8. O cělom racionalnom predstavjenju invariantov sistema libovoljno mnogih osnovnyh form

Math. Ann. 77 (1916), s. 93--102

Na koncu svojego prispevka k Švarcovomu jubilejnomu sborniku Über die Invarianten eines Systems von beliebig vielen Grundformen D. Hilbert izkazuje predpoloženje, že te invarianty možno cělo i racionalno predstaviti črez konečno mnoge invarianty sistema , gdě označuje polny sistem invariantov linearno nezavisnyh osnovnyh form, a invarianty izhodet iz črez polarne procesy.

V slědujučem pokazujem v I, že to predpoloženje stvarno jest pravilno, i to kako prosty poslědok redukcijnogo teorema: vsaku formu od libovoljno mnogih redov po varijablov v vsakom možno predstaviti kako sumu polarov form, ktore soderžet samo fiksovanyh redov i same sut izvedene iz izhodnoj formy polarnymi procesami. Toj redukcijny teorem jest specialny slučaj, prvy put formulovany F. Mertensom, obobčenja Klebš--Gordanovogo razloženja po redah na formy od libovoljno mnogih redov po varijablov; to obobčenje, dano A. Kapellijem, F. Mertensom i J. Derjutsom, dokazano jest formalnym prěobraženjem procesov diferencialovanja.

V II dajem ješče bolěje ponjatijny dokaz redukcijnogo teorema, razmatrajut čto pytanje kako problem ekvivalentnosti linearnyh familij form. To gledišče, i takože suštstvenu čest upotrěbljenyh razsmatrjanj, berem iz raboty Über algebraische Modulsysteme i iz s njom svęzanyh nepublikovanyh teoremov E. Fišera, ktory mi ljubazno dozvolil jih upotrěbljenje.

Nakonec pokazujem v III, kako odgovarajuča razsmatrjanja vodet takože k najobčejšim razloženjam po redah.

I. Nehaj bude forma, homogena v vsakom iz redov

gdě občno red može sostojati iz elementov

Koeficienty mogut byti neopreděljene ili veličiny danej oblasti racionalnosti. Nadalje nehaj označuje cělu racionalnu funkciju -- s racionalnymi cělymi koeficientami -- od polarnyh procesov

pri čem pod produktom treba razuměti priměnjenje na .

Togda spomenuty redukcijny teorem jest dan identičnostju

gdě formy soderžet ješče samo redy

i sut izvedene iz polarnymi procesami .

Teper razsmatrjamo sistem osnovnyh form , sostojajuči iz form jednakogo reda i jednakogo čisla varijablov

ktorih koeficienty odgovarajuče berut se kako redov

Nehaj označuje polny sistem -- sostojajuči iz konečno mnogih invariantov -- form , tako že vsaky invariant form može se cělo i racionalno izraziti črez invarianty . Hilbertovo predpoloženje, ktoro treba dokazati, tada jest, že za simultanne invarianty form polny sistem jest dan konečno mnogimi invariantami , gdě označuje vse invarianty, izvedime iz polarnymi procesami .

V samom dělu, vsaky simultanny invariant sistema s racionalnymi cělymi koeficientami jest forma homogena v vsakom iz redov , s racionalnymi cělymi koeficientami; zato možno priměniti na nego identičnost (1). Poněže priměnjenje polarnyh procesov na poznato opět proizvodi invarianty, formy sut takože invarianty, imenno simultanne invarianty form , poněže soderžet samo redy ; zato po predpoloženju one sut cěle racionalne funkcije invariantov . Taka identičnost (1) prěhodi v

gdě označajut produkty stepenjev invariantov . Ale stvarno izvršenje procesov na , po definiciji , sostoji iz posledovateljnogo konečno-kratnogo izvršenja prostyh polarnyh operacij , ktore po pravilu diferencialovanja produktov vodet k sumam produktov iz invariantov i . To samo važje za priměnjenje na produkt iz i ; zato i davaje samo cěle racionalne kombinacije iz . Těm jest dokazano cělo racionalno predstavjenje vseh invariantov črez .

II. Prěd dokazom redukcijnogo teorema prědpoložimo něčto o linearnyh familijah form. Pod linearnoju familijeju form nad razumějemo sistem form jednakogo stepena, polny v tom smyslu, že zajedno s i on vsegda soderži takože , gdě sut veličiny prědpisanej oblasti racionalnosti , i gdě soderži oblast koeficientov form . Medžu tymi formami vsegda jest konečno čislo -- recimo -- linearno nezavisnyh nad , a vsake form zadovoljajut linearnu relaciju s koeficientami iz ; familija imaje rang vzhodno k . Upotrěbimo legko vidimy fakt: ako i sut dvě linearne familije nad jednakogo ranga , i ako jest podfamilija , togda i sut identične (ekvivalentne).

