6. Polja i sistemy racionalnyh funkcij

Math. Ann. 76 (1915), S. 161--196

Nastoječa praca razsmatrja pytanja o bazah pri libovoljnyh sistemah racionalnyh i cělyh racionalnyh funkcij. Upotrěbjane tut metody teorije polj pokazujut, že suštno jest rěšenje tyh pytanj pri poljah iz racionalnyh funkcij --- poljah racionalnyh funkcij ---, dokolě obobčenje rezultatov na libovoljne sistemy vyhodi kako poslědica.

Iz pytanj o bazah pri obćih sistemah do sega bylo znajemo samo eksistovanje modulnoj bazy, garantirano Hilbertovoju teoremoju (Math. Ann. 36). V slědujučem pytanje o racionalnoj predstavimosti polno rěši se črez eksistovanje racionalnoj bazy za vsak libovoljny sistem ( \ 7); racionalna baza polj dobiva se uže v \ 4. To eksistovanje racionalnoj bazy dopušča vsude izhoditi od abstraktno opreděljenogo polja ili sistema i tako izběgati těžkostij, ktore sut uslovjene samo specialnym izborom racionalnoj bazy, a ne samym sistemom, napr. pojavom specialnyh imenovateljev ili fundamentalnyh toček bazovyh funkcij.

Za polja bude takože razsmotreno pytanje minimalnoj bazy, to jest racionalnoj bazy iz algebraično nezavisnyh funkcij ( \ 6). Metody teorije polj dalje vodet k vyznačenoj racionalnoj bazě, involucijskoj bazě ( \ 5), ktora stavaje osoblivo važna pri integralnyh oblastjah iz polinomov ( \ 8). Ona tu davaje predstavjenje s stalym imenovateljem (potencoju funkcije, opreděljene integralnoju oblastju), kako jest znajemo napr. v specialnom slučaju tipičnogo predstavjenja invariantov.

Iz racionalnoj predstavimosti nyně vyvodet se koliko možno daleko iduče poslědice za cělo racionalnu predstavimost, to jest za pytanje konečnosti v užšem smyslu.

Vse dosele znajeme teoremy o konečnosti opirajut se na fakt, že Hilbertova teorema o modulnoj bazě garantuje konečnost za vse take sistemy, pri ktoryh predstavjenje

vleče drugo predstavjenje

kde naležet sistemu i imajut nižši stepen než .

Naproti tomu teorema o racionalnoj bazě i metody teorije polj dopuščajut zaključati o konečnosti pod prědpostavkami sovsěm drugogo roda.

Tako, kako čestičny odgovor na jednu Hilbertovu problemu (Mathematische Probleme 14), dobiva se klasa relativno cělyh funkcij (relativno cěle oblasti prvogo tipa), ktore sut konečne integralne oblasti i čija integralna baza jest dana vyše spomenutoju involucijskoju bazoju ( \ 10). V analogiji s Hilbertovym dokazom Kroneckerovej teoremy o fundamentalnom sistemu algebraično cělyh veličin (Volle Invariantensysteme, \ 2; Math. Ann. 42) možno dalje pokazati, že vse regularne sistemy iz polinomov --- to jest vse sistemy, ktore možno odobraziti na sistemy bez fundamentalnyh toček --- imajut integralnu bazu ( \ 12), dokolě ne regularne sistemy bez integralnoj bazy možno legko pokazati. Kako prosty priměr toj činjenosti možno spomenuti teoremu: ``Vo vsakom libovoljnom sistemu iz beskonečno mnogih polinomov jednoj neopreděljenej eksistuje konečno čislo tyh polinomov tako, že vsak polinom sistema možno predstaviti kako cělu racionalnu kombinaciju togo konečnogo čisla.'' Daljne priměry nahodet se v \ 13.

Naposlědku poslědnje paragrafy ( \ 14 i 15) davajut zaoštrenje bazovyh teoremov s obzirom na cěločislovost.

Suštno pomočno srědstvo izslědovanja jest princip prěnosa iz \ 3, po ktorom dostatočno jest razsmatrjati vse tu postavjene pytanja o bazah pri takyh sistemah, v ktoryh čislo neopreděljenyh sovpada s čislom algebraično nezavisnyh funkcij sistema.

Podnět k nastoječej praci daly razgovory s E. Fischerom, osoblivo jego pytanje o minimalnoj bazě Lagrangevyh rodovyh oblastij. S tym povezane izslědovanja, ktore privedly k konstrukciji jednačenj s prědpisanoju grupoju (sr. citovano soobčenje o ``Poljah racionalnyh funkcij'', čest 2), ostavljene sut za daljnu publikaciju.

Suštno razširjenje nyněšnjej praci v sravnanju s iznačalnym soobčenjem leži v tom, že bazove teoremy, ktore tam byly izrečene samo za polja ili specialne integralne oblasti, tut sut prěnesene na libovoljne sistemy. To prěnesenje uda se prostym sposobom črez pojem najmanjšego polja, ktore soderži libovoljny sistem, kako obobčenje polja kvocientov integralnoj oblasti ( \ 7). K utvorjenju togo pojma povelo me to, že K. Hentzelt, po poznanju racionalnoj bazy polj, mogl dokazati eksistovanje racionalnoj bazy za libovoljne sistemy obhodnym putem črez Hilbertovu modulnu bazu. Takože k teoremě o integralnoj bazě regularnyh sistemov povelo me zaměčenje K. Hentzelta, že zaključanja, ktore jesm priměnila na integralne oblasti, važet za libovoljne sistemy pod tymi samymi prědpostavkami; i podobno zahvaljujem Hentzeltu za ješče několiko odinokyh menših zaměčenj.

Naposlědku treba spomenuti, že v slučaju jednoj neopreděljenej racionalna baza i minimalna baza polj nahodet se u E. Steinitza v jego ``Algebraische Theorie der Körper'', \ 24 (Crelles Journ. 137); tam jest koeficientno podružje prijeto kako polje v najobćejšem smyslu. Pytanje, koliko pri tyh obćejših prědpostavkah dane tut teoremy ostajut validne, v slědujučem ne dotyka se; dokazy v vsakom slučaju trěbujut modifikaciju, bo napr. uže pomočna srědstva iz teorije funkcionalnyh determinantov odpadajut pri poljah harakteristiki .

\ 1. Polja i sistemy .

V slědujučem jde o izslědovanje sistemov racionalnyh funkcij od neopreděljenyh, osoblivo o polja racionalnyh funkcij.

Pod , , \ ili skračeno , , \ treba zato vsagda razuměti racionalne funkcije od ; ony sut predpoložene v redukovanom predstavjenju, to jest s medžusobno prostymi čisliteljem i imenovateljem. Cěle racionalne funkcije (polinomy) budut označane velikymi bukvami , , . Koeficientna oblast jest predpoložena kako nekoje čislovo polje, može zato osoblivo obhvatati i vse kompleksne čisla; može takože soderžati ješče konečno čislo parametrov.

Velikosti iz , teda vse funkcije nultogo stepena, vsagda računajut se kako naležeče k sistemu.

Po tyh dogovorah polje iz racionalnyh funkcij --- racionalno funkcijno polje --- možno opreděliti abstraktno.

Definicija I: Sistem racionalnyh funkcij nazyvaje se poljem, ako izpolnja uslovija:

On soderži pored i za vsaku velikost iz takože . On soderži pored i vsagda takože , i --- pri --- kvocient .

Specialna polja sut te, ktore nastavajut črez adjunkciju konečnogo čisla racionalnyh funkcij

k ; one budut označane s

Medžu tymi specialnymi poljami treba ješče spomenuti polje, nastavajuče črez adjunkciju k ,

ktore jest identično s cělostju racionalnyh funkcij od s koeficientami iz .

