17. Sovměstno s V. Šmajdlerom: moduly v nekomutativnyh oblastjah, osoblivo iz razlikovyh izrazov

Mathematische Zeitschrift 8 (1920), s. 1--35

Sodržanje.

0.88 Uvod.

1. Formalno o diferencialnyh i razlikovyh izrazah.

2. Obča polinomna oblast.

3. Jednostranne moduly i jih grupy ostatkov.

4. Reducibilnosť grup ostatkov do dvuh podgrup i jih odnosi k modulu.

5. Računanje s jedinicami i reducibilnosť do (k) podgrup.

6. Teoremy konečnosti.

7. Jeden slučaj jednoznačnogo razklada.

8. Aditivny razklad popolno reducibilnyh grup do prostyh grup. Teorem o izomorfiji.

9. Svez medžu pojmami «izomorfny» i «jednakogo vida».

10. Obstojanje beskonečno mnogih razkladov grupy.

11. Odnosi k sistemam diferencialnyh uravnenj i jih integralam.

12. Priměry.

Uvod.

Formalna teorija diferencialnyh izrazov od jednoj proměnnoj vodi do razklada na nerazložime faktory, ktory jest v někojom smyslu jednoznačny. Ale dokolě odpovědajuči teorem v algebrě možno prenesti na polinomy od několiko proměnnyh, to za parcialne diferencialne izrazy uže ne uda se. Pri diferencialnyh izrazah od jednoj proměnnoj však kromě predstavjenja kako produkta nastupaje ješče predstavjenje kako najmene obče mnogokratno, pri čem važe podobne zakony; pri dvuh različnyh razkladah možno imenno jednotlive česti poparno prirěditi jedna drugoj: ony sut «jednakogo vida».

Tuto pojętje najmenego občego mnogokratnogo možno teper pojmati kako modulno pojętje i tako prenesti na (n) proměnnyh; v tutoj rabotě to daje prirodno obobčenje imenovanyh teoremov. Nadto zaměčajemo ješče, že od diferencialnyh izrazov koristaje se samo to, že jih možno pojmati kako polinomy s nekomutativnym množenjem, za ktore stepen produkta jest ravny sumě stepenev faktorov. Tute uslovja izpolnjajut se, na primjer, takože za razlikove izrazy, tako že teoremy važe takože za njih, gdě doselě takože byly znane samo za jednu proměnnu.

Zato obče razvijajemo teoriju modulov, ktoryh elementy sut polinomy s nekomutativnym množenjem, i pri tom svodimo razsmatranje modulov na razsmatranje klasov ostatkov. V razlikě od komutativnogo specialnogo slučaja možno tude govoriti o sumě klasov ostatkov, ale ne o jih produktu; možno govoriti samo o produktu klasa ostatkov s polinomom. Pojętje «grupy ostatkov» zato treba modifikovati vzhodno k komutativnomu slučaju. V specialnom slučaju polinomov od jednoj proměnnoj grupa ostatkov, nadto, jest «konečna», to jest imaje samo konečno čislo linearno nezavisnyh klasov ostatkov. Obče ne obstavaje taky konečny «poredok»; grupy sut «beskonečne». Za naše metody však tuta razlika ne jest važna.

Predstavjenju modula kako najmenego občego mnogokratnogo medžusobno prostyh modulov, kako i v komutativnom slučaju, odpovědaje prostějši proces aditivnogo razklada grupy ostatkov. Pri tom pokazuje se kako suščstvena izomorfija grup ostatkov, ktora pri specializaciji na diferencialne izrazy od jednoj proměnnoj prehodi v pojętje jednakogo vida za odpovědajuče moduly, a pri specializaciji na komutativne moduly prehodi v identičnosť. Vpročem, pojętje jednakogo vida možno takože prenesti na (n) proměnnyh i dokazati jego sovpadanje s pojmom izomorfije. Že pri aditivnom razkladu grupy ostatkov vsagda nastupaje samo konečno mnogo sčestnikov, pokazuje se prenosom Hilbertovogo teorema o bazisu modula, ktory opira se na Gordanovu metodu dokaza; prvotna Hilbertova metoda dokaza potrěbovala by ograničenja na zakony množenja (v formuli (6) sprava (a) vměsto (a_i), čto važi za diferencialne, ale ne za razlikove izrazy).

Da by teper dojdti do teorema jednoznačnosti, musimo specializovati moduly, kako to čini i Loewy, do «popolno reducibilnyh», to jest do takyh, ktore predstavimy sut kako najmene obče mnogokratno prostyh modulov. Pri dvuh različnyh razkladah česti togda sut ili poparno identične, ili najmene vsakoj česti jednogo razklada odpovědaje izomorfna čest drugogo razklada, i obratno; Jednočasno vsaky razklad togda vsebuje najmene dvě izomorfne česti. Dalje, iz nastupanja dvuh izomorfnyh čestij v jednom i tom samom razkladu slěduje obstojanje beskonečno mnogih razkladov, i to važi čak bez ograničenja na proste moduly, čto doselě ne bylo znano ni v specialnom slučaju diferencialnyh izrazov od jednoj proměnnoj.

Nakonec, za moduly iz diferencialnyh izrazov prehodimo k svezi s integrali i pokazujemo, že pri konečnyh grupah ostatkov poredok jest ravny najvyšemu čislu linearno nezavisnyh integralov; znači, libovoljne funkcije nastupajut v občem integralu togda i samo togda, kogda grupa ostatkov ne jest konečna. Pojętje jednakogo vida dvuh modulov znači dalje, kako i v slučaju jednoj proměnnoj, «biracionalno» srodstvo integralov. Několiko priměrov završuje rabotu.

Prvy potisk k tutoj rabotě dala prěd několiko lětami pytanje E. Landaua k E. Noether o obobčenju produktnogo teorema. Togda E. Noether samo zamětila, že jde o pytanje teorije modulov v nekomutativnoj polinomnoj oblasti, ktoro se však ješče ne dalo napasti. Togda jedino znane Laskerove modulne teoremy ne dali se prěmo prenesti na tutu oblast, bo Laskerova metoda dokaza opira se na teorem, že polinom jednoznačno razkladamy jest na nerazložime faktory. Samo Šmajdlerove metody dali možnost prenosa, ktory potom sovměstno izveli jesmo. Podrobno treba ješče spomenuti, že obobčenje grupy ostatkov, prenos i priměnjenje Hilbertovogo teorema konečnosti i obstojanje beskonečno mnogih razkladov izhodet od E. Noether, a obobčenje Loewyjevogo pojętja popolno reducibilny, pojętje izomorfije i jego svez s pojętjem jednakogo vida izhodet od W. Šmajdlera.

1. Formalno o diferencialnyh i razlikovyh izrazah.

2. Za diferencialne izrazy od jednoj proměnnoj vvedeno bylo simbolično tvorjenje produkta. Neha

Togda simboličny produkt (AB(y)) opredělja se kako diferencialny izraz

Tuto tvorjenje produkta v samoj stvari jest množenje dvuh operatorov; najprostějše zapisuje se, ako, kako obyčno, ( ^n x^n) zaměniti čerez ( ( x )^n). Togda (AB) prehodi v

pri čem za izvršenje produkta važe obyčne pravila diferenciranja sum i produktov. Vsaky taky operator možno teper pojmati kako polinom v jednoj proměnnoj ( x= ): funkcija, na ktoru operator priměnja se, ne zapisuje se eksplicitno, i za proměnnu ( ) ustanavljaju se te pravila množenja, ktore odpovědajut diferenciranju produkta:

ili v našem zapisu ((n=1, m=0))

Sovsem odpovědajuče postupa se pri linearnyh parcialnyh diferencialnyh izrazah

funkcije (y). Za (n) operatorov ( x_1, , x_n) vvodimo proměnne ( _1, , _n) i tym dobivamo polinom

Produkt dvuh polinomov potom izčislja se po zakonah

gdě (a_i) označaje parcialnu izvodnu od (a) po (x_i); produkty ( ) medžu soboju sut komutativne. Kromě komutativnogo zakona množenja, za tako opreděljene polinomy važe vse zakony dodavanja i množenja kako v obyčnoj algebrě. Osobno, za produkt dvuh takyh polinomov obči stepen i stepen v vsakoj jednotlivoj proměnnoj ravny sut sumě odpovědajučih stepenev dvuh faktorov.