S tym prěhodimo k redukcijnomu teoremu. Identičnost iz I

prěhodi v analogičnu identičnost za , ako se na obě strany priměni ten samy polarny proces ; zato redukcijny teorem v to samo vrěme davaje predstavjenje vseh polarov sumami specialnyh polarov . S drugoj strany, te specialne polary sigurno soderžet se medžu vsimi polarmi, takže redukcijny teorem tvrdi ekvivalentnost tyh dvoh linearnyh familij form; osoblivo takože ekvivalentnost tyh podfamilij, ktoryh formy v vsakom pojedinom redu imajut toj samy stepen kako . Za dokaz toj ekvivalentnosti vstavimo ješče posrědnu familiju, opreděljenu formami . Zaradi prostoty najprvo dajemo dokaz v slučaju treh binarnyh redov , a potom kratko naznačimo paralelny občy dokaz.

Nehaj zato imaje odgovarajuče stepeny v redah

koeficienty najprvo nehaj budut neopreděljene (ili takože racionalne čisla). Tada razsmatrjamo tri linearne familije form.

1. Familija , sostojajuča iz vseh form , ktore nastali iz polarnymi procesami i ktore v pojedinyh redah imajut toj samy stepen kako ; osoblivo soderži i . Ako se razsmatra kako forma od i neopreděljeń , togda oblast koeficientov jest pole racionalnyh čisel; za takože treba vzęti , poněže samo pri racionalno-cělyh izraz znovu stavaje procesom ; nehaj imaje rang vzhodno k .

2. Familija , sostojajuča iz vseh form , opredělěnyh črez

ili, vyraženo polarnymi procesami,

pri čem imajemo:

Tako davajut formy identičnosti (1): sut racionalno-cěle formy v i neopreděljenah ; nehaj imaje rang vzhodno k .

3. Familija , ktora izhodi iz črez obratny polarny proces, kako izhodi iz ; formy od opreděljene sut črez

gdě po 2. važje:

Pojedine , i zato takože , sut formy i jih sumy; nehaj imaje rang vzhodno k .

Kako konstrukcija form od pokazyvaje, one izhodet iz polarnymi procesami i v redah pojedino imajut toj samy stepen kako ; familija zato tvori podfamiliju , i po vyše spomenutom faktu za dokaz ekvivalentnosti ostavaje samo dokazati ravnost ranga. Pri tom dokazu specialna struktura -- polary jednoj i toj samej formy -- dalje ne upotrěbljaje se.

a) Za sravnenje ranga i služi pomocna lema a): iz nužno slěduje . To neposrědnje slěduje iz identične relacije medžu tremi binarnymi redami

ktora imaje poslědok

Iz (identično v ) zato, kako pokazuje substitucija , , i poněže , nužno slěduje .

Po toj lemi medžu formami iz i iz vlada jedno-jednoznačno odgovaranje. Iz

bo nužno slěduje

Dalje, vsaka relacija v sahranja se takože medžu jednoznačno odgovarajučimi formami v (i obratno). Iz

bo po lemi nužno slěduje

Těm jest dokazano ravnost ranga i ; .

b) Za sravnenje ranga i odgovarajuče služi pomocna lema b): iz nužno slěduje . Za dokaz pomyslimo, že po 3. ravnoznačno jest izčezanju pojedinyh produktov stepenjev

iz čego daljnje diferencialovanje davaje takože izčezanje produktov stepenjev

Zato izčezaje takože vsaka linearna kombinacija tyh produktov stepenjev, i zato vsaka forma

Ako vyberemo specialno tako, že

togda dobivamo takože

ili -- ako položimo

gdě sut racionalno-cěle linearne formy neopreděljeń --

i zato .

Iz pomocnoj lemy b), točno kako v a), slěduje ravnost ranga i ; .

Zato po a) i b) imajemo ; i těm jest -- poněže jest podfamilija -- dokazano ekvivalentnost tyh dvoh linearnyh familij. Vsaku formu iz , osoblivo takože , možno zato predstaviti kako linearnu racionalno-cělu kombinaciju linearno nezavisnyh form :

Ta identičnost, izvedena za neopreděljene koeficienty formy , ostavaje validna, ako neopreděljene zaměniti veličinami kakove-koli oblasti racionalnosti, i redukcijny teorem jest tako občno dokazan v slučaju treh binarnyh redov.

