16. K razkladam v rědy v teoriji form

Mathematische Annalen 81 (1920), s. 25--30

Pod «razkladom v rědy v teoriji form», kako jest znano, razuměje se, s jednoj strany, obobčenje razklada Klebš--Gordana: to jest razklad formy, ktora vsebuje dva binarne rědy, po stepenjah determinanta tyh rędov, pri čem koeficienty sut polary form samo od jednogo rěda proměnnyh, ili, čto jest to samo, isčezajut pri priměnjenju ( )-procesa. To se obobčaje na formy od libovoljno mnogih serij po (n) proměnnyh. S drugoj strany, kako obobčenje normalnyh form, ktore nastupajut pri «kompleksnyh koordinatah» (t_ik), razuměje se razklad po normalnyh formah za formy, ktore Jednočasno vsebujejut veličiny različnyh stupnjev (t_i,t_ik,t_ikl, ). Ale tuty drugi vid razklada možno dobiti iz prvogo pomoću invariantnyh procesov diferenciranja, kako to prěd vsego izveli Mertens i Derujts.

Različne razklady prvogo vida vse nastajut, kako to kratko načrtano na primer v Math. Ann. 77, cit. město III, kako slědstva razklada formy od (n) rędov po (n) proměnnyh po stepenjah determinanta tyh rędov, pri čem koeficienty sut polary form samo od ((n-1)) rędov, ktore same izvodet se iz izhodnoj formy tvorjenjem polarov i ( )-procesom. Prvotny razklad Klebš--Gordana ((n=2)) šel ješče jeden krok dalje: specialne polarny procesy, ktore tamo nastupajut, podane sut eksplicitno, čak s čislovymi koeficientami.

To, čto teper hoču dodati k naznačenoj zamětki, gdě razklad v rědy jest pojmany više pojmovno, kako problem linearnyh snopev form, jest eksplicitno predstavjenje do čislovyh koeficientov, ktoro se dobiva specializacijeju izslědovanj E. Fišera o občih modulnyh sistemah.

K tomuto vključanju vodi tolkovanje normalnoj formy v (t_ik). Imennno, ako zaměniti «kompleksne koordinaty» (t_ik) «linijnymi koordinatami»

togda zaradi identičnyh relacij medžu (p_ik) predstavjenje formy (F(p_ik)) uže ne jest jednoznačno. Jednoznačnosť možno dostignuti, ako se zahtěvaje, že medžu koeficientami (F) važe te same linearne relacije, kako medžu produktami stepenev (p_ik), ktore nastupajut v (F). Zato za tutu normalnu formu ( ) imajemo:

gdě (M) označaje modul vseh identičnyh relacij medžu (p_ik), to jest sostavjen jest iz vsih form (G(t_ik)), za ktore (G(p_ik)) identično v (x,y) isčezaje. ( (t_ik)) jest «normalna forma» v kompleksnyh koordinatah, dokolě bazisne funkcije modula (M) stajut kvadratičnymi formami v (t_ik). Iteracijeju postupka vzhodno k faktoram tyh bazisnyh funkcij nastaje polny razklad v rědy. Odpovědajuče razsmatranja važe pri jednočasnom nastupanju (t_i,t_ik,t_ikl, ).

Na analogičny hod mysljenja možno svesti razklad po polarah. Ako, na primer, v formě (F(x,y,z)) zaměniti tri ternarne rědy (x=(x_1,x_2,x_3),y,z) takymi rędami ( , , ), ktore linearno sostavljajut se samo iz dvuh iz njih, na primer ( togda predstavjenje (F( , , )) znovu ne jest jednoznačno. Možno znovu predpisati za koeficienty te same linearne relacije, kako za produkty stepenev ( , , ), ktore nastupajut v (F). Poněže tude modul (M) vseh identičnyh relacij imaje kako bazisnu funkciju determinant ( trěh rędov (cit. město III, pomočna lema a)), tude vměsto [1] nastupaje:

Pokazuje se, že ( ) nastaje tvorjenjem polarov (sravni formulu (2) na citovanom městu); polny razklad v rědy znovu dobiva se iteracijeju.

