9. Najobćejše oblasti cělyh transcendentnyh čisel

Math. Ann. 77 (1916), S. 103--128

Vslěd teoremy o dobrom uporjadkovanju E. Zermelo skonstruoval oblast «cělyh transcendentnyh čisel», t. j. čislovu oblast , ktora ima slědujuča abstraktna svojstva:

[I.] Suma, razlika i produkt dvoh čisel iz znovu jest čislo iz . [II.] Vsako realno ili kompleksno čislo jest kvocient dvoh čisel iz . [III.] Vsako cělo racionalno (odgovorno algebraično) čislo jest element . [IV.] Nikako ne-cělo racionalno (odgovorno algebraično) čislo ne naleži k .

Konstrukcija opira se na to, že teorema o dobrom uporjadkovanju davaje možnost ustanoviti eksistovanje algebraične bazy vsih čisel, t. j. sistema čisel , medžu ktorymi ne su algebraične odnosy, ale črez ktore možno algebraično izraziti vsa ostala čisla. Iz-za algebraične nezavisnosti možno ty bazove čisla razsmatrjati kako neopreděljene; tym samym iskana oblast prěhodi v oblast cělosti iz racionalnyh i algebraičnyh funkcij od neopreděljenyh , čiji koeficienty naležet polju vsih algebraičnyh čisel. Specialna oblast , skonstruovana od Zermela, togda jest karakterizovana slědujučimi bazovymi svojstvami:

soderži:

[1)] vsa bazova čisla , [2)] vse polinomy od s celočislenymi koeficientami, [3)] vse cěle algebraične funkcije od s celočislenymi koeficientami.

izključaje:

[4)] vse racionalno-drobne funkcije od s celočislenymi koeficientami, [5)] vse algebraično-drobne funkcije od s celočislenymi koeficientami.

Nyně legko pokazuje se (sr. priměry v \ 2 i 3), že eksistujut oblasti , suštno različne od Zermelovej oblasti , t. j. oblasti , ktore pri nijakom dobrom uporjadkovanju ne imajut vseh bazovyh svojstv 1)--5) i zato pri nijakom dobrom uporjadkovanju ne mogut biti stvorjene Zermelovoju konstrukcijeju. Drugymi slovami: eksistujut oblasti , ktore ne možno jedno-jednoznačno i izomorfno odobraziti na . Tak vznikaje pytanje o najobćejših oblastjah cělyh transcendentnyh čisel; niže ono jest polno rěšeno.

Za to najprvo treba ustanoviti, ktore iz bazovyh svojstv sut poslědicami abstraktnyh opreděljajučih svojstv, a ktore sut uslovjene specialnoju konstrukcijeju. Pokazuje se ( \ 1), že za vsaku zadanu oblast eksistuje dobro uporjadkovanje, tako že bazove svojstva 1) i 2) sut izpolnjene; vsaka oblast može tym samym biti skonstruovana posrědstvom algebraične bazy vsih čisel. Iz daljnyh bazovyh svojstv nijedno ne mora biti izpolnjeno ( \ 2 i 3). Iz toga slěduje osoblivo, že jedno daljne abstraktno svojstvo Zermelovej oblasti ne naleži vsim oblastjam : algebraično-cěla zatvorenost. Ju možno formulovati tako:

[V.] Vsako čislo, ktore algebraično-cělo i celočisleno zavisi od konečno mnogih čisel iz , naleži k .

Specialne oblasti, ktorym kromě I--IV naleži takože V, budut nazvane oblastjami iz algebraično-cělyh transcendentnyh čisel. Za najobćejše oblasti dobyvajut se proste rezultaty ( \ 4):

[a)] Prěsěčenje vseh oblastij , ktore možno konstruovati posrědstvom toj samej bazy , jest dano vsimi cělymi algebraičnymi funkcijami bazy, t. j. Zermelovoju oblastju , ktora sama jest oblast . (Tym samym dobyta jest takože abstraktna karakterizacija Zermelovej oblasti.) [b)] Vsaka oblast vznikaje iz črez algebraično-cělu adjunkciju libovoljnogo sistema , pri čem ima udovletvorjati samo jednomu uslovju: črez adjunkciju nijedno algebraično-drobno čislo ne smě vhodi v oblast.

Menje proste sut rezultaty za najobćejše oblasti pri položenju v osnovu algebraične bazy. Tut prěsěčenje vseh oblastij samo ne jest oblast ; i konstrukciju najobćejših oblastij zato jest težje pregledno opisati ( \ 5).

Da by se dobili analogne rezultaty kako za oblasti , algebraična baza zaměnjaje se racionalnoju bazoju , t. j. sistemom čisel , ktore dopuščajut racionalno izraziti vsa čisla, dokolě pri najmene jednom dobrom uporjadkovanju nijedno bazovo čislo ne može biti racionalno predstavljeno črez konečno mnogo prědidučih. Toj racionalnoj bazě treba ješče naložiti dodatno uslovje: oblast cělosti , sostajuča iz vseh celočislenyh polinomov od , ne smě soderžati nijednogo algebraično-drobnogo čisla. (Konstrukcija takoje bazy s dodatnym uslovjem pokazana jest v \ 7.) Togda za najobćejše oblasti --- ktore možno bylo by takože nazvati oblastjami iz racionalno-cělyh transcendentnyh čisel --- znovu dobyvajut se proste rezultaty ( \ 6):

[a)] Prěsěčenje vseh oblastij , ktore možno konstruovati posrědstvom toj samej racionalnoj bazy , jest dano vsimi cělymi racionalnymi funkcijami bazy, t. j. oblastju , ktora sama jest oblast . [b)] Vsaka oblast vznikaje iz črez racionalno-cělu adjunkciju libovoljnogo sistema , pri čem ima udovletvorjati samo jednomu uslovju: črez adjunkciju nijedno algebraično-drobno čislo ne smě vhodi v oblast.

Da by byla polna analogija s oblastjami , trebalo by ne vključati algebraične čisla v opreděljajuča svojstva III i IV za oblasti . Pri toj modifikaciji III i IV konstrukcija cělyh elementov posrědstvom racionalnoj bazy prěnosi se na vsako libovoljno polje ( \ 10), dokolě Zermelova konstrukcija prědpostavlja algebraičnu zatvorenost polja.

Kogda proběgaje vsaku algebraičnu, odnosno vsaku racionalnu bazu, ktora udovletvorja dodatnomu uslovju, rezultaty a) i b) dajut vsesovokupnost vseh oblastij i . Ako vse izomorfne oblasti sobere se v jednu klasu, togda iz toj vsesovokupnosti možno izbrati podmnožstvo, ktore reprezentuje vsesovokupnost vseh --- po \ 9 najmene sčetno beskonečno mnogih --- klas ( \ 8).

