10. Funkcionalne uravnenja izomorfnogo odobraženja

Math. Ann. 77 (1916), s. 536--545

Po Dedekindu pod izomorfnym odobraženjem polja ( ) na sistem ( ) --- ktory pozdněje sam takože pokazuje se poljem --- razuměje se taka jednoznačna odpovědanje, že vsakomu elementu iz ( ) odpovědaje jedin i samo jedin element iz ( ); i že sumi, razlikě, produktu i kvocientu libokakyh dvoh elementov iz ( ) znovu odpovědajut suma, razlika, produkt i kvocient jednoznačno odpovědajučih elementov iz ( ).

Nehaj tako odobraženje bude dano --- po vyšerečenom, jednoznačnoju --- funkcijeju (f(z)). Kogda (z) proběgaje vse elementy (x,y, ) polja ( ), funkcija (f(z)) jest harakterizovana funkcionalnymi uravnenjami:

Dalje budut podane najobčejše jednoznačne rěšenja (f(z)) tyh funkcionalnyh uravnenj, kogda (x,y, ) proběgajut vse realne i kompleksne čisla; znači najobčejša funkcija (f(z)), ktora izvršaje izomorfno odobraženje polja vsih kompleksnyh čisel. Sovsěm analogično dobivaje se rěšenje za libovoljna polja.

Najobčejše rěšenja funkcionalnogo uravnenja (1) G. Hamel skonstruoval s pomoču linearnoj bazy vsih čisel. Tuta dana konstrukcija rěšenj od (1) do (4) --- znači funkcije odobraženja, vzhodno k ktoroj racionalne i algebraične operacije sut invariantne, --- upotrěbljaje racionalnu i algebraičnu bazu vsih čisel. Poslě togo, kak v č. 1 izomorfno odobraženje bude razmotreno točnjeje, v č. 2 budut dane potrěbne uslovja za (f(z)), ktore v č. 3, priznane dostatočnymi, vedut k samoj konstrukciji. --- Rěšenja (1)--(4), kako znano, s izključenjem (f(z)=z) ili ( z), sut diskontinuirne; v č. 4 bude dalje pokazano, že ony sut «ekstremno diskontinuirne», --- fakt, ktory G. Hamel dokazal za realne rěšenja (1), ale ktory tam v kompleksnoj oblasti ne mora byti izpolnjen.

1. Najprvo izvodimo několiko poslědkov iz funkcionalnyh uravnenj (1)--(4), i to neposrědno za obča polja ( ). Po (1) iz jednoznačnosti slěduje: (f(0)=0). Pri neizčezajučem (f(y)) takože izhodno (y) ne može izčezati, i funkcionalne uravnenja (1)--(4) zato pokazyvajut, že sistem obrazov ( ) vsih vrědnostij (f(z)) znovu tvori polje. Obratno, ako predpisati početno uslovje (f(0)=0), togda iz (2) slěduje jednoznačnost funkcije (f(z)): potrěba jednoznačnosti i početno uslovje (f(0)=0) sut zato ravnocěnne. Iz (4) slěduje, že (f(z)) ne može izčezati identično; iz (3) dalje, že (f(z)) izčezaje samo pri (z=0). Bo iz (f(y)=0) i (y 0) slědovalo by, zatože (z/y) takože prinadleži k ( ), že

to jest protivno k (4) identično izčezanje (f(z)). Iz (f(x)=f(y)) zato slěduje (x=y); t. j. vsakoj vrědnosti (f(z)) odpovědaje takože jedna i samo jedna vrědnost (z): (f(z)) jest obratno-jednoznačna funkcija od (z). Kako pokazyvajut funkcionalne uravnenja, odobraženje, dano obratnoju funkcijeju, jest znovu izomorfno. Kako vsaka racionalna operacija sostavjena jest iz konečnogo čisla dodavanj, množenj i jih obratnyh operacij, možno takože govoriti: izomorfno odobraženje ustanavja vzaimno jednoznačnu vez med elementami iz ( ) i iz ( ), tako že vse racionalne relacije, postoječe med libokako konečno mnogo elementami iz ( ):

ostavajut sohranjene v ( ) i obratno.

