14. Aritmetična teorija algebraičnyh funkcij jednoj proměnnoj v svojej svezi s ostalymi teorijami i s teorijeju čislovyh polj

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 38 (1919), s. 182--203

Sledujuči pregled nastal iz želanja iměti svezajučo zvěno medžu oddělnymi teorijami algebraičnyh funkcij; jednako može on byti gledany kako dopolnjenje k pregledu Brilla--Noether, v kojem razgled aritmetične teorije v sučnosti nedostaje.

Kromě Brilla--Noether, pri razgledu oddělnih teorij treba brati v obzir slědujuče encyklopedijne članky s tam ukazanoj literaturoju:

za teoriju Riemanna: Wirtinger (II B 2), Nr. 1--19;

za teoriju Weierstrassa: Wirtinger (II B 2), Nr. 23, 32, 33, 34;

za algebraično-geometričnu teoriju Brilla--Noether: Wirtinger (II B 2), Nr. 21--31; Berzolari (III C 4), Nr. 23--38;

za aritmetičnu teoriju Dedekinda--Webera i Hensela--Landsberga: Hensel (II C 5), [dalje cituje se kako Hensel];

občejše za aritmetičnu teoriju algebraičnyh elementov: Landsberg (I C 5), i za aritmetičnu teoriju algebraičnyh funkcij više proměnnyh: Jung (II C 6).

Za teoriju čislovyh polj sravnaj „Zahlbericht“ Hilberta i lekcije o teoriji čisel od Dirichleta--Dedekinda [dalje cituje se kako Dedekind--teorija čisel].

Sodržanje

Osnovy različnyh teorij. Paralelizm medžu algebraičnymi čislami i algebraičnymi funkcijami (konjugovane elementy, teoremy o bazisu, pojem modula). Paralelizm i različnosti v teoriji idealov algebraičnyh čisel i funkcij. Svez aritmetičnogo obosnovanja razloženja v redy s teorijeju idealov. Sravnjenje aritmetične teorije algebraičnyh funkcij s geometričnoj teorijeju. Različny pojem invariantnosti. Prodolženje sravnjenja. Osoblive točke. Sravnjenje medžu teoremom o ostatku i teoremami teorije idealov. Transcendentne pytanja pri algebraičnyh funkcijah i algebraičnyh čislah.

1. Osnovy različnyh teorij Teorija Riemanna jest jedina čisto transcendentna teorija, osnovana na teoremah sušstvovanja (princip Dirichleta, metody Schwarza--Neumanna). Integraly algebraičnyh funkcij sut tu prvotne, same algebraične funkcije vtorotne. Funkcije na Riemannovoj površini karakterizujet se svojimi nulami i beskonečnymi městami; to odgovarja poligonom (odnosno divizorom) aritmetične teorije, medžu tym kako Weierstrass govori takože o samyh funkcijah s jih nulami i beskonečnymi městami. Glavna zadacha, kromě teoremov sušstvovanja, jest postaviti vse funkcije s danymi beskonečnymi městami; to se dostigaje pomoču integralov prvogo i vtorogo roda. Dalje stojit pytanje o čislu svobodnyh konstant, ktore jošče vhodet pri prědpisanyh beskonečnyh točkah. Na to poslědnje pytanje odgovarja teorem Riemanna--Rocha; v aritmetičnoj teoriji jemu odgovarja pytanje o dimenziji klasa poligonov (odnosno klasa divizorov), a v algebraično-geometričnoj teoriji pytanje o dimenziji polnoj linearnoj sistemy, na ktore takože odgovarja teorem Riemanna--Rocha. V aritmetičnoj teoriji stvarno tvorjenje funkcij idet črez teoremy o bazisu; v algebraično-geometričnoj teoriji črez teorem o ostatku. Osoblivo nulam podintegralnyh funkcij prvogo roda odgovarja diferencialny klas v aritmetičnoj teoriji, a v algebraično-geometričnoj teoriji učenije o specialnyh grupah, to jest o sistemě grup toček, ktory izrězajut adjungovane krive ((n-3))-go reda, ( )-krive.

Kako Riemannova teorija historično predhodila ostalym teorijam, akoľko strogo dokazanje teoremov sušstvovanja bylo dostignuto pozdněje, tako byly i pozdněje s jej transcendentnymi sredstvami rěšene algebraične pytanja, ktore do dnes ne sut dostupne čisto algebraičnomu ili aritmetičnomu obrabotanju; tu prěd vsim treba imenovati Hurwitzovu teoriju osoblivyh korespondencij.

Analogije s transcendentnymi postavkami pytanj v teoriji algebraičnyh čislovyh polj razgledajut se v poslědnjem punktě.

Za ostale teorije algebraične funkcije sut prvotne, integraly vtorotne. Pri tom teorija Weierstrassa opiraje se na transcendentne osnovy razvijanja v stepennye redy i teorema o vyčetah; potom ale idet algebraično dalje, črez eksplicitno ukazanje vseh funkcij, ktore prihodet v razgled.

Aritmetična teorija v formě Hensela--Landsberga takože koristi transcendentne osnovy razvijanja v redy. Ale, pridavajuči na toj osnově oddělnym točkam divizory, ona potom idet čisto aritmetično i zato može byti gledana kako slivanje Weierstrassa i Dedekinda--Webera. V protivnosti k poslědnim ona jednako daje metody za stvarno tvorjenje vseh relevantnyh bazisnyh funkcij. V podrobnostjah ona pokazuje red uproščenj proti Dedekindu--Weberu, suštno črez vvedenje „lomljenyh“ divizorov. Nedavno Hensel aritmetično obosnoval teoriju razvijanja v redy (kromě majorantnoj metody za dokaz konvergencije), čerez čto teorija stala skoro čisto aritmetična.

Algebraično-geometrična teorija Brilla--Noether predpolagaje samo pojem „beskonečno blizkyh toček“ jednoj větvi, ktory se svodi na razvijanje v red v obyčnoj točkě i odgovarja Weierstrassovomu pojmu elementa; potom ona rabotaje algebraično-racionalnymi metodami, suštno metodami ternarnoj eliminacijskoj teorije, i takože dohodit do eksplicitnyh predstavjenj.