\ 1. Dokaz bazovyh svojstv 1) i 2) za vse oblasti .

Nehaj bude koja-koli zadana oblast iz cělyh transcendentnyh čisel, ktorej tedy naležet abstraktna svojstva I--IV. Po postupku, priměnjenom od E. Zermela na polje vsih kompleksnyh čisel, vybirajemo iz algebraičnu bazu vsih čisel iz . Poněže po II vsako realno ili kompleksno čislo možno predstaviti kako kvocient dvoh čisel iz , jest zároveň algebraična baza vsih čisel. Zato za vsaku zadanu oblast možno izbrati algebraičnu bazu vsih čisel tako, že ona naleži k ; tym samym bazovo svojstvo 1) jest izpolnjeno. Dalje, po III, soderži oblast cělosti vsih cělyh algebraičnyh čisel, i zato po I takože vse polinomy od bazovyh veličin s koeficientami iz , t. j. vse celočislene polinomy od , ktore obrazuju oblast cělosti . Tako bazovo svojstvo 2) jest takože vsegda izpolnjeno; t. j. vsaka oblast može biti skonstruovana posrědstvom algebraične bazy vsih čisel tako, že soderži oblast cělosti kako dělitelj.

Primětka. Naravno možno vse-taki, izhodeči od bazy , skonstruovati oblast , ktorej bazove svojstva 1) i 2) naležet ne upravo vzhodno k , ale vzhodno k nekojej drugoj bazě . Nehaj, napr., vznikaje iz Zermelovej oblasti tym, že v cěloj konstrukciji někoju bazovu veličinu zaměnjamo polinomom . ne soderži ni , ni ; ale ako v bazě zaměnimo bazovu veličinu čislom --- pri čem znovu prěhodi v algebraičnu bazu ---, togda bazove svojstva 1) i 2) sut izpolnjene za vzhodno k .

\ 2. Izključenje bazovyh svojstv 4) i 5).

Tegda treba pokazati, že oblasti ne morajut zadovoljati nijednomu iz daljnyh bazovyh svojstv. Najprvo svojstva 4) i 5) budut izključene tym, že v Zermelovej konstrukciji oblast cělosti zaměnjaje se oblastju iz cělyh racionalnyh «funkcionalov».

Po Veberu pod racionalnym funkcionalom razuměje se vsaka racionalna funkcija s racionalnymi čislovymi koeficientami v slědujučem jednoznačno opredělennom predstavjenju:

gdě , sut vzajemno proste primitivne polinomy s cělymi racionalnymi čislovymi koeficientami, a jest pozitivno racionalno čislo (absolutna veličina ). Ako osoblivo jest cělo racionalno čislo, togda zove se cěly racionalny funkcional. Kako specialne slučaji medžu cělymi racionalnymi funkcionalami soderžet se cěle racionalne čisla i polinomy s cělymi racionalnymi čislovymi koeficientami, dokolě racionalno-drobne čisla i polinomy s racionalno-drobnymi koeficientami treba pričisliti k drobnym racionalnym funkcionalam.

Nehaj tegda oblast sostoji iz sovkupnosti vsih cělyh racionalnyh funkcionalov od vsakokrat konečno mnogih bazovyh veličin i iz vsih funkcij, ktore sut algebraično cěle nad --- t. j. ktore udovletvorjajut někojemu uravnenju, čiji najvyšši koeficient jest jedinica, a ostale koeficienty sut cěle racionalne funkcionaly.

Dokaz svojstv I--IV za ide točno paralelno odpovědajučemu dokazu u Zermela; budemo jego kratko naznačati. Najprvo II i III sut jasne, bo soderži Zermelovu oblast kako dělitelj. Dale, po Gaussovoj teoremě o polinomah s cělymi racionalnymi čislovymi koeficientami, suma, razlika i produkt cělyh racionalnyh funkcionalov sut znovu cěle racionalne funkcionaly; zato tvori oblast cělosti, a po znanyh zaključkih oblastju cělosti stavaje takože , čime I jest izpolnjeno. Dale, iz razširenej Gaussovej teoremy slědujut dvě pomočne lemy: «Ako jest algebraično cěly nad posrědstvom kojego-koli uravnenja, togda jest takim i posrědstvom nerazložimogo uravnenja, kojemu udovletvorjaje vzhodno k polju vsih racionalnyh funkcionalov» i «uravnenje, nerazložimo vzhodno k polju vsih racionalnyh čisel, kojemu udovletvorjaje algebraično čislo, jest takože nerazložimo vzhodno k polju vsih racionalnyh funkcionalov». Zato ne može soderžati nijednogo drobnogo algebraičnogo čisla; tym IV, i s tym vse abstraktne svojstva I--IV, sut dokazane.

Naprotiv, pri nijednom dobrom uporjadkovanju nemožno iz izbrati bazu tako, že by izključala vse racionalno- i algebraično-drobne funkcije od bazovyh veličin. Bo nehaj bude koja-koli funkcija oblasti, ktoru treba izbrati kako bazovu veličinu, tedy funkcija opreděljena uravnenjem:

gdě

sut cěle racionalne funkcionaly. Togda funkcija naleži k , i takože , itd. Tym samym bazove svojstva 4) i 5) za sovkupnost oblastij sut izključene.

Primětka. Priměr v \ 3 pokaže, že pri vsakom dobrom uporjadkovanju može soderžati racionalno-drobne funkcionaly, ne soderžeči racionalno- ili algebraično-drobnogo čisla.

\ 3. Izključenje bazovogo svojstva 3).

Za izključenje bazovogo svojstva 3) služi obobčena modulna oblast: v njej argumentami polinomov oblasti sut uže ne same neopreděljene, ale vse cěle algebraične funkcije od tyh neopreděljenih; same že neopreděljene prijmajut rolu modulnoj bazy.

Nehaj sostoji iz vsih veličin

gdě proběgaje vse algebraično cěle čisla, proběgajut vse bazove veličiny, a pri vsakoj fiksovanoj kombinaciji pojedinačno proběgajut vse cěle algebraične funkcije od .

Legko jest prověriti, že svojstva I--IV za tu modulnu oblast sut izpolnjene. Najprvo I jest izpolnjeno, bo suma, razlika i produkt dvuh veličin znovu imajut formu (1). Dale, soderži vse bazove veličiny , a takože vse veličiny , gdě proběgaje vse cěle algebraične funkcije od . Zato vse cěle algebraične funkcije od , i s tym vse algebraične funkcije od obće, možno predstaviti kako kvocienty dvuh veličin iz ; tym II jest dokazano. V predstavjenju (1), osoblivo pri , soderžet se vse algebraično cěle čisla; ale ne može byti ravno nijednomu drobnomu algebraičnomu čislu. Ako imenno predstavlja algebraično čislo , iz toždestva v

nužno slěduje . To pokazuje specializacija

pri koj multiplikatory kako cěle algebraične funkcije ostavajut konečne, bo prěhodet v cěle algebraične funkcije ili čisla. Tako uslovja I--IV za sut izpolnjena.