2. Pri razlikovyh izrazah (sravni Wallenberg, cit. město) formy

ima se odpovědajuče opreděljenje produkta

ktoro možno izvršiti pomoću pravila množenja

Ako za prěhod od (x) k (x+1) vvesti operator ( ), togda dobivamo ( \ay=a^* \y\), gdě (a^*=a_x+1). Ale znovu možno ostaviti funkciju (y), na ktoru operator priměnja se, i dobiti zakon

pri čem kromě (a) takože (a^*) ne izčezaje identično. Sovsem odpovědajuče važi za (n) proměnnyh

gdě ( _i) stoji za prěhod od (x_i) k (x_i+1), a (a_i) označaje funkciju, ktora nastala iz (a) zaměnoju (x_i) na (x_i+1), i zato ne izčezaje identično, ako to važi za (a). Pri tyh ustanovjenjah takože, kromě komutativnogo zakona, važe vse pravila dodavanja i množenja uključujuči pravilo o stepenu produkta.

Oba slučaja v slědujučem paragrafu budut podređene sovsem obče opreděljenoj polinomnoj oblasti s libovoljnymi koeficientami.

2. Obča polinomna oblast.

Izhodimo iz libovoljno abstraktno opreděljenogo polja (P) (jego elementy označajemo malymi latinskymi bukvami), za ktoro važe vse pravila algebry, osobno takože komutativny zakon množenja s jednoznačnym obračanjem. K tomu polju adjungujemo (n) neizvěstnyh ( _1, , _n), to jest razgledamo oblast cělosti (J), sostavjenu iz produktov (a _1^ _1 _2^ _2 _n^ _n) i jih konečnyh sum, pri čem imajut važiti vse zakony dodavanja i množenja s izključenjem komutativnogo zakona množenja. Osobno konečne sumy formy

nazyvajemo «polinomy» (ktore budut vsude označane velikymi latinskymi bukvami). Teper veličiny iz (J) vměsto komutativnogo zakona podlagajemo takym zakonom produkta, že produkt dvuh polinomov znovu jest polinom; oblast vseh polinomov iz (J) zato uže izčrpava oblast (J). Za to jest javno neobhodno i dostatočno, že za veličiny ( _1, , _n) i libovoljnu veličinu (a) iz (P) važe produktne pravila formy

gdě (F_i( _1, , _n)) predstavlja někoj polinom prirodno zaviseči od ( _i) i (a). (Osobno pravila (2) i (4) za diferencialne odnosno razlikove izrazy sut toj formy.) Bo poněže ( _i a) samo po sobě ne jest polinom, ale po predpoloženju naleži k oblasti, jednačenje jest neobhodno. S drugoj strany, konečno mnogokratnym priměnjenjem formuly (5) možno vsaku veličinu oblasti (J) prětvoriti v polinom.

Za jedinicu polja, ktoru označajemo s 1, dalje naj važi ( _i 1=1 _i= _i). Dalje ustanovimo, že množenje ( _1, , _n) medžu soboju jest komutativno. Vsaky polinom v (J) potom zapisuje se kako obyčny polinom od ( _1, , _n) s koeficientami iz (P), i dva polinomy sovpadajut samo kogda vse koeficienty sovpadajut.

Specialněje budemo v slědujučem zahtěvati, že vměsto (5) ima važiti pravilo

V tom sut osobno takože vključene zakony (2) i (4). Togda stepen produkta jest ravny sumě stepenev faktorov, i to važi za obči stepen kako i za stepen v vsakoj jednotlivoj proměnnoj, takže produkt dvuh polinomov, ktore ne izčezajut identično, takože jest različny od 0.

3. Jednostranne moduly i jih grupy ostatkov.

Za našu oblast (J), iz-za nekomutativnosti množenja, možno razlikovati slědujuče vidy modulov:

1. Pravostranny modul, ktory kromě (M) obsahuje takože (FM) za libovoljny polinom (F), i kromě (M_1) i (M_2) takože (M_1+M_2).

2. Lěvostranny modul, ktory kromě (M) obsahuje takože (MF), i kromě (M_1) i (M_2) takože (M_1+M_2).

Oba vidy označajemo obćim imenom jednostranne moduly; moduly, ktore sut i pravostranne i lěvostranne, budut označane kako dvustranne. V slědujučem ograničujemo se na pravostranne moduly i zaměčajemo, že teoriju lěvostrannyh možno izgraditi sovsem odpovědajuče.

Dva polinomy (F) i (G) nazovemo kongruentnymi po modulu ( ), v znakih (F G( )), ako jih razlika dělima jest čerez ( ), to jest naleži k ( ). Cělokupnost vseh polinomov, kongruentnyh danomu polinomu, tvori klas ostatkov po modulu ( ). (Klasy ostatkov budemo označati malymi gotičnymi bukvami.) Poněže iz

slěduje kongruencija (F_1+G_1 F_2+G_2( )), suma dvuh klasov ostatkov ( ) i ( ) jest opreděljena i znovu jest klas ostatkov ( + ). Naprotiv, iz-za jednostrannosti modula ne možno govoriti o produktu dvuh klasov ostatkov; v samoj stvari iz

pravda slěduje

ale poněže (M_1G_2) ne mora naležati k ( ), kogda (M_1) naleži k ( ), to obće (F_1G_1) i (F_2G_2) ne morajut byti kongruentne. Zato pri (M_1=0), to jest (F_1=F_2=F), vidi se, že iz (G_1 G_2) slěduje takože (FG_1 FG_2); znači, libovoljny klas ostatkov ( ) možno množiti sprědu polinomom (F) i tym dobiti dobro opreděljeny klas ostatkov (F

Za računjanje s klasami ostatkov važe komutativny i asociativny zakony dodavanja, kako i zakon jednoznačne obratimosti dodavanja; dalje, za množenje klasov ostatkov polinomami i za dodavanje važi distributivny zakon (F( _1+ _2)=F _1+F _2), kako prěmo slěduje iz računjanja s polinomami po modulu ( ).

Klas ostatkov, k ktoromu naleži jedinica, budemo nazyvati jediničnym klasom, ili jedinicoju, i označati ( ). Togda (F jest klas ostatkov, k ktoromu naleži polinom (F). V razlikě od obćih klasov ostatkov, tu takože produkt ( ) jest dobro opreděljeny i ravny ( ); bo iz

zbog (M_1 1=M_1) slěduje takože

Cělokupnost klasov ostatkov po modulu ( ) označajemo kako grupu ostatkov od ( ). Grupa ostatkov zato imaje slědujuče svojstva: 1. Ona kromě vsakogo klasa ostatkov ( ) i za libovoljny polinom (F) obsahuje takože klas ostatkov (F ), i kromě klasov ostatkov ( _1) i ( _2) takože klas ostatkov ( _1+ _2). 2. Ona imaje jedinicu ( ), tako že (F ) za vsaky polinom (F) predstavlja klas ostatkov ( ) od (F). Znači, kogda (F) prěhodi čerez vse polinomy, (F ) prěhodi čerez vsu grupu ostatkov.

4. Reducibilnost grupy ostatkov v dvě podgrupy i jej odnosenja k modulu.

Za jednostranne moduly pojmy dělimosti, največšego občego dělitelja i najmenego občego mnogokratnogo ostavajut kako v dvustrannom slučaju; to pokazyvajut slědujuče opreděljenja:

Modul ( ) nazyva se dělimym čerez drugy modul ( ), ako iz (M 0( )) slěduje takože (M 0( )).

Za dva moduly ( ) i ( ) največši obči dělitelj (( , )) opredělja se kako cělokupnost vseh polinomov, ktore možno predstaviti v formě (M+N), kde (M 0( )), (N 0( )); to znovu jest modul. Odpovědajuče važi i za nekoliko modulov.

Cělokupnost vseh polinomov, dělimyh i čerez ( ), i čerez ( ), tvori modul ([ , ]), najmene obče mnogokratno modulov ( ) i ( ). To opreděljenje takože odpovědajuče važi za nekoliko modulov, daže za množinu modulov libovoljne močnosti.

Dva moduly nazyvajut se vzaimno prostymi, ako jih največši obči dělitelj jest jediničny modul, to jest sostaji iz cělokupnosti vseh polinomov.

