15. Konečnosť sistemy cěločislovyh invariantov binarnyh form

Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1919, s. 138--156

Predstavjeno F. Kleinom na zasědanju 27. marca 1919.

Niže, kako razširjenje znanogo teorema o konečnosti, dokazuje se slědujuči teorem: Vse cěle cěločislove invarianty binarnoj sistemy osnovnyh form sut cěle racionalne cěločislove funkcije konečnogo čisla iz njih. Pri tom, kako obyčno, pod «invariantom» treba vsagda razuměti cěly racionalny invariant osnovnoj formy ili sistemy osnovnyh form, imenno invariant vzhodno k transformaciji koeficientov, indukovanoj grupoju vseh linearnyh transformacij.

Dokaz opira se na cěločislovo zaostrenje Mertens--Hilbertovogo dokaza konečnosti. Tuto dokazanje konečnosti možno karakterizovati tako. Osnovne formy razkladajut se na svoje linearne faktory; točnejše, každoj osnovnoj formě prirědžuje se produkt linearnyh form, čerez čo každy invariant (I) prehodi v invariant tyh linearnyh form, a zato v funkciju odnorodnjenih korenjev. Ta funkcija mora zadovoliti tri uslovja: 1) uslovje invariantnosti, 2) uslovja věsy, 3) uslovja simetrije. Uslovja 2) i 3) sut potrěbne, da (I) stane cěloju i racionalnoju v koeficientah osnovnyh form. Uslovje 1) zadovoljuje se tym, že se (I) predstavja kako cěla racionalna funkcija determinantov linearnyh form; uslovje 2) tym, že vměsto jednotlivyh determinantov berut se kako nove argumenty někotore produkty njihovyh stepenev. Uslovje 3) potom prosto govori, že (I) stane cěloju racionalnoju simetričnoju funkcijeju rędov veličin, i že obratno vsaka taka simetrična funkcija rędov veličin stane invariantom osnovnyh form. Elementarne simetrične funkcije tyh rędov veličin zato dajut polnu sistemu.

Ako teper razgledati samo cěločislove invarianty, to uslovje 1) možno zadovoliti takože kako gore, skoro za invarianty linearnyh form bude dokazan silnějši teorem, že vse cěločislove invarianty binarnyh linearnyh form sut cěle cěločislove funkcije determinantov tyh linearnyh form. Že to v samoj stvari jest tako, pokazujem v § 3, i to v formě, že vsota vseh relacij modulo kojegokoli prostogo čisla medžu těmi determinantami sovpada s vsotoj vseh identičnyh relacij; to jest, modul odpovědajuči tym relacijam ostaje prostym modulom modulo vsako prosto čislo. Tuto dokazanje děje se čerez normovanje klasov ostatkov vzhodno k modulu kvadratičnyh form, ktore odpovědajut kvadratičnym relacijam medžu determinantami; ty kvadratične formy pri tom pokazuju se kako cěločislovy bazis modula, i to modulo vsako prosto čislo, togda kako raněje byly znane kako bazis modula samo pri zanemarenju cěločislovosti.

Za zadovoljenje uslovja 2) ne jest potrěbno nikako izměnjenje, bo vvedenje produktov stepenev ne vlivaje na čislove koeficienty. Uslovje 3) teper govori, že (n_1! n_ ! I) (gdě (n_1, ,n_ ) značet stepeni jednotlivyh osnovnyh form) stane cěločislovoju simetričnoju funkcijeju rędov veličin, i že obratno vsaka cěločislova simetrična funkcija tyh rędov stane cěločislovym invariantom. Ale, kako se legko pokazuje, te cěločislove simetrične funkcije rędov imajut cěločislovy bazis, za ktory same elementarne funkcije već ne dostajut. Priměnjenje Hilbertovogo teorema o cěločislovom bazisu modula daje iz togo takože cěločislovy bazis za same (I).

