11. Uravnenja s zadanoj grupoj

Math. Ann. 78 (1918), s. 221--229

Problem konstrukcije uravnenj s zadanoj grupoj možno napadati v dvuh směrjah, ktore možno kratko nazvati «iracionalnym», to jest harakterizujučim koreni, i «racionalnym», to jest harakterizujučim koeficienty.

K «iracionalnomu» směrju, ktory rabotaje funkcionalno-teoretično i aritmetično, prinadleži teorem Kronekera, že vse Abelove polja v oblasti racionalnyh čisel sut ciklotomične polja, i odpovědajuči teoremy za relativno-Abelove polja v odnosu k kvadratnym čislovym poljam. Ty teoremy daju, s jednej strany, realizujemost vsih Abelovyh grup v odnosu k tym specialnym oblastjam racionalnosti; s drugoj strany, oni daju cělost uravnenj i zajedno glubši pogled v strukturu čislovyh polj, opreděljenyh těmi uravnenjami. Vsaky pojediny teorem jednak jest ograničeny na specialnu oblast racionalnosti; i vsaka nova oblast racionalnosti potrěbuje sovsěm novo obrabotanje.

«Racionalny», algebraičny směr opiraje se na Hilbertov teorem o nerazložimosti, po ktoromu v predstavjenju koeficientov možno ograničiti se na parametrno predstavjenje. Sem prinadleži, napr., obstojanje libovoljno mnogih uravnenj s alternativnoj grupoj v odnosu k libovoljno zadanoj oblasti racionalnosti. Tuto prirodno nedostaje gore označeny pogled v strukturu polj, definiranyh uravnenjami; ale prednost toj «racionalnoj» směri leži v tom, že realizujemost grup dokazuje se za vse oblasti racionalnosti jednočasno; odnako do teper poznane parametrne predstavjenja v obče ne daju cělost uravnenj.

To, čo slěduje, jest prinos k toj «racionalnoj» směri: daju se dostatočne uslovja za obstojanje parametrnyh predstavjenj, ktore pri libovoljnoj oblasti racionalnosti daju cělost uravnenj s zadanoj grupoj. Ty uslovja stojat v tom, že invariantno polje, prinadležeče grupě, -- Lagranžev rodovy domen, -- možno racionalno predstaviti črez nezavisne funkcije oblasti, to jest ono imaje «minimalnu bazu»; ili, drugymi slovami, jest izomorfno s poljem vsih racionalnyh funkcij od neizvěstnyh. Kako bude pokazano ješče v § 2, to jest, napr., ispolnjeno za vse grupy, ktore nastupajut pri uravnenjah 3-go i 4-go stepena. Stvarno postavjenje i točnejša diskusija tyh uravnenj 3-go i 4-go stepena nahodi se v disertaciji F. Seidelmanna, iz koj bezposrědno slěduje izvod toj objavy.

Pitanje o minimalnoj bazi Lagranževyh rodovyh domenov bylo -- kako uže poměnjeno v rabotě Körper und Systeme rationaler Funktionen (Math. Ann. 76) -- postavljeno mně od E. Fišera nezavisno od opisanoj svęzi i dalo pobudku k nastojačim izslědovanjem.

§ 1.
Ako to postavimo v identičnosti (5), nehaj ty bez skračenja prěhodet v

gdě produkt vsih jest dělimy produktom vsih imenovateljev . Za vse sistemy korenov , za ktore produkt

i slědovatelno nikaky imenovatelj ne izčezaje, možno v (11) děliti črez i dostati

pri čem zaradi neizčezanja imenovateljev prijmajut konečne vrědnosti -- i pri uravnenjah stavajut veličinami iz . (12) predstavlja sistem rěšenj (10), skoro sut opreděljene tako, že .

Singularne mogut tedy byti samo take sistemy koeficientov , za ktore

za ktore tedy (11), v město predstavjenja, prěhodi v . Togda jest potrěbno osobno izslědovanje, či medžu tako definovanymi singularnymi sut takože take, ktorym odpovědajut uravnenja , i za ktore čislove polja. Soberajuči, dostavaje se

Teorem. Ako Lagranžev rodovy domen prinadležeči grupě imaje minimalnu bazu s koeficientami iz , togda za vsako čislovo polje sadržeče cělost uravnenj s zadanoj grupoj v odnosu k možno racionalno konstruovati črez parametrno predstavjenje (2) -- eventualno s izključenjem tyh, ktore sut singularne v odnosu k parametrnomu predstavjenju i ktore možno dati osobno. Parametry pri tom imajut proběgati vse vrědnosti iz , ktore ne vyzyvajut redukciju grupy. Konstrukcija jest možna za vsako libovoljno čislovo polje, ako koeficientna oblast minimalnoj bazy jest ravna polju vsih racionalnyh čisel.