Vvodimo ješče, po E. Steinitzu, pojem medžupolja:

``Polje leži medžu i , ako ono soderži i jest soderžano v '';

togda Definicija I dopušča takože formulaciju:

Polje racionalnyh funkcij od neopreděljenyh jest medžupolje medžu i , ktore v najmenej jednoj funkciji opravdu soderži ty neopreděljene.

Pored čisla neopreděljenyh za sistemy racionalnyh funkcij javja se ješče jedno harakterno čislo: čislo algebraično nezavisnyh funkcij ili algebraičny rang, črez slědujuču definiciju.

Definicija II: Sistem racionalnyh funkcij imaje algebraičny rang , ako možno ukazati funkcij sistema, ktore sut algebraično nezavisne, ale vsake funkcije sistema sut algebraično zavisne.

Sistemy iz konečno ili beskonečno mnogih racionalnyh funkcij od neopreděljenyh i algebraičnogo ranga budut označane dvojnym indeksom

Specialno pod

treba razuměti polje od neopreděljenyh i algebraičnogo ranga . Važi neravnost:

Davajemo ješče několiko priměrov polj i .

1. Polja sut Lagrangeve rodove oblasti, ktore možno opreděliti kako

``cělost racionalnyh (i cělyh racionalnyh) funkcij od , ktore dopuščajut permutacije nekojej permutacijskoj grupy od .''

One vsagda soderžet polje simetričnyh funkcij, teda takože algebraično nezavisnyh elementarnyh simetričnyh funkcij.

2. Polja sut projektivna invariantna polja, sostavjene iz cělosti racionalnyh (i cělyh racionalnyh) invariantov jednoj ili několikyh osnovnyh form. Jest , bo čislo algebraično nezavisnyh invariantov vsagda jest menše než čislo koeficientov.

Odgovarajuče važi za invariantna polja proti podgrupam projektivnoj grupy.

\ 2. Pomočna lema o algebraično zavisnyh funkcijah.

Črez pomočnu lemu togo paragrafa v \ 3 pokaže se, že algebraičny rang sistema jest upravo harakterno čislo. Lema pokazyvaje imeno, že pri takoj sukcesivnoj čislovoj specializaciji někojih neopreděljenyh, pri ktoroj algebraično nezavisnyh funkcij ostavajut algebraično nezavisnymi, libovoljna funkcija, algebraično zavisna od tyh funkcij, ne može ni identično izčeznuti, ni stati se neopreděljenoju.

Nehaj tedy sistem

imaje algebraičny rang , kde , a jest racionalna funkcija, algebraično zavisna od funkcij (1). Po znajemyh teoremah rang funkcionalnoj matrice sistema (1) jest ravny . Neopreděljene nehaj sut zato, napr., tako označene, že

pri čem , kako znajemo, označa obći imenovatelj funkcij (1).

Čislo nyně vybira se tako, že produkt ne jest dělimy črez , pri čem pod razuměje se jedno iz čisel . Zato pri obći imenovatelj funkcij (1) ne može izčeznuti, i funkcij

sut takože algebraično nezavisne. Algebraičny rang sistema (1), kako budemo govoriti, ostavaje sohranjen črez substituciju .

Nehaj nerazložimo jednačenje, ktoremu zadovolja v odnosu k funkcijam (1), bude dano črez

pri čem i ne izčezajut identično. Da by iz togo dojti do identičnosti medžu polinomami, stavimo:

i zaměčajemo, že --- zaradi predpoloženogo redukovanogo predstavjenja --- i sut medžusobno prosty. Po (5) (4) prehodi v:

kde sut homogenny formy od , i najmenej jedin iz nenegativnyh eksponentov mora byti ravny nuli.

Predpoložimo nyně, že byl by dělimy črez . Togda po (6) takože

byl by dělimy črez . To jest po predpoloženju izključeno za ; iz dělimosti slědovala by zato takože dělimost

i medžu funkcijami (3) stojala by relacija , protivno predpoloženoj algebraičnoj nezavisnosti. Nakonec takože , kako medžusobno prosty s , ne može byti dělimy črez ; i predpoloženje, že jest dělimy črez , vodi zato k protivrěčju. Podobno pokazuje se, že takože ne može byti dělimy črez . Funkcija zato ne može ni identično izčeznuti, ni stati se neopreděljenoju.

Na sistem (3) i funkciju , ktora znovu predpolaga se v redukovanom predstavjenju, možno znovu priměniti gornje zaključanje, i prodolženje postupka nakonec vodi k slědujučej lemi.

Pomočna lema. Oba sistemy

nehaj imajut algebraičny rang , kde , i nehaj, napr.,

Čisla

nehaj sut izbrane tako, že črez substituciju

produkt ne izčezaje --- to jest, že algebraičny rang sistema (1) ostavaje sohranjen. V sukcesivnyh substitucijah

nehaj funkcije , , , sut vsak raz privedene k redukovanom predstavjenju. Pod tymi predpoloženjami v funkciji ni čislitelj ni imenovatelj ne može izčeznuti identično, i funkcija takože ne može stati se .

\ 3. Vzaimno jednoznačno odobraženje sistemov na sistemy .

Iz pomočnoj lemy neposrědno dostanemo odobraženje sistemov na sistemy tym, že něktore neopreděljene zaměnjajut se čislami; algebraičny rang tak javja se kako upravo harakterno čislo.

Kako imaje algebraičny rang , eksistuje funkcij iz ,

ktore sut algebraično nezavisne. Ako dalje označa libovoljnu funkciju iz , togda sistem

imaje takože algebraičny rang ; i sistemy (1) i (2) izpolnjajut uslovja pomočnoj lemy.

Zato opredělimo čisla

po pomočnoj lemi tako, že algebraičny rang sistema (1) ostavaje sohranjen črez substituciju --- što jest možno na libovoljno mnogo načinov. Togda v funkciji, opreděljenoj črez

imenno v funkciji

ni čislitelj ni imenovatelj ne može izčeznuti identično.

Nehaj nyně proběga vse (konečno ili beskonečno mnoge) funkcije iz . Razmatrivajemo sistem, sostavljen iz cělosti vseh funkcij (3); on imaje slědujuča svojstva:

1. On imaje algebraičny rang , bo soderži funkcije, ktore nastavaju iz (1),

ktore zaradi izbora sut algebraično nezavisne. Zato toj sistem budemo označati črez

2. Prirędženje funkcij i jest bez izključenj vzaimno jednoznačno.

Bo ako i naležet k , togda takože razlika

jest algebraično zavisna od sistema (1); dalje plati:

Kako zajedno s sistemom (1) izpolnja uslovja pomočnoj lemy, iz

neobhodno slěduje:

to jest različnym funkcijam iz odgovarjajut različne funkcije iz .

3. Iz vsakoj relacije medžu funkcijami iz :

slěduje za vzaimno jednoznačno odgovarjajuče funkcije iz :

Bo zajedno s takože vsaka racionalna kombinacija tyh funkcij jest algebraično zavisna od sistema (1).

Dalje iz

po pomočnoj lemi slěduje, že iz

q. e. d.

Svodno dostajemo slědujuču teoremu.

Teorema I. Vsakomu sistemu iz (konečno ili beskonečno mnogih) racionalnyh funkcij možno --- na libovoljno mnogo načinov --- vzaimno jednoznačno prirędžiti sistem tako, že vse relacije, ktore obstavajut medžu funkcijami iz , ostavajut sohranjene takože v i obratno. Polju pri tom po (4) osoblivo znovu odgovarja polje .

Iz Teoremy I izvlačimo ješče poslědok, ktory uprošča vse daljnje dokazy: svojstva sistemov , ktore sut harakterizovane konečno ili beskonečno mnogimi relacijami medžu funkcijami sistema, imajut silu za sistemy , kak skoro imajut silu za odobražajuči sistem .