§ 1 sobiraje specialne teoremy konečnosti, odpovědajuče uslovjam 1), 2), 3), iz čego potom v § 2 slěduje dokaz konečnosti. Specialne teoremy konečnosti, odpovědajuče uslovju 3), jednako dajut konečnosť cěločislovyh invariantov konečnyh grup cěločislovyh ili algebraično-cělyh substitucij, kako kratko bude pokazano v § 4.

§ 1. Specialne teoremy konečnosti

Najprěd predstavjam slědujuče specialne teoremy konečnosti, ktore budu služiti za zadovoljenje v uvodu spomenutyh uslovij invariantnosti, věsy i simetrije.

I. Vsaky cěločislovy invariant sistemy binarnyh linearnyh form jest cěla racionalna cěločislova funkcija determinantov tyh linearnyh form (dokaz bude podany v § 3).

II. Vsaka sistema ( ) produktov stepenev od (n) proměnnyh s nenegativnymi pokazateljami, ktora vměstě s libovolnymi dvoma produktami stepenev (f) i (g) obsahuje takože njihovo častno, kogda to častno jest cěle v proměnnyh, imaje konečny multiplikativny bazis (f_1, ,f_k) iz funkcij iz ( ), taky že za vsako (f) iz ( ) imaje se predstavjenje

s nenegativnymi pokazateljami ( _1, , _k).

V samoj stvari, po Hilbertovom teoremu o bazisu modula obstaje konečno čislo funkcij iz ( ), (f_1, ,f_k), ktore vse stvarno sadržet (x), tako že vsako nekonstantno (f) iz ( ) naleži k iz njih izvodženomu modulu:

Iz togo slěduje, že za vsako (f=x_1^i_1 x_n^i_n) obstaje najmene jedno (f_ x_n^ _n), tako že ( _1 i_1, , _n i_n). V predstavjenju

faktor (A) po predpoloženju naleži k ( ), ale imaje nižši stepenj v proměnnyh než (f), takže konečno povtorjenje razsudka daje tvrđenje (da predstavjenje važilo takože za (f=1), treba samo položiti vse pokazatelje ( ) ravnymi nuli).

III. Vse cěle cěločislove simetrične funkcije od (n) rędov veličin sut cěle cěločislove funkcije konečnogo čisla iz njih.

Neha ( _1(x), , _n(x)) označajut elementarne simetrične funkcije neizvěstnyh (x_1, ,x_n). Togda za vsaky pokazatelj (k) jest identiteta

gdě (G_0^(k), ,G_n-1^(k)) značet cěle cěločislove funkcije od ( (x)). Neha (x_i,y_i, ,z_i) sut elementy (i)-togo ręda; togda pomoću tyh identitetov i odpovědajučih za (y, ,z) vse specialne (jednorędne) simetrične funkcije

stajut cělymi cěločislovymi funkcijami konečno mnogih

i elementarnyh simetričnyh funkcij ( (x), (y), , (z)). Ako imajemo slučaj najobčejših simetričnyh funkcij (n) rędov, ktory niže ne nastupa, togda se takože pokazuje, že funkcije

gdě (i_1,i_2, ,i_n) proběgajut vse permutacije, vměstě s ( (x), (y), , (z)) tvorjat cěločislovy bazis.

IV. Neha (F_1(x), ,F_k(x)) sut cěle cěločislove funkcije od (x_1, ,x_n), i neha (a) jest fiksovano cělo čislo. Togda vse funkcije

gdě (G) označaje cělu cěločislovu funkciju, ktore stajut cěločislove v (x), sut cěle cěločislove funkcije konečnogo čisla iz njih.

V samoj stvari, po Hilbertovom teoremu o cěločislovom bazisu modula za vsako tako (G(F)/a) imaje se predstavjenje

gdě (A_1, ,A_ ) značet cěle cěločislove funkcije od (F), i

naležet k sistemě. Funkcije

zato tvorjat želany bazis.

