13. Invariantne variacijske problemy

Nachr. v. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1918, s. 235--257

Predstavjeno F. Klajnom na zasědanju 26 julija 1918.

Ide o variacijske problemy, ktore dopuskajut kontinuirnu grupu v smislu Lija; posledice za odpovědajuče diferencialne uravnenja najdaju svoj najobči izraz v teoremah formulovanyh v 1 i dokazanih v slědujučih paragrafah. O tih diferencialnyh uravnenjah, ktore izhode iz variacijskih problemov, možno činiti mnogo točnejše tvrđenja než o libovoljnyh diferencialnyh uravnenjah, ktore dopuskajut grupu i sut predmet izslědovanj Lija. Slědujuče se opiraje na svęz metodov formalnogo variacijskogo računa s metodami teorije grup Lija. Za specialne grupy i variacijske problemy takovy svęz metodov ne jest novy; spomenu Hamela i Herglotza za specialne konečne grupy, Lorenca i jego učenikov (napr. Fokkera), Wejla i Klajna za specialne beskonečne grupy. Osoblivo druga nota Klajna i tute izloženje medžusobno vlijali sut jedno na drugo; tu mogu ukazati na zaključne zamětky Klajnovej noty.

1. Predběžne zamětky i formulovanje teorem

Vse funkcije, ktore nastupajut niže, treba smatrjati analitičnymi ili najmenej kontinuirnymi i konečno mnogo raz kontinuirno diferencirujemymi, i jednoznačnymi v razsmatrjanoj oblasti.

Pod «grupoj transformacij», kako vědomo, razuměje se taka sistema transformacij, že k vsakoj transformaciji obstaja obratna transformacija soderžana v sistemě, i že složenje kakihkoli dvoh transformacij sistemy znovu naleži sistemě. Grupa nazyvaje se konečna kontinuirna ( _ ), ako jej transformacije soderžane sut v najobčej transformaciji, ktora analitično zavisi od ( ) suštstvenyh parametrov ( ) (to jest ti ( ) parametrov ne smět se predstaviti kako ( ) funkcij od menšego čisla parametrov). Odpovědajuče pod beskonečnoj kontinuirnoj ( _ ) razuměje se grupa, čije najobče transformacije analitično ili najmenej kontinuirno i konečno mnogo raz kontinuirno diferencirujemo zavise od ( ) suštstvenyh libovoljnyh funkcij (p(x)) i jih izvodnyh. Medžu oběma stoji grupa zaviseča od beskonečno mnogih parametrov, ale ne od libovoljnyh funkcij. Nakonec směšana grupa označaje taku, ktora zavisi i od libovoljnyh funkcij, i od parametrov.

Nehaj (x_1, ,x_n) sut nezavisne prěměnne, a (u_1(x), ,u_ (x)) funkcije zaviseče od njih. Ako (x) i (u) podloži se transformacijam neke grupy, to zaradi predpolaganoj obratnosti transformacij medžu transformovanymi veličinami znovu mora biti ravno (n) nezavisnyh --- (y_1, ,y_n); ostale od njih zaviseče označimo (v_1(y), ,v_ (y)). V transformacijah mogut nastupati takože izvodne (u) po (x), to jest ( u/ x,\ ^2u/ x^2, ). Funkcija nazyvaje se invariantoju grupy, ako obstaja relacija:

Osoblivo integral (I) jest invariantoju grupy, ako obstaja relacija:

integrirany po libovoljnoj realnoj (x)-oblasti i odpovědajučej (y)-oblasti.

S druge strany, za libovoljny, ne nužno invariantny integral (I), tvorju prvu variaciju ( I) i prěobražam ju po pravilah variacijskogo računa črez parcialno integriranje. Znano jest, ako ( u) so vsimi nastupajučimi izvodnymi smatra se izčezajučej na granici, a inače libovoljnoj, dobiva se:

gdě ( ) označajut Lagranževe izrazy, t. j. lěve strany Lagranževyh uravnenj odpovědajučego variacijskogo problema ( I=0). Toj integralnoj relaciji odpovědaje bezintegralna identičnost v ( u) i jej izvodnyh, ktora nastaje, ako zapisati granične členy. Kako pokazuje parcialno integriranje, ty granične členy sut integraly po divergencijah, t. j. po izrazah

gdě (A) jest linearno v ( u) i jej izvodnyh. Tako dobivamo:

Ako (f) osoblivo soderži samo prve izvodne (u), to v slučaju prostogo integrala identičnost (3) jest identična s tak nazyvanim «centralnym uravnenjem Lagranža»:

dokole za (n)-kratny integral (3) prěhodi v:

Za prosty integral i ( ) izvodnyh od (u), (3) jest dano formulom:

Odpovědajuča identičnost važi pri (n)-kratnom integralu; (A) osoblivo soderži ( u) do (( -1))-te izvodne. Že črez (4), (5), (6) Lagranževe izrazy ( _i) sut v istině opreděljene, slěduje iz togo, že kombinacijami pravyh stran vse vyše izvodne od ( u) eliminovane sut, dokole relacija (2), k ktoroj parcialno integriranje jednoznačno vodi, ostaje ispolnjena.

V daljem ide o dva teorema:

I. Ako integral (I) jest invariantny v odnosu k ( _ ), togda ( ) linearno nezavisnyh kombinacij Lagranževyh izrazov stavajut divergencijami; obratno, iz togo slěduje invariantnost (I) v odnosu k ( _ ). Teorem važi takože v graničnom slučaju beskonečno mnogih parametrov.

II. Ako integral (I) jest invariantny v odnosu k ( _ ), v kotoroj libovoljne funkcije nastupajut do ( )-te izvodne, togda obstajut ( ) identične relacije medžu Lagranževymi izrazami i jih izvodnymi do ( )-go reda; tu takože važi obrat.

Za směšane grupy važat tvrđenja oběh teoremov; znači nastupajut i zavisnosti, i od njih nezavisne divergencijne relacije.

Ako od tyh identičnostij prějdemo k odpovědajučemu variacijskomu problemu, znači položimo ( teorem I v jednodimenzionalnom slučaju, gdě divergencija prěhodi v totalny diferencial, govori o obstajanju ( ) prvih integralov, medžu ktorymi možut obstajati nelinearne zavisnosti; v mnogodimenzionalnom slučaju dobivajut se divergencijne uravnenja, ktore v novějše vrěme često nazyvajut «zakonami sohranenja»; teorem II govori, že ( ) Lagranževyh uravnenj sut posledice ostalyh.

Najprostějši primjer k teoremu II, bez obrata, jest Weierstrassovo parametrično predstavjenje; tut integral pri homogenosti prvogo reda, kako znano, jest invariantny, ako nezavisnu prěměnnu (x) zaměniti libovoljnoj funkcijeju od (x), ostavljajuči (u) neizměnjenymi ((y=p(x);\ v_i(y)=u_i(x))). Tako nastupaje jedna libovoljna funkcija, ale bez izvodnyh; tomu odpovědaje znana linearna relacija medžu samymi Lagranževymi izrazami:

Drugi primjer daje «obča teorija relativnosti» fizikov; tut ide o grupu vsih transformacij (x): (y_i=p_i(x)), dokole (u) (označene kako (g_ ) i (q)) podlagajut se transformacijam, indukovanym tym za koeficienty kvadratičnoj i linearnoj diferencialnoj formy, transformacijam, ktore soderžet prve izvodne libovoljnyh funkcij (p(x)). Tomu odpovědaju znane (n) zavisnosti medžu Lagranževymi izrazami i jih prvymi izvodnymi.

Ako osoblivo specializovati grupu tako, že v transformacijah ne dopuščajut se izvodne (u(x)), i transformovane nezavisne veličiny zavise samo od (x), ne od (u), togda iz invariantnosti (I) slěduje (kako bude pokazano v 5) relativna invariantnost ( _i _i u_i), i takože divergencij, nastupajučih v teoremu I, ako parametry podlagajut se odpovědajučim transformacijam. Iz togo još slěduje, že vyše spomenute prve integraly takože dopuskajut grupu. Za teorem II dobiva se takože relativna invariantnost lěvyh stran zavisnostij, sobranih pomoću libovoljnyh funkcij; i kako posledica još funkcija, čija divergencija identično izčezaje i ktora dopuskaje grupu --- ona, ktora v teoriji relativnosti fizikov posreduje svęz medžu zavisnostjami i energijskim zakonom. Nakonec teorem II daje v grupovo-teoretičnoj formě dokaz s tym svęzanoho tvrđenja Hilberta o odpovědanju vlastnyh energijskih zakonov pri «občej relativnosti». S tyma dodatnymi zamětkami teorem I soderži vse v mehanikě i t. d. znane teoremy o prvih integralah, dokole teorem II može byti nazvany najširšim grupovo-teoretičnym obobčenjem «občej teorije relativnosti».