Prvotna, čisto aritmetična teorija Dedekinda--Webera jest srodna Riemannovoj v tom smyslu, že jej stavky imajut opět karakter dokazov sušstvovanja; ona hrani polnu čistotu metody. Aritmetično obosnovanje teorije, kde proměnne grajut samo rolu neopreděljenyh, teče paralelno k teoriji algebraičnyh čisel, kako bude bliže izloženo v 2. To obosnovanje daje sredstvo aritmetično vvesti pojem točke (sr. Hensel Nr. 10a) i tako postaviti pojem absolutnoj Riemannovoj površiny bez vsakoj razgledky neprěryvnosti. Teorija tym dobiva formalny karakter; napr. i pojem diferenciala jest vvedeny čisto formalno. Na osnově, dobytoj črez pojem točke, možno dokazati blizko srodstvo s metodami i pojmami algebraično-geometričnoj teorije, ktora, kromě pojma elementa, takože jest svobodna od transcendentnyh sredstv; to bude učinjeno v slědujučih punktah.

2. Paralelizm medžu algebraičnymi čislami i algebraičnymi funkcijami. (Konjugovane elementy, teoremy o bazisu, pojem modula) Algebraično čislovo polje jest opreděljeno kako polje (n)-go stepena nad poljem (R) racionalnyh čisel; polje algebraičnyh funkcij jednoj proměnnoj kako polje (n)-go stepena nad poljem (K(z)) vseh racionalnyh funkcij jednej neopreděljenej (z) s svobodnymi kompleksnymi koeficientami. Znači, za oba polja společně važet vse teoremy, ktore polno abstrahujut od specialnoj prirody osnovnogo polja; to sut teoremy o bazisu, normah, slědah i diskriminantah. Vse te pojmy pri Dedekindu--Weberu vvodet se bez koristjenja konjugovanyh elementov. Ale treba primětiti, že pojem konjugovanogo polja može se opreděliti polno formalno, kako pokazal Steinitz v svezi s Kroneckerom. Imenně, ako (K) jest ljuboe polje i ( (x)) jest nad (K) nerazložimy polinom od (x), togda sistema klasov ostatkov modulo ( (x)) tvori polje. Ako klasu ostatka od (x) pridajemo element ( ), togda pri izomorfnom pridavanju klasu ostatka, predstavjenomu polinomom (f(x)), odgovarja element (f( )). Poněže vsi polinomy dělimi črez ( (x)) predstavljajut nulovy klas ostatka, ( ( )) pridaje se nulovomu klasu; element ( ) može zato symbolično byti gledany kako korenj od ( (x)=0) i tvori algebraično polje (K( )). Povtorenje postupka vodi k (n) konjugovanym poljam (K( ), K( '), ,K( ^(n-1))). Možno zato osoblivo i pri algebraičnyh funkcijah govoriti o konjugovanyh elementah, ne ostavljajuči čisto aritmetičnu teoriju.

Dva osnovne polja (R) i (K(z)) imajut obče svojstvo, že v njih jest opreděljena sistema vseh cělyh elementov, kako cělyh racionalnyh čisel odnosno cělyh racionalnyh funkcij jednej neopreděljenej. Ti cěle elementy imajut karakteristično svojstvo, že každye dva (a) i (b) imajut največši obči dělitelj (d), ktory može byti predstavjen v formě (ma+nb), kde (d,m,n) takože sut cěle elementy iz (R) odnosno (K(z)); i (d) jest absolutno najmalo čislo odnosno polinom najnižšego stepena, ktory možno predstaviti v toj formě. Samo na tom svojstvu, ktore povlači jednoznačno razloženje na proste faktory za cěle racionalne čisla odnosno funkcije jednej neopreděljenej, osnovane sut teoremy o cělyh elementah algebraičnogo polja ili nadpolja. Razmysl, ktory pokazuje sušstvovanje največšego občego dělitelja, daje takože sušstvovanje fundamentalnoj sistemy ili bazisa cělyh elementov algebraičnogo polja. Ako gledamo samo takie bazisy polja, ktore sostojat iz cělyh elementov, jih diskriminant jest cělo racionalno čislo odnosno cěla racionalna funkcija jednej neopreděljenej. Každy bazis, ktory odgovarja absolutno najmalomu čislu ili funkciji najnižšego stepena, tvori fundamentalnu sistemu.

Glubši pogled v bazisne pytanja, takože za obćejša polja, daje vvedenje pojma modula, ktory treba razuměti tako, že on obhvača različne definicije v literaturi zavisno od prirody elementov. Modulom --- v odnosu k osnovnoj oblasti cělosti ( ) --- nazyvaje se sistema elementov taka, že razlika dvoh elementov opět naleži sistemě, i takože produkt elementa s ljubym elementom iz ( ). (Ako ( ) sostojit iz cělyh racionalnyh čisel, vtoro trěbovanje slěduje iz prvogo.)

Každy modul, ktory imaje bazis iz konečno mnogo elementov, črez ktore každy element može byti predstavjen linearno s koeficientami iz ( ), nazyva se konečny (konečno-členny); osoblivo každy jednočlenny modul imaje formu (c ), kde ( ) znači bazisny element, a (c) proběgaje vse elementy iz ( ). Modul, ktoryh elementy same naležet k ( ), nazyva se idealom v ( ); iz togo slěduje pojem konečnogo ideala, osoblivo jednočlennogo (glavnogo ideala).

Vse bazisne teoremy za cěle elementy i idealy osnovane sut na slědujučem teoremě:

Ako (M) jest modul v odnosu k ( ), ktoryh elementy sostojat iz linearnyh form od (n) neopreděljenyh s koeficientami iz ( ), i ako každy ideal v ( ) jest konečny, togda i (M) jest konečny modul. Ako osoblivo každy ideal v ( ) jest glavny ideal, togda (M) imaje bazis iz linearnonezavisnyh form.

Imenně, ako elementy (M) dane sut črez (l(x)=a_1x_1+ +a_nx_n), togda cělost koeficientov (a_1) proběgaje ideal v ( ), ktory po predpolaganju imaje formu (b_1a^(1)+ +b_ a^( )). K (M) naležeča linearna forma

zato zavisi samo od ((n-1)) neopreděljenyh, iz čego konečnym povtorjenjem slěduje tvrdženje. Ako vsaky raz ( togda bazis sostojit iz (n) form od odnosno (n,n-1, ,1) neopreděljenyh, čto daje linearnu nezavisnost nenulovyh form.

Teorem o fundamentalnoj sistemě iz togo proizhodit v različnyh slučajah tako.