Toj poslědok kratko nazyvajemo ``principom prěnosa''.

L J

Najprostejši priměr togo odobraženja daje teorija algebraičnyh invariantov. V samoj stvari možno vsegda črez linearnu transformaciju čislovo fiksovati něktore koeficienty osnovnoj formy tako, že vse relacije, ktore imajut silu za specialnu formu, ostavajut sohranjene takože v obćem slučaju.

\ 4. Racionalna baza polj .

V slědujučih izslědovanjah, grupovanyh okolo pojmov bazy, vsegda koristajemo se "principom prěnosa" iz \ 3. Najprvo dokazujemo eksistenciju bazy za polja, ale definicije dajemo obče:

Definicija III: Konečno čislo funkcij iz zove se racionalna baza, ako vsaku funkciju iz možno predstaviti kako racionalnu kombinaciju togo konečnogo čisla funkcij s koeficientami iz .

Racionalna baza mora soderžati algebraično nezavisnyh funkcij, bo algebraičny rang sistema, dobjenogo iz racionalnoj bazy, ravny jest algebraičnomu rangu samoj racionalnoj bazy.

Najprvo pokažemo, že dokaz eksistencije racionalnoj bazy dopušča princip prěnosa. Definiciju III možno imenno formulovati tako:

Funkcije iz

togda i samo togda tvoret racionalnu bazu, kogda izpolnjene sut beskonečno mnoge relacije:

gdě proběga vse funkcije iz , a označa racionalnu funkciju od argumentov, ktora měnja se vměstě s .

Ako zato v odobražajučem sistemu racionalna baza dana jest črez

čto imaje za poslědok relacije

togda po Teoremi I za izpolnjene sut relacije (1); to jest princip prěnosa za racionalnu bazu glasi:

Iz eksistencije racionalnoj bazy za odobražajuči sistem slěduje racionalna baza za izhodny sistem .

Da dokazati eksistenciju racionalnoj bazy vseh polj , možemo zato ograničiti se na polja ; tu k cěljem vodi neposrědnje obobčenje zaključivanja, upotrěbjenogo E. Steinitzom.

Nehaj

jest sistem algebraično nezavisnyh funkcij iz . Eliminacija daje relacij:

pri čem v vsakoj relaciji neopreděljena stvarno nastupa; inače, protivno predpostavjenju, byla by algebraična zavisnost medžu funkcijami (2). Relacije (3) govoret, že

sut algebraični elementi vzhodno k

Zato polje, nastavajuče črez adjunkciju ,

jest konečno algebraično razširenje nad . Po znanoj teoremi kako medžupolje medžu i samo jest algebraično razširenje nad , a jest algebraično razširenje nad . Zato nastava iz črez adjunkciju konečnogo čisla elementov iz , ili takože črez adjunkciju jednoj podhodno izbranoj funkcije; to jest

Po principu prěnosa imajemo tako

Teorema II: Vsako polje imaje racionalnu bazu algebraičnogo ranga ; racionalnu bazu možno osoblivo izbrati tako, že ona soderži najviše funkcij.

Nehaj dany jest libovoljny sistem algebraično nezavisnyh funkcij iz : . Po gornoj metodi jeho možno razširiti do racionalnoj bazy

Po opreděljajučem svojstvu eksistujut relacije:

gdě , označajut racionalne funkcije svojih argumentov; to jest:

Iz libovoljnoj racionalnoj bazy vsaka druga dobiva se črez biracionalnu transformaciju. I dalje:

Ako

jest libovoljny sistem algebraično nezavisnyh funkcij iz , togda jest konečno algebraično razširenje nad

\ 5. Involucijska forma i involucijska baza polj .

Dok vsaka racionalna baza, konstruovana v \ 4, imala je nedostatok, že zavisila od libovoljno izbranyh izhodnyh funkcij, nyně pokazujemo eksistenciju racionalnoj bazy, jednoznačno opreděljenoj poljem.

Po \ 4 polje jest algebraično polje -- recimo stepena -- nad i, iz-za

nastava črez adjunkciju elementov , algebraičnyh vzhodno k . Zato razsmatrjamo nerazložimu vzhodno k cělu funkciju s nuljom

ktora imaje stepen po . Dalje, kako produkt veličin, konjugovanyh s , jest homogena forma stepena po ; zato ona imaje kako koeficient pri funkciju iz , nezavisnu od . Ako sej najvyšši koeficient črez děljenje učinimo ravnym , nerazložima funkcija jest jednoznačno opreděljena. Tak definovana homogena forma

bude zvana involucijska forma polja ; iz (1) dobivajemo

kako involucijsku formu polja .

Koeficienty involucijskoj formy pokažut se racionalnoj bazoj polja ; to jest postoji relacija

Za dokaz zaměčajemo, že imaje koeficienty iz i, zaradi nerazložimosti vzhodno k , tym bolěj jest nerazložima vzhodno k tomu podpolju. Zato daje nerazložimo uravnenje za vzhodno k . Iz togo slěduje, že jest algebraično polje -- stepena -- nad . Poněže leži medžu i , iz identičnosti stepenov, kako znano, slěduje identičnost polj, to jest relacija (3). Po principu prěnosa koeficienty odpovědajuče dajut racionalnu bazu polja ; to jest imajemo

Teoremu III: Koeficienty involucijskoj formy tvoret racionalnu bazu, opreděljenu poljem, involucijsku bazu; za polja ta baza jest jednoznačno opreděljena.

Dodajemo još iracionalno tolkovanje toj faktu, ktore ustanavlja svęz s geometričnoj teorijeju involucije.

Nehaj razloženje na linearny faktory v někom razširitelnom polju dano jest tak:

Poravnanje s (1) pokazuje, že funkcije

identične sut s elementarnymi simetričnymi funkcijami redov veličin:

Zato vsaka funkcija iz jest racionalna kombinacija tyh elementarnyh funkcij, simetrična v redah (5), i obratno vsaka simetrična funkcija redov (5) naleži k .

Ako zato

proběga vse funkcije iz , postoji sistem beskonečno mnogyh relacij:

ili kratko:

pri čem ni , ni -- kako konjugovane k , i formalno simetrične -- ne izčezajut identično.

Obratno, za vsak red veličin , ktory zadovolja beskonečno mnoge relacije

dobiva se naleženje k redam veličin (5).

Bo ako označa obči imenovatelj koeficientov , togda po predpostavjenju (7) cěla takože v funkcija

ne izčezaje identično -- to jest koeficienty ne stanut neopreděljenymi -- i imaje nulj

Zaradi (7) imaje zato i nulj ; to jest naleži k redam veličin (5). Odpovědajuči tvrdženje slěduje po (6), ako zadovolja sistem uravnenj vzhodno k jednomu konjugovanomu redu veličin:

to jest: redy veličin (5) sut definovane kako rěšenja sistema uravnenj

pri čem proběga vse funkcije iz ; pritom red možno zaměniti takože ktorimkoli konjugovanym redom.

Geometrično to znači, ako vsak red razuměti kako točku: rěšenja (7) predstavljajut v -dimensionalnom linearnom prostoru grupy po toček tako, že črez koju-koli točku grupy cela pojedinačna grupa jest jednoznačno opreděljena. Taky sistem grup toček zove se " involucija v linearnom prostoru".

Odpovědajuče polje harakterizuje involuciju v linearnom prostoru, sostavjenu iz krivyh, povrhnostij itd.

Poněže po gornjem stepen polja vzhodno k ravny jest čislu sistemov rěšenj (7) s stranskoju uslovijo -- ktore možemo zvati sistemami rěšenj polja --, to zaključivanje, upotrěbjeno za dokaz eksistencije involucijskoj bazy, dopušča takože iracionalnu formulaciju:

"Ako jest dělitelj i vsak sistem rěšenj polja jest takože sistem rěšenj , togda i sut identične."