2. Divergencijne relacije i zavisnosti

Nehaj ( ) jest konečna ili beskonečna kontinuirna grupa; togda možno vsěgda dostignuti, že identičnoj transformaciji odpovědaju nulove vrědnosti parametrov ( ), odnosno libovoljnyh funkcij (p(x)). Najobča transformacija imaje formu:

gdě ( x_i, u_i) označajut členy najnižšej dimenzije v ( ), odnosno v (p(x)) i jej izvodnyh; budemo jih smatrjati linearnymi v tih veličinah. Kako pozdněje bude vidno, to ne jest ograničenje občnosti.

Nehaj teper integral (I) jest invariantoju v odnosu k ( ), znači relacija (1) jest ispolnjena. Osoblivo (I) jest togda invariantny i v odnosu k v ( ) soderžanoj infinitesimalnoj transformaciji:

za nju relacija (1) prěhodi v:

Prvy integral treba prostirati po oblasti (x+ x), odpovědajučej (x)-oblasti. No to integriranje možno takože obrnuty v integriranje po (x)-oblasti pomoću prěobraženja važečego za infinitesimalne ( x):

Ako vměsto infinitesimalnoj transformacije ( u) vvesti variaciju

togda (7) i (8) prěhodet v:

Kako relacija (10) jest ispolnjena pri integriranju po vsakoj libovoljnoj oblasti, integrand mora identično izčeznuti; diferencialna uravnenja Lija za invariantnost (I) prěhodet tedy v relaciju:

Ako tut po (3) izraziti ( f) črez Lagranževe izrazy, dobiva se:

i ta relacija za vsaky invariantny integral (I) jest identičnost v vsih nastupajučih argumentah; to jest iskana forma diferencialnyh uravnenj Lija za (I).

Nehaj najprvo ( ) jest konečna kontinuirna grupa ( _ ). Kako po predpoloženju ( u) i ( x) sut linearne v parametrah ( _1, , _ ), po (9) to samo važi za ( u) i jej izvodne; tedy (A) i (B) sut linearne v ( ). Zato, ako položim

gdě ( u^(1), ) sut funkcije od (x,u, u/ x, ), iz (12) slědujut iskane divergencijne relacije:

Tako ( ) linearno nezavisnyh kombinacij Lagranževyh izrazov stavajut divergencijami; linearna nezavisnost slěduje iz togo, že po (9) iz ( u=0,\ x=0) slědovalo by i ( u=0,\ x=0), znači zavisnost medžu infinitesimalnymi transformacijami. No taka zavisnost po predpoloženju ne važi ni za kakvu vrědnost parametra; inače ( _ ), ktora črez integriranje znovu nastaje iz infinitesimalnyh transformacij, zavisala by od menje než ( ) suštstvenyh parametrov. Dalja možnost ( u=0,\ (f x)=0) byla izključena. Ti zaključki važat takože v graničnom slučaju beskonečno mnogih parametrov.

Nehaj teper ( ) jest beskonečna kontinuirna grupa ( _ ). Togda ( u) i jej izvodne, a takože (B), znovu sut linearne v libovoljnyh funkcijah (p(x)) i jih izvodnyh; nehaj po vstavjenju vrědnostij ( u), još nezavisno od (12), imajemo:

Togda možno, analogično formuli parcialnogo integriranja, po identičnosti

zaměniti izvodne od (p) samoj (p) i divergencijami linearnymi v (p) i jej izvodnyh; tako:

so sumovanjem po (i) v skobkah. V svęzi s (12) to daje:

Tvorju teper (n)-kratny integral nad (15), po někoj oblasti; i vybiraju (p(x)) tako, že ony so vsimi v (B- ) nastupajučimi izvodnymi izčezajut na granici. Kako integral po divergenciji redukuje se na graničny integral, izčezaje takože integral lěvoj strany (15) za libovoljne (p(x)), ktore samo na granici izčezajut s dostatočno mnogimi izvodnymi; iz togo po znanyh zaključkah slěduje izčezanje integranda za vsaku (p(x)), znači ( ) relacije:

To sut iskane zavisnosti medžu Lagranževymi izrazami i jih izvodnymi pri invariantnosti (I) v odnosu k ( _ ); linearna nezavisnost pokazuje se kako vyše, bo obrat vodi nazad k (12), i bo od infinitesimalnyh transformacij možno znovu zaključiti k konečnym, kako podrobněje izvedeno v 4. Potom pri ( _ ) už v infinitesimalnyh transformacijah vsěgda nastupajut ( ) libovoljnyh transformacij. Iz (15) i (16) slěduje još ( (B- )=0).