Občy dokaz za redov po varijablov teče sovsěm paralelno. Nehaj imaje odgovarajuče stepen v redu . Tada znovu razsmatrjamo tri linearne familije form:

1. familiju , sostojajuču iz vseh form , ktore izhodet iz polarnymi procesami i v vsakom pojedinom redu imajut toj samy stepen kako ;

2. familiju , sostojajuču iz vseh form , ktore izhodet iz črez substitucije

pri tom koeficienty pojedinyh produktov stepenjev v davajut formy identičnosti (1);

3. familiju , sostojajuču iz vseh form , opredělěnyh črez

jest suma form .

Teper, zaradi identične relacije medžu vsakymi redami, pomocna lema a) ostavaje validna; takože važje pomocna lema b), v dokazě ktorej čislo varijablov nikako ne vhodilo. i imajut zato jednaky rang i -- poněže jest podfamilija -- sut identične. Zato identičnost

važje za neopreděljene koeficienty, i slědovateljno za veličiny libovoljnoj oblasti racionalnosti kako koeficienty; redukcijny teorem jest těm dokazany občno.

III. Pokazujemo ješče kratko, kako analogične razsmatrjanja davajut takože obče razloženje po redah (za ). Nehaj bude pojedino homogena forma redov po veličin; i nehaj bude determinant tyh redov. Najprvo dokazujemo identičnost, odgovarajuču (1):

gdě formy soderžet ješče samo redy i sut izvedene iz procesami .

Dokaz osnivaje se na prěobraženju relacij, izvedenyh v II, v kongruencije modulo . Zaradi prostoty neka osnovoju budut tri ternarne redy ; koeficienty predpoložene sut kako neopreděljene.

Tri linearne familije nehaj budut opreděljene kako v II v slučaju binarnyh redov; jih rang nehaj bude , a i označajut rang i modulo (t. j. jest , ale ne form iz , ktore sut linearno nezavisne modulo ). Tada važje kako v II

Pomocna lema a): iz nužno slěduje (i obratno). Imenno po relaciji medžu četyrmi ternarnymi redami

vsegda jest medžu tremi ternarnymi redami linearna relacija modulo :

i zato, kako v II, imajemo

Iz (identično v ) zato -- poněže jest nerazložimy i ne jest děljivy črez -- nužno slěduje . Obratno jest jasno iz . Iz togo zaključajemo kako v II: .

Pomocna lema b) ostavaje s dokazom validna, i imajemo zato: .

Za dokaz služi

Pomocna lema c): iz nužno slěduje . bo, kako polara, izčezaje pri priměnjenju poznatogo -procesa; to se izražaje diferencialnym uravnanjem

Ako imajemo , togda daljnim diferencialovanjem izčezaje takože

i zato . Těm imajemo , i poněže jest podfamilija , identičnost (2) jest dokazana; odgovarajuče razsmatrjanje davaje dokaz pri varijablah.

Priměnjajuči identičnost (2) na množitelj , dobivaje se razloženje:

gdě pojedino izčezajut pri priměnjenju -procesa. -kratno povtorjenje procesa zato davaje -- poněže občno imajemo: --:

s drugoj strany po (2) imajemo:

gdě takože izvedene sut iz formy , kako iz . Po pomocnoj lemi c) (v razširenju na varijablov) dobivaje se zato: , i slědovateljno:

kako najobčejše razloženje formy od redov po varijablov po polarah form samo od redov.

Razloženje po redah za formy od redov po varijablov dobivaje se iz togo, kako poznato, prostoju substitucijeju. Položimo (za , ):

i razložimo po (3). Tada, poněže nastupajut samo v svęzkah , imajemo:

Po specializaciji ; forma prěhodi v , do čislovogo faktora v , poněže priměnjenje itd. na determinanty čini jih izčeznuti. Poněže odgovarajuče važje takože pri redah, iz (3) slěduje razloženje:

gdě izhodet iz črez procesy i soderžet ješče samo redy , osim determinantnyh svęzkov nastupajučih v , ktore, kako spomenuto, pri polarizaciji ne vhodet v račun.

Ako zato zaměniti te determinanty v neopreděljenymi , to nastajuče formy možno znovu razložiti po (4); i tako nakonec dobivaje se razloženje

gdě izhodet iz izhodnoj formy črez procesy i , itd. Tymi razloženjami i jih kombinacijami -- napr. ako se na formy nastupajuče v (1) priměni (3), a potom (4) i (5) -- izčerpane sut vse poznate razloženja za formy od libovoljno mnogih redov po kogredientnyh varijablov.

Erlangen, 5. januar 1915.