Teper izhodimo iz modula ( ), ktory možno predstaviti kako najmene obče mnogokratno dvuh vzaimno prostyh modulov ( ) i ( ), pričem oba predpolagajut se pravymi děliteljami:

Izslědujemo grupu ostatkov ( ) od ( ). Po predpoloženju jest

za dva polinomy (N 0( )) i (L 0( )). Iz togo pokažemo

gdě, napr., pod (( ,L)) trěba razuměti modul, sostavjeny iz vseh polinomov formy (M+FL). V samoj stvari, prvo, (( ,L) 0( )). S drugoj strany, iz (8) za libovoljny polinom (F) slěduje

Ako teper (F 0( )), togda (FN 0( )), znači takože ( 0( )), i slědovateljno (F FL( )). Odpovědajuče dokazuje se ( Iz togo mimo to slěduje: poneže ( ) i ( ) sut prave dělitelji od ( ), ni (L 0( )), ni (N 0( )) ne može byti.

Neha teper ( ) bude klas ostatkov od (N) po modulu ( ), a ( ) klas ostatkov od (L) po modulu ( ). Togda po (8)

Poneže vsaky klas ostatkov jest formy (F ), po distributivnom zakonu za vsaky klas ostatkov dostajemo

Ale to predstavjenje libovoljnogo klasa ostatkov kako sumy dvuh klasov ostatkov formy (G ) odnosno (H ) jest jednoznačno. Bo iz relacije (0=G +H ), ako (K) jest polinom iz klasa ostatkov (G jasno jest (K GN( )), (K -HL( )), znači (K 0( )), (K 0( )) i zato (K 0( )), to jest (G (H

Obratno neha relacija (11) bude ispolnjena za vsaky polinom (F), i to jednoznačno v vyššem smyslu. Neha (N) bude polinom iz ( ), (L) polinom iz ( ). Tvorimo dva moduly (9) i tvrdimo (7) i (8). Poslědnje slěduje iz (11) pri (F=1). Dalej, po opreděljenju ( ) i ( ), ( ) jest obče mnogokratno tih dvuh modulov, i to najmene. Bo iz (F 0( )) i (F 0( )) slěduje (F HL GN( )), znači (G (G -H i zato po jednoznačnosti predstavjenja (G (H (F 0( )). Tym jest pokazano, že predstavjenje modula ( ) kako najmenego občego mnogokratnogo dvuh vzaimno prostyh modulov jest ravnoznačno s jednoznačnym additivnym razkladom grupy ostatkov ( ) od ( ), kako jego davaje formula (11).

Teper izslědujemo sistemu ( ) klasov ostatkov formy (F ), ktoru hočemo postaviti v odnos k grupě ostatkov ( ) od ( ). Po (11) vsaky polinom (F) v ( ) naleži klasu ostatkov (F ), ako ( ) jest klas ostatkov od (N) po modulu ( ), znači jediničny klas od ( ). Ako teper klasam ostatkov (F ) v ( ) i (F ) v ( ) pridružimo jedne drugim, togda vsakomu klasu ostatkov iz ( ) jest pridružen klas ostatkov iz ( ), pri čem sumě dvuh klasov ostatkov iz ( ) odpovědaje suma pridruženyh klasov ostatkov iz ( ), a produktu klasa ostatkov iz ( ) s polinomom odpovědaje produkt pridruženogo klasa ostatkov iz ( ) s tym samym polinomom. To pridruženje jest mimo to jedno-jednoznačno: iz (F po (11) slěduje (F 0( )), znači (F obratno (F znači (F 0( )), po (10) govori takože (FN 0( )), znači (FN 0( )), to jest (F

Tym smy privedeni k fundamentalnomu pojmu, ktory opreděljajemo tako:

Jedno-jednoznačno pridruženje medžu dvěma sistemami ( ) i ( ) klasov ostatkov nazyva se izomorfnym, ako sumě dvuh klasov ostatkov iz ( ) jest pridružena suma odpovědajučih klasov ostatkov iz ( ), a produktu libovoljnogo klasa ostatkov iz ( ) s polinomom jest pridružen produkt odpovědajučego klasa ostatkov iz ( ) s tym samym polinomom.

Podsistema ( ) klasov ostatkov v ( ), ktora jest izomorfna grupě ostatkov nekogo modula, nazyva se podgrupoju od ( ). Kako pokazuje gornji dokaz, tu osobito pridruženje imaje taku prirodu, že vsaky klas ostatkov iz ( ) nastavaje iz odgovarjajučego klasa ostatkov iz ( ) črez dodavanje opredělanyh polinomov, imenno vseh polinomov, ktore naležat k ( ), ale ne k ( ).

Odpovědajuče možno pokazati, že cělokupnost vseh klasov ostatkov formy (F ) tvori podgrupu ( ) od ( ), izomorfnu grupě ostatkov ( ) od ( ).

Grupa ostatkov ( ), čiji klasy ostatkov dopuščajut jednoznačny additivny razklad (11), bude nazyvana reducibilnoju v dvě podgrupy ( ) i ( ), v znakih ( grupa, ktora ne jest reducibilna, nazyva se ireducibilnoju. Takože odgovarjajuče moduly prigodno nazyvajemo reducibilnymi odnosno ireducibilnymi. Togda važi slědujuči teorem.

Teorem 1. Modul ( ) jest predstavimy kako najmene obče mnogokratno dvuh vzaimno prostyh pravyh děliteljev ( ) i ( ) togda i samo togda, kogda jego grupa ostatkov ( ) jest reducibilna v dvě podgrupy ( ) i ( ). Pri tom ( ) i ( ) sut odpovědajuče izomorfne grupam ostatkov od ( ) i ( ).

5. Računanje s jedinicami i reducibilnost v (k) podgrup.

Klasy ostatkov ( ) i ( ) grupy ( ) imajut s jedinicoju ( ) obče svojstvo: produkt libovoljnogo klasa ostatkov ( ) s ( ) i s ( ) jest opreděljen; zato ( ) i ( ) takože nazyvajemo jedinicami grupy ( ). V samoj stvari iz (11) pri (F=M) slěduje

i zato po jednoznačnosti (M (M a slědovateljno

kde ( ) označa klas ostatkov polinoma (F). Zato vměsto relacije (11) možemo zapisati ravnoznačnu relaciju klasov:

Osobito iz togo pri ( slěduje odnos

i iz togo po jednoznačnosti ( ^2= ), ( Takože dobiva se ( ^2= ), (

Odpovędajuče predstavjenju grupy ostatkov kako sumy dvuh sostavnyh česti možemo teper opreděliti i tako predstavjenje kako sumu (k) sostavnyh česti. Neha bude dano jednoznačno predstavjenje

pri čem iz (0=G_1 _1+ +G_k _k) takože slěduje (G_i _i=0). Togda osobito pri (F=M) dobiva se relacija (M _i=0), tako že predstavjenje možno zapisati i v formě

To predstavjenje možno razuměti takože kako nastalo iz sukcesivnogo razklada v dvě sostavne česti. Ako se to može prodolžati bez ograničenja, pri čem vsi ( _i 0), togda govorimo o sumi beskonečno mnogih sostavnyh česti.

Ako v (12) postavimo ( dobivamo

s ( _i 0). Neha teper obratno v ( ) bude dana sistema klasov ostatkov ( _1, , _k), za ktore ortogonalnostne uslovja (13) sut ispolnjene i za ktore

važi. Togda pokažemo, že iz togo dobiva se predstavjenje grupy kako sumy (k) sostavnyh česti. Najprvo iz predpoloženja za vsaky polinom (A_i) iz ( _i), poneže (A_i _i=(A_i+M) _i), slěduje (M _i=0); znači ( _i) možno množiti s vsakym klasom. Zato iz (14) slěduje predstavjenje (12), i to predstavjenje jest jednoznačno. Bo ako (0= _1 _1+ + _k _k), togda desnym množenjem s ( _i) po (13) slěduje (0= _i _i), čime dokazano jest jednoznačnost i tym tvrdženje. Klasy ostatkov ( _1, , _k), ktore nastupajut pri razkladu jediničnogo klasa, nazyvajemo jedinicami naležečimi k razkladu; ony sut tedy takože opreděljene ortogonalnostnymi relacijami (13) i uslovjem (14). Vsako pozdnějše razvijanje bude v sučnosti izhoditi v računanje s jedinicami.

Teper ostaje ustanoviti odnos medžu additivnym razkladom grupy v (k) sostavnyh česti i odpovędajučim razkladom modula. Kako v slučaju (k=2), dobude se predstavjenje modula kako najmenego občego mnogokratnogo (k) vzaimno prostyh modulov, i to pomoču indukcije.