Treba ješče zamětiti, že za polje (f(z)) uže jest harakterizovana funkcionalnymi uravnenjami (1) i (3), potrěboju, že (f(z)) ne izčezaje identično, i početnym uslovjem (f(0)=0). Imeno, (2) slěduje iz (1), kogda (x) zaměnja se elementom ((x-y)), ktory prinadleži k ( ); potom (2) i (f(0)=0) dajut jednoznačnost (f(z)). Kako bylo pokazano vyše, iz (3) dalje slěduje, kogda (x) zaměnja se elementom (x/y), ktory prinadleži k ( ), že (f(y)) pri (y 0) ne može izčezati; zato važi (4) i zároveň vzaimna jednoznačnost. Ako vměsto polja vzęti za osnovu oblast cělosti ( ), togda (x/y) ne mora prinadležati k ( ), i iz (3) nemožno zaključiti vzaimnu jednoznačnost. Tuta dostatočna jest slědujuča, najznanějša formulacija: izomorfno odobraženje jest vzaimno jednoznačna odpovědanje med elementami iz ( ) i ( '), taka že sumi i produktu vsegda odpovědajut suma i produkt.

2. Od nyně dalje, zaradi prostoty, vměsto ( ) beremo za osnovu polje ( ) vsih realnyh i kompleksnyh čisel. Najprěd trěba razsmotriti sistemy vrědnostij, ktore prijmaje (f(z)). Iz (3) ili (4) slěduje: (f(1)=1), a iz togo, po funkcionalnym uravnenjam, za vsako racionalno čislo ( ): (f( )= ); znači vsako racionalno čislo pri odobraženju odpovědaje samomu sobě. Poněže algebraično čislo ( ) udovletvorjaje nerazložimomu uravnenju s racionalnymi čislovymi koeficientami (F( , )=0), to po 1. i po točno skazanom za (f( )) dostavajemo: (F(f( ), )=0); znači vsako algebraično čislo prehodi v sebe ili v jednogo iz svojih konjugatov, a vsota algebraičnyh čisel, zaradi vzaimnoj jednoznačnosti, znovu odpovědaje polju vsih algebraičnyh čisel. Da bysmo razuměli povedenje transcendentnyh čisel i jednočasno razdělili konjugatne vrědnosti, klademo v osnovu racionalnu bazu vsih čisel, t. j. sistem ( ) čisel ( ), ktory dozvoljaje izraziti vse čisla racionalno --- s racionalnymi čislovymi koeficientami --- togda kak pri najmanje jednom dobrom uporjadkovanju nijedno bazovo čislo ne može se racionalno izraziti črez konečno mnogo prědhodnyh. Eksistencija takej bazy slěduje iz teoremy o dobrom uporjadkovanju točno analogično kako za linearne i algebraične bazy.

Nehaj ( ) bude podloženo dobromu uporjadkovanju ( ). Togda vsako čislo jest ili racionalno izrazimo črez konečno mnogo prědhodnyh, ili racionalno nezavisno od prědhodnyh. Te poslědnje čisla tvoret bazu ( ), a indukcija pokazuje, že opravdu vsako čislo jest racionalno izrazimo črez konečno mnogo ( ).