Ako algebraično polje nastaje črez adjunkciju cělogo algebraičnogo elementa ( ) k osnovnomu polju, i ako ( ) znači cělost vseh cělyh elementov osnovnogo polja, togda každy cěly element nadpolja dopušća predstavjenje (sr. napr. Zahlbericht § 3)

kde (a_i) sut elementy iz ( ), a ( ( )) znači diskriminant od ( ). Substitucijeju

modul vseh cělyh elementov prěhodi v modul linearnyh form; zato sušstvovanje fundamentalnoj sistemy proizhodit v vseh slučajah, kde každy ideal v ( ) jest konečny. To samo razmysljenje pokazuje, že obćejše každy ideal v oblasti cělyh elementov nadpolja jest konečny. Osoblivo za cěle racionalne čisla odnosno funkcije jednej neopreděljenej každy ideal jest glavny; iz togo slěduje, že fundamentalne sistemy v algebraičnyh čislovyh poljah odnosno poljah algebraičnyh funkcij jednej proměnnoj sostojat točno iz (n) elementov, ako (n) znači stepen. I poněže v tih poljah po vyšerečenom každy ideal jest konečny, zajedno proizhodit fundamentalna sistema za relativne polja, ktora v obćem slučaju bude iměti vyše elementov, než pokazuje relativny stepen. Dalje, ako ( ) znači oblast vseh polinomov od mnogo neopreděljenyh, v ( ) každy ideal jest takože konečny; zato sušstvovanje fundamentalnoj sistemy proizhodit i za algebraične funkcijne polja od mnogo neopreděljenyh, ktora opět bude iměti vyše elementov, než pokazuje stepen.

3. Paralelizm i različnosti v teoriji idealov algebraičnyh čisel i funkcij Dokaz fundamentalnogo teorema teorije idealov, že každy ideal jednoznačno može byti predstavjen kako produkt stepenov prostyh idealov, možno provesti společně za algebraične čisla i funkcije; samo na osnově svojstva, že za cěle racionalne čisla odnosno funkcije jednej neopreděljenej každy ideal stava glavnym. Glavna točka dokaza leži v tom, že iz dělimosti ideala ( ) črez ideal ( ) (to jest každy element ( ) jest soderžany v ( )) slěduje produktno predstavjenje ( Taj dokaz opiraje se pri Hurwitzu na „razširjeny Gaussov teorem“, ktory govori, že cěly element ( ), ktory děli každy koeficient produkta dvoh polinomov ( ) i ( ), děli takože produkt vseh koeficientov ( ) i ( ); pri Dedekindu on opiraje se na ekvivalentny modularny teorem.

Dalje možno společně opreděliti pojem komplementarnogo modula (Hensel Nr. 12) i iz jego ideal razvětvenja (osnovny ideal, diferenta) ( ) (jego norma stava diskriminantom polja (D)); i važi fundamentalny teorem, že ideal razvětvenja ( ) jest največši obči dělitelj vseh glavnyh idealov (F'( )), gde ( ) proběgaje vse cěle elementy polja i (F( )=0) vsakokratno znači naležeče nerazložimo jednačenje. Iz togo slěduje, že diskriminant polja soderži vse i samo take racionalne proste čisla odnosno linearne faktory v (z), ktore sut dělime kvadratom prostogo ideala. Za samo (F'( )) dostajemo predstavjenje

i črez tvorjenje normy

pri tom ( ) znači provodnik ringa (porjadka, oblasti cělosti), izvedenogo iz ( ), t. j. ( ) sostojit iz cělosti (cělyh) elementov, ktore, pomnožene s každym cělym elementom, sut dělime modulom ([1, , , ^n-1]). (R^2= Norm ) predstavlja kvadrat substitucijnogo determinanta, ktory prěvodi bazis (1, , , ^n-1) v bazis cělyh elementov.

Različnosti v daljnjem razvitju uslovjene sut specialnymi svojstvami osnovnyh polj. Tako fakt, že v slučaju algebraičnyh čisel elementy osnovnogo polja sut skupaj eksponenty, vodi k tomu, že ideal razvětvenja može byti dělimy vyšim než ((e-1))-tym stepenom prostogo ideala ( ), ktory vhodit v (p) v (e)-tom stepeni (ako imenno (e) děli se črez (p)); i vodi tym k daljnjim pojmam inercijnogo i razvětvennogo polja, ktore ne imajut analoga v teoriji algebraičnyh funkcij. Nad vsim, zbog sušstvovanja beskonečno mnogyh konstant v osnovnom polju pri algebraičnyh funkcijah odpada konečnost čisla klasov idealov i s tym vsa pytanja svezana s opreděljenjem čisla klasov. Jednako v někoj mery možno kako transcendentny analog klasnogo polja gledati oblast vseh (transcendentnyh) prim-form; tu bo každy točka tvori se jednoju jedinoju formoju, glavnym idealom.

Na drugoj strani sušstvovanje beskonečno mnogyh konstant v osnovnom polju (K(z)) pri algebraičnyh funkcijah vodi k teoremam i pytanjam, ktore ne imajut analoga pri algebraičnyh čislah. Najprvo iz togo proizhodit někoje uproščenje v poredku dokazov; tako napr. v dokazu jednoznačnogo razloženja idealov na proste idealy, danym od D.--W., možno obojti „razširjeny Gaussov teorem“ ili jemu ekvivalentny teorem črez koristjenje fakta, že každaja linearna forma ((z-c)) imaje beskonečno mnogo klasov ostatkov, imenno vse konstanty (medžu tym kako čislo klasov ostatkov modulo prostogo čisla jest konečno).

K stvarno novym rezultatom vodi daljny fakt, že každy polinom s cělymi racionalnymi funkcijami od (z) kako koeficientami modulo ((z- )) razpada se na linearne faktory (čto se ne stava za cěločislenny polinom modulo (p)); fakt, ktory važi i kogda vměsto vseh konstant berut se samo vsa algebraične čisla. Iz togo slěduje, že každy prosty ideal jest ideal prvogo stepena; i dalje, že diskriminant polja (D) stava prěrězom vseh diskriminantov ( ( )), gde ( ) proběgaje vse cěle elementy; oboje v protivnosti k algebraičnym čislam. Potom iz togo opět slěduje, že ideal razvětvenja stava prěrězom vseh glavnyh idealov (F'( )).