Naprotiv, pri nijednom dobrom uporjadkovanju nemožno iz izbrati bazu tako, že by vse cěle algebraične funkcije od bazovyh veličin naležali k . Nehaj bude koja-koli funkcija oblasti, ktoru treba izbrati kako bazovu veličinu, t. j. funkcija, ktora stvarno soderži neopreděljene . Pokazujemo, že funkcije

od někojego konečnogo značenja , měnjajučego se so , uže ne mogut naležati k .

Imenno, ako naleži k , togda po (1) imaje formu

gdě znovu sut cěle algebraične funkcije od , a sut koje-koli bazove veličiny, ktore osoblivo mogut sovpadati s . Najprvo treba dokazati, že algebraično cělo čislo jest nula. Bo, pošto sut cěle algebraične funkcije, stavaje se ravno pri i pri libovoljnyh značenjah ostalyh ; osoblivo imajemo pri

No pri toj specializaciji funkcija izčezaje po (1), i s tym izčezaje ; zato , i imajemo

Vozvedenje do stepena daje

gdě označa homogennu, ne identično nulevu, formu stepena po , čiji koeficienty sut cěle algebraične funkcije od . Tegda , ktoro po (1) jest cěla algebraična funkcija od , udovletvorjaje uravnenju nerazložimomu vzhodno k :

gdě poslědnji koeficient , produkt s jego konjugatami, jest polinom; nehaj jego stepen bude . Z drugoj strany, iz , množenjem s odgovarajučimi konjugatami, dostajemo

gdě označa homogenna forma stepena po , čiji koeficienty sut polinomy od . Zato imaje najmanje stepen v , ili ; t. j. funkcije , za ktore , ne naležet k . Bazovo svojstvo 3) jest tym izključeno za sovkupnost oblastij .

Primětka. Malo obobčenje tojčas skonstruktovanoj oblasti vodi k oblasti , ktora pri vsakom dobrom uporjadkovanju soderži takože drobne funkcionaly. Nehaj sostoji iz vsih veličin

gdě však nyně proběgajut vse algebraično cěle, ale ne nužno celočislene funkcije od . Dokaz svojstv I--IV ostava toj samy kako vyše. No pošto kromě vsakoj funkcije soderži takože , gdě označa libovoljno racionalno ili algebraično-drobno čislo, pri vsakom dobrom uporjadkovanju pojavjajut se takože drobne funkcionaly.

\ 4. Najobčejše oblasti iz algebraično-cělyh transcendentnyh čisel.

Za udobnějše formulovanje slědujučego vvedemo izraz: « veličina jest algebraično cěla nad ». To znači: udovletvorjaje někojemu uravnenju, čiji najvyši koeficient jest jedinica, a ostale koeficienty sut celočislene polinomy od veličin iz , gdě označa koju-koli zadanu oblast.

Oblast zovemo algebraično-cělo zatvorjena, ako izpolnjaje uslovje (srav. uvod):

[V.] Vsaka veličina, ktora jest algebraično cěla nad , naleži k .

Najprvo pokazujemo, že abstraktno svojstvo V naleži Zermelovej oblasti . Nehaj veličina bude algebraično cěla nad posrědstvom uravnenja . Tegda množenje s jego konjugatami vzhodno k pokazuje, že jest algebraično cěla takože nad , i zato naleži k . Tako samo pokazuje se algebraično-cěla zatvorenost funkcionalnoj oblasti razsmotrenoj v \ 2.

Že svojstvo V ne naleži vsakoj oblasti , pokazuje modulna oblast iz \ 3, ktora ne imaje bazovogo svojstva 3). Točnije, v \ 3 pokazano jest, že modulna oblast ne jest algebraično-cělo zatvorjena vzhodno k nijednomu transcendentnomu elementu oblasti, dokolě po III i IV to naravno bude slučaj vzhodno k vsakomu algebraičnomu elementu oblasti.

To vodi k tomu, že iz sovkupnosti oblastij najprvo izbirajut se one, ktorym naleži takože abstraktno svojstvo V; one budut zvane « oblasti iz algebraično-cělyh transcendentnyh čisel».

Nehaj bude taka oblast, a algebraična baza vsih čisel iz ; po II, jest jednočasno algebraična baza vsih čisel. Po III, I i V oblast soderži kromě takože vse cěle algebraične funkcije od , t. j. Zermelovu oblast . Zato, v analogiji s \ 1: vsaka oblast iz algebraično-cělyh transcendentnyh čisel može byti skonstruktovana posrědstvom algebraičnoj bazy vsih čisel tako, že soderži Zermelovu oblast kako dělitelj.

Nehaj nyně bude koja-koli algebraična baza vsih čisel, i nehaj označa sovkupnost vsih oblastij , ktore soderžet . Vsaka oblast iz soderži, kako justo dokazano, Zermelovu oblast kako dělitelj; i pošto sama jest oblast , jest največši občny dělitelj, ili prěsěk, vsih oblastij iz . Tym jest abstraktno definirana; odtud takože neposrědnje slěduje, že jest zatvorjena vzhodno k tvorenju prěsěkov, t. j. že prěsěk vsih oblastij kojegokoli podsistema iz znovu naleži k . Bo kako prěsěk izpolnjaje I i V; II i III slědujut iz toga, že jest dělitelj; IV slěduje, bo prěsěk jest dělitelj od .

Kako pokazuje priměr funkcionalnoj oblasti v \ 2, oblasti vo občem soderžet još daljne funkcije kromě . Nehaj bude taka racionalna ili algebraična funkcija od . Togda po I k naležet takože vse cěle racionalne kombinacije od i vsakokrat konečno mnogih funkcij iz ; taka nastajuča oblast cělosti, ktora sostoji iz vsih polinomov od s koeficientami iz , bude označena s , a proces, ktory k njej vodi, kako « racionalno-cěla adjunkcija k ». Po V k naležet dale vse funkcije, ktore sut algebraično cěle nad ; taka nastajuča oblast bude označena s , a proces, ktory k njej vodi, kako « algebraično-cěla adjunkcija k ». sostoji iz vsih cělyh algebraičnyh funkcij od s koeficientami iz i zato po znanyh zaključenjah jest oblast cělosti.