Odpovědajuči tvrdženje po principu prěnosa dějstvuje za dělitelje polja .

\ 6. Minimalna baza polj .

Sej paragraf daje pregled znanyh teorem, ale v razširenoj formě, ktoru umoživajut princip prěnosa i eksistencija racionalnoj bazy.

Definicija IV: Racionalna baza polja zove se minimalna baza, ako soderži samo minimalno čislo funkcij; togda ty funkcije muset byti algebraično nezavisne.

Iz teorem Lürotha, Castelnuova i Enriquesa slědujut fakty:

I. Vsako polje imaje minimalnu bazu: to jest Lürothova funkcija togo polja, jednoznačno opreděljena do linearno-drobnoj transformacije.

II. Za polja minimalna baza eksistuje vsegda togda i, v obćem, samo togda, kogda dopušča se algebraično razširenje koeficientnogo polja .

III. Za polja ( ) v obćem ne eksistuje minimalna baza. Harakterizacija specialnyh polj s minimalnoj bazoj ešte ne byla pokušena.

Kratko naznačimo dokaz Lürothovoj teoremy za polja , dany E. Steinitzom.

Nehaj jest involucijska forma polja , a jest kakovkoli koeficient , ktory stvarno soderži neopreděljenu . Pokazuje se, že stepen vzhodno k ravny jest stepenu vzhodno k , iz čego slěduje identičnost polj. Dalje, ako jest ravno , togda iz vzajemnoj racionalnoj zavisnosti i slěduje linearno-drobna zavisnost oběh funkcij.

Po principu prěnosa Lürothova teorema zato dopušča takože formulaciju:

Minimalna baza polj sostoji iz kakovojkoli funkcije involucijskoj bazy; i koje-koli dvě funkcije involucijskoj bazy polja zaviset jedna od drugoj linearno-drobno.

Dokaz fakta II provodi G. Castelnuovo s pomoću geometričnoj teorije involucije za polja , vyvedene iz racionalnoj bazy treh funkcij. Poněže princip prěnosa ostava v silě takože pri konečnom algebraičnom razširenju koeficientnogo polja , to eksistencija racionalnoj bazy tym samym daje dokaz za vse polja .

K III treba zamětiti, že Enriques konstruuje neracionalnu involuciju v tridimensionalnom prostoru; to jest polje , ktore ne imaje minimalnoj bazy.

\ 7. Libovolny sistem , linearna familija i integralna oblast racionalnyh funkcij. Eksistencija racionalnoj bazy.

Iz eksistencije racionalnoj bazy polj teper bude vyvedena racionalna baza za libovolne sistemy racionalnyh i cělyh racionalnyh funkcij. My uporędžujemo te sistemy tako, kako one sukcesivno nastavaju jedna iz drugoj črez elementarne operacije dodavanja, množenja i děljenja.

I. Nehaj, kako vsegda, označuje libovolny sistem racionalnyh (ili cělyh racionalnyh) funkcij od neopredělennyh, algebraičnogo ranga . Elementy iz takože računajut se kako prinadležeče sistemu.

II. Sistem zove se linearna familija, ako ispolnja uslovja:

1. skupaj s sistem vsegda soderži takože , kde jest libovolny element iz ;

2. skupaj s i sistem vsegda soderži takože .

III. Linearna familija zove se integralna oblast pod daljnym uslovjem:

3. skupaj s i oblast vsegda soderži takože .

IV. Integralna oblast zove se polje pod daljnym uslovjem:

4. zajedno s i --- kde --- polje vsegda soderži takože kvocient .

Uslovja 1--4 sut ty same, ktore v \ 1 byly dane za polje.

Te oblasti treba teper sukcesivno vyvesti jedna iz drugoj.

a) Libovolny sistem razširja se do linearnoj familije slědujućim potrěbovanjem:

soderži, kromě , vse funkcije i samo te, ktore možno linearno predstaviti s koeficientami iz črez konečno čislo funkcij iz :

pričem proběgajut vse funkcije iz , a proběgajut vse elementy iz .

Zaisto, dodavanje racionalnyh kombinacij funkcij sistema ne měnja algebraičnogo ranga sistema. ispolnja uslovja 1 i 2, zato jest linearna familija. Dalje, vsaka linearna familija, ktora soderži , po 1 i 2 soderži takože ; zato jest najmenša linearna familija, soderžeča .

b) Odpovědajuče, iz linearnoj familije nastava najmenša soderžeča integralna oblast slědujućim potrěbovanjem:

soderži, kromě , vse funkcije i samo te, ktore možno predstaviti kako cělu racionalnu kombinaciju --- s koeficientami iz --- konečnogo čisla funkcij iz , , pričem proběgajut vse funkcije iz .

c) Nakonec, iz integralnoj oblasti nastava najmenše soderžeče polje slědujućim potrěbovanjem: soderži, kromě , vse funkcije i samo te, ktore možno predstaviti kako kvocienty dvěh funkcij iz .

Ako sobere se tri razširenja v jedinom kroku, dobivamo:

Vsaky sistem možno razširiti do najmenšego soderžečego polja slědujućim potrěbovanjem:

soderži, kromě , vse funkcije i samo te, ktore možno predstaviti kako racionalne kombinacije --- s koeficientami iz --- konečnogo čisla funkcij iz , , pričem proběgajut vse funkcije iz .

Iz poslednjego fakta neposrědnje slěduje eksistencija racionalnoj bazy za libovolne oblasti:

Nehaj jest najmenše polje, soderžeče , i nehaj racionalna baza jest dana funkcijami

Po definiciji eksistujut relacije

kde sut racionalne funkcije svojih argumentov, i

vse prinadležat k . Zaradi relacij (2), pokraj (1), takože (3) dava racionalnu bazu ; a zaradi prinadležnosti funkcij (3) k ona jest jednočasno racionalna baza . Zato imajemo:

Teorema IV: Libovolny sistem racionalnyh (ili cělyh racionalnyh) funkcij imaje racionalnu bazu algebraičnogo ranga , sostavljenu iz konečnogo čisla funkcij samogo sistema.

Nehaj teper specialno jest linearna familija i

jest racionalna baza . Nehaj naprimer

sut algebraično nezavisne. Ako togda položimo

to možno tako izbrati kako elementy iz , že

stane racionalnoj bazoj najmenšego soderžečego polja . No poněže jest linearna familija, prinadleži k , i (5) dava racionalnu bazu ; to jest:

Teorema V: Racionalnu bazu vsakoj linearnoj familije racionalnyh (ili cělyh racionalnyh) funkcij, a zato osoblivo racionalnu bazu vsakoj integralnoj oblasti i vsakogo polja , možno specialno izbrati tako, že ona soderži najviše funkcij (i najmanje ).

Ograničenje čisla funkcij racionalnoj bazy, najdeno v \ 4 za polje, opiraje se zato na svojstvo polja byti linearnoj familijeju; togda kako ograničenje do funkcij v slučaju eksistencije minimalnoj bazy upotrěblja vse predposylki polja.

Treba još zamětiti, že po \ 3 (4) vse harakternye svojstva sistemov i najmenših soderžečih sistemov pri odobraženju ostavajut sohranjene.

\ 8. Involucijska baza integralnyh oblastij iz polinomov.

V slědujućih paragrafah idě o sistemy , čije elementy sut cěle racionalne funkcije, to jest polinomy; najprvo o integralne oblasti iz polinomov. Za te oblasti treba najprvo ustanoviti pojmy děliteljnosti.

Nehaj sut dva polinomy iz , a obči dělitelj tyh polinomov, tako že imajemo:

zove se togda i samo togda obči dělitelj v , ako tri polinomy naležet k .

Dva polinomy iz zovut se vzajemno prosty v , ako ne imajut občego dělitelja v .