Daljnje različnosti uslovjene sut tym, že za algebraične čisla osnovno polje (R) racionalnyh čisel jest něčto absolutno vyznačeno, imenno primarno polje soderžano v polju (t. j. polje izvedeno iz jedinice); medžu tym kako osnovno polje (K(z)) jest něčto relativno. Ljubu nekonstantnu funkciju ( ) možno izbrati kako nezavisnu proměnnu; polje togda stava algebraičnym poljem nad (K( )). Teorem, že každy prosty ideal ( ) jest ideal prvogo stepena, znači každaja funkcija mod. ( ) jest kongruentna konstantě, zajedno s možnošću vzęti ljubu funkciju kako nezavisnu proměnnu, vodi k najvažnějšemu pojmu, idučemu dalje od algebraičnyh čisel: k pojmu točke v čisto aritmetičnoj formě. (Sr. Hensel 10a.) „Každy točka pri tom jest predstavjena črez polje konstant izomorfno funkcijnomu polju.“ Cělost tako opreděljenyh toček tvori „absolutnu Riemannovu površinu“. Ta definicija točke zavisi samo od polja, ne od specialnoj proměnnoj. Naprotiv, dokaz sušstvovanja vodi se vyznačajuči někoju funkciju kako nezavisnu proměnnu (z); točka (P) tvori se prostym idealom ( ), pridavajuči každoj funkciji jej konstantny ostatok modulo ( ). Znači osoblivo funkcije dělime črez ( ) izčezajut v (P), i obratno. Kogda ( ) proběgaje vse proste idealy v (z), dostajut se vse točke, v ktoryh (z) jest konečna; ostale točke nastajut črez vvedenje nezavisnoj proměnnoj ( i odgovarjajut prostym idealam, ktore vhodet v glavny ideal ( ). Prirodno, i pojmy prisojedinjene k pojmu točke ne mogut iměti analog pri algebraičnyh čislah; kako pojem poligona, klasa poligonov, dimenzije klasa poligonov itd.

Treba jošče primětiti, že svobodny izbor nezavisnoj proměnnoj daje daljne tolkovanje razloženja (F'( )= ). Ako gledati ( ) kako nezavisnu proměnnu, odgovorno dostajemo:

poněže ring izvedeny iz ( ) byl opreděljen simetrično v odnosu k (z) i ( ); i ( ) stava največšim občim děliteljem dvoh glavnyh idealov ( F z) i ( F ); provodnik ( ) stava zajedno „idealom dvojnyh toček“ v odnosu k ( ,z).

4. Svez aritmetičnogo obosnovanja razloženja v redy s teorijeju idealov Pri Henselu--Landsbergu transcendentno pomočno sredstvo razvijanja v redy i pojem točke vzęty iz teorije funkcij stava na město teorije idealov. Nedavno Henselovo aritmetično obosnovanje razvijanja v redy za algebraične čisla i funkcije može zato byti gledano kako ekvivalent teorije idealov. V samoj stvari to aritmetično obosnovanje znači prěhod za každy prosty ideal k takomu (transcendentnomu) razširjenomu polju, gde taj prosty ideal stava glavnym idealom, znači važet obyčne razložne teoremy; i dostatno jest provesti taj razmysl za vse proste idealy vhodeče v prosto čislo (p) odnosno linearnu funkciju (z-a).

Najprvo jde o vvedenje transcendentnogo razširjenogo polja, ktoro jest tvorjeno vsimi redovymi razloženjami po cělyh stepenjah od (z-a) odnosno (p) ((p)-adične čisla), s vsakokratno najvyše konečno mnogymi negativnymi stepenjami. V tom polju nerazložimo jednačenje, ktoro opredělja algebraično čislovo odnosno funkcijno polje, razpada se na produkt od ( ) nerazložimyh faktorov, čto odgovarja razloženju (p) odnosno (z-a) v produkt od ( ) „primarnyh“ idealov ( q_1, , q_ ). Daljnemu predstavjenju každogo primarnogo ideala kako stepena prostogo ideala:

odgovarja pri Henselu vvedenje daljnjega polja, algebraičnogo v odnosu k transcendentnomu razširjenomu polju. V slučaju algebraičnyh funkcij to možno opreděliti čistym jednačenjem; v slučaju algebraičnyh čisel obćejše algebraično rěšimym jednačenjem. Uproščenje pri algebraičnyh funkcijah jest iz togo, že tu ne nastupajut inercijne i razvětvenne polja (sr. Nr. 3).

„Prěryvajuči se red“ po prostom elementu ( ), nastupajuči v tih izslědovanjah (ktory jošče ne trěbuje transcendentnogo dokaza konvergencije),

kde (c_0, ,c_ -1) sut konstanty, (v_ ) cěly element polja, najde se polno odgovorno pri D.--W. Tam on izvodit se iz teorije idealov i daje osnovu za definiciju reda izčeznjenja (odnosno postavanja beskonečnym) funkcije v točkě.

5. Sravnjenje aritmetične teorije algebraičnyh funkcij s geometričnoj teorijeju. Različny pojem invariantnosti „Invariantny“ jest každy pojem karakterizovany samo črez polje. Ta invariantnost v aritmetičnoj teoriji obično jest dana uže v definiciji, ktora izreka se v odnosu k vsim elementam polja, ne v odnosu k někomu bazisu ili vyznačenoj proměnnoj; prěklad daje vyše dany pojem točke. Naprotiv, ostale teorije idut od někojej specialnoj proměnnoj ili bazisa i potom pokazujut nezavisnost pojma od togo specialnogo izbora; invariantnost tu stava invariantnostju naproti biracionalnoj transformaciji.