Pokazujemo, že jest takože algebraično-cělo zatvorjena, t. j. izpolnjaje uslovje V. Vsamdě, nehaj bude algebraično cěla nad posrědstvom uravnenja

gdě kako veličiny iz udovletvorjajut uravnenjam s koeficientami iz :

čiji koreni budut dany kako . Ako nyně tvorimo produkt po vsih kombinacijah korenov,

togda imaje jedinicu kako najvyši koeficient, a ostale koeficienty sut veličiny iz ; zato naleži k .

Tako oblasti naležet svojstva I i V; i pošto jest dělitelj oblasti, takože II i III. Či IV jest izpolnjeno, zavisi od izbora ; IV napr. ne jest izpolnjeno za , bo tu naleži k oblasti; ale jest izpolnjeno po \ 2 za ili takože za . Imenno v tom poslědnjem slučaju, ako funkcija iz predstavja algebraično čislo, jej značenje ostavaje pri ; tym ona prěhodi v funkciju iz i zato v algebraično cělo čislo.

stavaje oblast , skoro na naloženo jest uslovje, že algebraično-cěla adjunkcija ne vvede nijedno algebraično-drobno čislo v oblast.

Sovsem analogično definira se racionalno-cěla, odnosno algebraično-cěla adjunkcija libovoljnogo sistema racionalnyh ili algebraičnyh funkcij od k . Racionalno-cěla adjunkcija vodi k oblasti cělosti , ktora sostoji iz vsih celočislenyh polinomov od vsakokrat konečno mnogih veličin iz i . Algebraično-cěla adjunkcija daje oblast , ktora sostoji iz vsih veličin algebraično cělyh nad . Doslovno kako vyše pokazuje se, že oblast cělosti jest algebraično-cělo zatvorjena, dale že II i III sut izpolnjene, i zato kako vyše:

stavaje oblast , skoro na naloženo jest uslovje, že algebraično-cěla adjunkcija ne vvede nijedno algebraično-drobno čislo v oblast --- t. j. že stavaje dopustimy sistem.

Nyně važno jest, že takože obratno tvrdženje jest pravdivo, tako že oblasti faktično izčerpajut vse oblasti iz , kogda proběgaje vse dopustime sistemy. Imenno, nehaj bude koja-koli oblast iz i nehaj označa sistem, ktory sostoji iz vsih funkcij iz , nenaležečih k . Po V soderži oblast kako dělitelj; ale jest takože dělima črez , bo ona soderži i , i pošto te ne imajut občnogo elementa, soderži takože . Zato ; i pošto IV jest izpolnjeno za , naravno jest dopustimy sistem.

Kogda proběgaje vsaku možnu algebraičnu bazu, togda, kako dokazano na začetku, proběgaje sovkupnost vsih oblastij . Vopros o najobčejših oblastjah iz algebraično-cělyh transcendentnyh čisel jest zato polno odgovorjen rezultatami togo paragrafa:

[a)] Prěsěk vsih oblastij iz dan jest Zermelovoju oblastju , ktora sama jest oblast ; jest zatvorjena vzhodno k tvorenju prěsěkov. [b)] Vsaka oblast iz vznikaje črez algebraično-cělu adjunkciju dopustimogo sistema k . Kogda proběgaje vsaku možnu algebraičnu bazu, proběgaje sovkupnost vsih oblastij .

\ 5. Najobčejše oblasti iz cělyh transcendentnyh čisel pri osnovanju na algebraičnoj bazi.

Nehaj bude koja-koli algebraična baza vsih čisel, i nehaj označa sovkupnost vsih oblastij , ktore soderžet i zato takože . Kogda proběgaje vsaku možnu bazu, proběgaje sovkupnost vsih oblastij ; zato, kako v \ 4, možemo ograničiti se na razsmotrjenje oblastij iz .

Oblasti iz vse soderžet kako dělitelj; ale, poneže samo ne jest oblast , ne možno, kako v \ 4, zaključiti, že jest največši obči dělitelj. Že to vseže jest tako, pokazuje izčetna množina oblastij iz , ktore vznikajut malym občnjenjem modulnoj oblasti iz \ 3 i faktično ne imajut nijednogo občego elementa kromě .

Nehaj oblasti za vsako fiksovano sostoje iz vsih veličin

gdě proběgaje vse celočislene polinomy od ; proběgajut vse bazove veličiny, a pri vsakoj fiksovanoj kombinaciji pojedino proběgajut vse cěle algebraične funkcije od .

Pokazuje se analogično kako v \ 3, že oblastjam naležet abstraktne svojstva I--IV; soderži samo cěle algebraične funkcije i pri jest identična s oblastju iz \ 3. Nyně pokazujemo, že oblasti ne imajut nijednogo daljnego občego elementa kromě polinomov iz . Imenno, nehaj bude koja-koli cěla algebraična, ale ne racionalna, funkcija od , ktora udovletvorjaje uravnenju nerazložimomu vzhodno k :

gdě ; i nehaj bude največa med stepenami polinomov . Ako naleži k , togda veličina udovletvorjaje takože nerazložimomu, vzhodno k , uravnenju

pri čem , kako simetrične funkcije od , po (1) soderžet med členami najnižšego stepena člene najmanje stepenov . Sravnjenje (2) i (3) daje

Zato, ako veličina udovletvorjaje uravnenju

togda

gdě počinaje členami najmanje stepena . Nyně , kako pokazuje sravnjenje (2) s (4), sut stepena v koeficientah iz (2), i zato najvyše stepena v ; s drugoj strany, vse počinajut členami najmanje stepena . Ako zato izberemo , iz (5) slěduje

t. j. protivno prědpoloženju stavaje racionalna funkcija od . Zato slěduje:

Ako jest cěla algebraična, ne racionalna funkcija od , togda ne može naležati k nikakoj oblasti za , ili:

Prěsěk vsih oblastij iz dan jest oblastju cělosti , ktora sama ne jest oblast ; zato ne jest zatvorjena vzhodno k tvorenju prěsěkov.

Zato takože konstrukcija najobčejših oblastij pomoću algebraičnoj bazy jest težje pregledna než konstrukcija oblastij . Oblasti naležet svojstva I, III i IV; zato, ako racionalno-cělo adjungujemo kojikoli sistem , togda za nastajuču oblast cělosti svojstva I i III ostavajut, medžutym kako IV tvori osobno uslovje za . Da by nastala oblast , treba takože naložiti II na kako uslovje, ili drugimi slovami: za vsako polje , konečno nad , mora obstajati polje nad , konečno nad , tako že soderži primitivny element iz . Obratno, vsaka oblast iz može takože byti predstavljena v formě ; zato dostajemo vse oblasti iz , kogda proběgaje vse tako ograničene sistemy. Struktura sistemov pokaže se prostěje v slědujučem paragrafu pomoću «racionalnoj bazy»; tym jednočasno bude dostata polna analogija s teoremami iz \ 4.