Tvorjenje normalnyh form ( ) zato v obah slučajah podređuje se slědujučemu problemu. Ako v (F(z)) neizvěstne (z_i) zaměnjajut se polynomami (f_i( )) od parametrov ( ), tako že predstavjenje (F(f_i( ))) uže ne jest jednoznačno, togda jednoznačnosť treba ustanoviti tym, že medžu koeficientami važe te same linearne relacije, kako medžu produktami stepenev (f_i( )), ktore nastupajut v (F). Tako imamo

gdě (M) označaje modul vseh identičnyh relacij medžu (f_i( )).

Za tutu normalnu formu ( (z)) E. Fišer v 11, I svojej citovanoj raboty dal eksplicitny razklad do čislovyh koeficientov, imenno pomoću linearnyh operacij. Jednočasno v uvodu III i v 6 II dal on za razliku (F- ), naležeču k (M), pri predpoloženju znanja bazisa modula, eksplicitny izraz v tom samom smyslu; i v povezivanju tyh razkladov v 11 II zaměnil formulu [3] eksplicitnym predstavjenjem. Pri tom ješče otvoreny problem čislovyh koeficientov po 12 toj samej raboty jest identičny s iskanjem vlastnyh vrědnostij i vlastnyh funkcij linearnyh operacij (formula 82).

Teper v punktu 1 specializujem Fišerove formuly na slučaj razklada v rědy po polarah i dobivam iz njih, čerez iteraciju, razklad v rědy. Operacija za opreděljenje ( ) pri tom prehodi v opreděljene polarny procesy, čto jest mnogo točnejše než gore podana, dotolě znana formulacija. V operaciji za opreděljenje (F- ) směšano nastupajut množenje determinantem ( ) i ( )-proces. Da by se došlo k obyčnoj, neeksplicitnoj formě, treba ješče zamětiti, že ( ) možno izraziti polarnymi procesami.

Na tutom městě treba dodati ješče jedno popravjenje. V citovanoj rabotě (s. 101, ręd 6 od vrha) slučajno prijela jesm identično prětvorjenje

ktoro važi samo v binarnoj oblasti, kako obče važeče, i tym sčinila prěhod od fundamentalnoj formuly (2), ktora daje izraz za normalnu formu ( ) v [2], k razkladu v rědy (3). Tamošnje razsmatranja zato dajut samo formulu (2), i kako specialny slučaj iz njej redukcijny teorem (1); ale, poněže manjka eksplicitny izraz za razliku (F- ), ne dostajut za osnovanje razklada v rědy.

V punktu 2 dobivam ravno tako specializacijeju normalnu formu ( (t_ik)) iz [1]; občeje, normalnu formu ( (t_i,t_ik,t_ikl, )), čto vodi k znanym eksplicitnym formulam. Ale poněže postavjenje polnogo razklada v rědy potrěbuje znanje bazisa modula (M), tude jest poželatelnějši invariantno-teoretičny put (sravni navedenu literaturu), ktory ne potrěbuje to znanje, ale naprotiv, pomoću razklada v rědy daje bazis modula.

1. Po Fišeru, 11 (formula (19) i slědujuče rědy), normalna forma ( (z)) iz [3], tam (N( )), dana jest:

gdě konstanty (a_1, ,a_r) naležet k oblasti koeficientov (f( )) i zaviset samo od stepena (F(z)); operator (S) opreděljen jest čerez

Ako v [2] (F) pojmati kako formu (p)-go razměra samo v (z), togda (f_i( )) specializuje se do ( _1x_i+ _2y_i); zato dobiva se:

ili, zapisano v polarnyh procesah (sravni cit. město II, 2 i 3; takože za skraćeno označenje):

Formulami [4] i [6] jest dany potrěbny eksplicitny izraz za ( (x,y,z)); ( (x,y,z)) Jednočasno podređuje se obče formě spomenutoj na početku (( PH) v (2), cit. město), polarom izrazov, ktore zaviset samo od 2 rędov i dobivajut se iz (F) polarnymi procesami. Ješče neopreděljene koeficienty (a_i) sut racionalne čisla, poněže tude (f_i( )) imajut cělo-racionalne čislove koeficienty. Ako zapisati [2] v formě

togda specializacijeju formuly, podanoj u Fišera v uvodu III i v 6 II (s. 41), dobiva se

gdě (c_i) znovu sut racionalne čisla, zaviseče samo od stepena (F).