Nehaj polje s jednoj strany nastaje črez adjunkciju algebraičnogo elementa (s) k (K(z)), s drugoj strany črez adjunkciju ( ) k (K( )), pri čem (f(z,s)=0) odnosno (F( , )=0) sut nerazložime jednačenja za (s) odnosno ( ); ili jošče obćejše črez adjunkciju konečnogo čisla elementov k (K( )), s naležečimi nerazložimymi jednačenjami

Togda po definiciji vse elementy možno racionalno izraziti črez (z) i (s), takože črez ( ) i ( ), i takože črez ( , _1, _2, ). Osoblivo (z) i (s) možno izraziti racionalno črez ( ) i ( ) i obratno; takože (z) i (s) racionalno črez ( , _1, _2, ) i obratno. Ravna kriva (f(z,s)=0) prěhodi zato črez „biracionalnu transformaciju“ v ravnu krivu (F( , )=0), ili i v krivu v prostoru proměnnyh ( , _1, _2, ), opreděljenu črez (g_1( , _1)=0; g_2( , _1, _2)=0, ). Invariantnost pokazuje se tako, že definicija izrečena za specialnu krivu ostava za vse krive nastajuče iz nje biracionalnoj transformacijeju (v prostoru libovolno mnogyh dimenzij), za vse krive „klasa“ po Riemannu. Kako „točka“ tu opredělja se prinaležeča sistema vrědnostij (z=a,s=b), tako že (f(a,b)=0); ta točka pri biracionalnoj transformaciji obično opět prěhodi v prinaležeču sistemu vrědnostij ( , ) od (F( , )=0), no v specialnyh slučajah, ako (a,b) byla „osobliva“ točka, može odgovarjati mnogym „točkam“ na (F( , )=0). Vsegda možno ukazati krive, na ktoryh „osobliva“ točka od (f(z,s)=0) odgovarja konečnomu čislu prostyh, razděljenyh ili susědnyh toček (razrěšenje singularnostij). Takože grupa toček opět prěhodi v grupu toček; čislo jej toček jest invariantno, ako osoblivu točku čitati toliko točkami, koliko prostym točkam ona odgovarja pri vhodnoj transformaciji. Poněže možno vsaku krivu biracionalno transformovati v taku s „obyčnymi kratnymi“ točkami, [ footnote] geometrična teorija razviva svoje pojmy samo za take specialne krive i potom pokazuje invariantnost proti vsakoj biracionalnoj transformaciji, i takoj, ktora vodi k najobčejšim osoblivym točkam.

Osoblivo možno kako vyznačenu krivu „klasa“ --- izključivši hypereliptičny slučaj --- vvesti tak nazyvanu „normalnu krivu ( )“ v prostoru ((p-1)) dimenzij, ktora ne imaje osoblivyh toček; gde ( ) sut (p) „adjungovane krive ((n-3))-go reda“ za homogenizovano (f(z,s)=0). Biracionalnoj transformaciji od (f(z,s)=0) v (F( , )=0) odgovarja linearna transformacija od ( ), tako že tu ide o invariantnost v projektivnom smyslu. Predstavjenje vseh funkcij polja kako racionalnyh funkcij od ( ) nazyva se v geometričnoj teoriji „invariantno predstavjenje“.

Linearna sistema od ( ), ili i „specialne grupy“ izrězane nimi, prěhodi zato pri vsakoj biracionalnoj transformaciji v samu sebe, znači jest karakterizovana samo črez polje. Ona odgovarja diferencialnomu klasu v aritmetičnoj teoriji, gde invariantnost opět pokazuje se neposrědno v definiciji, dannoj črez svojstva v odnosu k každoj funkciji polja kako nezavisnoj proměnnoj.

6. Prodolženje sravnjenja. Osoblive točke S različnym razuměnjem pojma točke svezano jest, že „osoblive točke“ krivyh, ktore v algebraično-geometričnoj teoriji tvoret osoblive težkosti, v obosnovanju aritmetične teorije obće ne nastupajut; i zato „adjungovane funkcije“ takože ne sut potrěbne za izgradnju aritmetične teorije, kako to jest v geometričnoj teoriji, ale naležet k specialnym vyšim častjam teorije. Na drugoj strani v osnovanju geometričnoj teorije ne nastupajut točke razvětvenja; v samoj stvari ony odpadajut i pri predstavjenju integralov v Aronholdovoj normalnoj formě (Hensel Nr. 27, formula 80).

Definiciju osoblivoj točke, dannu v 5., možno formulisati tako: (f(z,s)=0) (odnosno kriva v vyšem prostoru) imaje v (z=a,s=b) (odnosno (z=a; s_i=b_i)) osoblivu točku, ako ta sistema vrědnostij jest prijeta od vyše než jednej točke absolutnoj Riemannovoj površiny (točka v aritmetičnom smyslu), ili ako jest prijeta v jednej ili mnogyh točkah v vyšem redu. V poslědnjem slučaju ide o točku poligona razvětvenja od (z) i takože od (s); to odgovarja „beskonečno blizkym točkam“ geometričnoj teorije; točka stava (vyša) točka vozvrata od (f(z,s)=0) (odnosno krive v vyšem prostoru).

Poněže ljubaja funkcija ( ) polja po predpolaganju može byti racionalno izrazjena črez (z) i (s), vsaka točka absolutnoj Riemannovoj površiny, gde (z=a,s=b), nastaje po izomorfiji tako, že každoj funkciji ( ), predstavjenoj črez (z) i (s), pridaje se jej vrědnost pri (z=a,s=b). Da by točka byla osobliva, musi zato sušstvovati najmenej jedna funkcija ( ), ktora pri (z=a,s=b) prijimaje mnogo vrědnostij ili jednu sistemu vrědnostij više razov. I to, zbog racionalnoj izrazimosti črez (z) i (s), može byti samo ako v tom predstavjenju pri (z=a,s=b) čislitelj i imenovatelj izčezajut jednočasno. Iz togo slěduje, že gorna definicija jest identična s obyčnoj, že

izčezajut pri (z=a,s=b). Bo v tom slučaju

jest funkcija ukazanogo roda, ktora pri (z=a,s=b) jest mnogovrědnostna, medžu tym kako v protivnom slučaju vsaka funkcija, i ako ona stava (0/0), prijimaje samo jednu vrědnost.