§ 2. Konečnosť cěločislovyh binarnyh invariantov

Neha (x,y) sut binarne proměnne, poddane transformaciji s neizvěstnymi koeficientami

i neha (f) jest binarna osnovna forma, jej koeficienty sut neizvěstne. Togda po (1)

Pod cěločislovym invariantom (f) razuměje se, kako znano, cěla cěločislova funkcija (I(a)), taka že

odpovědno treba definovati cěločislove invarianty sistemy osnovnyh form, pri čem možno v definiciju uključiti takože homogennosť v koeficientah jednotlivyh osnovnyh form, bo iz takyh pojedinačno-homogennyh invariantov ostale sostavljajut se cěločislovo-linearno.

Kromě (2) razgledam teper još specialnu binarnu formu (g), imenno produkt (n) linearnyh form, ktoryh koeficienty znovu sut neizvěstne:

gdě ( _0( , ), _1( , ), , _n( , )) označajut odnorodnjene elementarne simetrične funkcije, i transformovane koeficienty ( _i') stajut ravne ( _i( ', ')).

Zaradi algebraične nezavisnosti tyh elementarnyh funkcij vsakoj relaciji

odpovědaje daljna:

i tym samym za neizvěstne (a_0, ,a_n):

Teper vsakomu cěločislovomu invariantu (I(a)) formy (f), čerez substituciju (a_i= _i( , )), odpovědaje cěločislovy invariant (I( )=H( , )) formy (g), gdě (H) stane cěločislovoju funkcijeju od ( , ); za tut invariant relacija (3) prehodi v

i iz ( '= ( ', ')) po (8) slěduje

(I( )=H( , )) zato stane cěločislovym invariantom (n) linearnyh form (( _i x+ _i y)). Neha obratno (H( , )) jest cěločislovy invariant tyh (n) linearnyh form, to jest zadovoljuje (9), i neha vměstě (H( , )) jest ravna cěločislovoj funkciji (I( )) od ( ). Togda takože

i (9) možno napisati kako

i iz togo po (5) i (6) slěduje takože (8), a po (7) takože (3). Vsakomu cěločislovomu invariantu (I(a)) zato odpovědaje cěločislovy invariant (H( , )=I( )) (n) linearnyh form, i obratno. Dalje, ako (I_1(a), ,I_k(a)) označaje cěločislovy bazis vseh (I(a)), togda (H_1( , ), ,H_k( , )) stane cěločislovym bazisom vseh (H( , )), ktore vměstě sut cěločislove funkcije (I( )); i tu takože po (5), (6), (7) važi obrat. Da by dokazati obstojanje cěločislovogo bazisa za vse (I(a)), dostaje dokazati to za vse cěločislove invarianty (H( , )), ktore vměstě sut cěločislove funkcije (I( )); i bazis

daje za (I(a)) bazis (I_1(a), ,I_k(a)).

Neha teper (H( , )=I( )) proběgaje vsotu vseh cěločislovyh invariantov (4). Bo po (3) vsaky invariant stane homogenny v ( ), i po (4) vsaka ( ) jest homogennna i linearna v koeficientah vsakoj linearnoj formy, (H( , )) jest homogennna v vsakom rędu ( _i, _i) i v vsakom rędu imaje jednaku dimenziju; kromě togo ona očividno jest simetrična funkcija (n) rędov. Obratno, po fundamentalnom teoremu o simetričnyh funkcijah, vsaka cěločislova simetrična funkcija (H( , )) (n) rędov, pojedinačno homogennna i jednake dimenzije v vsakom rędu, jest cěla cěločislova funkcija od ( ); po gore povedanom ona zato jest invariant (I( )), skoro (H( , )) jest invariantna. Vsota cěločislovyh invariantov (4) zato karakterizuje se kako vsota cěločislovyh funkcij (H( , )) s slědujučimi svojstvami:

Po specialnom teoremu konečnosti I, zaradi 1), (H( , )) stane cěla cěločislova funkcija determinantov

zato

V tutom predstavjenju simetriju možno izraziti i formalno, priměnjujuči na (G((ik))) vse permutacije (n) rędov:

(G^) zato vměstě s vsakym produktom stepenev (P) od ((ik)) obsahuje takože sumu (Q=P^(1)+ +P^(n!)) po vseh permutacijah (P); i (G^) stane cěločislovoju linearnoju kombinacijeju konečno mnogih (Q), (G^= cQ). Bo (Q) zadovoljujut uslovja 1), 2), 3), znači same stajut invariantami, dostaje razgledati (Q) vměsto (G^((ik))).