Iteracija vodi k

gdě vsaky raz ( _i) sut normalne formy odpovědajuče k (F_i). Poněže (F_i) imaje v (z) stepen ((p-i)), po [4] i [6] dobiva se:

Formuli [7] odpovědaje

Pomoću [8] i [9] v razkladu

dostignuto jest eksplicitno predstavjenje v naznačenom smyslu.

Ako na [7] priměniti identično prětvorjenje ( F=PF), gdě (P) označaje polarny procesy, togda, zaradi zaměnljivosti tyh procesov s ( )-procesom, dobiva se znana formula

i iz togo v povezku s [8] ili s razsmatranjami na citovanom městu slěduje znana forma razklada v rědy, kako na primer v (3) na citovanom městu. Ako imajemo (n) rędov po (n) proměnnyh, (x^(1),x^(2), ,x^(n-1),z), togda odpovědajuče

i jednako treba opreděliti ( ) i ( ) za (n) rędov.

2. Za normalnu formu (F(t_i,t_ik,t_ikl, )) funkcije (f_i( ),f_ik( ), ) dane sut jedno-, dvo-, do ((n-1))-rędnyh determinantov

Zato kako specializacija [5] dobiva se:

gdě ( _1, _2, ) označajut stepeni v (t_i,t_ik, ).

Iz invariantno-teoretičnyh razsmatranj, imenno že vse invarianty (F), ktore sut linearne v koeficientah, možno linearno sostaviti iz ( ) i iz form iz (M), zato osobno takože (SF), ktoro ne naleži k (M), tude slěduje kongruencija ( a_1SF M); i zaradi vlastnosti normalnoj formy iz togo vměsto [4] dobiva se prosta relacija

Drugo ravnanje važi, poněže priměnjenje (S) vodi vsaku formu iz (M) k nuli. Formula [10] pokazuje, že sama normalna forma ( ) Jednočasno jest vlastna funkcija; i po gornjem invariantnom razsmatranju ne obstavajut druge vlastne funkcije, ktore by Jednočasno byly invariantami (F) (sravni k [10] Derujts, formuly (10) i (10')).

Popravjenja.

1. V rabotě Die allgemeinsten Bereiche aus ganzen transzendenten Zahlen (Math. Ann. 77), na s. 121, ręd 8 od vrha, ręd 9 od vrha i ręd 11 od dola, polje ((H,Y)) treba zaměniti na «polje ((H,Y,Y', ,Y^( _0-1))), gdě (Y', ,Y^( _0-1)) označajut spregnute od (Y) vzhodno k (H)». Odpovědajuče, na s. 120, ręd 5 od vrha, i s. 121, ręd 9 od vrha, ((H,y)) treba zaměniti na ((H,y,y', ,y^( _0-1))).

2. V rabotě Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe (Math. Ann. 78), pri formulaciji Hilbertovogo teorema o nerazložimosti, s. 222, ręd 3 od dola, vměsto «čislovo polje ( )» točnejše treba kazati: «konečno algebraično čislovo polje ( )», na čto mi ukazuje gospodin Ostrovski. V samoj stvari, na primer vzhodno k polju vsih algebraičnyh čisel, grupa vsakogo uravnenja s algebraičnymi čislovymi koeficientami jest identična grupa. Odpovědajuče, v uvodu pod «libovoljnoju oblastju racionalnosti» treba razuměti konečno algebraično čislovo polje, k ktoromu ješče možno adjungovati konečno mnogo parametrov, ili jednu iz tako nastajučih medžuoblastij.

(Prijeto v septembru 1919.)