Nehaj jest najmenše polje, soderžeče . Togda iz definicije slěduje, že vsaka funkcija iz imaje predstavjenje

kde naležet k i sut vzajemno prosty v . Odpovědajuče možno několiko funkcij iz privesti k občemu imenovatelju v :

zove se togda i samo togda najmenši obči imenovatelj v , ako polinomy iz :

sut vzajemno prosty v .

Tako predstavjenje može byti možno raznymi sposobami, poněže v voobće ne dějstvujut zakony jednoznačnogo razloženja na nerazložime funkcije.

Teper izslědujemo značenje involucijskoj bazy za , prěnoseči pojmy involucijskoj formy i involucijskoj bazy na integralne oblasti. Nehaj

jest involucijska forma , a najmenši obči imenovatelj v koeficientov . Množenjem s forma prehodi v formu , čije koeficienty sut polinomy iz i sut vzajemno prosty v :

Vsaka forma , ktora nastava iz involucijskoj formy polja črez množenje s polinomom iz tako, že koeficienty sut polinomy iz i sut vzajemno prosty v , bude zvana involucijska forma ; a koeficienty budu zvane odpovědajuču involucijsku bazu.

Najprvo iz značenja involucijskoj bazy jasno jest, že vsaka involucijska baza jednočasno jest racionalna baza. Za daljne izslědovanje razsmatrjamo oblast odobraženja , za čije najmenše soderžeče polje nerazložimo uravnenje s nuljom

dano jest črez .

Po \ 5 koeficienty formy

predstavljajut elementarne simetrične funkcije redov veličin, konjugovanyh vzhodno k :

Nehaj jest libovolny polinom iz . Togda iz

slěduje, že jest cěla simetrična funkcija tyh redov veličin i zato može byti vyražena kako cěla racionalna kombinacija elementarnyh simetričnyh funkcij, to jest funkcij

Ako nyně

jest involucijska forma , togda vsak polinom iz , a osoblivo vsak polinom iz , jest cěla racionalna kombinacija kvocientov

S obzirom na princip prěnosa dobivamo tako:

Teoremu VI: Za vsaku integralnu oblast iz polinomov eksistuje najmanje jedna vyznačena racionalna baza, involucijska baza, taka že v racionalnom predstavjenju vseh polinomov iz črez funkcije involucijskoj bazy v imenovatelju nastupa samo potenca jednoj staloj funkcije --- najvyššego koeficienta odpovědajučej involucijskoj formy.

\ 9. Relativno cěle oblasti iz polinomov.

V daljem razmatramo specialne integralne oblasti iz polinomov, ktore tvorjut posrědnju stopnju medžu integralnoju oblastju i poljem.

Integralna oblast iz polinomov zove se ``relativno cěla oblast'', ako jest izpolnjeno uslovje:

4a) vměstě s i --- kde --- soderži kvocient togda i samo togda, kogda toj kvocient jest cěly po neopreděljenyh, to jest jest polinom.

Najprvo treba dokazati identičnost relativno cělyh oblastij s cělokupnostju polinomov nekogo polja ( ) racionalnyh funkcij.

Nehaj jest najmenše polje, soderžeče . Za vsaku funkciju iz jest predstavjenje kako kvocient dvoh polinomov iz :

pri čem dopuskajut se takože polinomy nultej stepeni. Kako skoro stavaje polinomom, ona po uslovju 4a) naleži k ; a poneže ne može soderžati ničto ponad polinomy, vsaka relativno cěla oblast jest identična s cělokupnostju polinomov najmenšego soderžečego polja.

Obratno, nehaj jest libovolno polje racionalnyh funkcij (tako ne nužno najmenše soderžeče polje danogo sistema), i nehaj jest cělokupnost polinomov, soderžanyh v . izpolnja uslovja 1, 2, 3 integralnoj oblasti i uslovje 4a), zato jest relativno cěla oblast; to jest cělokupnost polinomov, soderžanyh v polju , tvori relativno cělu oblast ( ).

Dalje pokazujemo identičnost relativno cělyh oblastij s vvedenymi od Hilberta ``integralnymi oblastjami iz relativno cělyh funkcij''.

Nehaj

jest racionalna baza . Po uslovjah 1, 2, 3, 4a vsaka racionalna kombinacija polinomov (1), ktora jest cěla po neopreděljenyh, to jest stavaje polinomom, naleži k . Obratno, vsak polinom iz može se po pojmu racionalnoj bazy racionalno izraziti črez polinomy (1); zato jest identična s cělokupnostju tyh racionalnyh kombinacij polinomov (1), ktore sut cěle po neopreděljenyh, to jest sut polinomy. Tako imajemo Hilbertovu definiciju, izhodeču iz specialnoj racionalnoj bazy, medžu tym kako naša definicija upotrěbja samo abstraktne svojstva oblasti.

Za relativno cěle oblasti definicija občego dělitelja, dana v \ 8 za obče integralne oblasti, stavaje prostějšoju:

Nehaj sut dva polinomy iz , a obči dělitelj tyh polinomov. Togda zove se obči dělitelj v togda i samo togda, ako naleži k .

Bo togda naležnost kvocientov i slěduje iz uslovja 4a).

Dalje važno svojstvo relativno cělyh oblastij jest, že pojem ``algebraično cělogo vzhodno k '' možno definovati pomoču libovolnogo uravnenja točno tako, kako jest znano za algebraične čislove polja ili za polje .

Definicija V: Veličina zove se algebraično cěla vzhodno k --- ili takože relativno algebraično cěla ---, ako ona zadovoljaje někoje uravnenje, čiji najvyšši koeficient jest jedinica, a ostale koeficienty sut polinomy iz .

Imenno, nehaj relativno algebraično cěla veličina zadovoljaje, napriměr, uravnenje

jest děljiva črez cělu funkciju

nerazložimu vzhodno k najmenšemu soderžečemu polju . Ale iz toj děliteljnosti po znanom razširenju Gaussovej teoremy slěduje, že racionalne funkcije sut polinomy iz , i zato naležet k . Tym sposobom definicija relativno algebraično cěloj veličiny dobivaje se iz nerazložimogo uravnenja. Osoblivo, vsak polinom iz jest takože algebraično cěly vzhodno k , poneže zadovoljaje uravnenje .

Dalje treba spomenuti, že za integralnu oblast iz polinomov, analogično k najmenšemu soderžečemu polju, definovana jest takože najmenša soderžeča relativno cěla oblast črez slědujuče trebovanje:

vměstě s soderži vse polinomy , i samo te, ktore možno predstaviti kako kvocienty dvoh polinomov iz .

Iz toj definicije dalje slěduje: Iz vsakoj involucijskoj formy i involucijskoj bazy nastava odpovědajuča forma i baza za tako, že najviše treba odděliti obči dělitelj v vseh polinomov bazy.

Bo i imajut to samo najmenše soderžeče polje ; i vsaka involucijska forma nastava iz involucijskoj formy črez množenje polinomom iz , i zato imaje koeficienty iz , ktore jednak mogut iměti obči dělitelj v .

Nakonec treba zamětiti, že oblast odobraženja relativno cěloj oblasti , ktora po \ 7 znovu jest integralna oblast iz polinomov, ne mora sama byti relativno cěla oblast. Bo ako i sut dva polinomy iz , čiji kvocient ne jest polinom i zato ne naleži k , togda i kvocient ne naleži k . No toj kvocient, nastavajuči specializacijeju někojih neopreděljenyh, može vpolně byti polinomom, i za uslovje 4a) togda ne jest izpolnjeno.

\ 10. Relativno cěle oblasti prvogo roda i njihova integralna baza.