Neha teper (P) proběgaje sistemu ( ) vseh produktov stepenev od ((ik)), ktore nastupajut v (Q), t. e. zadovoljujut uslovje 2). Ako častno dvoh (P) jest cěle v ((ik)), togda ono takože zadovoljuje uslovje 2), zato naleži k ( ). Po teoremu II obstaje konečno čislo takyh (P), recimo (P_1, ,P_ ), tako že vsako (P) možno predstaviti v formě

s nenegativnymi pokazateljami ( ). Priměnjenjem vseh permutacij dobyvamo

(Q) zato stane cěločislovoju simetričnoju funkcijeju (n!) rędov veličin, vsak s ( ) elementami:

zato po teoremu III ona jest cěla cěločislova funkcija konečno mnogih simetričnyh funkcij tyh rędov. Te bazisne funkcije same sut veličiny (Q) ili elementarne simetrične funkcije (n!) elementov (P_i^(1),P_i^(2), ,P_i^(n!)), zato zadovoljujut uslovja 1) 2) 3) i stajut cěločislovymi invariantami

Po (10), zaradi (G^*= cQ), vsako (H( , )=I( )) zato imaje formu

gdě ( ) označaje cělu cěločislovu funkciju; i obratno ( 1n! ) stane cěločislovym invariantom, skoro ono stane cěle v ( , ). Po teoremu IV možno k invariantam (11) dodati još konečno mnogo (I_l+1( ), ,I_k( )), tako že

tvorjat cěločislovy bazis vseh invariantov (H( , )=I( )), čem teorem za slučaj jednoj osnovnoj formy jest dokazan.

Ako ide o sistemu osnovnyh form, togda, kako gore priměčeno, možno predpoložiti homogennosť invariantov v koeficientah vsakoj osnovnoj formy. Znovu zaměnjujut se obče osnovne formy takymi, ktore odpovědajuče sut produkty linearnyh form. Njihove invarianty potom stajut: 1) invariantami tyh linearnyh form; 2) pojedinačno homogennymi v rędah, stvorenih iz koeficientov linearnyh form, i jednake dimenzije v rędah vsakoj jednotlivoj osnovnoj formy; 3) simetričnymi v rędah vsakoj jednotlivoj osnovnoj formy. Obratno, vsakomu cěločislovomu invariantu vseh linearnyh form, ktory zadovoljuje tym uslovjam, znovu odpovědaje cěločislovy invariant sistemy osnovnyh form. Dokaz ide absolutno paralelno s danym; na vsaky produkt stepenev (P=P_1^ 1 P ^ _ ) jednotlivyh determinantov, zadovoljujuči uslovja věsy (teoremy I i II), treba priměniti vse (N=n_1!n_2! n_ !) permutacije, gdě (n_1, ,n_ ) značet stepeni osnovnyh form. Tym (N I) prehodi v cěločislovu simetričnu funkciju od (N) rędov, vsak s ( ) elementami; iz togo dobyva se cěločislovy bazis za vse (N I), i slědovatelno po teoremu IV cěločislovy bazis za vse (I).

§ 3. Bazis cěločislovyh invariantov binarnyh linearnyh form

Teper ostaje dodati dokaz specialnogo teorema konečnosti I. Po znanom teoremu, prvy raz dokazanom od Clebsch, vse cěle racionalne invarianty (n) linearnyh form ( _i x+ _i y) sut cěle racionalne funkcije determinantov ((ik)). Osobno, vse cěločislove invarianty tyh linearnyh form stajut cěle racionalne, ale ne nužno cěločislove, funkcije tyh determinantov.

Niže bude pokazano, že vzhodno k identičnym relacijam medžu ((ik)) tuto predstavjenje vsagda možno učiniti cěločislovym.

