7. Teorem o konečnosti invariantov konečnyh grup

Math. Ann. 77 (1916), s. 89--92

V slědujučem bude podan sovsěm elementarny dokaz konečnosti invariantov konečnyh grup, osnovany samo na teoriji simetričnyh funkcij, i on v to samo vrěme davaje stvarno ukazanje polnogo sistema. Obyčny dokaz, ktory se opiraje na Hilbertov teorem o modulnoj bazi (Ann. 36), jest samo dokaz eksistencije.

Nehaj konečna grupa sostoji iz linearnyh prěobraženj (s nenulevym determinantom) , pri čem označuje linearno prěobraženje

ili skračeno . Grupa zato prěvodit red s elementami v redy s elementami . Poněže medžu mora byti identiteta, medžu redami nahodi se takože red . Pod cělym racionalnym (absolutnym) invariantom grupy razuměje se taka cěla racionalna funkcija od , ktora pri priměnjenju ostavaje identično neizměnjena. Zato za taky invariant imajemo

Formula (1) izkazuje, že jest cěla racionalna simetrična funkcija redov veličin . I imenno, poněže vsaky člen soderži samo jedin red , ide o najprostějši slučaj, obyčno nazvany jednoformny. Po poznatom teoremu o simetričnyh funkcijah redov veličin funkcija možno cělo i racionalno predstaviti črez elementarne simetrične funkcije tyh redov, to jest črez koeficienty ``Galoisovej rezolventy''

gdě sut invarianty stepena po . Těm jest dokazano:

Koeficienty Galoisovej rezolventy tvoret polny sistem invariantov grupy tako, že vsaky invariant može se cělo i racionalno predstaviti črez te konečno mnoge invarianty.

Izhodeči iz (1), možno izvesti takože slědujuče ješče elementarnějše razsmatrjanje, ktoro v to samo vrěme vodi k drugomu polnomu sistemu. Nehaj

gdě označajut konstanty. Tada po (1) imajemo

Vsaky invariant zato može se sostaviti kako cěla linearna kombinacija specialnyh invariantov

i zato dostatočno jest dokazati tvrđenje za te specialne invarianty. No , ne gledajuči na čislovy faktor, jest koeficient pri v izrazu

gdě položeno jest , i toj izraz jest -ta stepenna suma linearnyh form

Kako jest poznato, beskonečno mnoge stepenne sumy sut cěle racionalne kombinacije

ktorih koeficienty sut dane invariantami

Tako jest dobiven drugy polny sistem:

Polny sistem invariantov grupy jest dany vsimi invariantami , gdě i označuje red grupy.

Svęz s 1. ustanavjaje se primětkoju, že stepenne sumy možno zaměniti elementarnymi simetričnymi funkcijami od , čto vodi k tam danomu polnomu sistemu . Oba rezultaty pokazyvajut, že vse invarianty možno cělo i racionalno izraziti črez te, ktoryh stepenj po ne prěvyšaje reda grupy.

Iz upravo dokazanogo možno izvesti poslědky za racionalno predstavjenje. Vsaky racionalny absolutny invariant možno, kako se neposrědnje vidi proširjenjem čislitelja i imenovatelja konjugatami imenovatelja vzhodno k grupě, predstaviti kako količnik dvoh cělyh racionalnyh absolutnyh invariantov, ne neobhodno vzajemno prostyh. Iz togo slěduje, že vsaky racionalny absolutny invariant možno racionalno izraziti črez koeficienty Galoisovej rezolventy . Toj teorem može se legko dokazati na različne načiny i bez prohoda črez teorem konečnosti; on uže jest formulovany u Webera II, \ 58.

Nakonec treba spomenuti, že rezultaty izvedene tu sut implicitno soderžane v mojej rabotě Körper und Systeme rationaler Funktionen; i imenno polny sistem dany v 1. nahodi se v teoremah VI i VII, a dokaz racionalnogo predstavjenja nezavisny od togo teorema konečnosti nahodi se v teoremu III. V tutom specialnom slučaju hod dokaza i rezultat značiteljno uproščajut se v sravnanju s občeju teorijeju. K priměnjenju občih izslědovanj na invarianty konečnyh grup privedli mne razgovory s E. Fischerom; od jego po sodržanju proishodi i dokaz dany pod 2. (v občem slučaju tam nastupajuči polny sistem ne jest racionalno definovatelny), i primětka k 3.

Erlangen, maj 1915.