Pri aritmetičnom pojmu točke osobliva točka ne može nastupati, poněže dvije točke smatrjajut se različnymi, čim samo jednej funkciji pridane sut različne sistemy vrědnostij. Ale i v teoriji idealov, služečoj za obosnovanje aritmetičnogo pojma točke, pojem osoblivoj točke ne nastupaje, poněže vsegda zajedno gleda se cělost vseh cělyh elementov polja. Vse v konečnoj časti ležeče osoblive točke od (F(z, )=0), gde ( ) jest algebraično-cěla v odnosu k (z), tvoret se (po vtoroj definiciji i koncu Nr. 3) črez „ideal dvojnyh toček“ ( ). Poněže po fundamentalnom teoremě ideal razvětvenja ( ) jest največši obči dělitelj vseh glavnyh idealov (F'( )), možno k každomu prostomu idealu ( ) ukazati tako ( ), že naležeči ( ) ne jest dělimy črez ( ); slědovateljno --- poněže ( ) jest največši obči dělitelj od (F'( )) i (F'(z)) --- najmenej jediny iz dvoh glavnyh idealov (F'( )) i (F'(z)) ne jest dělimy črez ( ). Zato ne sušstvuje sistema vrědnostij, za koju jednočasno izčezajut vse (F'( )) i (F'(z)), i slědovateljno sistema vrědnostij (z=a, _i=b_i) prijima se samo v jednej točkě absolutnoj Riemannovoj površiny; cělost cělyh algebraičnyh funkcij polja (ktoru možno razuměti kako krivu v prostoru beskonečno mnogyh dimenzij) ne imaje osoblivoj točke v konečnoj časti; pri teoriji idealov ale prihodet v razgled samo konečne vrědnosti.

Takože bazisne funkcije ( _1, , _n) vseh cělyh elementov ne imajut osoblivyh toček v konečnoj časti. Po gornjem, každy točka v aritmetičnom smyslu uže jednoznačno opreděljena jest črez sistemu konstant, izomorfno pridanu vsim cělym funkcijam. Ako zato „prostorova kriva“, opreděljena kakimi-koli cělymi funkcijami (s_i), imaje za (s_i= _i) osoblivu točku v konečnoj časti, togda musi sušstvovati najmenej jedna cěla funkcija ( ), ktora za (s_i= _i) prijimaje mnogo sistem vrědnostij. Ako ( _1, , _n) znači bazis vseh cělyh elementov, togda, poněže ( s cělymi racionalnymi (a_i), každoj sistemě vrědnostij od ( ) odgovarja samo jedna sistema vrědnostij od ( ); slědovateljno prostorova kriva, opreděljena črez ( _1, , _n), ne može iměti osoblivu točku v konečnoj časti. I každy točka absolutnoj Riemannovoj površiny, v ktoroj (z) jest konečna, jest uže jednoznačno opreděljena črez sistemu konstant izomorfno pridanu ( ). Bazisne funkcije sut točno funkcije ( ), ktore stavajut mnogovrědnostne pri (s_i= _i). Tak vvedenje bazisa cělyh elementov, napr. vměsto bazisa (1, , , ^n-1), obhodi težkost osoblivyh toček.

V geometričnoj teoriji zadacha tvoriti jednoznačno vse točke absolutnoj Riemannovoj površiny --- obćejše, tvoriti vse funkcije, ktore stavajut beskonečne v danyh točkah --- izvršaje se pomoču adjungovanyh form i jih kvocientov. Forma ( ) nazyva se adjungovana, ako ( v každoj (i)-kratnoj točkě osnovnoj krive (f(z,s)=0) imaje najmenej ((i-1))-kratnu točku; vyšu osoblivu točku pri tom treba najprvo razrěšiti v obyčne mnogo-kratne točke. Že za najobčejšu funkciju ( v osoblivoj točkě (f(z,s)=0) čislitelj i imenovatelj obće muset izčezati, bylo pokazano vyše; že oni muset byti adjungovane, pokazuje razgled vsude konečnyh diferencialov. Že obratno uslovja adjungovanosti sut takože dostatne za tvorjenje najobčejšej funkcije, pokazuje „teorem o ostatku“, k ktoremu budemo bliže prěhoditi niže. Tako adjungovane funkcije zastupajut město bazisnyh funkcij aritmetične teorije.

Aritmetično adjungovanoj formě odgovarja čislitelj funkcije polja dělimyj črez „ideal dvojnyh toček“ ( ), skoro osoblive točke --- čto črez transformaciju vsegda možno dostignuti --- vse ležet v konečnoj časti. Iz togo formalno pokazuje se predstavjenje bazisnyh elementov ( _1, , _n) kako kvocientov adjungovanyh form, i iz togo svez različnyh sposobov predstavjenja:

Nehaj (R(z)) znači substitucijny determinant bazisa (1, , , ^n-1) v bazis ( _1, , _n). Obratno, každaju ( ) možno izraziti kako kvocient cěloj funkcije od (z) i ( ) črez (R(z)):

Poněže (R(z) _i) naleži ringu izvedenomu iz ( ), po definiciji provodnika (R(z)) jest dělimy črez ( ) [iz ((R(z))^2= Norm ) ta dělimost slěduje samo za ((R(z))^2)]. A poněže ( _i), kako cěla funkcija, ostava konečna za vse konečne (z), musi i čislitelna funkcija (G_i(z, )) byti dělimaja črez ( ); čislitelji i imenovatelji vseh ( _i) sut zato adjungovane. Iz togo predstavjenja ( ) slěduje predstavjenje vseh funkcij polja črez kvocienty adjungovanyh.

Po prědhodečem geometričnu teoriju možno karakterizovati kako teoriju ringa izvedenogo iz elementa ( ) (porjadka), v protivnosti k aritmetičnoj teoriji, ktora zajedno gleda vse cěle elementy. Tako jasno jest, že provodnik ringa --- osoblive točke --- igra odlučnu rolu. Možno dati i daljnje analogije medžu aritmetičnoju teorijeju ringov (porjadkov) i geometričnoju teorijeju. Tako geometrična teorija nikde ne čita prěsěčne točke, ktore pri prěsěku s adjungovanymi krivymi padajut v osoblive točke, ale gleda samo od njih različne grupy toček. Tomu odgovarja, že Dedekind gleda samo take ringove idealy, ktore sut medžusobno proste s provodnikovym idealom ( ), i za tu oblast idealov postavlja vse zakony dělimosti, uključajuči jednoznačno razloženje na proste idealy.

Takože „fundamentalny teorem algebraičnyh funkcij“, ležeči v osnově geometričnoj teorije, ili najmenej neposrědny poslědok jego, imaje v někom smyslu analog v aritmetičnoj teoriji ringov. Taj teorem daje uslovja za predstavimost

kde vse nastupajuče veličiny sut cělo racionalne v (s,z) (obćejše cěle i homogene v (x_1,x_2,x_3)). Iz tyh uslovij slěduje, že siloju (f(z,s)=0) kvocient ( ) vsegda stava ravny cěloj racionalnoj funkciji (B(z,s)), kogda on jest adjungovany k (f). Tomu odgovarja teorem iz Nr. 3, ktory leži v osnově vseh tyh sravnjenj, že provodnik ( ) ringa izvedenogo iz ( ) jest ravny idealu dvojnyh toček od (f(z, )=0). Bo po definiciji provodnika každaja algebraično-cěla veličina dělimaja črez ( ) naleži ringu, znači jest cěla i racionalno predstavima črez (z) i ( ); medžu tym kako spomenuty teorem govori, že taka veličina jest adjungovana funkcija.