V formulah i v jezyku teorije modulov to izražaje se tako: neha ( _ik), gdě (i<k), sut neizvěstne; togda vsota vseh cěločislovyh polinomov (F( _ik)) s svojstvom, že (F((ik))) identično izčezaje v ( , ), tvori modul ( ), bo suma dvoh takyh (F) i takože produkt takogo (F) s libovolnym cěločislovym polinomom od ( _ik) znovu naleži k toj vsotě. V formulah: iz

slěduje

i obratno.

Teper pokazujem, že popolno analogno važi: iz

i obratno, i to za vsako prosto čislo (p). Tym ( ) jest takože identičny s modulom ( _p), odpovědajučim vsotě vseh relacij medžu ((ik)) modulo (p); ten modul sostojí iz vseh cěločislovyh polinomov (F( _ik)), za ktore (F((ik))) modulo (p) identično izčezaje v ( , ).

Že (1) govori cěločislovu predstavimost, vidi se tako. (1) možno napisati i v formě: iz (F((ik))=p H( , )) [identično v ( , )] slěduje

a zato po definiciji ( ):

Tako dobyva se (p H( , )=p G((ik))), ili

Ako zato dano jest predstavjenje

gdě (p_1, ,p_ ) značet proste čisla, iz togo slěduje takože

i čerez konečno povtorjenje dobyva se cěločislovosť predstavjenja.

Za dokaz (1) označim

formy od neizvěstnyh ( _ik), odpovědajuče kvadratičnym relacijam medžu ((ik)):

i ( modul iz cěločislovyh polinomov, izvodženy iz njih. Iz

Teper pokazujem, pomoću normovanja klasov ostatkov vzhodno k ( ), že obrat k (2) takože važi; s tym bude dokazano ( i zato (1). Pri tom ( dobyva se kako specialny slučaj ( za (p=0); slučaj (p=0) jest vsagda uključeny v slědujučih razsudkah. Drugymi slovami: (f_ik,rs) tvorjat cěločislovy bazis modula ( _p), osobno takože ( _0= ).

a) Slučaj dvoh ili trěh rędov ( _i, _i)

Bo još ne nastupajut četyri različne indeksy, ( ) jest nulovy modul. Treba zato pokazati, že iz

čim (1) bude dokazano s (

Bo uslovje (F((ik))=p H( , )) mora byti izpolnjeno oddělno za komponenty homogene v jednotlivyh rędah, dostaje vsudy predpoložiti, že (F((ik))) jest homogenny v vsakom pojedinačnom rędu, to jest (F( _ik)) homogenny v vsakom indeksu. V slučaju dvoh rędov jest samo jedan determinant ((12)) i odpovědajuča neizvěstna ( _12). Zaradi predpoložene homogennosti zato: (F=c _12^ ). Iz

ale zaradi ((12) 0 p) [identično v ( , )] vsagda slěduje (c 0 p); zato

čim (3) i zato (1) jest dokazano.

V slučaju trěh rędov sut determinanty ((12),(13),(23)), ktorym odpovědajut neizvěstne ( _12, _13, _23); zato

Neha (F) imaje odpovědajuče stepeni ( _1, _2, _3) v indeksah (1,2,3); togda važi sistema uravnenj

s jednoznačnym obratom:

tako vsako pojedinačno homogenny (F) obsahuje najvyše jeden člen,

iz čego, kako gore, slěduje izpolnjenje (3) i zato (1).

b) Slučaj 4 rędov ( _i, _i)

Nastupajut šest neizvěstnyh ( _12, _13, _14, _23, _24, _34) i odpovědajuči determinanty; i ( Zaradi

vsaky produkt stepenev od ( _ik) modulo ( ) jest kongruentny linearnoj cěločislovoj kombinaciji takyh produktov stepenev, v ktoryh produkt ( _14 _23) ne nastupaje. Za vsaky polinom (F( _ik)) zato važi

gdě (F_0) ne obsahuje produkt ( _14 _23); (F_0) bude nazyvati se normovany polinom ostatkovogo klasa od (F). Pri tom pojedinačno homogennomu (F), bo (4) jest pojedinačno homogennno, znovu odpovědaje pojedinačno homogenny (F_0).