Za vsako bazovo čislo ( ) definirano jest «polje početnogo odrězka ( ( ))»: ono sostoji iz vsih racionalnyh kombinacij tyh bazovyh čisel, ktore prědhodet ( ) v dobrom uporjadkovanju. Kako polje početnogo odrězka prvogo bazovogo čisla trěba smatrjati polje ( ) vsih racionalnyh čisel. Čislo ( ) može pokazati dvoje povedenje vzhodno k ( ( )): ono može byti algebraično zavisno od ( ( )), ili algebraično nezavisno od njega. Poněže po 1. vse relacije, ktore važe v ( ), važe takože v polju obrazov i obratno, vsota vrědnostij (f( )), odpovědajučih ( ), tvori bazu oblasti obrazov, ktora sama jest dobro uporjadkovana porjadkom, naslědovanym od ( ). Tako polju početnogo odrězka ( ( )) osoblivo odpovědaje polje početnogo odrězka ( (f( ))); i v zavisimosti od togo, jestli ( ) jest algebraično zavisno ili nezavisno od ( ( )), to samo važi za (f( )) vzhodno k ( (f( ))); a v slučaju zavisimosti odpovědajut jedno drugomu takože nerazložime uravnenja za ( ) i (f( )). Vsota tyh vrědnostij ( ), ktore vsaky raz sut algebraično nezavisne od ( ( )), tvori --- kako znovu pokazuje indukcija --- algebraičnu bazu vsih čisel, t. j. sistem (H) čisel ( ), črez ktore možno algebraično izraziti vse čisla, no med ktorymi samymi ne obstojat nikake algebraične relacije. Toj algebraičnoj bazi (H) v oblasti obrazov znovu odpovědaje algebraična baza (Z), ktora zaradi vzaimnoj jednoznačnosti imaje tu samu močnosť kako (H), imenno močnosť kontinuuma, poněže algebraično proširenje, kako znano, ne povyšaje močnosť. Ale iz znanja vrědnostij (f( )) neposrědno dostavaje se (f(z)) za vse sistemy vrědnostij, bo iz (z= ( )) vždy slěduje: (f(z)= (f( ))).

3. Teper pokažemo, že najdene neobhodne uslovja stvarno daju takože konstrukciju (f(z)). Bazu (Z), ktora vzaimno jednoznačno odpovědaje algebraičnoj bazi (H), skonstruujemo i prirědimo k (H) slědečim sposobom. Klademo drugoje dobro uporjadkovanje ( '), ktoro daje algebraičnu bazu (Z') vsih čisel; nehaj (Z), s elementami ( ), bude podmnožina (Z') toj samej močnosťi kako (Z'), a slědovatelno i kako (H). Vsakomu elementu ( _i) iz (H) teper vzaimno jednoznačno prirěđujemo jedin element ( _i) s tym samym numerovanjem po pravilu: ( _i) jest prvy v dobrom uporjadkovanju ( ') iz vsih tyh elementov (Z), ktore ješče ne sut prirěđene nikakomu elementu iz (H), ktory prědhodi ( _i).

Teper (f(z)) bude definirana:

[(a)] za vse racionalne čisla ( ) črez (f(0)=0), (f( )= ); [(b)] za vse veličiny algebraičnoj bazy (H) črez (f( _i)= _i); [(c)] za vse ostale veličiny ( ) racionalnoj bazy ( ) --- ty, ktore algebraično zaviset od polja početnogo odrězka ( ( )) i slědovatelno udovletvorjajut v ( ( )) nerazložimomu uravnenju (F( ; _i_1, , i )=0), --- kako korenj uravnenja (F(f( );f( _i_1), ,f( i ))=0); [(d)] za vse ostale vrědnosti (z), ktore po definiciji ( ) sut predstavime kako (z= ( _k_1, , k )), črez (f(z)= (f( _k_1), ,f( k ))).

Da by pokazati, že tako definirana (f(z)) stvarno udovletvorjaje funkcionalnym uravnenjam (1)--(4), po č. 1 dostatočno dokazati to za (1) i (3), poněže ( ) jest polje i (f(z)), zaradi (a) i (b), ne može identično izčeznuti i nadto udovletvorjaje početnomu uslovju (f(0)=0). Pomoću racionalnoj bazy ( ) nehaj (x,y,x+y) izrazajut se kako:

Dokaz, že (f(z)) udovletvorjaje funkcionalnomu uravnenju (1),

jest po (d) identičny s dokazom, že iz

vždy slěduje:

gdě (H_1,H_2) značet cěle racionalne funkcije svojih argumentov. K točno toj samej formě uslovja vodi takože funkcionalno uravnenje (3); tako ispolnjenje vsih funkcionalnyh uravnenj jest identično s bytjem slědečego --- po čč. 1 i 2 takože neobhodnogo --- uslovja: za vsaku cělu racionalnu funkciju (H( )) vždy iz (H( )=0) slěduje takože (H(f( ))=0), a iz (H( ) 0) takože (H(f( )) 0); poslědnje zaradi pojavjenja imenovatelja.