Neha tedy bude dan razklad (12), ktory zapisujemo v formě

Iz (15) po Teoremu I slěduje, že klasy ostatkov ( ) sut izomorfne grupě ostatkov modula

Za jih klasy ostatkov ( ) važi tedy takože predstavjenje odpovędajuče (16):

Neha bude uže dokazano, že

pri čem

To tvrdženje za dva sumandy soglasa se s našim ranjejšim rezultatom. Polinomy (A_i) možno pri tom dalje izbrati osobito kako take polinomy iz ( _i), ktore odnovremeno sut sadržane v ( _i), bo po 4 polinomy poslědnjego klasa ostatkov sut sadržane v prvom. Togda po (15)

s

Iz (19) i (21) slěduje

po opreděljenju najmenego občego mnogokratnogo; po (17) i (20) dobiva se

Iz togo slěduje

bo poslědnji modul po (13) sadrži takože polinom

Odpovędajuče izrazy dobivajut se za ( _2, , _k-1). Dalej moduly ( _1, , _k) sut vzaimno proste, bo po (14)

Kromě togo ony tvore totalno vzaimno prostu sistemu, to jest najmene obče mnogokratno kakih-koli iz njih jest vzaimno prosto s najmenym občim mnogokratnym ostalyh. To slěduje neposrědnje, ako v formulě (12) sogrupujemo sumandy v dvě vhodne grupy.

Tym pokazano jest, že razkladu grupy ostatkov v (k) sumandov odpovědaje predstavjenje modula kako najmenego občego mnogokratnogo (k) modulov, ktore tvore totalno vzaimno prostu sistemu. Teper pokažemo obratny teorem takože indukcijeju.

Neha tedy

gdě ( _1, , _k) tvore totalno vzaimno prostu sistemu. V spojeniu s Teoremom I iz togo slěduje za grupu ostatkov predstavjenje (15). Moduly ( _1, , _k-1) tvore nyně takože totalno vzaimno prostu sistemu. Bo ako by pri někojom poděljenju modulov toj sistemy v dvě grupy najmene obče mnogokratno jednoj grupy i najmene obče mnogokratno drugoj grupy imalo občego dělitelja, togda by toj dělitelj ostal i ako k jednoj grupě dodamo modul ( _k) i potom tvorimo najmene obče mnogokratno. Za (k=2) totalno vzaimno prosto'' znači to samo kako vzaimno prosto''; zato može se naše tvrdženje smatrjati dokazanym do (k-1). Tedy za klas ostatkov ( ) važi jednoznačno predstavjenje (18), a po izomorfii takože (16), i tym tvrdženje jest dokazano.

Teorem II. Modul ( ) jest togda i samo togda predstavimy kako najmene obče mnogokratno (k) modulov ( _1, , _k), ktore tvore totalno vzaimno prostu sistemu, ako jego grupa ostatkov ( ) jest reducibilna v (k) podgrup ( _1, , _k). Pri vhodnom označenju ( _i) jest izomorfna grupě ostatkov modula ( _i).

6. Teoremy konečnosti.

V tom paragrafu trěba pokazati, že vsaku grupu ostatkov možno predstaviti kako sumu konečno mnogih ireducibilnyh sostavnyh česti. Za to najprvo prenosimo Hilbertov teorem o modulnom bazisu.

Od nyně koristimo specijalnejše predpoloženja formulovane v 2: množenje ( _1, , _n) medžu soboju jest komutativno, a zakon množenja polinomov ima formu

Dosta jest provesti dokaz samo za moduly. Bo ako ( ) jest kaka-koli sistema polinomov, tvorimo iz nje proizhodny modul ( ), dodavajuči k ( ) vse polinomy, ktore možno sostaviti iz konečno mnogih polinomov (G_1, ,G_k) iz ( ) v formě (A_1G_1+ +A_kG_k). Ako nyně (F_1, ,F_l) jest modulny bazis od ( ), i ako

togda konečno mnoge polinomy (G_j), ktore nastupajut v tih predstavjenjah, tvore bazis od ( ).

Dokaz za modulny bazis provodimo po Gordaně (Göttinger Nachrichten 1899). On razpada se na dvě česti. Prva odnosi se k sistemě ( ) iz beskonečno mnogih produktov stepenev i ostavaje v sučnosti zachovana zaradi komutativnosti ( _1, , _n). Produkty stepenev

iz ktoryh vsak zapisuje se v sistemu samo jedin raz, budut uredžene po rastučem stepenu i vnutri istogo stepena někojako opreděljeno. Razmatrjamo nyně podsistemu ( ) od ( ), ktora sadrži vse take produkty stepenev (P=Q), ktore ne sut dělime nijednym predhodnym (P). Togda nijeden (Q) ne jest dělimy ni pozdnějšim (Q), bo ty sut ili vyšego stepena ili pri istom stepenu različne od ranjejših. Naprotiv vsaky (P) iz ( ) jest dělimy najmene jednym (Q). Bo neha protivno (P_m) bude prvym (P), ktory ne jest dělimy nijednym (Q). Togda (P_m) ne može sam byti (Q), znači jest dělimy najmene jednym predhodnym (P); a poneže toj po predpoloženju jest dělimy někojim (Q), sam (P_m) jest takože dělimy (Q), što daje protivrěčje.

Tvrdimo nyně, že čislo (Q) jest konečno. V samoj stvari, neha

bude prvy (Q). Poneže libovoljny (Q_ ne jest dělimy (Q_0), za vsaky (Q) mora byti najmene jedno (h_ <h_ ); neha ( ) vsaky raz označa najmanjši indeks, za ktory to važi. Sbiramo vse (Q), za ktore (h_ ) ima tu samu fiksovanu vrědnost (c_ ), v jeden klas (K(c_ )). Čislo tih klasov jest konečno, bo (c_ <h_ ). Ale i v vsakom klasu ima samo konečno mnogo elementov. Bo ako (Q) iz klasa (K(c_ )) položimo ravnym ( _ ^c_ Q'), togda (Q') takože tvore sistemu produktov stepenev, iz ktoryh nijeden ne jest dělimy drugim, i sadrže samo (n-1) proměnnyh. Pri (n=2) sadrže (Q') tedy samo jednu proměnnu; jih čislo jest togda (=1), znači konečno, tako že čislo može byti vzęto kako konečno i za (n-1) proměnnyh. Tym tvrdženje jest dokazano.

Vtoro, neha ( ) bude modul iz polinomov, ktoryh členy sut leksikografično uredžene. ( ) bude sistema produktov stepenev, ktore nastupajut v najvyššem členu, vsak zapisany samo jedin raz. Togda sistemě ( odpovědaje sistema konečno mnogih polinomov (F_1, ,F_ ), tako že vsakomu (Q_i) prirědžujemo někoj polinom iz ( ), ktorego najvyšši člen jest ravny (b_iQ_i), takže možno položiti (F_i=b_iQ_i+ ) s nižšimi členami.

Neha nyně (F=bP+ ) bude libovoljny polinom iz ( ), kde (P= _1^ _1 _n^ _nQ_i). Tvorimo produkt

Tu (c 0) po (6); i vse slědujuče členy sut nižše členy leksikografičnogo reda, bo množenje, što se tiče eksponentov, jest komutativno do nižših členov. Razlika

sadrži togda samo nižše členy i znovu naleži k ( ). Postupok tedy prekida se po konečno mnogih krokih, tako že (F_1, ,F_ ) jest razpoznany kako modulny bazis.

Teorem III. Vsaka sistema ( ) iz beskonečno mnogih polinomov ima konečny modulny bazis (G_1, ,G_k), tako že vsaky polinom (G) iz ( ) dopušča predstavjenje (G=A_1G_1+ +A_kG_k).

Iz togo neposrědnje slěduje

Dodatok. Vsaka sistema ( ) iz beskonečno mnogih klasov ostatkov po modulu ( ) ima bazis ( _1, , _k), tako že vsaky ( ) iz ( ) jest predstavimy v formě (

Imenno, vsakomu klasu ostatkov prirědžujemo někoj reprezentant i razmatrjamo sistemu tih reprezentantov zajedno s vsimi polinomami iz ( ).

Nyně prihodimo k dokazu slědujučego teorema.

Teorem IV. Vsaka grupa ostatkov može byti predstavljena kako suma konečno mnogih ireducibilnyh sostavnyh česti; tedy po Teoremu II vsaky modul može byti predstavjen kako najmene obče mnogokratno konečno mnogih ireducibilnyh modulov, ktore tvore totalno vzaimno prostu sistemu.