Polagam teper

gdě (G) ne obsahuje produkt stepenev dělimy s ( _34), i dalje

Iz

slěduje teper po (5), beruči v obzir (2),

i iz togo specializacijeju ( _4= _3,; _4= _3), po (6) i (7),

Zato po dokazanom pod a) važi

i iz togo slěduje, čo još niže treba pokazati,

Tako po (6) dobyvamo

i bo ((34) 0 p) [identično v ( , )], iz (8) takože slěduje

gdě (F_1( _ik)) jest znovu normovany i nižšego stepena v ( _34). Konečno povtorjenje procedury vede do

gdě (F_ ) jest nultogo stepena v ( _34), zato po točno dokazanom izčezaje modulo (p). Tako dobyva se

čim obrat k (2), i s tym (1), jest dokazan; jednočasno v silnějšem tvrđenju za (F_0( _ik)).

Ostaje dodati, že iz (K( _ik) 0 p) takože slěduje (G( _ik) 0 p); t. e. iz (G( _ik) 0 p) slěduje i (K( _ik) 0 p). Samo za tutu čest induktivnogo zaključenja potrěbno jest normovanje. Bo pri substituciji ( _14= _13) pojedinačne produkty stepenev iz (G) ne izčezajut, izčeznjenje (K) moglo by nastupiti samo tak, že različnym produktam stepenev v (G) odpovědajut jednake v (K); i to možno je samo kogda ty produkty stepenev razlikujut se jedině zaměnoju indeksov 3 i 4. Neha takovy, po predpoloženju normovany, produkt stepenev jest na priměr

Zaradi predpoložene pojedinačnoj homogennosti v vsakom indeksu zaměně 3 s 4 v jednom ( _ik) mora odpovědati zaměna 4 s 3 v drugom; relevantny člen by zato vměsto ( _13 _24) sadržal produkt ( _14 _23), čo normovanje izključuje. Točno tako proti

mogl by se anulovati samo člen sadržajuči faktor ( _14 _23), čo je znovu izključeno normovanjem. Zato iz (K( _ik) 0 p) slěduje takože (G( _ik) 0 p).

c) Slučaj (n) rędov ( _i, _i)

Slučaj (n) rędov ( _i, _i) možno teper riješiti polnoju indukcijeju, v točnom občenju právě obrabotanogo slučaja četyrih rędov. Najprěd znovu pokazujem, že za vsaky polinom (F) nastupa kongruencija

gdě ( i (F_0( _ik)) jest normovany. Normovanje ima sostojati v slědujučem: ako (i,k,r,s) sut četyri različne indeksy i (i<k<r<s), togda (F_0) ne smi obsahovati produkt ( _is _kr); t. e. indeksy jednogo ( ) ne smijut oba ležati medžu indeksami drugogo. Tuto normovanje ještě ne jest ograničenje za slučaj dvoh i trěh rędov, gdě vsaky polinom jest normovany; i v slučaju četyrih rędov, kako pokazano, obstaje normovany polinom za vsaky ostatkovy klas. Obstojanje normovanogo polinoma za vsaky ostatkovy klas zato možno predpoložiti dokazanom za ((n-1)) rędov.

Libovolny produkt stepenev iz (F) pišemo v formě

gdě (P) već ne obsahuje indeks (n). Po predpoloženju (P) jest kongruentny modulo ( ) k někomu cěločislovomu normovanomu polinomu (P_0):

Ako (P_0) ne obsahuje nikako ( rs) tako, že najmene za jeden indeks (i ) ty (r,s) ležet medžu (i_ ) i (n) ((i_ <r<s<n)), normovanje već jest dostignuto, bo za produkt libovolnyh dvoh ( ) iz (P_0) uslovja sut izpolnjene. Inače neha (i_ ) jest takovy indeks, že (i_ <r<s<n), i (P_0^*) produkt stepenev iz (P_0), sadržajuči ( _rs); zaradi

potom idě

gdě (Q_0) i (R_0) znovu označajut normovane polinomy ostatkovyh klasov (Q) i (R); (Q_0) i (R_0) obstajut po predpoloženju, bo (Q) i (R) ne sadržet indeks (n), i sut sigurno cěločislove polinomy, bo (Q) i (R) sut prosto produkty stepenev. Iz (i_ <r<s<n) slěduje takože