7. Sravnjenje medžu teoremom o ostatku i teoremami teorije idealov Prědhodno spomenuty poslědok „fundamentalnogo teorema algebraičnyh funkcij“ vodi v geometričnoj teoriji neposrědno k „teoremu o ostatku“, i tako k osnově, na ktoroj cela geometrična teorija se gradi. V někom odnosu ale teorem o ostatku opět imaje elementarnějši karakter než ostale osnovy, zato že može byti aritmetično izrečeny kako neposrědny poslědok jednoznačnogo razloženja idealov na proste idealy, ili radše faktov ležečih pod tym razložnym teoremom, i zato ne opiraje se na vyšu teoriju ringov. K toj aritmetičnoj formulaciji prihodimo tako:

Osnovna kriva (f(z, )=0) nehaj bude izbrana tako --- čto vsegda možno dostignuti linearnolomljenoju transformacijeju proměnnyh --- že osoblive točke i konečno mnogo razgledanyh grup toček ležet v konečnoj časti; i dalje že ( ) jest algebraično-cěla od (z), čto vsegda možno dostignuti poslědnjoju linearnoju transformacijeju, cěloju v proměnnyh. Togda prostomu idealu ( ), ktory tvori točku (P) absolutnoj Riemannovoj površiny, gde (z=a, odgovarja točka (z=a, od (f(z, )=0); obćejše ideal ( e_1 _ ^ e_ ) tvori grupu toček, sostavjenu iz toček (z=a_i, s odgovarjajučoju kratnostju; i vse v konečnoj časti ležeče točke od (f(z, )=0) tak se tvoret. Poněže v točkě (P) vse funkcije (g_1,g_2, ) dělime črez ( ) izčezajut, i poněže obratno ta cělost funkcij (g) tvori ideal ( ), odgovarjajuča točka na (f) jest prěsěk

s (f=0); to samo važi za grupu toček odgovarjajuču idealu ( ). I po teoremě, že každy ideal jest največši obči dělitelj dvoh glavnyh idealov, vsegda dostatne sut dvije take krive za izrězanje grupy toček. Osoblivo grupa toček odgovarjajuča glavnomu idealu izrězaje se krivoju (g(z, )=0), i obratno; glavny ideal odgovarja polnomu prěsěku.

Dvě grupy toček (A) i (B) v geometričnoj teoriji nazyvajut se koresidualne, ako jih možno dopolniti s tojže grupoju toček (R) do polnogo prěsěka. Ako te grupy toček odnosno tvoret se idealami ( , , ), togda medžu tymi idealami stojit odnos

ktory pokazuje, že idealy ( ) i ( ) sut ekvivalentne. Obratno, iz ekvivalentnosti dvoh idealov, ( vsegda slěduje taj odnos na osnově teorema, že každy ideal možno pomnoženjem s drugim prěobraziti v glavny ideal; ekvivalentne idealy i koresidualne grupy toček sut zato identične pojmy.

Teorem o ostatku teraz govori: ako (A) i (B) sut koresidualne, togda jih možno izrězati adjungovanymi krivymi s tym samym ostatkom (izvan osoblivyh toček). Poněže nuly i beskonečne točke funkcije vsegda sut koresidualne, tym zajedno dokazano jest, že najobčejše funkcije polja sut predstavime kako kvocienty adjungovanyh form. V jeziku teorije idealov teorem o ostatku prosto znači, že kromě ( ) i ( ) takože ( ) i ( ) sut ekvivalentne, gde ( ) znači ideal dvojnyh toček. Bo togda po gornjem vsegda sušstvuje ideal ( ) takovy, že

stavajut glavnimi idealami; ( i ( sut adjungovane krive, ktore izrězajut grupy toček (A) i (B), odnosno jih podgrupy (A') i (B') različne od osoblivyh toček. Dokaz teorema o ostatku leži zato aritmetično v možnosti pridavati točke prostym idealam, i v dokazu, že ekvivalentne idealy možno pomnoženjem s jednim i tym samym idealom prěobraziti v glavne idealy.

Koresidualne grupy toček ne trěbajut sostojati iz jednako mnogo toček; tako kako ekvivalentne idealy ne trěbajut byti jednakogo stepena. Tako napr. vse glavne idealy sut ekvivalentne, i vse grupy toček tvorjene polnym prěsěkom sut koresidualne. Ta različnost proti ekvivalentnym poligonom (divizorom) objasnja se tym, že točke, v ktoryh (z) stava beskonečna, ne tvoret se prostymi idealami v (z). V predstavjenju funkcije kako idealnogo loma ( ktoro govori ekvivalentnost ( ) i ( ), nuly ili beskonečne města ( ), gde (z) stava beskonečna, zato ne pojavjajut se. Tak napr. glavny ideal (( )) stava produktom prostyh idealov, ktore odgovarjajut nulam cěloj funkcije ( ); beskonečne města ( ) ne nastupajut, poněže ( ) stava beskonečna samo v točkah, gde (z) stava beskonečna. V tom odnosu teorija idealov jest točny analog teorije form v geometričnoj teoriji, gde takože sut samo nuly i ne sut beskonečne města.

Prěhod od form k funkcijam geometrično idet črez tvorjenje kvocientov form jednakogo reda; tomu aritmetično odgovarja prěhod od klasov idealov k invariantno opreděljenym klasam poligonov (divizorov). Bo poněže tu nijedna proměnna bolě ne jest vyznačena, predstavjenje funkcije črez poligonove kvocienty daje vse nuly i beskonečne města. Odnos idealnogo klasa (klasa koresidualnyh grup toček) k poligonovomu klasu jest slědujuči: ako ( ) i ( ) sut poligony tvorjene idealami ( ) i ( ), i ( ) jest poligon toček, gde (z) stava beskonečna (imenovateljny poligon od (z) i cělyh funkcij od (z)), togda iz ekvivalentnosti ( ) i ( ) slěduje ekvivalentnost ( ) i ( ) togda i samo togda, kogda ( ) i ( ) imajut jednak stepen; obćejše slěduje samo ekvivalentnost ( ^ ) s ( ^ ') (( ')). Razděljenje idealov (odnosno koresidualnyh grup toček) v klasy jest zato sobranje beskonečno mnogyh poligonovyh klasov v jedan klas; možno to takože razuměti kako razděljenje poligonov v klasy modulo stepen od ( ).