\ 6. Najobčejše oblasti iz cělyh transcendentnyh čisel pri osnovanju na racionalnoj bazi.

V analogiji s algebraičnoj bazoj racionalnu bazu trěba definirati tako: «Sistem čisel imenuje se racionalna baza vsih čisel, ako dozvoljaje izraziti vsako čislo racionalno --- s koeficientami iz --- togda kak pri najmanje jednom dobrom uporjadkovanju nijedno bazovo čislo ne može se izraziti racionalno --- s koeficientami iz --- črez konečno mnogo prědhodnyh bazovyh čisel».

Nehaj oblast iz cělyh transcendentnyh čisel bude podložena dobromu uporjadkovanju . Togda može se slučiti, že veličina iz jest racionalno izrazima črez konečno mnogo prědhodnyh veličin iz , t. j. udovletvorjaje uravnenju: , gdě jest racionalna funkcija, s koeficientami iz , od ; osoblivo vsako algebraično čislo oblasti udovletvorjaje uravnenju . Ostale veličiny iz tvoret sistem , ktory trěba dokazati kako racionalnu bazu vsih veličin iz . Bo po prědpoloženju vsaka veličina jest racionalno nezavisima od prědhodnyh veličin iz . Indukcijno zaključenje pokazuje dalej, že vsaka relacija vleče za soboju relaciju ; inače moralo by byti prvo element , ktory ne može se izraziti racionalno črez , togda kak prědhodne sut racionalne funkcije od ; iz togo proizhodi proturěčenje. po II jest jednočasno racionalna baza vsih čisel; po III i I mimo soderži oblast cělosti , sostaveču se iz vsih celočislenyh polinomov od , kako dělitelj, togda kak po IV ne soderži nikakogo algebraično-drobnogo čisla. Racionalna baza vsih čisel zato udovletvorjaje dodatnomu uslovju, že iz izvedena oblast cělosti ne soderži nikakogo algebraično-drobnogo čisla; jest racionalna baza s dodatnym uslovjem za vsa čisla. Zato v analogiji s \ 2 važi: Vsaka oblast može se konstruovati pomoću racionalnoj bazy s dodatnym uslovjem tako, že soderži oblast cělosti kako dělitelj.

Nehaj bude koja-koli racionalna baza s dodatnym uslovjem za vsa čisla --- jejino postojanje jest zato osigurjeno postojanjem oblastij . Nehaj označa sovkupnost vsih oblastij , ktore soderžet i poslědovateljno . Kogda proběgaje vsaku proizvoljnu bazu s dodatnym uslovjem, togda po vyše skazanom proběgaje sovkupnost vsih oblastij ; zato možemo znovu ograničiti se na oblasti iz .

Nyně samo jest oblast ; bo vsako čislo može se izraziti racionalno črez , znači kako količnik dvuh polinomov iz ; i po svojoj konstrukciji udovletvorjaje takože ostalym uslovjam I, III, IV. jest zato največši obči dělitelj ili prěsěk vsih oblastij iz ; dalje jest zatvorjena vzhodno k tvorenju prěsěkov, t. j. takože prěsěk vsih oblastij vsakogo podsistema iz naleži k . Bo za prěsěk jest ispolnjeno I; II i III slědujut iz togo, že jest dělitelj; IV iz togo, že prěsěčna oblast soderži se v někoj oblasti kako dělitelj.

Racionalno-cěla adjunkcija proizvoljnogo sistema racionalnyh funkcij od k --- vsaka algebraična funkcija od može se, pomoću svojstva racionalnoj bazy, racionalno izraziti črez někotore druge --- daje oblast cělosti , ktora imaje svojstva I, II, III i zato stavaje oblast , skoro jest «dopustimy sistem», t. j. udovletvorjaje uslovju, že črez racionalno-cělu adjunkciju nikako algebraično-drobno čislo ne vhodi v oblast. Obratno, vsaka oblast iz dopustjaje predstavjenje , ako samo označa ostatny sistem . Zato za najobčejše oblasti v polnoj analogiji s \ 4 važe rezultaty:

[a)] Prěsěk vsih oblastij iz jest dan oblastju cělosti , ktora sama jest oblast ; jest zatvorjena vzhodno k tvorenju prěsěkov. [b)] Vsaka oblast iz nastavaje črez racionalno-cělu adjunkciju dopustimogo sistema k . Kogda proběgaje vsaku možnu racionalnu bazu s dodatnym uslovjem, proběgaje sovkupnost vsih oblastij .

Primětka: Ako iz izberemo algebraičnu bazu vsih veličin iz , togda jednočasno stavaje algebraična baza vsih čisel; obratno, vsaku algebraičnu bazu možno doplniti do racionalnoj, kladuči na početok dobrogo uporjadkovanja. Poslě togo konstrukciju oblastij , danu v \ 5 pomoću algebraičnoj bazy, možno razuměti tako: sistem , ktory trěba adjungovati k , razdělja se na dva podsistemy i ; adjunkcija svodi se k dopolnjenju do racionalnoj bazy s dodatnym uslovjem, k kotoroj potom racionalno-cělo adjunguje se dopustimy sistem .

\ 7. Konstrukcija najobčejšej racionalnoj bazy s dodatnym uslovjem.

Rezultaty prědhodnogo paragrafu potrěbujut dopolnjenja v tom smyslu, že tam bylo dokazano postojanje racionalnoj bazy s dodatnym uslovjem za vsa čisla, ale ne metoda jej konstrukcije --- po zadannom dobrom uporjadkovanju. Ta konstrukcija stavaje zaradi dodatnogo uslovja složnějša, kogda vměsto oblasti dano jest polje vsih kompleksnyh čisel.