Ako odpovědajuče «směšanoj grupě» položiti ( x) i ( u) linearnymi v ( ) i (p(x)), vidno jest, kladuči jeden raz (p(x)) nuloj, drugi raz ( ) nuloj, že obstajut i divergencijne relacije (13), i zavisnosti (16).

3. Obrat v slučaju konečnoj grupy

Da pokazati obrat, treba najprvo v suštnosti projti prědšedše razmyslenja v obratnom porjadku. Iz obstajanja (13) črez množenje s ( ) i dodanje slěduje obstajanje (12); i pomoću identičnosti (3) iz togo slěduje relacija

Ako položiti ( x= 1f(A-B)), prišli jesmo k (11); iz togo integriranjem nakonec slěduje (7): ( I=0), znači invariantnost (I) v odnosu k infinitesimalnoj transformaciji opreděljenoj črez ( x, u), pri čem ( u) opredělja se črez ( x) i ( u) po (9), a ( x) i ( u) stavajut linearne v parametrah. No ( I=0) znanym sposobom vodi k invariantnosti (I) v odnosu k konečnym transformacijam, ktore nastajut integriranjem simultannoj sistemy:

Ty konečne transformacije soderžet ( ) parametrov (a_1, ,a_ ), imenno kombinacije (t _1, ,t _ ). Iz predpoloženja, že ima obstajati ( ) i samo ( ) linearno nezavisnyh divergencijnyh relacij (13), dalje slěduje, že konečne transformacije, ako ne soderžet izvodnyh ( u/ x), vsěgda tvorjat grupu. V protivnom slučaju najmenej jedna infinitesimalna transformacija nastajuča črez proces skobok Lija ne byla by linearnoj kombinacijeju ostalyh ( ); a kako (I) dopuskaje i tu transformaciju, obstajalo by više než ( ) linearno nezavisnyh divergencijnyh relacij; ili ta infinitesimalna transformacija byla by specialnoj formy ( u=0,\ (f x)=0). Togda by ale ( x) ili ( u) zavisali od izvodnyh protivno predpoloženju. Či toj slučaj može nastupiti, ako izvodne nastupajut v ( x) ili ( u), mora ostati otvorjeno; togda k vyše opreděljenomu ( x) treba dodati vse funkcije ( x), za ktore ( (f x)=0), da se znovu dobije grupovo svojstvo; tym dodavane parametry po dogovoru ne sut čitane. Tym obrat jest dokazan.

Iz togo obrata slěduje još, že ( x) i ( u) v istině možno smatrjati linearnymi v parametrah. Ako by ( u) i ( x) byly formy vyšego stepena v ( ), togda zaradi linearnoj nezavisnosti stepennyh produktov ( ) slědovale by odpovědajuče relacije (13), samo v večem čislu; iz njih po obratu slěduje invariantnost (I) v odnosu k grupě, čije infinitesimalne transformacije soderžet parametry linearno. Ako ta grupa ima soderžati točno ( ) parametrov, togda medžu divergencijnymi relacijami dobitymi iz členov vyšego stepena v ( ) muset obstajati linearne zavisnosti.

Treba još zamětiti, že v slučaju, kde ( x) i ( u) soderžet takože izvodne (u), konečne transformacije mogut zavisati od beskonečno mnogih izvodnyh (u); bo integriranje (17) v tom slučaju pri opreděljenju

vodi k

tako že čislo izvodnyh (u) v obče raste pri vsakom kroku. Primjer jest napr.:

Kako Lagranževe izrazy divergencije identično izčezajut, obrat nakonec pokazuje još slědujuče: ako (I) dopuskaje ( _ ), togda vsaky integral, ktory razlikuje se od (I) samo graničnym integralom, t. j. integralom po divergenciji, takože dopuskaje ( _ ) s tymi samymi ( u), čije infinitesimalne transformacije v obče soderžat izvodne (u). Tako odpovědajuče vyše uvedenomu primjeru

dopuskaje infinitesimalnu transformaciju ( u=x ,\ x=0); dokole v infinitesimalnyh transformacijah odpovědajučih (f) nastupajut izvodne (u).