Pri prehodu od (P_0^) k (Q_0,R_0) suma razlik zato se umenšila; i bo ta suma nužno jest ( ), procedura mora za vsaky produkt stepenev (P_0^) po konečno mnogih krokah skončiti se. Tako dobyva se

gdě cěločislovy polinom (F_0( _ik)) nužno jest normovany, bo inače sumu razlik možno by bylo ještě poniziti; tym (10) jest dokazano. Dale, bo po predpoloženju pri ((n-1)) indeksah vsakomu pojedinačno homogennomu (F) odpovědaje pojedinačno homogenny normovany (F_0), dana procedura pokazuje, že to važi i za (n) indeksov; zato v slědujučem jde samo o pojedinačno homogene polinomy.

Polagam teper znovu, analogno kako pod b):

gdě (G) ne obsahuje produkt stepenev dělimy s ( _n-1,n), i dalje

kako pokazuje definicija normovanja, kromě (G) takože (K) jest normovany.

Potom znovu obstaje medžu (G) i (K) vzaimno jednoznačno odpovědanje; bo samo takim različnym produktam stepenev iz (G) mogut odpovědati jednake v (K), ktore razlikujut se samo zaměnoju indeksov (n) i ((n-1)). Neha na priměr (G) jest stepena ( ) v indeksu ((n-1)), stepena ( ) v indeksu (n), i neha

sut indeksy spojene v jednom produktu stepenev iz (G) s ((n-1)) i (n), ktoryh čislo mora byti ( + ), bo po (11) neizvěstna ( _n-1,n) v (G) ne nastupaje. Togda zaradi normovanja produkt stepenev jest formy:

gdě (P( _ik)) ne obsahuje indeksy (n) i ((n-1)). Vsaka zaměna (n) s ((n-1)) daje za (i j) faktor ( _in _j,n-1) s (i<j); tako (j,n-1) leži medžu (i) i (n), i člen ne byl by normovany. (G) zato pri fiksovanyh ( _1, _2, , _ + ) i fiksovanom (P) obsahuje samo jeden produkt stepenev, čim pokazano jest, že različnym produktam stepenev iz (G) odpovědajut različne v (K).

Iz

slěduje teper po (10), beruči v obzir (2),

i iz togo specializacijeju ( _n= _n-1,; _n= _n-1), po (11) i (12),

Bo (K( _ik)) jest normovany i sadržaje samo ((n-1)) indeksov, po dokazanom pod a) i pod b) (9) zaradi (15) možno predpoložiti

i iz togo po (13) slěduje

Po (11) dobyvamo

i bo ((n,n-1) 0 p) [identično v ( , )], iz (14) takože slěduje

gdě (F_1( _ik)) jest znovu normovany i nižšego stepena v ( _n-1,n) než (F_0). Konečno povtorjenje procedury vede do

gdě (F_ ) jest nultogo stepena v ( _n-1,n), zato po točno dokazanom izčezaje modulo (p). Tako dobyva se

Tym obrat k (2), i zato (1), jest dokazan; i jednočasno za (F_0( _ik)) silnějše tvrđenje, upotrěbjene pri induktivnom kroku, jest dokazano v slučaju (n) indeksov, zato vseobče.

§ 4. Konečnosť cěločislovyh invariantov konečnyh grup

Elementarny dokaz konečnosti, dany v mojej notě «teorem konečnosti invariantov konečnyh grup», dopušča pomoću specialnyh teoremov konečnosti III i IV iz § 1 zaostrenje do cěločislovosti; kogda običny dokaz, opirajuči se na Hilbertov teorem o bazisu modula, ne daje tutu cěločislovosť. Bo i upotrěba cěločislovogo bazisa modula daje samo predstavjenje, v ktorom libovoljno vysoky stepenj cělogo čisla (h), reda grupy, vstupa v imenovatelj.