Nehaj polje vsih kompleksnyh čisel bude podloženo dobromu uporjadkovanju . Togda mogut se pojavjati veličiny trojakogo povedenja:

[1.] Veličiny , čija racionalno-cěla adjunkcija k prědhodnym --- rekursivno definiranym v 3. --- bazovym veličinam uslovjuje vhod algebraično-drobnogo čisla v nastavajuču oblast cělosti; ako nijedna bazova veličina ne prědhodi, ta oblast sostavaje se iz vsih celočislenyh polinomov od . Osoblivo vsa algebraično-drobna čisla sut veličiny , bo nastavajuča oblast cělosti soderži veličiny . [2.] Veličiny , ktorym svojstvo 1. ne naleži, ale ktore možno izraziti racionalno črez konečno mnogo prědhodnyh čisel, različnyh od , znači ktore udovletvorjajut relaciji , gdě jest racionalna funkcija s koeficientami iz i med ne nahodet se nikake . Osoblivo tuto naležet vsa cěla algebraična čisla , bo jim ne naleži 1. i ona udovletvorjajut relaciji . [3.] Veličiny , za ktore ne važi ni 1. ni 2. i ktore budut imenovane bazove veličiny. Osoblivo prvo v dobrom uporjadkovanju transcendentno čislo jest taka bazova veličina; bo celočislene polinomy od ne mogut predstaviti algebraično-drobnogo čisla, i ne može byti racionalno zavisimo od prědhodnyh algebraičnyh čisel.

Sistem vsih bazovyh veličin trěba nyně dokazati kako racionalnu bazu s dodatnym uslovjem za vsa čisla.

Poneže med ne jest nikaka veličina , oblast cělosti ne može soderžati algebraično-drobno čislo; dodatno uslovje jest zato ispolnjeno. Poneže dalje med ne jest nikaka veličina , vsako jest racionalno nezavisimo od prědhodnyh bazovyh veličin. Indukcijno zaključenje pokazuje dalej točno kako v \ 6, že vsaka relacija --- gdě med ne sut veličiny --- vleče za soboju relaciju , tako že vsa veličiny sut racionalno izrazime črez .

Ostavaje samo dokaz, ktory potrěbuje više truda: že takože sut racionalno izrazime črez . Najprvo pokazujemo, že algebraično zavisi od . Po prědpoloženju k vsakomu postoji namanje jedno algebraično-drobno čislo , ktore dopustja predstavjenje

gdě sut polinomy iz i poslědovateljno ne mogut predstaviti algebraično-drobnogo čisla. Ako by nyně bylo algebraično nezavisimo od , togda (1) bylo by identično v , i imali bysmo , protivno svojstvam .

Da iz algebraičnoj zavisimosti izvedemo racionalnu, izberemo iz algebraičnu bazu vsih veličin iz . Togda vsako , kako algebraična funkcija od , jest takože algebraično zavisimo od ; črez zato opredělja se algebraično polje nad . Dokaz racionalnoj zavisimosti --- poneže vsa sut jednočasno veličiny --- svodi se k tomu, že trěba pokazati: za vsako tako polje postojat primitivne elementy, ktore sut racionalne funkcije od ; točnje bude pokazano, že črez pomnoženje s polinomom od gubi svojstvo 1. i zato prěhodi v takovy element.

Znano jest, že med i leži samo konečno mnogo medžupolj. Nehaj sut one med njimi, ktore imajut primitivny element, racionalno izrazimy črez , tako že vsak element polja stavaje racionalna funkcija od ; uslovje, ktore namanje za vždy jest ispolnjeno. Primitivna funkcija, naležeča k , nehaj bude dana črez , gdě sut polinomy iz . Togda --- razumějuči pod podobno izbrano cělo čislo --- polinom iz

stavaje primitivna funkcija od ili od algebraičnogo polja nad i vsaka funkcija iz zato dopustja predstavjenje

gdě sut celočislene polinomy od , i poslědovateljno i sut veličiny iz .

Nerazložimo uravnenje, kotoromu udovletvorjaje vzhodno k , nehaj bude pomoću (2) formy

i vsi koeficienty togo uravnenja naležet k . Togda funkcija udovletvorjaje takože nerazložimomu vzhodno k uravnenju

pomoću kotorogo ona jednočasno algebraično-cělo zavisi od ; to samo važi za produkt s proizvoljnym polinomom od . Osoblivo funkcija

algebraično-cělo zavisi od vsih oblastij pomoću za vsako nerazložimogo vzhodno k uravnenja

Nyně pokazujemo, že jest iskany, črez racionalno izrazimy primitivny element. Nehaj črez i bude, napr., predstavljeno algebraično čislo :

gdě sut polinomy iz . Nyně opreděljamo nerazložimo uravnenje, kotoromu udovletvorjaje vzhodno k polju , nastavajučemu iz oblasti koeficientov v (5); ono jest, kako znano, dano nerazložimym uravnenjem vzhodno k prěsěčnomu polju polja i , ktore leži med i . Nyně po (3) jest identično s ; poneže dalje vsi elementy iz , zato i vsi elementy prěsěčnogo polja, sut racionalno izrazime črez konečno mnogo , to poslědnje polje neobhodno jest dano jednym iz polj , recimo . Iskano nerazložimo uravnenje zato po (4) imaje stepen i dobivaje se kako

s polinomami iz kako koeficientami. Pomoću (6) možno prěobraziti (5) v

gdě naležet k i s drugoj strany sut polinomy iz . Ale poneže jest algebraično čislo, relacija (7) v ne dosega stepena i zato jest identično ispolnjena v . Zato

t. j. naleži k i poslědovateljno jest cělo algebraično čislo.

Kogda nyně proběgaje vsa algebraična čisla predstavime črez i , togda prěsěčno polje od i naležečego polja vsegda proběgaje samo polja , i vsi gornje zaključenja ostavajut; t. j. črez racionalno-cělu adjunkciju k ne može byti predstavljeno nikako algebraično-drobno čislo. zato ne imaje več svojstvo 1); po 2) ili 3) jest veličina ili i poslědovateljno jest racionalno izrazimo črez konečno mnogo ; to samo važi po (3) za : jest dokazana kako racionalna baza vsih čisel. Obratno, črez postavljanje na početok dobrogo uporjadkovanja, vsaka racionalna baza s dodatnym uslovjem može se konstruovati po 1), 2), 3). Zato jest dokazano: konstrukcija dana v 1), 2), 3) vodi k najobčejšej racionalnoj bazi s dodatnym uslovjem za vsa čisla.

\ 8. Razděljenje oblastij i na klasy.

Pored pytanja o najobćejših oblastjah i nastavaje daljne pytanje o suštno različnih oblastjah, ktore --- v smyslu, niže točnejše opredělennom, --- ne možno poroditi tym samym konstrukcijnym principom. To vodi k razděljenju tyh oblastij na klasy.

Dvě oblasti budut imenovane naležeče k toj samoj klasi, ili izomorfne, ako možno ih elementy postaviti vo vzaimno jednoznačno odpovědanje tako, že sumi i produktu ktoryh-koli dvuh elementov jednoj oblasti vsegda odpovědajut suma i produkt odpovědajučih elementov drugoj oblasti. Iz toj definicije slěduje, že pri vsakoj izomorfnoj odpovědanju nula i jedinica odpovědajut samym sobě, i že vse algebraične relacije med konečno mnogimi elementami ohranjajut se za odpovědajuče elementy, i obratno. Osoblivo, pored jedinicy, takože vsa racionalna čisla odpovědajut samym sobě; togda kak vsesovokupnost algebraičnyh čisel --- i takože vsesovokupnost algebraično-cělyh čisel --- prěhodi v samu sebe, ale odinom algebraičnomu čislu vpolně može odpovědati jego konjugat.