Ako prějdemo k variacijskomu problemu, t. j. položimo ( _i=0), togda (13) prěhodi v uravnenja:

ktore često nazyvajut «zakonami sohranenja». V jednodimenzionalnom slučaju iz togo slěduje:

pri tom (B) soderžet najviše ((2 -1))-te izvodne (u) (po (6)), ako ( u) i ( x) ne soderžet vyših izvodnyh než v (f) nastupajuče ( )-te. Kako v ( ) v obče nastupajut (2 )-te izvodne, imajemo obstajanje ( ) prvih integralov. Že medžu nimi mogut obstajati nelinearne zavisnosti, znovu pokazuje vyše navedeno (f). Linearno nezavisnym ( u= _1,\ x= _2) odpovědajut linearno nezavisne relacije:

dokole medžu prvymi integraly (u'= const.,\ u'^2= const.) obstaja nelinearna zavisnost. Tut ide o elementarny slučaj, že ( u, x) ne soderžet izvodnyh (u).

4. Obrat v slučaju beskonečnoj grupy

Najprvo pokažemo, že predpoloženje linearnosti ( x) i ( u) ne jest ograničenje; tut to slěduje už bez obrata iz fakta, že ( _ ) formalno zavisi od ( ) i samo ( ) libovoljnyh funkcij. Pokazuje se imenno, že v nelinearnom slučaju pri složenju transformacij, pri čem členy najnižšego reda se dodavajut, čislo libovoljnyh funkcij by se povečilo. V istině, nehaj napr.

i odpovědajuče

Togda pri složenju s

za členy najnižšego reda dobiva se:

Ako tu kakykoli od (a) i (b) različny koeficient nije nula, znači ako člen

v istině nastupa za ( >1), toj ne može byti zapisan kako diferencialny kvocient jednoj funkcije ili stepenovy produkt takogo kvocienta; čislo libovoljnyh funkcij se tedy povečilo protivno predpoloženju. Ako vse od (a) i (b) različne koeficienty izčezajut, togda po vrědnostjah eksponentov ( _1, , _ ) drugi člen jest diferencialny kvocient prvogo (kako napr. vsěgda za ( _ 1)), takže v istině nastupa linearnost; ili čislo libovoljnyh funkcij se i tut povečava. Infinitesimalne transformacije tedy zaradi linearnosti (p(x)) zadovoljajut sistemu linearnyh parcialnyh diferencialnyh uravnenj; i kako grupovo svojstvo jest ispolnjeno, one tvorjat «beskonečnu grupu infinitesimalnyh transformacij» po definiciji Lija (Grundlagen, 10).

Obrat se teper dobiva podobno kako v slučaju konečnoj grupy. Obstajanje zavisnostij (16) vodi črez množenje s (p^( )(x)) i dodanje pomoću identičnogo prěobraženja (14) k

i iz togo slěduje, kako v 3, opreděljenje ( x) i ( u) i invariantnost (I) v odnosu k tym infinitesimalnym transformacijam, ktore v istině linearno zavise od ( ) libovoljnyh funkcij i jih izvodnyh do ( )-go reda. Že ty infinitesimalne transformacije, ako ne soderžet izvodnyh ( u/ x, ), sigurno tvorjat grupu, slěduje kako v 3 iz togo, že inače pri složenju nastupilo by više libovoljnyh funkcij, dokole po predpoloženju ima byti samo ( ) zavisnostij (16); one tedy tvorjat «beskonečnu grupu infinitesimalnyh transformacij». Taka grupa (Grundlagen, teorem VII, s. 391) sostojit iz najobčih infinitesimalnyh transformacij někoj črez to opreděljenoj v smislu Lija «beskonečnoj grupy ( ) konečnyh transformacij». Vsaka konečna transformacija pri tom generuje se iz infinitesimalnyh (Grundlagen, 7), znači nastaje integriranjem simultannoj sistemy:

pri čem može byti potrěbno smatrjati libovoljne (p(x)) zavisečimi takože od (t). ( ) tedy v istině zavisi od ( ) libovoljnyh funkcij; ako osoblivo dostatočno jest smatrjati (p(x)) nezavisnymi od (t), togda ta zavisnost jest analitična v libovoljnyh funkcijah (q(x)=t p(x)). Ako nastupajut izvodne ( u/ x, ), može byti potrěbno dodati još infinitesimalne transformacije ( u=0,\ (f x)=0), prěžde než činiti te same zaključki.