Bo neha protivno ( ) bude suma beskonečno mnogih sostavnyh česti ( _1, _2, ) (sravni 5), i neha ( _1, _2, ) budut naležeče jedinice, ktore po opreděljenju vse sut različne od (0). Togda tvorimo sistemu ( ) vseh tih jedinic; po Dodatku k Teoremu III ona ima konečny bazis ( _i_1, , _i_v) s (i_1< <i_v). Neha nyně ( >i_v). Togda važi

To jest linearna relacija medžu jedinicami, ktora po opreděljenju jest izključena. Pri vsakom additivnom razkladu grupy ostatkov zato po konečno mnogih krokih nastupa ireducibilna sostavna čest, ktoru zaradi komutativnosti razklada možemo postaviti na početok. Možemo tedy bez ograničenja obče važnosti same ( _i) smatrjati ireducibilnymi. Ale po gornjem zaključku može nastupiti samo konečno mnogo sostavnyh česti ( _i), i tym tvrdženje jest dokazano.

7. Slučaj jednoznačnogo razklada.

Neha

bude grupa ostatkov, jej sostavne česti ( _1, , _k), ( _1, , _l) sut ireducibilne. Togda imajemo

pri čem ( _ ) jest klas ostatkov v ( ), izomorfno prirěđeny jediničnomu klasu od ( _ ), a ( _ ) jest klas ostatkov v ( ), izomorfno prirěđeny jediničnomu klasu od ( _ ). Ako nyně zaměnimo ( ) s ( _ ), kde ( ) jest fiksovany indeks iz reda (1, ,l), dostavajemo

To predstavjenje grupy ( _ ) jest jednoznačno, ale ne jest aditivny razklad od ( _ ), bo pojedine klasy ostatkov na pravo ne muset naležati k ( _ ). Poneže ( _ ) ne izčezaje, ne vsaky produkt ( _ _ ) može byti nulovy. Bez ograničenja obćnosti tedy neha

Togda

Nyně za fiksovano ( ) iz reda (1, , ) razmatrjamo cělokupnost onyh klasov ostatkov ( _ ), ktore ne sut (0) i za ktore takože ( _ _ 0). Ty dvě sistemy, ( _ ) i ( _ _ ), sut izomorfne. Bo prvo, prirěđenje jest jedno-jednoznačno: iz ( _ _ po predpoloženju slěduje ( _ a iz poslednjego zaradi jednoznačnosti predstavjenja (23) slěduje ( _ _ Dalje, sumě odpovědaje suma, a produktu s libovoljnym polinomom odpovědny produkt. Pri fiksovanom ( ) možemo nyně provesti isto razsmatrjanje za vsako ( ), za ktoro ( _ _ 0). K vsakomu ( _ ) mora byti najmene jedno tako ( _ ), poneže

Najprvo predpoložimo, že za vsako ( ) obstaje samo jedno ( ), i za vsako ( ) samo jedno ( ), tako že ( _ _ 0).

Iz togo prirěđenja slěduje (k=l). Dalje možno izbrati označenja tako, že ( _ _ 0) i ( _ _ pri ( ). Togda kažemo, že produkty ( _ _ ) tvore diagonalnu shemu. V tom slučaju po (23) jedinica ( _ a zaradi

obče ( _ Tedy obstaje jednoznačnost razklada, i produkty ( _ _ ) takože tvore diagonalnu shemu.

Ako specijalno komutativny zakon važi za klasy ostatkov ( _ _ ), togda gorno predpoloženje jest vsegda ispolnjeno. Bo v (23) vsaka sostavna čest ( _ _ togda sadrži se v ( _ ), tako že (23) davaje aditivny razklad grupy ( _ ). Zaradi ireducibilnosti ( _ ) vsako ( _ _ ), kromě jednogo, jest (=0). Zaradi (24) ješče pri fiksovanom ( ) samo jedno ( _ _ ) jest različno od nuly, bo inače (24), zaradi zaměnljivosti ( _ ) i ( _ ), dalo by aditivny razklad od ( _ ), ktora měla byti ireducibilna.

Ty same zaključki važe v slučaju, že ne za vse, ale samo za čest ( _ ), ( ispolnjene sut uslovja ( _ _ 0), ( _ _ za ( ), ( i takože za vsako ( ( _ _ ( _ _ 0), ( Nahodimo ( _ za ( i ako položimo

togda i za jedinice ( ) i ( ) od ( ) i ( ) ispolnjeno jest uslovje ( _ ( _ za ( ( 0), iz čego slěduje (

8. Aditivny razklad popolno reducibilnyh grup do prostyh grup. Teorem o izomorfiji.

Nyně hočemo razsmotriti drugy slučaj, v ktorom sice ne vladaje jednoznačnosť, ale vladaje izomorfija raznih razkladov. Tu jde o obobčenje slučaja, razmotrenogo od Loewy.

Definicija. Modul nazyva se prostym modulom, ako ne ima drugih děliteljev kromě samogo sebe i jediničnogo modula, obhvačajučego vse polinomy. Grupa ostatkov prostogo modula nazyva se prosta grupa.

Vsaka prosta grupa jest a fortiori ireducibilna. Obstavajut takože beskonečne proste grupy (sravni definiciju 11 i primjer 12, 2).

Naša dana grupa ostatkov ( ) neha bude nyně predstavima na dva sposoby kako suma (vsak raz konečno mnogih) prostyh grup ( _1, , _k) odnosno ( _1, , _l). Grupu ostatkov, ktora dopušča najmene jedno tako predstavjenje kako sumu prostyh grup, i jej odpovědajuči modul ( ) nazyvajemo, sledujuči Loewyjevoj označbě, popolno reducibilnymi.

Nyně razmatrjamo produkty ( _ _ ), kde ( ( i hočemo pokazati, že ili ( _ _ ili ( _ _ ) proběgaje cělu grupu ( _ ), kogda ( ) proběgaje vse klasy ostatkov od ( ). V samoj stvari, modul naležeči k ( _ )

ktory nastaje iz ( ), kogda dodajemo vse polinomy klasa ostatkov ( _1+

• _ -1+ _ +1+ + _l), ima dělitelj

Ale poneže modul ( _ _ ) po predpoloženju jest prosty modul, toj dělitelj jest ili ravny ( _ _ ), ili jest jediničny modul. V prvom slučaju ( _ _ ) naleži k ( _ _ ); zato obstavaje relacija

iz čego slěduje ( _ _ V drugom slučaju obstavajut dva klasa ( _0) i ( _1), tako že

i zato, zaradi jednoznačnosti, ( _0 _ _ Zato (F _0 _ _ ), i tedy takože ( _ _ ), proběgaje cělu grupu ( _ ), kogda (F) odnosno ( ) proběgaje vse polinomy odnosno vse klasy ostatkov od ( ). Tym tvrdženje jest dokazano.

Pri ( _ _ 0) jest dalje ( _ ) izomorfna k ( _ ). Bo cělokupnost vseh klasov ( _ 0), za ktore takože ( _ _ 0), jest po 7 izomorfna k sistemě klasov ( _ _ ); a ty izčrpavajut podgrupu ( _ ). Treba tedy samo pokazati, že imenovane klasy ( _ ) izčrpavajut grupu ( _ ). Za to razmatrjamo vse klasy ostatkov ( _ ), za ktore ( _ _ Tuta sistema ima svojstvo, že suma dvoh jej klasov i produkt s libovoljnym polinomom znovu naleži k sistemě. Ako zato dodamo vse te klasy ostatkov k modulu ( _ _ ), nastaje znovu modul, ktory jest dělitelj od ( _ _ ), tedy ili ( _ _ ), ili jediničny modul. V poslednjem slučaju by však sama ( _ ) byla v njem sadržeča, tedy ( _ _ protiv predpoloženja. Zato ne obstavajut klasy ( _ 0), za ktore ( _ _ i izomorfija od ( _ ) k ( _ ) jest dokazana.

Neha nyně za někoje opreděljeno ( ), na primjer,

Togda ( _ ) jest izomorfna k grupam ( _ _1, , _ _i), zato ty grupy sut medžu soboju izomorfne.

Nyně hočemo pokazati, že togda i najmene dvě iz grup ( ) sut izomorfne. Bo ako by v produktah ( _ _ ) k vsakomu ( _ ) naležala samo jedna ( _ ), tako že ( _ _ 0), tedy ako by ( _ togda by bylo ( _ poneže ( _ ) kako prosta grupa ne može sadrživati vlastnu podgrupu. Togda by bylo (k=l) i pri pravilnom numerovanju ( _ ale togda by takože shema ( _ _ ) byla diagonalna shema, čto ne jest slučaj. Tym dokazan jest slědujuči teorem:

Teorem V. Ako popolno reducibilna grupa ( ) jest na dva sposoby predstavljena kako suma prostyh grup:

togda vsaka grupa ( ) jest izomorfna najmene jednej grupě ( ), i obratno. Ako vsaka ( ) jest izomorfna točno jednej ( ), togda razklady sut identične. V protivnom slučaju najmene dvě grupy ( ) sut medžu soboju izomorfne, i takože najmene dvě grupy ( ) sut medžu soboju izomorfne.