Poněže po Hilbertovom teoremu o nerazložimosti parametrna mnogovidnost ne ponižaje se vyključenjem tyh vrědnostij iz , ktore vyzyvajut redukciju grupy, važi ješče: iz obstojanja minimalnoj bazy slěduje, že mnogovidnost uravnenj s grupoj v odnosu k jest ravna mnogovidnosti uravnenj bez afekta; mnogovidnost ne ponižaje se afektom.

§ 2.
prinadleži k , poněže ona dopušča , i nadto imajemo

ili

s prinadležečim k i menšego stepena než . Prodolženje postupka pokazuje, že vse homogene formy iz -- i slědovatelno v obče vse racionalne funkcije iz -- možno racionalno izraziti črez i črez homogene formy

Medžu těmi veličinami obstojit však linearna relacija ; zaviset tedy samo od argumentov.

Druga redukcija opiraje se na tom, že sut homogene formy svojih argumentov. Beremo kako drugu bazovu funkciju

jest tedy homogenno-drobna funkcija prvogo stepena od argumentov, imenně od s . Posrědstvom možno vse racionalno izraziti črez funkcije, takože prinadležeče k ,

gdě označaje stepen . stavaje tedy homogenna nulovogo stepena i zavisi samo od argumentov, od odnosov s . možno tedy racionalno izraziti črez

i črez polje vsih funkcij iz , zavisečih od tyh argumentov, črez što želana redukcija jest vykonana.

Za uravnenja 3-go i 4-go stepena odtud osoblivo dostavaje se redukcija na funkcionalne polja od jednogo odnosno dvuh argumentov. Za ty však vsegda obstojit minimalna baza po teoremah Lurota i Kastelnuova. V slučaju jednoj neizvěstnoj minimalnu bazu možno izvesti racionalnymi operacijami, zato ona osoblivo za sadržaje samo racionalno-čislove koeficienty. Pri dvuh neizvěstnyh po Kastelnuovu mogla by ješče byti baza s koeficientami iz algebraičnogo čislovogo polja ; stvarno izslědovanje (srav. F. Seidelmann, navedeno město) pokazuje, že i tuto za vsako dostavaje se baza s racionalno-čislovymi koeficientami. To možno viděti skoro bez računa uže iz toga, že za četvernu grupu možno izbrati taku racionalno-čislovu bazu, imenně

gdě

tako že alternativna grupa prěhodi v cikličnu grupu trěh bazovyh funkcij ; vsaka grupa osmogo reda prěhodi v simetričnu grupu dvuh iz tyh funkcij, črez što nastavaje redukcija na grupy uravnenj 3-go i 2-go stepena. Za cikličnu grupu racionalno-čislova baza uže jest poznana od Abela, iako ne formulovana kako taka. Tako jest dokazano: cělost uravnenj 3-go i 4-go stepena s zadanoj grupoj -- eventualno s izključenjem tyh, ktore sut singularne v odnosu k parametrnomu predstavjenju -- možno racionalno konstruovati črez parametrno predstavjenje za vsaku libovoljnu oblast racionalnosti; njihova mnogovidnost jest ravna mnogovidnosti uravnenj bez afekta.

Stvarno izslědovanje pokazuje (srav. F. Seidelmann, navedeno město), že dopolnitelno predstavjenje potrěbno jest samo za alternativnu grupu v odnosu k oblastjam racionalnosti, ktore sadržajut polje tretjih korenov jedinicy, dokolě v vsih drugyh slučajah parametrno predstavjenje daje cělost bez ograničenja.

Trěba ješče zamětiti, že minimalna baza takože jest poznana za vse Abelove grupy. Tuto však ide o bazu s koeficientami iz ciklotomičnogo polja izvedenogo iz grupovyh harakterov. Za konstrukciju uravnenj s zadanoj grupoj zato v tom slučaju ne možno dobiti nove rezultaty.

Göttingen, julij 1916.