Teorem o ostatku za slučaj koresidualnyh grup toček, ktore sostojat iz različnogo čisla toček, nastupaje samo v čisto geometričnyh pytanjah. Pri priměnenju na algebraične funkcije nastupaje v samoj stvari samo slučaj odgovarjajuči poligonovym klasam, to jest slučaj koresidualnyh grup toček jednakogo čisla. „Polna linearna sistema“ tvorjena grupoju toček, t. j. cělost grup toček koresidualnyh toj grupě i s jednakym čislom toček, točno odgovarja poligonovomu klasu tvorjenomu odgovarjajučim poligonom; takože pojmy „suma dvoh polnyh sistem“ i „produkt dvoh poligonovyh klasov“ pokryvajut se. Že taka polna sistema soderži samo konečno mnogo linearnonezavisnyh grup toček, jest neposrědny poslědok teorema o ostatku, ktory svodi dimenziju sistemy (čislo linearnonezavisnyh grup toček) na dimenziju vseh adjungovanyh krivyh ljubogo, ale fiksovanogo reda, ktore idut črez ostatkovu grupu. Da by se došlo k stvarnomu opreděljenju toj dimenzije, teoremu Riemanna--Rocha, geometrična teorija najprvo izvodi iz teorema o ostatku „redukcijny teorem“ (teorem o fiksovanyh točkah); i iz togo teorem Riemanna--Rocha.

Polno odgovorno aritmetična teorija pokazuje, že každy klas poligonov imaje konečnu dimenziju, i opredělja jej dimenziju črez specialny bazis cělyh elementov, normalny bazis, opreděljen pomoču komplementarnogo modula; tako dostaje teorem Riemanna--Rocha kako poslědok svezi komplementarnogo modula s poligonom razvětvenja. Pri tom v izloženju D.--W. takože nastupaje redukcijny teorem, ale ne kako osnova kako v geometričnoj teoriji. Zbog v Nr. 6 spomenutogo odgovaranja bazisa i adjungovanyh funkcij možno i tu konstatovati někoje odgovaranje pomočnih sredstv v teorijah. Sumarno možno reči, že formovanja pojmov v oběh teorijah v sučnosti se pokryvajut, akoľko, izključivši formulaciju, različajut se v poredku. Obě teorije nastaly nezavisno jedna od drugoj, geometrična desetlětje raněje. Treba jošče primětiti, že teorem Riemanna--Rocha iznačalno, pri Riemannu i Rochu i takože pri Weierstrassu, nastupaje kako rangovy teorem; ide o rang matrice (( _i(x_j))), gde ( ) proběgajut (p) adjungovane krive (n-3)-go reda, a (x) točke ostatkovoj grupy.

8. Transcendentne pytanja pri algebraičnyh funkcijah i algebraičnyh čislah Na analogije medžu transcendentnymi pytanjami pri algebraičnyh funkcijah i algebraičnyh čislah osoblivo ukazal Hilbert; v sučnosti ide o pytanja sušstvovanja. Tako Riemannovomu pytanju o sušstvovanju algebraične funkcije pri danej Riemannovoj površini (znači i pri danyh točkah razvětvenja) odgovarja pytanje o sušstvovanju algebraičnyh čislovyh polj s predpisanoj grupoju i diskriminantom. Ale medžu tym kako v slučaju algebraičnyh funkcij dokaz sušstvovanja možno provesti obče, v oblasti algebraičnyh čislovyh polj on uspěl samo za specialne osnovne polja (racionalne čisla, kvadratne čislove polja) i samo za Abelove grupy. Ide o Kroneckerov teorem, že každy Abelovy čislovy polje v oblasti racionalnyh čisel može byti složeno iz polj korenjev jedinice, i o odgovarjajučih teoremah Fuetera i Heckeja za relativno Abelove čislove polja. Iskane čislove polja zato stvarno dajut se transcendentnym sredstvom, eksponencialnoju funkcijeju, modularnymi funkcijami; v protivnosti k čistomu dokazu sušstvovanja pri algebraičnyh funkcijah.

Dokazu sušstvovanja algebraičnyh funkcij predhodi sušstvovanje vsude konečnyh integralov. Analog tomu jest sušstvovanje „singularnyh primarnyh čisel“ algebraičnogo čislovogo polja, opreděljenyh v odnosu k prostomu čislu ( ), ktoryh ( )-te korenje sut relativno nerazvětvene i dajut prve gradivne kamene za klasno polje. Taj dokaz sušstvovanja vodi se s suštnoj pomoču teorema, že v čislovom polju vsegda sušstvujut proste idealy s predpisanymi ostatkovymi karakterami; taj teorem može zato važiti kako analog krajevoj zadachy, na ktoroj opiraje se sušstvovanje vsude konečnyh integralov.

Vsude konečne integraly dajut transcendentny kriterij za opreděljenje, naležet li dva poligona k tomu samomu klasu (dvě grupy toček jednakogo čisla sut koresidualne), imenno črez Abelovy teorem, ktory govori, že integraly prvogo roda, protěgnute po „koresidualnyh putjah“, izčezajut; ili črez odgovarjajuči diferencialny teorem s jego obratom.

Kako analog Abelovogo teorema za algebraične čislove polja treba vzęti „zakon recipročnosti za ( )-te stepenne ostatky“, ktory za samo polje ili najmenej za vhodno nadpolje daje kriterij, že dva idealy naležet k tomu samomu klasu. Jego sodržanje možno formulovati i tako, že v tom nadpolju singularne primarne čisla imajut v odnosu k vsim idealam togo samogo klasa ten sam ostatkovy karakter. Taj poslědnji fakt važi i v samom polju, ale tam ne pokryva se s zakonom recipročnosti.

Nakonec Henselova teorija (p)-adičnyh čisel daje analog stepennoredovogo razvijanja algebraičnyh funkcij; za to gledaj Henselov pregled.