9. Svez medžu pojmami izomorfny'' i jednakogo vida''.

V tutom paragrafu pokazujemo, že pojem ``jednakogo vida'', znany pri diferencialnyh izrazah jednej prěměnnoj, ako jest smyslno obobčen, vodi k izomorfiji naležečih grup ostatkov.

Definicija. Dva modula ( ) i ( ) nazyvajut se modulami jednakogo vida, ako obstavajut dva polinomy (P) i (Q), pri čem (P) jest vzaimno prosty s ( ), a (Q) vzaimno prosty s ( ), tako že za vsako (M 0( )) i (N 0( ))

važi. Vzaimna prostost tut znači obstavanje dvoh polinomov (X) i (Y), tako že

važi.

Nyně važi slědujuči

Teorem VI. Dva modula sut togda i samo togda jednakogo vida, kogda jih grupy ostatkov sut izomorfne.

1. Neha ( ) bude grupa ostatkov modula ( ), ( ) grupa ostatkov modula ( ), i neha ( ) jest izomorfna k ( ); ( ) i ( ) neha budut jedinične klasy od ( ) i ( ). Dalej neha (Q ) bude klas v ( ), ktory odpověda jedinici ( ) v ( ), i podobno (P ) klas v ( ), ktory odpověda jedinici ( ) od ( ). To pridruženje zapisujemo v formě

Iz togo slěduje

čim (25) jest dokazano. Takože važi

tedy relacija (26). Dalej po (29) jest (P PQ ), i poneže po (30) bylo predpoloženo (P ), iz jednoznačnosti pridruženja slěduje (PQ tedy (PQ 1( )) i odpovědajuče (QP 1( )). Tym (27) i (28) sut dokazane s (X=Q), (Y=P).

2. Neha, obratno, ( ) i ( ) sut jednakogo vida, tako že relacije (25)--(28) obstavajut. Togda libovoljnomu klasu (F ) iz ( ) pridružujemo klas (FQ ) iz ( ). Pri tom vsakomu klasu v ( ) odpověda samo jedin klas v ( ); bo iz (F tedy (F=M), po (25) slěduje (FQ Dalej cěla grupa ( ) jest izčrpana tojim pridruženjem; bo specialnomu klasu (Y ) odpověda klas (YQ ), ktory po (27) jest ravny ( ). Tedy imajemo jednoznačno opreděljeno preslikanje ( ) iz ( ) na ( ), ale jošče ne jest pokazano, že ono jest obratno jednoznačno. Takože iz jednačb (26) i (28) slěduje jednoznačno opreděljeno preslikanje ( ) iz ( ) na ( ), ktoro tak samo jošče ne jest dokazano kako obratno jednoznačno.

Ako jedno iz tih dvoh preslikanj jest obratno jednoznačno, togda izomorfija jest dokazana, poneže potrěbovanja glede sumy i produkta sut izpolnjene. No ako by oba preslikanja ( ) i ( ) ne byla obratno jednoznačne, togda by obstavali, na primjer v ( ), klasy (G ), ktorym v ( ) odpověda klas (GQ Klasy (FQ ), ktore odpovědajut ostalim klasam ostatkov (F ), togda by uže izčrpavali grupu ( ), i poslědovateljno by se čerez preslikanje ( ) v klasah (FQP ) vozvratila cěla grupa ( ). Kako znajemo, obstavajut takože v ( ) od nule različne klasy, ktorym po ( ) odpověda nulevy klas v ( ); označajemo s (G_1 ) vse te klasy, za ktore (G_1 0), ale (G_1QP Vsi ostali polinomy (F) imajut svojstvo, že (FQP ) izčrpava grupu ( ). Te polinomy (F), za ktore (FQP označajemo s (G_2); take polinomy obstavajut vsaky raz, kogda obstavajut polinomy (G_1). Za vsako (G_2) dalej važi (G_2QP 0), zato (G_2(QP)^2 Odpovědajuče za vsako cělo čislo ( ) obstavajut klasy (G_ ), tako že (G_ (QP)^ -1 0), ale (G_ (QP)^

Nyně razmatrjamo sistemu ( ), sostavjenu iz vseh polinomov (G_1,G_2, ). Ona ima konečny modulny bazis (G_ 1, ,G _e). Nyně vybira se ( ) veče od najvećego iz indeksov ( _1, , _e), ktory označajemo s ( ). Togda

Ako to pomnožimo s ((QP)^ ), dostavajemo

čto dava protivrěčenje našemu predpoloženju. Slěduje tedy izomorfija, i zato po 1. važe ostrějše relacije (27), (28) s (X=Q), (Y=P).

Po Teoremu VI možno Teorem V tak samo vyraziti v slědujučej formě:

Teorem VII. Ako popolno reducibilny modul ( ) jest na dva sposoby predstavimy kako najmene obče mnogokratno prostyh modulov ( _1, , _k) odnosno ( _1, , _l), ktore vsaky raz tvore totalno vzaimno prostu sistemu, togda vsaky ( ) jest jednakogo vida najmene s jednim ( ), i obratno. Ako vsaky ( ) jest jednakogo vida točno s jednim ( ), togda razklady sut identične. V protivnom slučaju najmene dva iz modulov ( ) sut medžu soboju jednakogo vida, i tak samo najmene dva iz modulov ( ) sut medžu soboju jednakogo vida.

10. Obstavanje beskonečno mnogih razkladov grupy.

Ako sumno predstavjenje popolno reducibilnoj grupy ne jest jednoznačno, togda po Teoremu V v vsakom predstavjenju obstavajut najmene dvě medžu soboju izomorfne podgrupy. Nyně razmatrajemo podgrupu, sostavjenu iz takoj sistemy izomorfnyh podgrup,

pri čem tedy ( A_1, A_2, , A_ ) sut vse izomorfne, i tvrdimo, že ( H) potom dopušća beskonečno mnogo različnyh takyh razkladov, ako samo v oblasti racionalnosti (P) jest beskonečno mnogo ``konstant'', to jest veličin (a), za ktore ( _i a=a _i). Tut teorem važi čak i togda, kogda o grupah ( A_i) ničto dalje ne predpolagaje se, ni ireducibilnost. Tedy važi

Teorem VIII. Ako ( G) jest predstavima kako suma konečno mnogih medžu soboju izomorfnyh podgrup, togda tako predstavjenje jest možno na beskonečno mnogo različnyh sposobov, ako samo oblast racionalnosti (P) vsebuje beskonečno mnogo konstant. Pri tom pod konstantami treba razuměti take veličiny (a) oblasti, za ktore ( _i a=a _i).

Dokaz. Neha tedy

i ( A_i) jest izomorfna k ( A_ ) za (i, (( 2)). Da bysmo zadali opreděljeno izomorfno prirěđenje, najprěd izdělimo jednu podgrupu, na primjer ( A_1). Neha izomorfija medžu ( A_1) i ( A_i) bude fiksovana čerez

pri čem tedy v grupě ( A_1) vsak klas ostatkov jest prirěđeny sam sobě. Poneže (Ma_1=0), (Ma_i=0), togda slěduje (Mt_1ia_i=0), (Mt_i1a_1=0); klasy (t_1ia_i), (t_i1a_1) zato, analogno jedinicam, dopušćajut množenje s klasami, ne samo s polinomami. Iz definicije izomorfije potom slěduje, že za dva prirěđene klasy ( y) i ( y), ktore dopušćajut tako množenje klasov, klasy ( r y) i ( r y) sut znovu prirěđene. Zato relacije (a_ra_s=0) ((r s)) ((r=1, , ); (s=1, , )) za (s=1) dajut

Dalej iz (31), kako obobčenje (27) i (28), iz jednoznačnosti prirěđenja slěduje

Kao izomorfiju medžu ( A_i) i ( A_ ) nyně fiksujemo odnos, ktory nastaje kompozicijom (31); tako fiksovanje jest potrěbno, poneže jednotlive grupy mogut dopušćati izomorfije v sebe samyh. Iz (31), (32) i (33) tako dostavajemo

pri čem položeno jest (t_i1t_1 =t_i ). Iz (33) i (34) dalej vyhodi

tako jest vyděljenje grupy ( A_1) znovu odstraneno. Izomorfny odnos medžu ( A_i) i ( A_ ) ostavaje toj samy, koju god grupu ( A_ ) upotrěbimo vměsto ( A_1) za definiciju. Tedy (t_i ) sut klasy, ktore skupaj zadovoljavajut relacije

Te relacije govoret točno, že moduly ( M_i) i ( M_ ), naležeče k ( A_i) i ( A_ ), sut jednakogo vida (sravni definiciju 9); vměsto tamošnjih (P) i (Q) tut stojat klasy (t_i ) odnosno (t_ i), a prve dvě relacije (35), vzęte zajedno, odpovědajut formulě (25) odnosno (26). Obratno iz tih relacij po Teoremu VI slěduje izomorfija.