V svęzi s primjerom Lija (Grundlagen, 7) dajemo još dostatočno obči slučaj, gdě možno dojti do javnyh formul, ktore jednako pokazuju, že izvodne libovoljnyh funkcij nastupajut do ( )-go reda; tut obrat jest polny. To sut take grupy infinitesimalnyh transformacij, ktorym odpovědaje grupa vsih transformacij (x) i tym «indukovanyh» transformacij (u), t. j. takyh transformacij (u), pri ktoryh ( u), i slědovatelno (u), zavise samo od libovoljnyh funkcij nastupajučih v ( x); pri tom predpolaga se još, že izvodne ( u/ x, ) v ( u) ne nastupajut. Imajemo:

Kako infinitesimalna transformacija ( x=p(x)) generuje vsaku transformaciju (x=y+g(y)) s libovoljnym (g(y)), možno osoblivo opreděliti (p(x)) zaviseču od (t) tako, že generuje se jednočlena grupa:

ktora pri (t=0) prěhodi v identičnost, pri (t=1) v iskano (x=y+g(y)). Diferenciranjem (18) slěduje:

gdě (p(x,t)) opredělja se iz (g(y)) obratanjem (18); i obratno, (18) nastaje iz (19) pomoću pobočnoj uslovije (x_i=y_i) pri (t=0), ktora jednoznačno fiksuje integral. Pomoću (18) v ( u) možno zaměniti (x) integracijskymi konstantami (y) i (t); pri tom (g(y)) nastupajut točno do ( )-te izvodne, bo v

( y/ x) izrazaju se črez ( x/ y), i v obče ( ^ p/ x^ ) zaměnja se jego vrědnostju v

Za opreděljenje (u) dobiva se sistema uravnenj:

v kotoroj samo (t) i (u) sut prěměnne, a (g(y), ) naležet k oblasti koeficientov; integriranje daje:

znači transformacije, ktore zavise točno od ( ) izvodnyh libovoljnyh funkcij. Identita soderži se tu po (18) pri (g(y)=0); a grupovo svojstvo slěduje iz togo, že opisany postupok daje vsaku transformaciju (x=y+g(y)), črez čto indukovana transformacija (u) jest jednoznačno opreděljena i grupa ( ) izčerpana.

Iz obrata mimohodom slěduje, že ne jest ograničenje smatrjati libovoljne funkcije zavisečimi samo od (x), ne od (u, u/ x, ). V poslednom slučaju v identičnom prěobraženju (14), tedy i v (15), kromě (p^( )) nastupili by još ( p^( )/ u,\ p^( )/ ( u/ x), ). Ako teper sukcesivno brati (p^( )) kako funkcije nultogo, prvogo, ( ), stepena v (u, u/ x, ), s libovoljnymi funkcijami od (x) kako koeficientami, znovu nastajut zavisnosti (16), samo v večem čislu; no po vyše danom obratu ony črez sobiranje s libovoljnymi funkcijami zavisečimi samo od (x) vodet nazad k ranějšemu slučaju. Takože pokazuje se, že simultannomu nastupanju zavisnostij i od njih nezavisnyh divergencijnyh relacij odpovědajut směšane grupy.

5. Invariantnost odinokyh čestij relacij

Ako specializovati grupu ( ) na najprostějši obično razsmatrjany slučaj tako, že v transformacijah ne dopuščajut se izvodne (u), i transformovane nezavisne prěměnne zavise samo od (x), ne od (u), možno zaključati o invariantnosti odinokyh čestij v formulah. Najprvo po znanyh zaključkah dobiva se invariantnost

znači relativna invariantnost ( _i _i u_i), gdě pod ( ) razuměje se kakakoli variacija. Imeno s jednoj strany:

s drugoj strany za na granici izčezajuče ( u, ( u/ x), ), ktorym črez linearnu homogennu transformaciju odpovědajut takože na granici izčezajuče ( v, ( v/ y), ):

slědovatelno za na granici izčezajuče ( u, ( u/ x), ):

Ako v tretjem integralu izraziti (y,v, v) črez (x,u, u) i postaviti ga ravnym prvomu, imajemo relaciju

za na granici izčezajuče, inače libovoljno ( u); iz togo znano slěduje izčezanje integranda za libovoljno ( u). Tedy identično v ( u) važi relacija:

ktora vyražaje relativnu invariantnost ( _i _i u_i) i slědovatelno invariantnost

Da to priměniti na izvedene divergencijne relacije i zavisnosti, najprvo treba dokazati, že ( u) izvedeno iz ( u, x) v istině zadovolja transformacijnym zakonam za variaciju ( u), ako samo parametry, odnosno libovoljne funkcije v ( v), opreděljene sut tako, kako odpovědaju podobnoj grupě infinitesimalnyh transformacij v (y,v). Označimo (T_q) transformaciju, ktora prěvodi (x,u) v (y,v); (T_p) infinitesimalnu v (x,u). Podobna k njoj v (y,v) jest dana črez (T_r=T_qT_pT_q^-1), gdě parametry, odnosno libovoljne funkcije (r), opreděljajut se iz (p) i (q). V formulah to znači:

Iz togo nastaje (T_r=T_qT_pT_q^-1), znači

ako pomoću obrata (T_q) smatrjati (x) funkcijami od (y) i brati samo infinitesimalne členy; imajemo identičnost:

Ako v tom zaměniti ( x) črez ( - ), črez čo ( ) znovu prěhodi v (x), tedy ( x) izčezaje; po prvoj formuli (20) i ( ) znovu prěhodi v (y= - ); ako črez tu substituciju ( u(p)) prěhodi v ( u(p)), togda i ( v(r)) prěhodi v ( v(r)), i druga formula (20) daje:

tako že transformacijske formule za variacije v istině sut ispolnjene, ako samo ( v) smatra se zavisečim od parametrov, odnosno libovoljnyh funkcij (r).

Slěduje osoblivo relativna invariantnost ( _i _i u_i); tedy takože po (12), kako divergencijne relacije ispolnjene sut i v (y,v), relativna invariantnost ( B); dalje po (14) i (13) relativna invariantnost ( ) i s (p^( )) sobranih lěvyh stran zavisnostij, gdě vsěgda v transformovanyh formulah libovoljne (p(x)) (odnosno parametry) treba zaměniti črez (r). Iz togo dobiva se još relativna invariantnost ( (B- )), znači divergencija neidentično izčezajučej sistemy funkcij (B- ), čija divergencija identično izčezaje.

Iz relativnoj invariantnosti ( B) v jednodimenzionalnom slučaju i pri konečnoj grupě možno zaključiti još o invariantnosti prvih integralov. Parametrova transformacija odpovědajuča infinitesimalnoj transformaciji po (20) stavaje linearna i homogenná; i zaradi obratnosti vsih transformacij, ( ) sut takože linearne i homogene v transformovanyh parametrah ( ^). Ta obratnost ostaje sigurna, ako položiti ( bo v (20) ne nastupajut izvodne (u). Iz ravnanja koeficientov pri ( ^) v

slěduje, že i ( yB^( )(y,v, )) sut linearne homogene funkcije od ( xB^( )(x,u, )); zato iz

slěduje takože:

( ) prvih integralov, odpovědajučih ( _ ), tedy vsaky dopuskaje grupu, tako že dalje integriranje se uproščava. Najprostějši primjer jest, že (f) jest svobodna od (x) ili od jednogo (u), čemu odpovědajut infinitesimalne transformacije ( x= , u=0) odnosno ( x=0, u= ). Togda ( u=- u/ x) odnosno ( ), i kako (B) izvodi se iz (f) i ( u) diferenciranjem i racionalnymi svęzami, ono jest takože svobodno od (x) odnosno (u) i dopuskaje odpovědajuče grupy.

6. Hilbertovo tvrđenje

Iz prědšedšego nakonec slěduje dokaz Hilbertova tvrđenja o svęzi odpovědanja vlastnyh energijskih zakonov s «občej relativnostju» (prva nota Klajna, Göttinger Nachr. 1917, odgovor, 1. odstavek), i to v obobčenoj grupovo-teoretičnoj formě.

Nehaj integral (I) dopuskaje ( _ ), a ( _ ) nehaj jest kakakoli konečna grupa nastajuča specializacijeju libovoljnyh funkcij, znači podgrupa ( _ ). Beskonečnoj grupě ( _ ) odpovědajut zavisnosti (16), konečnoj ( _ ) divergencijne relacije (13); i obratno, iz obstajanja kakihkoli divergencijnyh relacij slěduje invariantnost (I) v odnosu k konečnoj grupě, ktora togda i samo togda jest identična s ( _ ), ako ( u) sut linearne kombinacije tyh, ktore dobivajut se iz ( _ ). Invariantnost v odnosu k ( _ ) tedy ne može voditi k drugim divergencijnym relacijam než (13). No kako iz obstajanja (16) slěduje invariantnost (I) v odnosu k infinitesimalnym transformacijam ( u, x) grupy ( _ ) pri libovoljnom (p(x)), iz togo osoblivo slěduje invariantnost v odnosu k iz specializacije nastajučim infinitesimalnym transformacijam ( _ ), i slědovatelno v odnosu k ( _ ). Divergencijne relacije

