po Teoremi VI ( \ 6) normalna forma zadovolja sistem diferencialnyh jednačenj:

kde rędy treba smatrjati libovolnymi veličinami. V kvaternarnoj oblasti, s obzirom na (39.) pri , ta diferencialna jednačenja polno sovpadajut s desetimi diferencialnymi jednačenjami, ktore Mertens dal bez uvedenja libovolnyh rędov (cit. město, formula 28)). Njih poznanje, zajedno s Teoremoju VI, dozvolja skoro doslovno prěnesti jego dokazny postupak na prěměnnyh. Treba dodati jedino prověrku, polučenu s pomoću razkladnoj identičnosti (30.), že konstruovane formy sut normalne formy; v kvaternarnoj oblasti ta prověrka nastavaje ješče bez daljše prěobrazby. Zato jest dostatočno kratko izložiti dokaz, i to radi prostoty v tom jedinom slučaju, ktory bude potrěben dalje, imenno v slučaju jednoj osnovnoj formy i jej rěda form (sr. konec \ 6), bo za invariantne tvorjenja libovolnogo stepena v koeficientah libovolno mnogih osnovnyh form dokaz ostavaje ten samy.

Osnovna mysl dokaza jest taka: uvedenjem transformovanyh koeficientov formu s rędami zaměniti formami s rędami , kogredientnymi k , to jest rędami veličin transformacije. Iz tih form iskane normalne formy vyvodet se neposrědnje invariantnymi procesami diferenciacije. Razloženje obćih form po normalnyh formah posrědkuje rędovo razloženje za formy s ( ) kogredientnymi rędami ; invariantne procesy diferenciacije vedut nazad k formam v prvotnyh rędah .

Nehaj budut rędy veličin transformacije, tak že imamo:

Transformovane koeficienty form označimo s , i nehaj

Togda

kde i tako dalje. Iz každogo koeficienta , za ktory

proces diferenciacije, ktory točno izčerpava rędy ,

dava formu

Formy sut iskane normalne formy. Imenno, one imajut slědujuče svojstva, ktore definujut normalne formy.

1. One sut invariantne tvorjenja osnovnoj formy , linearne v koeficientah. To slěduje iz togo, že one nastavajut iz invariantnymi procesami diferenciacije i (50.). Tedy po koncu \ 6 možno jih linearno izraziti črez polary konečnogo rěda form . Te polary dostavajut se, kogda prěměnne , vhodęče v , smatrjajut se kako koeficienty formy, razložene v linearne formy s rędami prěměnnyh :

Simultanne invarianty rędov form i dajut vse polary, ktore tudu vhodet v razsmotrenje, bo te polary v pojedinyh rędah muset iměti tutu samu dimenziju kako sama .

2. One zadovoljajut diferencialne jednačenja (46.). Ako priměnimo na diferencialny proces (45.), togda dostajemo:

Iz razkladnoj identičnosti (30.) slěduje, ako rędy , , utvorene iz rędov , identificiramo s tamnymi , že

Pri tom

kde značet libovolne medžusobno različne čisla, vybrane iz čisel od 1 do . Poněže , medžu tymi čislami nužno sut take, ktore ležet medžu 1 i ; zato identično izčezaje, a sledovateljno izčezaje vsak pojediny matričny produkt i s njim takože .

Za ekvivalentnost sistema normalnyh form s rědom form ostavaje samo pokazati, že vse formy rěda form možno razložiti po polarah normalnyh form v smyslu ustanovjenom pod 1. Nehaj bude agregat polarnyh operacij

i nehaj bude agregat specialnyh operacij (53.), za ktore i . Za formu od rędov , ktora v rědu imaje stepenj , važi razloženje:

kde v poslědnom rědu imaje stepenj i nastavaje iz črez invariantne diferencialne operacije

i . Ako pri tvorjenju zaměnimo proces (55.) s

togda nastava forma samo s rędami , na ktoru možno znovu priměniti (54.). Prodolženje postupka vede k formam . Aby iz njih dostati razloženje po (54.), treba pojedine rędy zaměniti s i na nastale formy priměniti polarny proces (53.); to dava, sr. (48.), sumu transformovanyh koeficientov . Za v prvom kroku ostavaje proces (55.). Ako označa numerične konstanty i, kratko, položimo

togda v slučaju dostajemo:

dokolě za na pravoj strani vhodi samo , to jest .