Iz klasov (t_i a_ ) možno nyně sostaviti klasy (b_ ), ktore se znovu pokažut kako jedinice grup ( B_ ), iz čego slědovat bude predstavjenje

Neha ( _i ) sut konstanty, čija determinanta (| _i | 0), a ( ^ r) odpovědajuči poddeterminanty, poděljene čerez (| _i |), tako že obstavajut relacije

Togda definujemo

Iz (35), (36) i (37) potom slěduje (Mb_ i

dalej

(( , , )). Predstavjenje ( r e= r b_1+ + r b_ ) jest tedy aditivny razklad grupy ( G). Pri tom grupy ( B_ ) sut različne od grup ( A_ ), ako skoro ( i ) ne tvore samo diagonalnu matricu. Bo ako formujemo (a b_ ), po (35) dostavajemo:

poneže inače v poslědnjoj sumě musil by izčeznuti vsaky pojediny sčlen, a to ne stava se. Ako tedy pri fiksovanom ( ) obstavajut najmene dva ( ), za ktore ( _ 0), togda ( A_ ) ne može byti identična s nikojom ( B_ ).

No grupy ( B_ ) sut takože izomorfne medžu soboju i k grupam ( A_ ). Za to najprěd pokazujemo obstavanje klasov (r_ a_ ) i (r^ b_ ), ktore posrědničajut izomorfiju ( A_ ) i ( B_ ) (( , , )). Dokazujemo imenno, že za klasy

relacije ``jednakogo vida'' medžu modulami

i

sut izpolnjene:

iz čego, kako pri (35), slěduje izomorfija posrědstvom prirěđenja

V samoj dějstvitelnosti vyhodi:

dalej

Takože obratno nahodimo

dalej

Iz tut dokazanih relacij jednakogo vida nyně slěduje (znovu bez teorema konečnosti) izomorfija ( A_ ) i ( B_ ). Izomorfija medžu ( B_ ) i ( B_ ) nahodi se odtud kompozicijom; za to jošče dajemo formuly. Položimo

togda prirěđenje glasi (b_ _ b_ ). I tut možno relacije jednakogo vida znovu formalno dokazati; ( _ ), postavljene na město (t_i ), izpolnjajut relacije (35). V samoj dějstvitelnosti

Tym Teorem VIII jest dokazan, poneže treba samo izbirati ( _i ) na beskonečno mnogo sposobov tako, že ony ne tvore diagonalnu matricu i ne mogut byti transformovane jedna v drugu čerez diagonalnu matricu.

Poslědstvo Teorema VIII, v povezce s Teoremom V odnosno VII, jest

Teorem IX. Ako modul ( M) jest popolno reducibilny i jest najmene obče mnogokratno prostyh modulov ( P_1, , P_k), ktore tvore totalno vzaimno prostu sistemu, i ako oblast racionalnosti (P) vsebuje beskonečno mnogo konstant, togda nužna i dostatočna uslovja za to, že ( M) jest predstavimy na beskonečno mnogo različnyh sposobov kako najmene obče mnogokratno prostyh modulov, jest ta, že najmene dva iz modulov ( P_1, , P_k) sut jednakogo vida.

Nyně hočemo vyvesti obče kriterije za to, že modul ( M) jest dělitelny čerez beskonečno mnogo prostyh modulov, i za to najprěd dokazujemo slědujuči

Pomočny teorem. Ako popolno reducibilny modul ( M=[ P_1, , P_k]) jest dělitelny čerez prosty modul ( P'), različny od vseh ( P_i), togda najmene dva iz ( P_i) sut jednakogo vida.

Najprěd iz ( P_1, , P_k) izbiramo totalno vzaimno prostu sistemu, črtajuči po redu vsaky iz tih prostyh modulov, ktory vhodi v najmene obče mnogokratno jošče ne izčrtanih. Zato nyně neha bude predpoloženo, že ( P_1, , P_k) same tvore totalno vzaimno prostu sistemu. Neha (a') jest klas modula ( M), prirěđeny jediničnomu klasu mod ( P'). Togda

za vsaky polinom (F). Iz produktov (a'a_i) sut najmene dva različne od nule, na primjer (a'a_1) i (a'a_2); bo ako by, na primjer, samo (a'a_1 0), togda by bylo (Fa'=Fa'a_1), i klasy ostatkov (Fa') tvorili by podgrupu ( A_1), byli by tedy, poneže ( A_1) jest prosta grupa, identične s ( A_1), tako že by se i moduly ( P') i ( P_1) sovpadali. Po načinu zaključivanja iz 8 iz togo slěduje izomorfija ( A') s ( A_1) i ( A_2).

Neha nyně ( M) jest libovoljny modul. Togda razmatrajemo najmene obče mnogokratno ( N) vseh prostyh modulov, čerez ktore ( M) jest dělitelny. Tada sut možne dva slučaji. Ili ( N) ne jest predstavimy kako najmene obče mnogokratno konečno mnogih prostyh modulov; v tom slučaju ( N), tedy takože ( M), imaje beskonečno mnogo prostyh modulov kako dělitelje. Ili ( N) jest predstavimy kako najmene obče mnogokratno konečno mnogih prostyh modulov; togda ( N) nazyvaje se največši popolno reducibilny modul od ( M) (v povezce s odpovědajučo tvorbo u Loewy). Ako među timi konečno mnogimi prostymi modulami dva sut jednakogo vida, togda po Teoremu IX modul ( N), i poslědovateljno ( M), jest dělitelny čerez beskonečno mnogo prostyh modulov. Ako poslědnje obratno važi, togda obstavaje najmene jedin prosty dělitelj od ( N), ktory jest različny od vseh tih konečno mnogih, kako čije najmene obče mnogokratno ( N) jest predstavimy. Po pomočnom teoremu togda ( N), tedy takože ( M), imaje dva proste dělitelje jednakogo vida. Tym dokazali jesmo slědujuči teorem:

Teorem X. Ako oblast racionalnosti (P) vsebuje beskonečno mnogo konstant, togda nužna i dostatočna uslovja za to, že modul jest dělitelny čerez beskonečno mnogo različnyh prostyh modulov, jest ta, že ili ne obstavaje največši popolno reducibilny modul, ili, ako taky obstavaje, že on jest dělitelny čerez najmene dva različne proste moduly jednakogo vida.

11. Odnosi k sistemam diferencialnyh uravnenj i jih integralam.

Po silě teorema konečnosti možno vsakomu modulu diferencialnyh izrazov pridružiti sistem konečno mnogih diferencialnyh izrazov kako bazis, tako že cělokupnost simultannyh integralov vseh diferencialnyh uravnenj, ktore nastajut črez položenje diferencialnogo izraza modula ravnym nuli, sovpadaje s cělokupnostju integralov konečnogo sistema diferencialnyh uravnenj, ktory se dostavaje črez položenje bazisnyh diferencialnyh izrazov ravnymi nuli. Tym dany jest priključek k teoriji sistemov linearnyh diferencialnyh uravnenj v častnyh derivatah; tut vez slědimo ještě malo v slučaju, že grupa ostatkov modula jest ``konečna''.

Definicija. Grupa ostatkov nazyvaje se konečnoju, ako obstava čislo ( ), red grupy, tako že medžu kakovymi-koli ( +1) klasami ostatkov obstava linearna relacija s koeficientami iz (P), togda kak obstava najmene jedna sistema iz ( ) klasov ostatkov, medžu ktorymi ne obstava relacija, i ktoru budemo nazyvati linearnu bazu grupy ostatkov. V drugom slučaju grupa ostatkov nazyvaje se beskonečnoju.

