12. Invarianty libovoljnyh diferencialnyh izrazov

Nachr. v. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1918, s. 37--44

Predstavjeno na zasědanju 25 januara 1918 črez F. Klajna.

Pod diferencialnym izrazom razumějem funkciju

od (n) prěměnnyh (x_1, ,x_n) i jih diferencialov (dx_1, ,dx_n), ktora se predpolagaje analitičnoj v oběh sistemah po (n) argumentov, ale ne neobhodno realnoj. Teper kladem za osnovu grupu vsih analitičnyh transformacij prěměnnyh, kojej odpovědaje grupa vsih linearnyh transformacij diferencialov:

črez čto (f(x,dx)) nehaj prěhodi v (g(y,dy)). Pod invariantoju (f(x,dx)) razumějem invariantu v odnosu k toj grupě i v odnosu k grupě, koja tym indukuje se za vyšše diferencialy (d^2x,ddx, ) i za izvodne od (f(x,dx)); znači taku analitičnu funkciju (J), že za libovoljno (f) i posrědstvom (1) identično v prěměnnyh i vsih nastupajučih diferencialah važi:

Sovsem odpovědajuče opreděljuje se invarianta simultannoj sistemy diferencialnyh izrazov. Ako taka invarianta osoblivo sadržaje samo prve diferencialy (dx, x) i samo izvodne po tyh diferencialah, a ne po prěměnnyh, togda nastupanje prěměnnyh v funkcijah i linearna transformacija diferencialov ne vhodi v razsmotrenje; ty specialne invarianty sut invarianty v odnosu k grupě vsih linearnyh transformacij diferencialov (dx, x) s neopreděljenymi koeficientami, i budut nazyvane projektivnymi invariantami simultannoj sistemy.

Za kvadratične homogene diferencialne formy Kristofel (Crelle 70) i Riči (Math. Annalen 54) postavili sut taku sistemu invariantnyh tvorjenj, že vse invarianty stavajut projektivnymi invariantami toj simultannoj sistemy; tym samym pytanja o cělosti invariantov i o ekvivalentnosti svodet se k pytanjam linearnoj teorije invariantov. To byh hotěla nazvati «teoremom redukcije». Polna sistema sostojit iz sčetno beskonečno mnogih form; ale za invarianty vsakogo konečnogo reda ( ), to jest take, ktore ne sadržet vyšših než ( )-te izvodne po prěměnnyh, ona sadržaje samo konečno mnogo form.

V slědujučem pokazujem važnost «teorema redukcije» za libovoljne diferencialne izrazy; i znovu ide o polnu sistemu sčetno beskonečno mnogih invariantnyh tvorjenj, ale za vsaky konečny red samo konečno mnogih. No dokole Kristofel i Riči za tvorjenje invariantov i dokaz teorema redukcije opiraju se na trudno pregledne eliminacije, ja tvorju invarianty neposrědno črez invariantne procesy diferenciranja i variiranja; te poslednje možno prosto razuměti kako procesy diferenciranja po drugih parametrah. Algoritm tyh invariantnyh procesov diferenciranja, v svęzi s Lagranžem (Mécanique analytique, 2. čest, odděl IV), razvili sut Riman (Werke XXII) i Lipšic (Crelle 70, 72) za kvadratične diferencialne formy, odnako ne došli do teorema redukcije. Pomagno srědstvo za dokaz teorema redukcije daju «normalne koordinaty», vvedene Rimanom za kvadratične formy (Werke XIII); one transformujut ekstremaly odpovědajučego variacijnego problema, izhodęče iz jednej točky, v prave linije, ale obstojat samo za homogene diferencialne izrazy (f(x, dx)= ( ) f(x,dx)). Nehomogenny slučaj možno jednak svesti na toj.

I. Tvorjenje invariantov.

Ręd projektivnyh invariantov od (f(x,dx)), v obče ne završivajuči se, davajut polary. Zaradi linearnosti transformacije diferencialov iz (f(x,dx)=g(y,dy)) slěduje takože (f(x,dx+ x)=g(y,dy+ y)); i odtud, razvivanjem po ( ), nastavajut relacije harakterny za invariantnost:

Vsaka polara, črez priměnjenje variacijnogo procesa ( ), daje povod k nezavršivajučemu se rędu obći invariantov:

iz čego, podstanovkoju ( za homogenno (f(dx)) ješče slěduje

s izključenjem slučaja homogennosti prvogo reda. V poslednjem slučaju (6) imaje byti dodano kako novo uslovje, poněže togda sistema uravnenj (5) predstavlja samo ((n-1)) nezavisnyh uslovij. Ako v (5), odnosno v (5) i (6), koeficienty pri nultoj, prvoj i drugoj potęgah ( ) postaviti ravnymi nuli, dostavajut se tri invariantne sistemy uravnenj ( ( ( identično v ( x), posrědstvom ktoryh (d^2x,ddx, ^2x) možno izraziti črez prve diferencialy. Dalje invariantne sistemy uravnenj

togda točno dostatno služet, aby vse vyšše diferencialy izraziti črez prve. Funkcije (4), spojene s invariantnoju sistemoju uravnenj (7), tedy vedut k osnovnym funkcijam ([ _ ]) s samo prvymi diferencialami; pri tom ([ _1]) identično izčezaje.

Takože iz diferenciala ( h(dx, x)) osnovnoj funkcije (h) možno posrědstvom (7) znovu dobiti osnovnu funkciju, ktora bude nazyvana «kovariantna derivacija» ([h^(1)]) od (h); obče ([h^( )]) označaje kovariantnu derivaciju od ([h^( -1)]). Ty dva procesy vedut tako k dvojno beskonečnomu rędu osnovnyh funkcij:

Dalej pokazuje se, že lěve strany uravnenj, ktore izražajut vyšše diferencialy črez prve, sut kogredientne prvim diferencialam, to jest podležet tym samym linearnym transformacijam. Ako tedy vměsto vyšših diferencialov vvesti ty lěve strany (p,q,r, ) kako argumenty invarianty, togda ona, kromě izvodnyh, zavisi samo od veličin kogredientnyh jedna k drugoj. Gore ukazano tvorjenje funkcij (8) prosto svodi se k vvedenju tyh novih veličin; vsaka invarianta tym prěhodi v sumu invariantov, i iz toj sumy vybira se ona, ktora sadržaje točno (dx, x), ale ne (p,q,r, ).

V slědujučem bude pokazano, že pod predpostavkoju homogennosti

osnovne funkcije (8) izčerpajut iskany polny sistem.

II. Normalne koordinaty, ekvivalentnost i teorem redukcije.

K normalnym koordinatam dohodžu črez integrovajenje variacijnogo problema prinadležečego k (f! ( dxdt )):

Zaradi predpostavjenoj homogennosti (f(dx)) ta sistema uravnenj prěhodi v sebe pri podstanovce parametra (t= ); ako tedy posrědstvom (9) izraziti ( d^ x_idt^ ) kako funkciju ( _ ^(i)! ( dxdt )) prvih izvodnyh, togda ( _ ^(i)) stavaje homogenna ( )-go reda:

Ako teper pri integrovajenju (9) za (t=t_0) zadati načelne vrědnosti

i položiti

gdě parametr ((t-t_0)) posrědstvom (f! ( dxdt )= const.) stavaje proporcionalny «dolgotě ekstremaly», togda razvoj po potęgah ((t-t_0)) posrědstvom (10) daje

Toj razvoj možno razuměti kako transformaciju prěměnnyh (x_i=x_i(u)), pri čem veličiny (u) sut točno Rimanove normalne koordinaty. Ty koordinaty tedy po (11) i (12) transformujut ekstremaly, prohodeče črez ((x)_0), v prave linije. Libovoljnoj transformaciji prěměnnyh (x=x(y)) dalje odpovědaje po (11) linearna transformacija (u=u(v)) prinadležečih normalnyh koordinat, pri čem koeficienty zaviset samo od libovoljnoj sistemy vrědnostij ((x)_0); diferencialy (du, u) tedy podležet toj samoj transformaciji kako samy (u).

Posrědstvom (12) nehaj (f(x,dx)) prěhodi v (F(u,du)), ili, razvito po potęgah (u),

gdě (F_ (u,du)) označaje homogennu formu ( )-go razměra v (u). Zaradi linearnosti transformacije (u=u(v)), iz (F(u,du)=G(v,dv)) pojedine homogene česti takože prěhodet v odpovědajuče:

Ako tedy za ((x)0) vzęti kakoje-koli fiksovano konstantno sistemu vrědnostij, togda (13) i (14) pokazujut, že ekvivalentnost (f(dx)) s (g(dy)) jest ravnoznačna ekvivalentnosti prinadležečih sistemov funkcij (F (u,du)) v odnosu k linearnoj transformaciji. Dalje (F_ (u,du)), ili odpovědajuče (F_ ( u,du)), predstavljajut invarianty (f(dx)), vzęte v městě (x=(x)_0), i imenno oni tvorjat polny sistem osnovnyh funkcij za to město (x=(x)_0). Imamo bo:

i ta poslednja izvodna posrědstvom (12) može se izraziti ravno tako črez izvodne od (f(dx)), vzęte za (x=(x)_0), kako odpovědajuče stvorjena izvodna od (G(dv)) može byti izražena črez izvodne od (g(dy)). Zaradi

vsaka invarianta od (f(dx)=F(du)), vzęta v městě (x=(x)0), stavaje projektivna invarianta (F ( u,du)), ako samo vyšše diferencialy zaměniti s (p,q,r, ), kogredientnymi k (dx, x). No ((x)_0) možno razuměti kako parametr; vsakoj invariantě v městě (x=(x)_0) odpovědaje invarianta od (f(dx)), ako samo ((x)0) znovu zaměniti črez (x). Ako tedy (F ( u,du)) stavajut invariantami ( _ ( x,dx)), vzętyimi za (x=(x)_0) -- za (x=(x)_0) (du, u) prěhodet v (dx, x) --, togda samy ( _ ) tvorjat osnovne funkcije polnogo sistema. Ostavaje ješče izraziti toj sistem osnovnyh funkcij črez eksplicitne invarianty od (f(dx)), imenně črez funkcije (8). Že to jest možno, pokazuje jih tvorjenje črez procesy diferenciranja. Za členy najvyššego reda ty procesy prěhodet v proste procesy polarizacije, i prěoblikovanje analogično razvoju reda Klebša--Gordana, spojeno s indukcijnym zaključkom zaradi zanemarjenyh členov, dokazuje tvrdjenje. Ako ide o invarianty simultannoj sistemy, togda k osnovnym funkcijam (8) treba ješče dodati kovariantne derivacije ostalyh diferencialnyh izrazov, kako pokazuje vvedenje normalnyh koordinat prinadležečih (f(dx)) v ty izrazy.

Ekvivalentnost (f(dx)) s (g(dy)), ktora byla svedena na (14), tedy jest takože ravnoznačna ekvivalentnosti ( _ ), ili takože funkcij (8), v odnosu k linearnoj transformaciji diferencialov, bez potrěby osobnyh uslovij integrovajemosti, kako slěduje iz možnosti svodjenja na (14). Tym jest teorem redukcije dokazan vo vsih čestjah. Osoblivo identično izčezanje funkcijnogo reda ([ _2],[ _3], ,[ _ ], ) jest neobhodno i dostatočno za to, aby (f(dx)) možno bylo transformovati v izraz s konstantnymi koeficientami.

Nakonec, ako vměsto grupy vsih analitičnyh transformacij položiti za osnovu podgrupu, togda takože grupa prinadležečih linearnyh transformacij (u) prěhodi v podgrupu projektivnoj grupy; invarianty od (f(dx)) znovu stavajut invariantami funkcij (8) v odnosu k linearnoj transformaciji, ale teper v odnosu k toj podgrupě. Tako možno črez homogenizovanje svesti slučaj nehomogennyh funkcij (f(dx)) na afinnoj grupu; polny sistem tuto možno izvesti iz funkcij (8), stvorjenyh za jednu prěměnnu vyše.

Iz teorema redukcije dostavaje se specialny slučaj kvadratičnyh form, občeje form (p)-go razměra: tuto sistema funkcij završava se pri ([ _2]), občeje pri ([ _p]) i jego kovariantnyh derivacijah, poněže vse pozdějšne osnovne funkcije stavajut projektivnymi invariantami tyh. Odtud objasnjaje se izključno město Rimanovoj formy kriviny ([ _2]) pri kvadratičnyh formah. Pytanje o ekvivalentnosti kvadratičnyh form, odnosno form (p)-go razměra, svodi se imenně k ekvivalentnosti ([ _2]), odnosno ([ _2] [ _p]), i jih kovariantnyh derivacij v odnosu k linearnoj transformaciji; i identično izčezanje ([ _2]), odnosno ([ _2] [ _p]), jest neobhodno i dostatočno za transformaciju v formy s konstantnymi koeficientami, črez čto za kvadratične formy jest izrečeny jedin iz najpoznanych rezultatov.

Podrobnějše predstavjenje imaje skoro iziti v Math. Annalen.