Priměnimo (58.) na transformovany koeficient (48.). Zbog komutativnosti polarnyh procesov so vsimi operacijami (56.), za ktore , i togda što polary transformovanyh koeficientov znovu dajut transformovane koeficienty, dostajemo:

i iz (58.) slěduje:

Aby prějdti od (59.) k razloženju samoj , znovu smatrjajmo prěměnne kako koeficienty formy (52.) so stepenjami , ktore odgovarjajut , i nehaj . Togda po definiciji invariantov:

i priměnjenje procesa , ktory točno izčerpava rędy , dava:

kde formy vyvodet se iz i invariantnymi procesami diferenciacije po prěměnnyh, tedy sut simultanne invarianty rędov form i . No poněže jest normalna forma, ręd form ograničava se na samu formu ; ręd form soderži vse voobće možne invariantne svęzy prěměnnyh. Simultanne invarianty i sut tedy polary v smyslu ukazanom pod 1; to jest (60.) predstavja razloženje po polarah normalnyh form. Treba ješče dokazati tako samo razloženje za libovolnu formu rěda form . Nehaj budut normalne formy, izvedene iz po (50.), tak že

Formy karakterizujut se relacijeju, ktora važi za vsak transformovany koeficient:

No vsaka forma od rędov , ktora soderži faktor , soderži takože drugi izraz (Mertens, formula 20)); zato

i iz (61.) dostajemo relaciju odgovarjajuču (59.):

ktora za vlači za soboju razloženje (60.) po polarah normalnyh form . Svedeno, imamo:

Teorema VII. Vsaky ręd form možno zaměniti ekvivalentnym sistemom normalnyh form.

\ 8. Zvedenje procesa svijanja na osnovne svijanja.

Opirajući se na Teoremu VII, my teper provodimo zvedenje procesa svijanja na osnovne svijanja, spomenuto na početku \ 7. Pri tom (sr. \ 5) vsako svijanje dvoh kogredientnyh rędov budemo nazyvati kogredientnym svijanjem'', a osoblivo kogredientno svijanje defekta 1 dvoh rędov -- osnovnym svijanjem tipa ''. Togda, doplnjajući Teoremu VI, dokažemo slědujuću teoremu.

Teorema VIII. Obći proces svijanja (41.) možno sostaviti iz osnovnyh svijanj tipa , kde . Inymi slovami, za tvorjenje vsih invariantnyh tvorjenj dostatočno jest sukcesivno priměnjenje tih osnovnyh svijanj.

V binarnoj oblasti proces svijanja (41.) neposrědnje sovpada s jedinym možnym osnovnym svijanjem; v ternarnoj oblasti ja dokazala Teoremu VIII v \ 1 svojej disertacije (sr. Vvod). Tam, iz-za (44.), obća kogredientna svijanja jošče sut identična s osnovnymi svijanjami, i važno jest, že Teorema VIII za prěmennyh daje zvedenje imenno na osnovne svijanja, a ne samo mnogo slabše zvedenje na kogredientna svijanja. Dokaz po mysli jest sostavjen po ternarnomu obrazu: najobćejša svijanja konstruuju se iz osnovnyh svijanj s pomočju simboličnyh identičnostij. My budemo tvoriti:

libovolne svijanja defekta 1 s pomočju kogredientnyh svijanj defekta 1, to jest s pomočju osnovnyh svijanj (analogon ternarnogo slučaja); libovolne svijanja defekta s pomočju kogredientnyh svijanj defekta i libovolnyh svijanj defekta 1; kogredientna svijanja defekta s pomočju kogredientnyh svijanj defekta i libovolnyh svijanj defekta 1.