Pojem ``relativno algebraično cělogo'', vvedeny v \ 9 (Definicija V), davaje možnost ukazati klasu relativno cělyh oblastij, ktore sut konečne integralne oblasti, i tym samym najmanje za tu klasu pozitivno odgovoriti na pytanje, postavjeno od D. Hilberta (Mathematische Probleme, problema 14). Dajemo slědujuču

Definicija VI: Konečno čislo polinomov iz zove se integralna baza, ako vsak polinom iz možno predstaviti kako cělu racionalnu kombinaciju togo konečnogo čisla s koeficientami iz . Integralna oblast iz polinomov, ktora imaje integralnu bazu, zove se konečna integralna oblast.

Klasu relativno cělyh oblastij, ktoru razmatrajemo i za ktoru se involucijska baza pokaže kako integralna baza, budemo nazyvati relativno cělymi oblastjami prvogo roda po slědujučej definiciji:

Definicija VII: Relativno cěla oblast zove se oblast prvogo roda, ako kako oblast odobraženja imaje relativno cělu oblast taku, že vsak libovoljny polinom od (s koeficientami iz ) jest algebraično cěly nad .

Po toj definiciji neopreděljene , i slědovatelno takože linearna forma , sut algebraično cěle nad . Zato nerazložima cěla funkcija s korenom --- involucijska forma najmenšego polja , soderžečego --- imaje kako najvyšši koeficient jedinicu, a kako daljne koeficienty polinomy iz . Zato ona jednočasno jest involucijska forma , i v ne može eksistovati druga involucijska forma. Po principu prěnosa takože imaje involucijsku formu, čiji najvyšši koeficient jest jedinica; a poneže po Teoremě VI v racionalnom predstavjenju vseh polinomov iz črez odpovědajuču involucijsku bazu v imenovatelj vhodi samo toj najvyšši koeficient, involucijska baza stavaje integralna baza; to jest:

Teorema VII. Vsaka relativno cěla oblast prvogo roda jest konečna integralna oblast; integralna baza dana jest involucijskoju bazoju, dobytoju iz harakterizujučej oblasti odobraženja. Osoblivo, integralna baza relativno cělyh oblastij prvogo roda dana jest jednoznačno definovanoju involucijskoju bazoju .

Dajemo ješče kriterij za relativno cěle oblasti prvogo roda. Nehaj jest oblast prvogo roda, i nehaj integralna baza jest dana polinomami

Togda po Hilbertovom pomoćnom teoremu eksistujut algebraično nezavisne polinomy iz :

take, že polinomy (1), i zato vsak polinom iz , sut algebraično cěle nad polinomami (2). To samo važi za vsak polinom oblasti odobraženja vzhodno k odpovědajučim polinomam

Po Definiciji VII zato takože vsak libovoljny polinom od jest algebraično cěly nad polinomami (3).

Obratno, nehaj oblast odobraženja libovoljnoj relativno cěloj oblasti soderži polinomov (3), nad ktorymi vsak polinom od jest algebraično cěly. Togda pokažemo, že iz togo sama nastava kako relativno cěla oblast , i dalje, že , a slědovatelno i , sut prvogo roda.

V samoj stvari, nehaj jest polinom iz najmenšego polja , soderžečego ; po prědpostavce on jest algebraično cěly nad polinomami (3). Togda odpovědajuča funkcija iz jest algebraično cěla nad polinomami iz , zato jest polinom i slědovatelno naleži k ; s tym naleži k . Oblast odobraženja soderži zato vse polinomy iz i jest relativno cěla oblast . Za , i zato takože za , iz prědpostavky po Definicijah V i VII neposrědnje slěduje, že ony sut prvogo roda, to jest:

Relativno cěle oblasti prvogo roda harakterizovane sut tym, že v oblasti odobraženja eksistujut polinomov, nad ktorymi vsak libovoljny polinom od jest algebraično cěly. Iz toj prědpostavky oblast odobraženja sama nastava kako relativno cěla oblast.

\ 11. Pomoćny teorem o algebraično cěloj zavisnosti.

Teper dajemo kriterij za to, že vsak libovoljny polinom od jest algebraično cěly nad polinomami od

Ako polinomy (1) sut osoblivo homogene formy, togda za vsak specialny sistem vrědnostij, ktory obrača (1) v nulju, jednočasno se obračajut v nulju i vse algebraično cělo zavisne formy; osoblivo takože .

Zato formy (1) ne mogu se obračati v nulju ni za ktory sistem vrědnostij izključno

njihov rezultant mora byti različen od nulja.

Obratno, ta uslovija takože jest dostatočna i dopusća razširenje na nehomogene polinomy po slědujučem

Pomoćnom teoremu: Dostatočna uslovija za to, že vsak libovoljny polinom od jest algebraično cěly nad polinomami od

jest neobračanje v nulju rezultanta, vzętogo po , členov najvyššej dimenzije

polinomov (1):

Za homogene formy (1) uslovija (2) jest neobhodna.

Za dokaz formujemo polinomy

gdě značet neopreděljene, a značit libovoljny polinom od . Nehaj rezultant polinomov (3) po jest dany črez

ona jest cěla racionalna funkcija od . Po F. Mertensu v razloženju (4) po stepenjah možno javno ukazati najvyšši koeficient; dostavajemo

gdě značet cěle celočislene funkcije od i koeficientov polinomov (3). To razloženje najprvo pokazuje, že pod prědpostavkoju (2), , takože ne može identično obračati se v nulju. Dalej identičnost v :

črez podstavjenje

prehodit v:

čim jest pomoćny teorem dokazany, poneže po prědpostavce jest čislo iz .

\ 12. Integralna baza regularnyh sistemov iz polinomov.

Pomoćny teorem iz \ 11, vměstě s zaključkom \ 10, neposrědnje daje slědujuči fakt:

Ako v oblasti odobraženja oblasti obstojat polinomov tako, že homogeny rezultant njih členov najvyššej dimenzije ne izčezaje identično --- ---, togda jest oblast prvogo roda i poslědovateljno konečna integralna oblast, pri čem involucijska baza jest integralna baza.

Uslovija teper, pomoću pomoćnogo teorema, dopušća drugy dokaz obstojanja integralnoj bazy, v sučnosti dany od D. Hilberta; sej dokaz, pravda, ne pozwalja razpoznati involucijsku bazu kak takovu, ale zato ravnoměrno važy za vse sistemy s naznačenoju vlastnostju.

Neha bude polinomov iz , za ktore i ktore poslědovateljno sut algebraično nezavisne, dane črez

Po pomoćnom teoremu vsak libovoljny polinom od , i osoblivo vsak polinom najmenšego polja soderžečego , jest algebraično cěly nad polinomami (1). Ako jim v odpovědajut polinomy

togda po principu prěnesenja vsak polinom najmenšego polja soderžečego , i tim osoblivo vsak polinom iz , jest algebraično cěly nad polinomami (2). Obratno, vsaka funkcija iz , ktora jest algebraično cěla nad polinomami (2), jest takože polinom. Zato, ako smatrimo (po \ 4) kak algebraično polje nad , vsota polinomov iz --- relativno cěla oblast --- jest identična s algebraično cělymi veličinami togo polja. Nehaj bude polinom iz , ktory dopolnja (2) do racionalnoj bazy, a diskriminant nerazložimego uravnenja -go stepena, kojemu udovolja vzhodno k . Togda vsak polinom iz , osoblivo vsak polinom iz , kak algebraično cěla veličina dopušća predstavjenje

Neha teper prěběgaje vse polinomy iz . Togda priměnjenje Hilbertovogo teorema I o modulnoj bazi (Math. Ann. 36) k sistemu, tvorjenomu iz odpovědajučih funkcij

pokazyvaje obstojanje konečnogo čisla polinomov iz :

takyh, že vsak polinom iz dopušća predstavjenje

gdě značet polinomy od . Polinomy (2) i (4) zato tvorjat integralnu bazu ; to jest:

Teorem VIII: Ako v sistemu odobraženja sistema iz polinomov obstojat polinomov tako, že rezultant členov najvyššej dimenzije ne izčezaje identično --- ---, togda imaje integralnu bazu.