Že to stvarno jest tako, pokazuje indukcija. Nehaj, napr., v (H( _1 _t)) bazova veličina ( _t) jest poslědnja v dobrom uporjadkovanju med ( _1 _t); togda (H( _1 _t)=0) možno razuměti kako relaciju, ktoroj ( _t) udovletvorjaje vzhodno k polju početnogo odrězka ( ( _t)), i podobno (H(f( _1) f( _t))=0) kako relaciju za (f( _t)) vzhodno k ( (f( _t))). Ako by ne vse relacije (H( )=0) takože byly ispolnjene za (f( )), i obratno, togda musěla by obstojati prva bazova veličina --- napr. ( _0), --- za ktoru najmanje jedna relacija, važeča vzhodno k ( ( _0)), ne ostala by zachranjena v polju obrazov, ili obratno, pokolěko prědhodne polja početnyh odrězkov ( ( _0)) i ( (f( _0))) byly by izomorfne. Osoblivo po (a) polje početnogo odrězka prvoj bazovoj veličiny iz ( ), polje ( ) vsih racionalnyh čisel, jest izomorfno svojemu polju obrazov. Nehaj teper (H( _0)) imaje formu

gdě (a_i( )) sut veličiny iz ( ( _0)). Togda sut dvě možnosti:

1. ( _0) jest algebraično nezavisna od ( ( _0)). Togda (H( _0)=0) jest identično ispolnjeno v ( _0), imajemo (a_i( )=0) za vse koeficienty i slědovatelno, zaradi izomorfizma ( ( _0)) i ( (f( _0))), takože (a_i(f( ))=0). Iz (H( _0)=0) zato vždy slěduje (H(f( _0))=0). Obratno, nehaj (H(f( _0))=0). Poněže ( _0), kako algebraično nezavisna od ( ( _0)), naleži k algebraičnoj bazi (H), (f( _0)) po (b) naleži k algebraičnoj bazi (Z) i jest algebraično nezavisna od ( (f( _0))). Tako izčezajut vse (a_i(f( ))), a zaradi izomorfizma vse (a_i( )); iz (H(f( _0))=0) slěduje (H( _0)=0), ili iz (H( _0) 0) takože (H(f( _0)) 0).

2. ( _0) jest algebraično zavisna od ( ( _0)). Togda (H( _0)) jest dělimy nerazložimym uravnenjem (F( _0)) vzhodno k ( ( _0)), t. j. identično v (t) važi

No poněže vse pojavjajuče se koeficienty naležet k ( ( _0)), v izomorfnom polju ( (f( _0))) jest ispolnjena odpovědajuča relacija:

Ale po (c) (f( _0)) bylo izbrano tako, že jest korenj (F(t;f( ))); iz (H( _0)=0) zato slěduje (H(f( _0))=0).

Ako obratno imajemo (H(f( _0))=0), togda podobno iz dělimosti (H(t;a_i(f( )))) nerazložimoju funkcijeju (F(t;f( ))) vzhodno k ( (f( _0))) za izomorfno polje ( ( _0)) slěduje dělimost (H(t;a_i( ))) funkcijeju (F(t; )). A poněže (F(t;f( ))) vznikla iz nerazložimogo uravnenja za ( _0) črez izomorfnu odpovědanje, i ta odpovědanje jest vzaimno jednoznačna, (F(t; )) neobhodno jest nerazložima funkcija, kojego korenj jest ( _0). Iz (H(f( _0))=0) zato slěduje (H( _0)=0), ili iz (H( _0) 0) takože (H(f( _0)) 0).

Tako iz izomorfnyh polj početnyh odrězkov ( ( _0)) i ( (f( _0))) črez adjunkciju ( _0), odnosno (f( _0)), znovu proishodet izomorfne polja; predpoloženje, že to za nekoje ( _0) ne jest slučaj, vodi k protislovju. Tym dokazano jest, že funkcija definirana črez (a)--(d) (f(z)) stvarno predstavlja rěšenje funkcionalnyh uravnenj (1)--(4), i po č. 2 jest najobčejša.