muset tedy byti posledicami zavisnostij (16), ktore možno pisati takože:

gdě ( ^( )) sut linearne kombinacije Lagranževyh izrazov i jih izvodnyh. Kako ( ) v (13) i v (16) nastupajut linearno, divergencijne relacije osoblivo muset byti linearne kombinacije zavisnostij (16); tako

i same (B^( )) sostoju se linearno iz ( ), t. j. iz Lagranževyh izrazov i jih izvodnyh, i iz funkcij, čija divergencija identično izčezaje, kako napr. (B- ) na koncu 2, za ktore ( (B- )=0), i gdě divergencija jednako imaje invariantno svojstvo. Divergencijne relacije, v ktoryh (B^( )) možno sostaviti na ukazany način iz Lagranževyh izrazov i jih izvodnyh, budu nazyvati «nevlastnymi», a vse ostale «vlastnymi».

Obratno, ako divergencijne relacije sut linearne kombinacije zavisnostij (16), znači «nevlastne», togda invariantnost v odnosu k ( _ ) slěduje iz invariantnosti v odnosu k ( _ ); ( _ ) stavaje podgrupa ( _ ). Divergencijne relacije odpovědajuče konečnoj grupě ( _ ) stavajut tedy nevlastne togda i samo togda, kogda ( _ ) jest podgrupa beskonečnoj grupy, v odnosu k ktoroj (I) jest invariantny.

Specializacijeju grup iz togo dobiva se izvorno Hilbertovo tvrđenje. Pod «grupoj posunov» razumějemo konečnu grupu:

znači:

Invariantnost v odnosu k grupě posunov, kako znano, znači, že v

(x) ne nastupajut javno v (f). Odpovědajuče (n) divergencijne relacije

budut nazyvane «energijskymi relacijami», bo variacijskomu problemu odpovědajuče «zakony sohranenja» ( B^( )=0) odpovědajut «energijskim zakonom», a (B^( )) «energijskim komponentam». Togda važi: ako (I) dopuskaje grupu posunov, energijske relacije stavajut nevlastne togda i samo togda, kogda (I) jest invariantny v odnosu k beskonečnoj grupě, ktora soderži grupu posunov kako podgrupu.

Primjer takyh beskonečnyh grup dan jest grupoj vsih transformacij (x) i takyh indukovanyh transformacij (u(x)), v ktoryh nastupajut samo izvodne libovoljnyh funkcij (p(x)); grupa posunov nastaje specializacijeju (p^(i)(x)= _i). No mora ostati nerěšeno, či tym --- i črez grupy nastajuče izměnoj (I) na graničny integral --- už dane sut najobče take grupy. Indukovane transformacije ukazanogo vida nastajut napr. kogda (u) podlagaje se transformacijam koeficientov «totalnoj diferencialnoj formy», t. j. formy

ktora kromě ( x) soderži još vyše diferencialy; specialnejše indukovane transformacije, v ktoryh (p(x)) nastupajut samo v prvoj izvodnoj, dane sut transformacijami koeficientov obyčnyh diferencialnyh form ( c x_i_1 x_i_ ), i ty obično byly razsmatrjane.

Dalja grupa ukazanogo vida, ktora zaradi logaritmičnogo člena ne može byti koeficientna transformacija, jest napr. slědujuča:

Zavisnosti (16) tut stavajut:

nevlastne energijske relacije stavajut:

Najprostějši invariantny integral grupy jest:

Najobče (I) opredělja se integriranjem diferencialnogo uravnenja Lija (11):

ktore po vstavjenju vrědnostij za ( x) i ( u), ako smatrjati (f) zavisečej samo od prvih izvodnyh (u), prěhodi v

(identično v (p(x),p'(x),p''(x))). Ta sistema uravnenj už za dvě funkcije (u(x)) imaje rěšenja, ktore v istině soderžet izvodne, imenno:

gdě ( ) označaje libovoljnu funkciju ukazanyh argumentov.

Hilbert izreka svoje tvrđenje tako, že odpovědanje vlastnyh energijskih zakonov jest karakterističny znak «občej teorije relativnosti». Aby to tvrđenje važilo doslovno, nazvanje «obča relativnost» treba razuměti širje než obyčno, takože na prědšedše grupy zaviseče od (n) libovoljnyh funkcij.