Pri tom jest suštinno, že po Teoremi VII prědpostavljamo obě formy i , ktore treba svijati, kako normalne formy. Tedy po (46.) važet relacije:

Dalje, po \ 2 (konec), dostatočno jest smatrjati formy i linearnymi vo vsih rędah prěmennyh; to jest konstruovane formy naležet slědujućemu rědu form:

1. Tvorjenje svijanja , kde , iz osnovnyh svijanj tipa ; . Iz osnovnogo svijanja tipa

s pomočju substitucije dostajemo formu rěda form s tremi rędami gornjego indeksa vagi (sr. \ 1) :

Osnovno svijanje tipa , priměnjeno na (63.), daje:

iz togo po (31.), posle substitucije , dostajemo vrědnost:

Izraz pod znakom sumy identično izčezaje po (62.); tako my došli do formy

ktora nastavaje iz (63.) zaměnoju na . Tedy -kratno povtorjenje procesa vodi k iskanomu svijanju:

Provedeny proces kratko označamo formuloju:

vidimo, že koristi se samo svojstvo byti normalnoju formoju, a ne tako svojstvo . Proces dualističny k (64.) možno provesti v obratnom porędku, koristěći samo svojstvo byti normalnoju formoju, imenno:

po relacijah:

Treba jošče pokazati vezu s umenšenjem vkupnoj vagi, danym na koncu \ 6: za svijanja defekta 1 ono imaje vrědnost , a za osnovne svijanja vrědnost . Tedy, ako sostavimost iz osnovnyh svijanj voobće jest možna, nužno potrěbno jest upravo takyh svijanj, kako bylo provedeno vyše.

2. Tvorjenje obćih svijanj iz kogredientnyh i osnovnyh svijanj. Umenšenje vagi za obće svijanje (41) jest

i tako daje možnost razloženja na kogredientno svijanje defekta (umenšenje vagi ) i svijanj defekta 1 s razlikoju indeksov vagi (umenšenje vagi ). V slučaju to razloženje sovpada s onym, danym pod 1); pokažemo, že ono v samoj stvari može byti realizovano.

Iz kogredientnogo svijanja defekta

s pomočju substitucije dostajemo formu s dvoma rędami gornjih indeksov vagi i :

Ręd s nižšim indeksom vagi naleži normalnoj formě; tedy (66.) dopušča svijanje defekta 1, sostavljeno iz osnovnyh svijanj, v porędku (65.):

To daje, s obzirom na (31.) i (62.):

torej formu, ktora nastavaje iz (66.) zaměnoju na , analogno kako to pod 1) bylo s (63.). -kratno povtorjenje procesa vodi k iskanomu svijanju:

Vo cělom procesu bylo koristjeno samo svojstvo byti normalnoju formoju; razsmotrenje kako normalnoj formy vodi k dualističnomu procesu s polnym obraćenjem porędka, po formulah:

3. Tvorjenje kogredientnyh svijanj defekta iz kogredientnyh svijanj defekta i osnovnyh svijanj. Umenšenje vagi za kogredientna svijanja defekta jest

i tako dopušča možnost razloženja na kogredientno svijanje defekta i osnovnyh svijanj. Najprošće znajdemo to razloženje, ako najprvo specialno položimo . Jedino možno kogredientno svijanje defekta bude ; ono soderži za jeden ręd i jeden ręd menje než svijanje defekta tih samyh rędov . Obratno, my sostavljamo svijanje defekta iz osnovnyh svijanj, ktore privedut k izčezanju jednogo ręda i jednogo ręda (umenšenje vagi ) i Jednočasno tvoret novy simboličny ręd , a takože iz kogredientnogo svijanja defekta . Najprostejše svijanje, ktore to daje, jest slědujuće svijanje defekta 1:

kde položeno jest:

Po (65.) i (64.) ono jest sostavljeno iz slědujućih osnovnyh svijanj:

Svijanje defekta daje, s obzirom na (21.) i (62.):

Obći slučaj, za dva rěda i libovoljno , teper možno neposrědnje prěnesti iz specialnogo. Naměsto (67.) nastupajut slědujuća osnovne svijanja:

Prva polovica svijanj daje formu:

iz ktorej po substitucijah

i priměnjenju drugoj poloviny svijanj nastavaje:

Ako substitujemo:

togda črez kogredientno svijanje defekta dostajemo:

Pokažemo, že to jest iskano svijanje defekta . Ako substitujemo

i uzmemo v obzir, že po rěšenju za nastavaje

togda po (20.) za (69.) dostajemo vrědnost:

Ale to svijanje jest tipa (43.), tedy ekvivalentno

Tu už imaje želanu konečnu formu; izraz odgovarja formě v specialnom slučaju. Ako teper uzmemo v obzir, že po rěšenju za i nastavaje

togda po (21.) dostajemo vrědnost:

Vo cělom procesu bylo koristjeno samo svojstvo byti normalnoju formoju, a ne svojstvo ; tedy kogredientno svijanje defekta za tvorjenje (69.) možno zaměniti s osnovnymi svijanjami i kogredientnym svijanjem defekta , ktore samo znovu dopušča razloženje na osnovne svijanja, i tako dalje. Analogno nastavaje tvorjenje pri korišćenju svojstva byti normalnoju formoju i priměnjenju dualističnogo procesa, to jest osnovnyh svijanj:

i svijanja dualističnogo k (69.). Teper nastavaje svijanje, ekvivalentno prědšemu:

Ako dodamo razloženje, polučeno pod 2), togda v samoj stvari imamo tvorjenje najobćejših svijanj iz osnovnyh svijanj. Ostavaje još dokazati, že to tvorjenje, osim prěstavljanja porędka, jest jednoznačno, to jest že vsakomu svijanju odgovarja jedno i samo jedno čislo osnovnyh svijanj tipa , kde .

Nehaj budut stepeni v rędah prěmennyh izhodnoj formy , a stepeni formy nastalej črez svijanje. Vsako osnovno svijanje tipa prěobražaje stepeni odpovědajuče v . Tedy zadovoljajut sistem jednačenj:

kde treba položiti , i jego determinanta imaje vrědnost . Tymy čisla sut jednoznačno opreděljene, i to po Teoremi VIII kako pozitivne cěle čisla; to daje uslovja za razlike .

Rezultaty togo paragrafa važet po relacijah (62.); ale ako relacije (62.) ne važet, nikako ne slěduje, že konečne izrazy sut ekvivalentne početnym izrazam. Definicija ekvivalentnosti dana v \ 6 dopušča takože taku formulaciju: ``Dvě formy sut togda i samo togda ekvivalentne, kogda one razlikujut se formami vyššego svijanja, to jest formami, ktore imajut vyše umenšenje vagi.'' To vyše umenšenje vagi imaje město vsegda, kogda oba rěda , vhodęća v svijanje, v samoj stvari sut rědy prěmennyh, kako to bylo pri (41.), (42.), pri svijanjah v tom paragrafu vystupajućih kako ekvivalentne, ili takože pri ekvivalentnyh formah Teoremy VII. Ale ono ne musi iměti město, kogda ti rědy izvedene sut substitucijeju iz simboličnyh rędov, kako to bylo pri formah togo paragrafa, ktore po (62.) byly izrazimy jedna črez drugu. Legko viděti, že izčezajuće formy častično imajut čak i vyššu vkupnu vagu.

\ 9. Rędy form. Redukcijske teoremy.

Ręd form, vvedeny v \ 6 (konec), opreděljajemo nyně malo točnejše kako ``cělost invariantnyh tvorjenj danej izhodnoj formy, linearnyh po koeficientah, to jest cělost form, ktore nastavajut iz izhodnoj formy črez svijanje jej samej s soboju, v porędku po vyšših formah''.

Za objasnjenje vyšših form nehaj izhodna forma, po Teoremě VII, bude dana kako produkt dvoh normalnyh form ; vyššeju formoju budemo nazyvati formu s vyššim samosvijanjem, a medžu formami s jednakym samosvijanjem -- specialno normovanu formu. Točnejše: nehaj forma nastala črez osnovnyh svijanj tipa , a forma črez osnovnyh svijanj togože tipa. Tada jest vyšša než :

ako v sistemu neravnostij , , najmněje za jednu vrědnost neravnost jest stroga; ako za vse vrědnosti stoji znak ravnosti, ale menje simboličnyh rędov jest složeno v jedin matričny produkt. To normovanje pokazyvaje se nužnym iz-za redukcij v \ 8. Tako, napr.

Ako za vse vrědnosti stoji znak ravnosti i čislo simboličnyh rędov, složenyh v jedin matričny produkt, jest jednako, togda postavaje vyšša než črez normovanje, samo po sobě proizvoljno, ale jeden raz za vsegda ustanovjeno. Tako normovanje jest vsegda možno iz-za konečnogo čisla form, naležečih k jednomu sistemu vrědnostij ; možno jego dostignuti, napr., vyděljenjem jednoj formy (večše čislo simboličnyh rędov , večša suma gornjih indeksov vagi rędov i tako dalje).