Sej teorem dopušća ješče legko obobčenje. Dostatočno jest, že polinomov (1), za ktore , prinadležat najmenšej integralnoj oblasti soderžečej . V samoj dějnosti razsudženja, ktore vedut k teoremu VIII, pokazyvajut, že i togda predstavjenje (5) ješče važy. No po definiciji vsak polinom najmenšej soderžečej integralnoj oblasti može byti cělo i racionalno predstavjen črez konečno čislo --- měnjajuče se vměstě s --- polinomov iz ; zato obstojat polinomov iz

takyh, že polinomy stanut cělymi racionalnymi kombinacijami polinomov (6). Črez (6) i (4) jest zato dana integralna baza. Vvodeči:

Definicija VIII: Sistem polinomov nazyvaje se regularny, ako v oblasti odobraženja najmenšej soderžečej integralnoj oblasti obstojat polinomov tako, že rezultant členov najvyššej dimenzije ne izčezaje identično --- ---

važi zato:

Teorem IX: Vsak regularny sistem iz polinomov imaje integralnu bazu.

Dajemo ješče, analogično kak v \ 5 za involuciju, geometrično tolkovanje regularnyh sistemov. Za to smatrimo, kak tam v (7), sistem uravnenj

gdě prěběgaje vse polinomy iz . Homogenizujuči pomoću , nehaj (7) prěhodi v sistem uravnenj medžu homogenymi formami

pri čem, ako označaje členy najvyššej dimenzije od , obstojaje odnos

Kak fundamentalne točky oblasti označajemo (sr. primětku k \ 5) rěšenja (8), nezavisne od , to jest različne od redov, konjugovanyh k . Fundamentalne točky sut zato sistemi vrědnostij, različne od , za ktore jednočasno važi

ili, zaradi (9),

Ako teper obstojat form , za ktore , ktore zato ne imajut obči sistem rěšenj, togda ne može iměti fundamentalnu točku. Ako osoblivo sostojit iz homogenyh form, togda pri i ne može iměti fundamentalnu točku, bo ona byla by jednočasno fundamentalna točka oblasti . Ale važi takože obratno. Za to smatrimo sistem , formovany iz vsoty form ; on opet tvorit integralnu oblast.

Iz Hilbertovogo teorema I o modulnoj bazi i Hilbertovogo pomoćnogo teorema (sr. citat v \ 10) zato slěduje obstojanje form iz , ktoryh izčezanje ima za poslědok izčezanje vseh form iz . Ako teper ne imaje fundamentalnoj točky, te form ne mogut izčezati jednočasno; njih rezultant .

Zato:

Regularne sistemy iz polinomov sut karakterizovane tym, že oblast odobraženja najmenšej soderžečej integralnoj oblasti ne imaje fundamentalnoj točky. Pri regularnyh sistemah iz homogenyh form uže sam sistem ne imaje fundamentalnoj točky.

\ 13. Priměry relativno-cělyh oblasti prvogo roda i regularnyh sistemov.

1. Kak prvy priměr relativno-cěloj oblasti prvogo roda razsmatrjamo cělost polinomov od , ktore dopuščajut danu permutacijsku grupu , to jest cělost polinomov Lagrangevoj rodovoj oblasti. Poněže po identičnosti

sut algebraično cěle nad elementarnymi simetričnymi funkcijami, ktore prinadležat k , i zato po definiciji V algebraično cělo zavisat od , oblast jest prvogo roda. Dalje, kak oblast prvogo roda, poněže jej elementy sut homogene formy i , tvori (po koncu \ 10) regularny sistem. V samoj dějnosti, po (1) rezultant elementarnyh simetričnyh funkcij ne može izčeznuti identično; po pravilah teorije rezultantov on računa se kak . Involucijska forma oblasti , poněže jest prvogo roda i , jednoznačno jest opreděljena kak involucijska forma odpovědajučej Lagrangevoj rodovoj oblasti. Veličiny konjugovane k vzhodno k toj oblasti nastavajut permutacijami grupy ; zato ta involucijska forma dana jest črez

gdě produkt imaje se brati po vseh permutacijah iz . Formula (2) predstavlja ``Galoisovu formu grupy '', i zato važi fakt:

Vse polinomy od , ktore dopuščajut permutacijsku grupu , sut cěle racionalne kombinacije koeficientov Galoisovej formy grupy.

2. Kak priměr regularnyh sistemov razsmotrimo sistemy iz polinomov, to jest sistemy, ktore soderžat samo jedin algebraično nezavisny polinom.

V samoj dějnosti, nehaj bude sistem odobraženja sistema i nehaj

bude polinom iz . Togda

Zato jest regularny po definiciji VIII, i slěduje:

Vsak sistem iz polinomov, osoblivo vsak sistem iz beskonečno mnogih polinomov jednej neopreděljenej, imaje integralnu bazu.

3. Teper specializujemo sistemy do relativno-cělyh oblasti , ktore kak regularne sistemy po \ 12 sut relativno-cěle oblasti prvogo roda. Njih integralna baza zato dana jest involucijskoju bazoju, ktora jednočasno jest involucijska baza najmenšego soderžečego polja . Po \ 6 libovoljna funkcija involucijskoj bazy jednočasno jest minimalna baza --- my označali ju kak Lürothovu funkciju togo polja --- i vsaka funkcija involucijskoj bazy zavisi linearno-drobno od toj Lürothovej funkcije. V našem slučaju Lürothova funkcija, poněže ona prinadleži k , jest polinom; vsak daljny polinom involucijskoj bazy zavisi od njej linearno-drobno, a po (3) ta zavisnost jest takože algebraično cěla, to jest v samoj dějnosti cěla i linearna. Tak Lürothova funkcija stavaje se integralnoju bazoju. Ako ješče položimo , involucijska forma oblasti imaje vid

iz čego znovu jasno, že jest integralna baza. Slěduje:

Relativno-cěle oblasti sut prvogo roda; njih integralna baza sostojit iz jednogo polinoma, Lürothovej funkcije najmenšego soderžečego polja.

4. Kak ješče jedin priměr relativno-cěloj oblasti spomenimo osoblivo cěle racionalne projektivne invarianty kvadratičnoj formy od prěmennyh. V soglasju s prědhodnym, kak znajemo, oni možut byti predstavljene kak cěle racionalne kombinacije determinanta toj formy; i sej determinant jednočasno jest Lürothova funkcija odpovědajučego invariantnogo polja.

\ 14. Sistemy iz celočislenyh polinomov.

Dobyte teoremy o bazah treba teper zaoštriti s obzirom na celočislovost.

Koeficientnu oblast zato v daljem budemo smatrjati kako (konečno) algebraično čislovo polje; i nehaj označa cělost algebraično cělyh čisel iz , ktore budemo kratko nazyvati cělymi čislami. Pod celočislenym polinomom razuměje se polinom s koeficientami iz ; od nyně budut značiti samo celočislene polinomy.

V analogiji s \ 7 razmatramo različne sistemy iz celočislenyh polinomov:

Libovoljny sistem iz celočislenyh polinomov bude nazvany celočislenym sistemom .

Celočislena linearna familija jest celočisleny sistem, ktory pokraj i vsegda soderži takože , gdě sut libovoljne cěle čisla iz .

Celočislena integralna oblast jest celočislena linearna familija, ktora pokraj i vsegda soderži takože .

Celočislena relativno cěla oblast jest integralna oblast, ktora pokraj i --- gdě --- togda i samo togda soderži kvocient , kogda sej kvocient jest celočisleny polinom.