Najprvo treba primětiti, že vsaka oblast iz vsesovokupnosti vseh oblastij , ktore soderžat fiksovanu algebraičnu bazu , jest izomorfna někakoj oblasti iz vsesovokupnosti , naležečej drugoj algebraičnoj bazi . Bo polje vsih kompleksnyh čisel nastavaje iz vsakoj algebraičnoj bazy črez algebraično razširjenje, i zato imaje taku samu močnosť kako baza; i zato imajut taku samu močnosť, i želano izomorfno odobraženje dobiva se odpovědajučim prirędženjem bazovyh veličin i . Naprotiv, soderži neizomorfne, ili suštno različne, oblasti , kako slěduje iz priměrov v \ 2, 3 i 5. Bo pri izomorfnom odobraženju vse algebraične relacije ostavajut ohranjene, i zato algebraičnoj bazi mora znovu odpovědati algebraična baza; ale v \ 2 i 3 bylo pokazano, že funkcionalna i modulna oblast ne imajut takoj algebraičnoj bazy, za ktoru by byly izpolnjene vse bazove svojstva Zermelovej oblasti. Kako funkcionalna oblast iz \ 2 jest algebraično-cělo zatvorjena, podmnožstvo takože soderži suštno različne oblasti .

Nyně treba --- analogno bazovoj konstrukciji --- pokazati, kako možno iz izbrati tako podmnožstvo , že vse oblasti iz sut suštno različne, ale vsaka oblast iz --- i slědovateljno vsaka oblast obće --- jest izomorfna někakoj oblasti iz . Nehaj bude podloženo dobromu uporjadkovanju ; togda oblast iz može biti izomorfna někoj prědhodnoj oblasti, ili ne. Oblasti , ktore ne sut izomorfne nijednoj prědhodnoj, tvore množinu , ktora po svojoj konstrukciji soderži samo suštno različne oblasti . Indukcijno zaključenje dalje pokazuje, že vsaka oblast iz jest izomorfna oblasti iz . Bo nehaj bude prva oblast, za ktoru to ne izpolnjaje se. ili naleži k , ili jest izomorfna prědhodnoj oblasti , ktora po prědpoloženju jest izomorfna oblasti iz ; zato isto važi i za . Kako vsaka oblast naleži k někoj množině i zato jest izomorfna oblasti iz , vsesovokupnost klas oblastij jest tym samym reprezentovana množinoju .

Ako v oblasti iz zaměniti bazove veličiny veličinami někojej drugoj bazy, togda --- kako bylo pokazano vyše --- nastavaje oblast, izomorfna k . Obratno, nehaj bude libovoljna oblast i zato izomorfna někakoj oblasti iz . Ako pri tom bazovym veličinam odpovědajut veličiny iz , togda one znovu tvore algebraičnu bazu, i soderži te same algebraične funkcije od kako od --- ili ih konjugaty. Vsaka oblast, izomorfna k , nastavaje zato tak, že v i v jego konjugatah vzhodno k --- ako one sut različne od --- algebraična baza proběgaje vsaku možnu algebraičnu bazu. Iz vsakoj fiksovanoj oblasti iz nastavaje na toj način klasa , ktora soderži vse i samo te oblasti , ktore sut izomorfne k , ale možno vsaku oblast nekoliko razov ili takože beskonečno mnogo razov. Iz možno po gornjem postupku izbrati podmnožstvo , ktore soderži vsaku oblast, izomorfnu k , jedin raz i samo jedin raz. Kogda proběgaje vse klasy, dobiva se vsesovokupnost vseh oblastij , vsaka oblast jedin raz i samo jedin raz. Za karakterizaciju klasy možno naravno vměsto vzęti koju-koli drugu oblast toj klasy, iz ktoroj se, kako vyše, mogut vyvesti vse oblasti iz . V sovokupljenju dobivajemo:

Iz možno izbrati podmnožstvo tako, že oblasti iz sut vzaimno jednoznačno prirędžene vsesovokupnosti klas (bez povtorjenja). Pri tom iz nastavaje odpovědajuča klasa tym, že v i v jego konjugatah vzhodno k baza proběgaje vsaku možnu algebraičnu bazu. Ako znači vse vzaimno različne oblasti iz , i proběgaje vse klasy, togda nastavaje vsesovokupnost vseh oblastij , vsaka oblast jedin raz i samo jedin raz.

Analogno važi za oblasti iz algebraično-cělyh transcendentnyh čisel.

\ 9. Priměr izčetno beskonečno mnogih klasov oblastij .

Močnosť konstrukcij, podanyh v \ 4 b) i \ 6 b), možno iz primětok k njim pročitati kako ravnu močnosťi vseh dobryh uporjadkovanj, to jest ravnu , ako znači močnosť kontinuuma. Ale iz togo ne možno izvesti zaključka ni o močnosťi vsesovokupnosti vseh oblastij , ako vsaka oblast jest počtena jedin raz i samo jedin raz, ni ješče menje o močnosťi vseh klasov. Že čislo klasov sigurno ne jest konečno, bude pokazano na priměru izčetno beskonečno mnogih oblastij --- analogičnyh tym iz \ 5, --- ktore vse pokažut se suštno različne i zato dadut izčetno beskonečno mnogo klasov.

Analogno k \ 5, (1), nehaj oblast sostoji iz vsesovokupnosti veličin

kde značet homogene formy -toj dimenzije od ; i modul soderži kako bazu vse potencijalne produkty -toj dimenzije od i kako množitelje vse cěle algebraične funkcije od . Pokazujemo, že pri izomorfnoj odpovědanju med dvoma oblastjama i moduly i nužno takože izomorfno odpovědajut; iz togo potom legko slěduje nemožnosť.

Neopreděljene v budut označene s ; črez izomorfnu odpovědanje im odpovědajut veličiny iz . Poneže izomorfna odpovědanje ohranja se takože pri tvorjenju kvocientov, oblasti vseh cělyh algebraičnyh funkcij od odpovědaje algebraično-cělo zatvorjena oblast , sostoječa iz vseh funkcij, algebraično cělyh nad , i zato takože algebraično cělyh v .