Korisno jest mysliti ręd form kako uporędženy -razměrny sklop rěšetkovyh toček, kde směrjev odgovarjajut osnovnym svijanjem. Tada každoj formě odgovarja jedin i samo jedin sistem vrědnostij , to jest pozitivna cělobrojna rěšetkova točka, dokolě razne formy, ktore naležat k jednomu sistemu vrědnostij , sut jednoznačno opreděljene v svojem porędku gornjim normovanjem. Libovolna forma rěda form davaje izhodnu formu novogo rěda form, ktory jest vključen kako čest v celkovy ręd form; imenno kako ta čest, ktora se sostoji iz form dostajemyh iz novej izhodnoj formy postupom v pozitivnyh směrjah.

Po Teoremě VIII i občej teoriji rędovyh razloženj za rędy form važet točno te same redukcijske teoremy kako v binarnom i ternarnom području (sr. disertaciju, \ 3); glavnu teoremu hočemo ješče kratko izvesti. Najprěd davajemo definiciju:

V danom sistemu form nehaj nekoje konečno čislo form bude zjedinjeno v modul; redukovalnoju budemo nazyvati formu, ktora može se izraziti črez formy majųče invarianty kako faktory, ili črez vyšše formy''; to jest črez vyšše formy celkovogo rěda form, k kojemu ta forma naleži, ili črez formy, ktore imajut simboly modula v vyššem porędku. Redukovalny ręd form nazyvajemo reducentom.'' Tada:

Teorema IX. Ako izhodna forma rěda form jest redukovalna zato, že nastala je črez svijanje s reducentom, togda cěly ręd form, ktory nastavaje iz toj izhodnoj formy, jest redukovalny.

Za dokaz imajmo v vidu, že forma , nastala črez svijanje formy s drugoju formoju , može se zaradi (45.) gleděti kako forma , imajųča několik kogredientnyh rędov prěmennyh . Take formy možno po občej teoriji rędovogo razloženja predstaviti kako polary elementarnyh kovariantov , priměnjajųči rędovo razloženje postupno na každų paru kogredientnyh rędov prěmennyh . Pri tom po (38.) nastavajųče elementarne kovarianty sut formy, porodžene kogredientnym svijanjem. Ale kako porędok priměnjenja rędovogo razloženja ostavaje ješče proizvoljny, možemo posebno vzęti taky porędok, ktory odgovarja porodženju obćih svijanj iz osnovnyh svijanj. Tada nastavajųči sistem elementarnyh kovariantov jest identičny s rědom form ; imenno formy, nastale črez kogredientno svijanje vyššego defekta, vstavjajut se medžu formy porodžene osnovnymi svijanjami. Do polarov rěda form dohodimo takože pri libovolnom porędku rędovogo razloženja, kojemu može odgovarjati drugy sistem elementarnyh kovariantov. Zato že ręd form vyčerpava cělost invariantnyh tvorjenj, vsaku formu drugogo sistema možno linearno izraziti črez polary rěda form, i to črez polary tyh form, ktore imajut jednako ili večše umenšenje vagi. Poslědnje slěduje iz togo, že (sr. \ 7) polary možno gleděti kako simultanne invarianty rěda form (52.) s stepenami odgovarjajųčimi formě , i rěda form . Každomu svijanju samego s soboju odgovarja umenšenje vagi, ktore po izvršenju substitucije (11.) prěnosi se na simbolične rędy, a s tym i na formy iz .

Libovolna forma rěda form nastala je črez svijanje samej s soboju; to jest črez vyšše svijanje s s jednoj strany, a črez svijanje ili samyh s soboju s drugoj strany. V obojih slučajah rędovo razloženje, tako kako vyše pokazano za izhodnu formu , vodi k polaram rěda form . Ako posebno jest reducent, togda nastavaje razloženje po polarah reducenta; zato ręd form postavaje redukovalny.

Priměnjenja teoremy k redukciji polnyh sistemov form slědujut analogično binarnomu i ternarnomu području.