Odpovědajuče kak v \ 7, najmenša soderžeča celočislena integralna oblast celočislenogo sistema sostojit iz vseh polinomov , ktore sut cěle racionalne celočislene kombinacije konečnogo čisla polinomov iz ;

najmenša soderžeča celočislena relativno cěla oblast sostojit iz vseh celočislenyh polinomov , ktore sut racionalne kombinacije konečnogo čisla polinomov iz .

Teper prěhodimo k prěnosu teoremov o bazah. Vzhodno k racionalnoj bazi treba zamětiti, že pojmy polja, najmenšego soderžečego polja i racionalnoj bazy, ktore osnovane sut samo na ``racionalnom'', ne dobivajut nikakoj proměny. Nadalje možno sistem odobraženja celočislenogo sistema izbrati znovu kako celočisleny sistem na libovoljno mnoho sposobov. Poněže i pri celočislenej linearnej familiji ostavajut zaključanja, ktore vedut k ograničenju čisla, važi:

Teorem : Vsak celočisleny sistem imaje racionalnu bazu; racionalnu bazu celočislenej linearnej familije možno osoblivo izbrati tako, že ona soderži najviše polinomov.

Teper izslědujemo analogon involucijskoj bazy integralnyh oblastij iz polinomov ( \ 8). Za to treba teorem o simetričnyh funkcijah redov veličin razširiti s obzirom na celočislovost slědujučim

pomoćnym teoremom. Cěle celočislene simetrične funkcije od redov veličin :

sut cěle celočislene funkcije konečnogo čisla medžu njimi, imenno elementarnyh simetričnyh funkcij

i funkcij

ktore algebraično cělo i celočisleno zavisat od funkcij (2).

V samoj dějnosti, veličin algebraično cělo i celočisleno zavisat od ; odpovědajuči fakt važi za vzhodno k i t.d. Polje simetričnyh funkcij redov veličin (1) zato tvori algebraično polje nad poljem opreděljenym funkcijami (2) tak, že algebraično cěle i celočislene veličiny togo polja sut identične s cělymi celočislenymi simetričnymi funkcijami redov veličin (1). Ako zato opredělimo (3) kako Kroneckerov fundamentalny sistem, pomoćny teorem jest dokazany.

Nehaj teper bude celočislena integralna oblast, celočislena oblast odobraženja i

involucijska forma oblasti ; pri tom može byti takože nultej dimenzije, t. j. čislo iz . Elementarne simetrične funkcije, odpovědajuče funkcijam (2), togda sut dane něktorymi iz kvocientov

Poněže po pomoćnom teoremu funkcije (3) algebraično cělo i celočisleno zavisat od (2), to --- po razširenju Gaussovej teoremy na polinomy s algebraično-celočislenymi koeficientami --- funkcije iz odpovědajuče (3) sut dane kako

gdě sut celočislene polinomy iz . zato, ako ide o relativno cěle oblasti, prinadležat oblasti; v obćem slučaju sut kvocienty polinomov iz .

Ako teper jest libovoljny celočisleny polinom iz , imajemo

i zato stavaje cěla celočislena simetrična funkcija redov veličin .

Po pomoćnom teoremu i principu prěnosa slěduje zato:

Teorem : Za celočislene integralne oblasti vsaka involucijska forma opredělja vyznačenu racionalnu bazu tako, že vsak polinom iz dopušča predstavjenje

gdě označa cělu celočislenu funkciju. Za celočislene relativno cěle oblasti , s celočislenoju relativno cěloju oblastju kako oblastju odobraženja, imenovatelj dany jest najvyššim koeficientom odpovědajučej involucijskoj formy.

\ 15. Celočislene relativno cěle oblasti prvogo roda i regularne sistemy.

Na město integralnoj bazy pri celočislenyh sistemah nastupa celočislena integralna baza, to jest konečno čislo celočislenyh polinomov sistema tako, že vsak celočisleny polinom sistema se može predstaviti kako cěla celočislena kombinacija sej konečnoj množiny.

Teoremy o celočislenej integralnoj bazi v sučnosti idut paralelno s predhodnymi, i samo dokazy trebujut male modifikacije.

Najprvo definicija ( \ 9) može se neposrědnje prěnesti.

Definicija : veličina nazyva se algebraično cěla i celočislena vzhodno k celočislenej relativno cělej oblasti , ako ona zadovolja někoj jednačbi, ktorej najvyšši koeficient jest jedinica iz , a ostale polinomy sut iz .

Razširenje Gaussova teorema na polinomy s algebraično-celočislenymi koeficientami pokazuje imenno, kak v \ 9, že iz togo definicija može byti dobyta na ireducibilnoj jednačbi.

Iz definicije dalje slěduje prěnos definicije VII.

Definicija : celočislena relativno cěla oblast nazyva se oblastju prvogo roda, ako ona imaje kako oblast odobraženja relativno cělu oblast tako, že vsak libovoljny celočisleny polinom od algebraično cělo i celočisleno zavisi od .

Da pokazati konečnost tyh oblastij prvogo roda, najprvo zamětimo, že kak v \ 10 iz definicije slěduje: najvyšši koeficient involucijskoj formy jest jedinica iz .

Po teoremu ( \ 14) zato vsak polinom iz dopušča predstavjenje:

Ako se tut na sistem, utvorjeny iz celočislenyh polinomov , priměni Hilbertov teorem II o celočislenej modulnoj bazi (Math. Ann. 36), izrečeny za cěle racionalne čislove koeficienty, v jego razširenju na algebraično-celočislene polinomy, togda iz togo slěduje obstojanje celočislenej integralnoj bazy, to jest:

Teorem : vsaka celočislena relativno cěla oblast prvogo roda imaje celočislenu integralnu bazu.

Dalje prěnosimo definiciju regularnyh sistemov:

Definicija : celočisleny sistem nazyva se celočisleno-regularnym, ako v oblasti odobraženja najmenšej soderžečej celočislenej integralnej oblasti obstojat polinomov tako, že rezultant členov najvyššej dimenzije jest jedinica iz , to jest .

Da prěnesti dokaz obstojanja integralnoj bazy, zamětimo, že pomočno tvrđenje iz \ 11 dopušča slědujuću ostrějšu formulaciju; ona slěduje iz jednačb (5) i (6) v \ 11 i iz okolnosti, že sut cěle celočislene funkcije od :

Dostatno uslovje za to, že vsak libovoljny celočisleny polinom od algebraično cělo i celočisleno zavisi od celočislenyh polinomov, jest to, že rezultant členov najvyššej dimenzije tyh polinomov jest jedinica iz , to jest .

Iz sej pomoćnoj teoremy slěduje točno kak v \ 12 za vsak polinom celočisleno-regularnogo sistema predstavjenje (3) iz \ 12, gdě nyně sut celočislene polinomy od . I dalje, kak v \ 12, priměnjenje Hilbertova teorema II (Math. Ann. 36) v jego razširenju na algebraično-celočislene polinomy, vměstě s definiciju najmenšej soderžečej celočislenej integralnej oblasti, davaje obstojanje celočislenej integralnoj bazy; to jest:

Teorem : vsak celočisleno-regularny sistem imaje celočislenu integralnu bazu.

Kak primjer celočislenej relativno cělej oblasti prvogo roda, v analogiji s primjerom 1 v \ 13, ukazujemo na cělost celočislenyh polinomov Lagrangevoj rodovoj oblasti. Že jest celočislena oblast prvogo roda, slěduje iz identičnosti:

poněže rezultant elementarnyh simetričnyh funkcij imaje cěnnost , jest takože celočisleny regularny sistem.

Dalejši primjer jest, po pomoćnom teoremu iz \ 14, dany cělostju cělyh celočislenyh simetričnyh funkcij od redov veličin.

Erlangen, maj 1914.