Nehaj (1) odpovědaje veličini iz . Togda zaradi modulnogo svojstva produkt (1) s libovoljno veličinoju iz takože mora naležati k ; v formulah:

Poneže pri položenju vseh ravnymi nuli dobiva se , (2) zapisuje se v obliku

Poneže kromě takože funkcije

za vsako naležet k , i poneže , analogno k (3) važet formuly:

Nehaj stepena označa produkt s jego konjugatami; zaradi mora počinati s členami najmanje prvoj dimenzije. Iz (4) dobiva se:

i zato, za , analogno kako v \ 3, . Ale protivorěči algebraično-cěloj zatvorjenosti , zato nužno . Iz (4) nyně dobiva se:

i iz togo, poneže počinaje s členami najmanje prvoj dimenzije, . Tuto v polnoj analogiji k (5), za vsako imajemo:

i iz togo . Prodolžajuči tako, izměnno priměnjenje (5) i (6) daje

to jest, poneže analogično razsmotrenje važi takože vzhodno k : pri vsakoj izomorfnoj odpovědanju med i moduly i izomorfno odpovědajut.

Nehaj napr. : neopreděljenym odpovědali veličiny iz ; i poneže vse veličiny iz možno predstaviti polynomami od mod. , iz odpovědanja i vse veličiny iz nastavajut kako polynomy od mod. . Poneže zaradi neopreděljene sigurno ne naležet k , i zato sut cělo i racionalno izrazime črez mod. , mora byti nekoje s neizčezajučimi linearnymi členami. Nehaj zato odpovědaje:

naleži k ; počinaje s neizčezajučimi členami nultoj ili -toj dimenzije i zaradi ne može naležati k , protivno izvedenoj odpovědanju i . Poneže slučaj jest zajedno obdelan zaměnoju i , tym jest pokazano, že oblasti i sut neizomorfne ili suštno različne. Oblasti dajut zato priměr izčetno beskonečno mnogih klasov oblastij .

Primětka. Hotěj vsake dvě oblasti sut neizomorfne, može se dobre stati, že od dvuh oblastij vsaka jest izomorfna česti drugoj. Nehaj napr. , libovoljno:

Črez prirędženje oblast stavaje se vlastnym děliteljem od ; črez v i vzaimno jednoznačno prirędženje , obratno stavaje se vlastnym děliteljem od ; vsako jest zato takože izomorfno vlastnomu dělitelju samogo sebe. V protivnosti k pojmu prěsěka zato pojem prěsěčnoj klasy --- t. j. klasy takoj, že vsaka jej oblast byla by izomorfna vlastnomu dělitelju vsakoj oblasti vsakoj drugoj klasy --- ne suščestvuje, najmanje ne kako jednoznačno opreděljen.

\ 10. Cěle veličiny libovoljnogo polja.

Razvitja prědhodnyh paragrafov --- ako v opreděljajuče svojstva III i IV za oblasti ne vključa se algebraične čisla --- za oblasti opirali se samo na fakt, že vsesovokupnost vsih kompleksnyh čisel tvori polje; za oblasti ješče na daljny fakt, že to polje jest algebraično zatvorjeno. Dobivene rezultaty zato neposrědno dopuščajut obobčenje na najobčejše polje, ktore po Veberu i E. Štejnicu abstraktno opredělja se kako ``sistem elementov s dvoma operacijami, dodavanjem i množenjem, ktore podčinjene su asociativnomu i komutativnomu zakonu, povezane su distributivnym zakonom i dopuščajut neograničene i jednoznačne obratne operacije''.

Vsako tako polje soderži jediničny element, i slědovateljno iz njega operacijami dodavanja i množenja i njimi obratenymi operacijami izvedeno prvotno polje'', ktore jest ili tipa racionalnyh čisel (karakteristika ), ili tipa sistema ostatkovyh klasov prostogo čisla (karakteristika ). Cěle veličiny prvotnogo polja togda sut dobro opreděljene kako veličiny, vznikajuče iz jediničnogo elementa dodavanjem i odimanjem; za prvotna polja karakteristiki cěle veličiny uže izčerpavaju prvotno polje, i ne jest drobnyh veličin prvotnogo polja. Vsako algebraično zatvorjeno polje soderži absolutno algebraično polje'', ktore vznikaje iz prvotnogo polja adjunkcijeju vsih elementov, algebraičnyh vzhodno k prvotnomu polju; zato za polja karakteristiki ono jest tipa polja vsih algebraičnyh čisel. Algebraično-cěle veličiny absolutno algebraičnogo polja togda sut dobro opreděljene kako vse veličiny, algebraično cěle nad cělymi veličinami prvotnogo polja (ili, čto jest to samo, nad jediniceju); za polja karakteristiki zato takože ne sut algebraično-drobne veličiny absolutno algebraičnogo polja. Po tyh prědvariteljnyh primětkah definicija cělyh'' i algebraično-cělyh'' veličin može se prěnesti na libovoljna polja, odnosno na algebraično zatvorjena polja: cěle veličiny polja opreděljajut se kako oblast cělosti veličin iz , jejže kvocientno polje izčerpava i ktora soderži jediničny element, ale ne soderži drobnoj veličiny prvotnogo polja.

Algebraično-cěle veličiny algebraično zatvorjenogo polja opreděljajut se kako algebraično-cělo zatvorjena oblast cělosti veličin iz , jejže kvocientno polje izčerpava i ktora soderži jediničny element, ale ne soderži algebraično-drobnoj veličiny absolutno algebraičnogo polja.

Za polja karakteristiki nula doslovno važe rezultaty, dobivene v prědhodnyh paragrafah, ako se samo ``algebraične čisla'' zaměnjaju veličinami prvotnogo polja, odnosno absolutno algebraičnogo polja. Za polja karakteristiki rezultaty se ješče suštno uproščajut tym, že prvotno polje ne soderži drobnyh veličin, i tako dodatno uslovje za racionalnu bazu i za adjungovane sistemy prosto otpadaje. Tako rezultat glasi: abstraktna definicija dopušča kako cěle veličiny polja karakteristiki : vsaku oblast cělosti, izvedenu iz libovoljnoj racionalnoj bazy, samo polje i vsaku oblast cělosti, ležeču med tymi oblastjami i poljem. Odpovědajuče kako algebraično-cěle veličiny algebraično zatvorjenogo polja proste karakteristiki važi: vsaka algebraično-cělo zatvorjena oblast cělosti, ktora leži med oblastju izvedenoju iz algebraičnoj bazy i samym poljem --- s vključenjem oboju graničnyh oblastij. Za najobčejša polja proste karakteristiki zato, kako pri odpovědajučih prvotnyh poljah, razlika med cělym i drobnym razmyvaje se.

Erlangen, 30. marta 1915.