Vse razsmotrenja, upotrěbljene za konstrukciju (f(z)), koristili sut jedino fakt, že vsota ( ) vsih čisel tvori polje, i tym samym važe za vsako abstraktno definirano polje ( ). Pri tom trěba primětiti, že polju ( ) racionalnyh čisel odpovědaje «prvotno polje» polja ( ), t. j. polje, izvedeno iz jediničnogo elementa ( ) operacijami dodavanja i množenja i ih obratnymi operacijami. Zato ako v (a)--(d) racionalne čisla zaměnimo elementami prvotnogo polja, tako nastajuča funkcija (f(z)) izvršaje najobčejše izomorfno odobraženje libovoljnogo abstraktno definiranogo polja.

4. Teper treba ješče pokazati, že funkcije (f(z)), definirane za polje ( ) vsih realnyh i kompleksnyh čisel, --- ktore, kako znano, s izključenjem (f(z)=z) ili ( z), sut diskontinuirne, --- sut ekstremno diskontinuirne. To znači, že v okolině vsakogo realnogo ili kompleksnogo čisla (z_0) sut vrědnosti (z), pri ktoryh (f(z)) stavaje libovoljno blizka k libovoljno naprijed zadanoj vrědnosti (Z_0). Ta ekstremna diskontinuirnost, kako G. Hamel dokazal na navedenom městu, prinadleži realnym rěšenjam ( (x)), definiranym za vse realne čisla, funkcionalnogo uravnenja (1). Ale, kako pokazuju priměry dane niže, ona ne mora prinadležati rěšenjam definiranym nad kompleksnymi čislami. Hamel zaključaje slědečim sposobom. Ako ( (x)) jest različna od (C x), togda obstojat najmanje dvě vrědnosti linearnoj bazy, napr. (x_1) i (x_2), take, že ( (x_1):x_1 (x_2):x_2). Togda dvě uravnenja

imajut rěšenje v realnyh čislah ( , ); slědovatelno (a) i (b) možno libovoljno dobro aproksimovati racionalnymi čislami ( , ). A poněže ( , ) sut racionalne, ( (x_1)+ (x_2)) stvarno predstavlja ( ( x_1+ x_2)). To zaključanje odpada pri kompleksnyh sistemah vrědnostij. Zaisto, i v kompleksnoj oblasti možno dati rěšenja (1), ktore sut diskontinuirne, ale ne ekstremno diskontinuirne, napr.:

gdě ( (x)) znači realno rěšenje, ekstremno diskontinuirno v realnoj oblasti; ili ješče prostěje ( (z)= (x)). V oběh slučajah realna čest ( (z)) jest ekstremno diskontinuirna, dokolě imaginarna čest jest opreděljena realnoju.

To povedenje, i zajedno povedenje funkcije (f(z)), stavaje popolno jasno, ako vvedemo pojem ranga. Klademo (z=x+iy), ( (z)=X+iY), i nazyvajemo ( (z)) odpovědajuče funkcijeju ranga četyri, tri, dva ili jedin, gledajuči na to, či obstojat nula, jedna, dvě ili tri linearno nezavisne relacije

gdě (c) sut, razuměje se, realne čisla.

1. Nehaj ( (z)) imaje rang četyri. Togda obstojat najmanje četyri vrědnosti linearnoj bazy, napr. (z_1,z_2,z_3,z_4), take, že determinanta

ne izčezaje. Zato uravnenja

imajut rěšenje v realnyh čislah ( , , ), i (a,b,A,B) možno libovoljno dobro aproksimovati racionalnymi čislami ( , , , ). Nadto imajemo:

Tako «v obče» rěšenja ( (z)) sut ekstremno diskontinuirne takože v kompleksnoj oblasti; vrědnosti diskontinuirnosti ( (z)) v okolině (z_0=a+ib) tvorjat dvurazměrnu linearnu mnogovidnost.