Vsudy držim se označenj spomenutoj noty. Neha konečna grupa ( ) sostojí iz (h) linearnyh transformacij (s neizčezajučim determinantom) (A_1, ,A_h), pri čem (A_k) predstavja linearnu transformaciju

ili kratko ((x^(k))=A_k(x)). Grupa ( ) zato prevodí ręd ((x)) s elementami (x_1, ,x_n) v rędy ((x^(k))) s elementami (x_1^(k), ,x_n^(k)). Pri tom koeficienty (a_i ^(k)) predpolagajut se kako cěle algebraične čisla; to ne jest ograničenje občevaženja, bo po teoremu J. Schur vsaka konečna grupa linearnyh transformacij jest podobna takoj, za ktoru (a_i ^(k)) stajut cěle algebraične čisla.

Pod cěločislovym (absolutnym) invariantom grupy treba razuměti taku cělu racionalnu funkciju od (x_1, ,x_n), s koeficientami iz cělyh čisel algebraičnogo čislovogo polja ( ), izvodženogo iz (a_i ^(k)), ktora pri priměnjenju (A_1, ,A_h) ostaje identično neizměnjena; za taky invariant (f(x)) zato važi

Obratno, vsaka cěločislova simetrična funkcija (h) rędov veličin ((x^(k))) takože stane cěločislovym invariantom grupy.

Neha ( _1, _2, , _ ) označaje bazis vseh cělyh čisel iz ( ), takže vsaky invariant možno predstaviti kako

gdě (f_1(x), ,f_ (x)) imajut racionalno-cěle koeficienty. Po (1) potom

Tu jednotlivé sumy sut simetrične funkcije (h) rędov veličin ((x^(k))), i to s racionalno-cělymi koeficientami; zato po teoremu III sut izrazime cělo i racionalno, s racionalno-cělymi koeficientami, čerez konečno mnogo cělo-racionalno-čislovyh simetričnyh funkcij tyh rędov. Te bazisne funkcije (I_1(x), ,I_ (x)) pri tom po gore povedanom stajut cěločislovymi invariantami grupy, obće s algebraično-cělymi koeficientami, bo ( ) kromě (A) ne mora sadržati vse algebraično spregnute transformacije.

Tako važi predstavjenje

gdě (G_1, ,G_ ) imajut racionalno-cěle koeficienty.

Neha teper (w_1, ,w_ ) sut neizvěstne, i neha

proběgaje vse linearne formy v (w), ktorym substitucija (w_i= _i/h) prirědžuje invarianty (f(x)) v predstavjenju (2). Po Hilbertovom teoremu o cěločislovom bazisu modula dobyva se

gdě (A_i) imajut racionalno-cěle koeficienty i gdě, zaradi linearnosti vseh (L) v (w), (A_i) već ne obsahujut (w). Ako substitucija ( i=w_i/h) posylaje (L_1, ,L ) v invarianty ( I_1(x), , I_ (x)), togda (3) čerez tutu substituciju prehodi v

Tuto predstavjenje (4) pokazuje, že

tvorjat bazis vseh cěločislovyh invariantov grupy ( ), tako že vsaky invariant možno predstaviti cělo i racionalno, s racionalno-cělymi koeficientami, čerez te konečno mnoge invarianty.

Ako grupa ( ) osobno imaje svojstvo, že kromě vsakoj transformacije (A) sadržaje takože vse (A',A'', ) s algebraično spregnutymi čislovymi koeficientami, togda cělo-racionalno-čislove simetrične funkcije (h) rędov ((x^(k))) stajut funkcije od (x) s racionalno-cělymi koeficientami; to važi osobno takože za bazisne funkcije simetričnyh funkcij. Ako zato ograničimo se na invarianty (f(x)) s racionalno-cělymi koeficientami, togda bazisne funkcije

takože imajut racionalno-cěle koeficienty. Pod tutym specialnym predpoloženjem, ktoro obće za grupy ( ) ne jest izpolnjeno, cěločislova konečnosť zato važi takože za podoblast racionalno-cělyh invariantov.