2. ( (z)) imaje rang tri. Togda obstojat najmanje tri sistemy vrědnostij linearnoj bazy, napr. (z_1,z_2,z_3), take, že gornja determinanta imaje rang tri. Vrědnosti (a,b,A,B), ktore udovletvorjajut relaciji

i samo one, možno libovoljno dobro aproksimovati; vrědnosti diskontinuirnosti tvorjat jednorazměrnu linearnu mnogovidnost, opreděljenu čislom (z_0=a+ib). Kako pokazuju dane priměry, toj slučaj može stvarno nastati.

3. ( (z)) imaje rang dva. Poněže vsegda možno izbrati dvě kompleksne čisla (z_1,z_2) tako, že

relacije imajut formu

Iz togo proishodeči izraz

predstavlja najobčejše kontinuirno rěšenje funkcionalnogo uravnenja (1) v oblasti kompleksnyh čisel.

4. ( (z)) imaje rang jedin. Toj slučaj ne može nastati v oblasti kompleksnyh čisel; v oblasti realnyh čisel on znači kontinuirno rěšenje ( (x)=C x).

Teper pokažemo, že rěšenja (f(z)) funkcionalnyh uravnenj (1)--(4), definirane za vse realne i kompleksne čisla, mogut iměti samo rang dva ili četyri. Pri tom rang dva daje samo dvě kontinuirne funkcije (f(z)=z) ili ( z), kako pokazuje specializacija (f(1)=1) i (f(i)= i) zajedno s č. 3. Poněže rang jedin uže byl izključen vyše, ostavaje izključiti rang tri. Predpoložimo zato, že obstojaje najmanje jedna relacija

tako že (f(z)) imaje rang tri, možlivo nižši, i pokažemo, že pod tym predpoloženjem vsegda nastava poslědnji slučaj. Kako znovu pokazuje specializacija (f(1)=1), (f(i)= i), relacija prěhodi v

gdě (c_3) i (c_4) ne izčezajut jednočasno. Nehaj najprvo napr. (c_4=0). Relacija ((X-x)=0) znači, že čisto imaginarnomu (z) odpovědaje takože čisto imaginarno (f(z)). Zato za vsako realno (y) važi (f(iy)=i ), gdě ( ) jest znovu realno. Iz togo, poněže

vsakomu realnomu (z) odpovědaje takože realno (f(z)); a zaradi ((X-x)) vse realne vrědnosti prehodet v sebe. Tako imajemo samo (f(z)=z) ili ( z), znači stvarno rang dva. Sovsěm analogično zaključajemo, kogda (c_3=0), (c_4 0).

Teper nehaj (c_3) i (c_4) sut različne od nuly, tako že relaciju možno zapisati v formě

s realnym, od nuly različnym i konečnym (c). To znači, že pri (y= cx) takože (Y=c X). Zato, s obzirom na funkcionalne uravnenja, za vsako realno (x) važi

gdě ( ) jest znovu realno. Ale tuta po č. 1 faktor pri (f(x)) ne može identično izčeznuti, i děljenje daje

s realnymi ( ) i ( ), nezavisnymi od (x) i ( ). Osoblivo k (x=1) prinadleži takože nekoje realno (X_0), i uslovje (1=X_0( +i )) pokazuje, že neobhodno ( tako že (f(x)= ). Zato vsakomu realnomu (z) odpovědaje takože realno (f(z)); ili iz (y=0) neobhodno slěduje (Y=0). Tym linearna relacija za realne (z) prěhodi v (X-x=0); vsaka realna vrědnost odpovědaje samoj sobě. Znovu imajemo samo (f(z)=z) ili ( z), znači stvarno rang dva. Tym rang tri jest izključen vo vsih slučajah. Ale, kako pokazuju izslědovanja prvyh čestij, diskontinuirne rěšenja stvarno obstojat, i one zato neobhodno imajut rang četyri; slědovatelno po č. 1 važi teorem: «Vse rěšenja (f(z)) funkcionalnyh uravnenj (1)--(4), s izključenjem kontinuirnyh rěšenj (f(z)=z) ili ( z), sut v realnoj i v kompleksnoj oblasti ekstremno diskontinuirne».

Erlangen, 30. oktobra 1915.