Suma dvoh konečnyh grup ostatkov imaje konečny red, imenno sumu jih redov. Suma dvoh beskonečnyh grup ili jednej konečnoj i jednej beskonečnoj grupy jest beskonečna grupa. Priměry konečnyh grup dajut vse grupy ostatkov modulov jednej prěmennoj; ale i za nekoliko prěmennyh red može stati konečnym, na primjer za modul s bazisom ( _1^2), ( _2^2), gdě vse klasy ostatkov možno linearno sostaviti iz klasov (1, _1, _2, _1 _2). Priměry beskonečnyh grup vidi v 12.

Nyně važi slědujuči teorem.

Teorem XI. Ako modul imaje konečnu grupu ostatkov, togda vsaka sistema diferencialnyh uravnenj, ktora nastaje črez položenje bazisa modula ravnym nuli, dopušća točno toliko linearno nezavisnyh integralov, koliko ukazuje red jego grupy ostatkov. Obratno, za dany sistem konečno mnogih linearnyh diferencialnyh uravnenj v častnyh derivatah, ktore imajut samo konečno čislo linearno nezavisnyh integralov, to čislo jest ravno redu grupy ostatkov modula, porodženogo diferencialnymi izrazami.

Oblast racionalnosti (P) tu sostoji iz analitičnyh funkcij od (n) prěmennyh (x_1, ,x_n), pri ktoryh nastupajuče singularnosti vnutri někojej (n)-razměrnoj oblasti obrazuju najviše mnogovidnosti nižših razměrov, tako že obstava proizvoljno mnogo toček s regularnoju (n)-razměrnoju okolinoju.

Nehaj nyně ( M) bude modul s konečnoju grupoju ostatkov. Togda pokažemo, že obstava linearna baza iz produktov stepenev s vlastnostju, že pri izrazih libovoljnogo klasa ostatkov črez tutu bazu v imenovatelju mogut nastupati samo stepeni konečno mnogih različnyh veličin iz (P).

Za tu cěl uporjadkujemo vse produkty stepenev ( _1^a_1 _n^a_n) leksikografično i beremo kako reprezentanty (Q_1, ,Q_m) klasov ostatkov vse te, ktore sut linearno nezavisne od prědhodnyh modulo ( M). Po prědpoloženju takyh jest samo konečno mnogo. Vse ostale možno izraziti linearno črez ty.

Nehaj ( S) bude sistem vseh produktov stepenev, ne prijetyh v linearnu bazu. Togda po prvoj česti dokaza Teorema III ( S) imaje konečny podsistem ( T) takyh produktov stepenev, že vsaky produkt stepenev iz ( S) jest dělimy najmene jednym iz ( T). Nehaj (P_1, ,P_ ) sut produkty stepenev iz ( T), i (M_1=0, ,M_ M)) relacije, posrědstvom ktoryh (P_1, ,P_ ) vsakokrat izražajut se modulo ( M) linearnoju kombinacijeju nižših produktov stepenev; na primjer,

Ako (P) jest libovoljny produkt stepenev iz ( S), t. j. imaje formu

togda slěduje

Nyně prijmimo kako dokazano, že pri vseh nižših produktah stepenev než (P) v imenovatelju nastupajut samo stepeni (b_1, ,b_ ), togda kak čislitelji sut tvorjeni iz koeficientov (M_i) črez dodavanje, množenje i diferenciranje; togda to važi takože za samo (P). To prědpoloženje jest dovoleno, bo ono važi za (P_1), prvi element iz ( S) i ( T).

Dalej, po Teoremu III, (M_1, ,M_ ) jest bazis modula ( M). Razsmotrimo nyně taku sistemu vrědnostij ( 1, , n) za (x_1, ,x_n), za ktoru (b_1 0, ,b 0), a ostale koeficienty (M_i) sut regularne, tedy regularnu točku sistema diferencialnyh uravnenj (M_1=0, ,M Produktam stepenev (Q_i= _1^h_i1 _n^h_in) ((i=1, ,m)) togda odpovědaju častne derivaty

za ktore zadavajemo libovoljne konstantne vrědnosti (( _1, , _m)) v točce (( _1, , _n)). Togda diferencialne uravnenja (M_i=0) jednoznačno opreděljajut vrědnosti vseh vyšših derivatov od (y) kako konečne vrědnosti v toj točce, bo samo (b_i) nastupajut v imenovatelju; i, kako znano, iz togo slěduje obstavanje (m) linearno nezavisnyh analitičnyh integralov.

S drugoj strany, pod našimi prědpoloženjami ne može obstavati vyše než (m) linearno nezavisnyh integralov, bo inače bylo by možno, kako znano, v regularnoj točce libovoljno zadati vrědnosti (m+1) podobno izbranyh derivatov, što protivorěčilo by tomu, že medžu kakovymi-koli (m+1) produktami stepenev imajut obstavati linearne zavisnosti modulo ( M).

Ako obratno modul imaje beskonečnu grupu ostatkov, togda tym samym putem pokazyvaje se, že obstava beskonečno mnogo linearno nezavisnyh integralov; v slučaju samo (m) linearno nezavisnyh integralov grupa ostatkov zato jest konečna, i jej red po vyše rečenom jest raven (m).

Na koncu togo paragrafa pokažemo, že pojam izomorfije ili, što jest to samo, jednakogo vida, pri dvoh modulah iz diferencialnyh izrazov imaje za integraly pridruženyh sistemov diferencialnyh uravnenj to samo značenje kako pojam vida, upotrěbljeny od Poincaré, za jednu prěmennu (srav. Blumberg, cit. dělo, Priloženje I).

Teorem XII. Ako dva moduly ( M) i ( N) iz diferencialnyh izrazov sut jednakogo vida, togda obstavajut dva diferencialna izraza (P) i (Q), tako že (P(y)) i (Q(z)) proběgajut vse integraly od ( N) i ( M), kogda (y) proběgaje vse integraly od ( M), a (z) vse integraly od ( N).

Po prědpoloženju imenno (po 9) za dva podobno izbrane polinomy (P) i (Q) obstavajut relacije

Zato, poneže (NP(y)=0), funkcija (P(y)) jest integral od ( N). Podobno (Q(z)) jest integral od ( M). Poneže (PQ(z)=z) i (QP(y)=y), (P(y)) proběgaje vse integraly od ( N), a (Q(z)) vse integraly od ( M). Pri tom vsakomu od nuly različnomu (y) odpovědaje takože od nuly različno (z), i obratno.

12. Priměry.

13. Kako prvi primjer razsmotrimo obyčno linearno diferencialno uravnenje 2-go reda, čije koeficienty sut predstavjene kako simetrične funkcije integralov. Oblast racionalnosti (P) tu sostoji iz vseh racionalnyh funkcij od integralov i jih derivatov, pri čem se ograničujemo na dovoljno malu okolinu regularnoj točky diferencialnogo uravnenja. Modul ( M) opreděljajemo kako cělokupnost vseh diferencialnyh izrazov, ktore imajut (y_1) i (y_2) za integraly; za njih znovo pišemo polinomy v jednej neizvěstnoj ( ). Bazis modula togda jest jednoelementny, imenno dany polinomom

ktory jest jednoznačno opreděljen do faktora iz (P). Nyně

gdě ( M_i) sostoji iz vseh diferencialnyh izrazov, ktore imajut integral (y_i), i jego bazis jest, do faktora iz (P), opreděljen črez

V samom dělu, ( M) jest dělimy črez ( M_1) i ( M_2), bo izčezaje za integraly (y_1) i (y_2), tedy jest dělimy črez ([ M_1, M_2]); i poneže red bazisnogo polinoma od ([ M_1, M_2]) mora byti najmene 2, imajemo ( M=[ M_1, M_2]). Dalej, ( M_1) i ( M_2) sut vzaimno proste, poneže

Kromě togo oni sut proste moduly, bo jih grupa ostatkov imaje red 1.

Ale ( M) mimo (y_1) i (y_2) imaje takože vse integraly

i zato jest identičny s najmenšim občim mnogokratnym dvuh vzaimno prostyh modulov ( N_1) i ( N_2), ktore imajut odpovědajuče integraly (z_1) i (z_2); jih bazisne polinomy sut dany črez

Tako ( M) dopušča beskonečno mnogo različnih predstavjenj kako najmene obče mnogokratno vzaimno prostyh prostyh modulov, i po Teoremu VII oba moduly ( N_1) i ( N_2) medžu soboju i so vsemi ( M_1) i ( M_2) sut jednakogo vida. V samom dělu, grupy ostatkov vseh tyh modulov imajut red 1, tedy sut izomorfne.

Nyně zapišemo aditivny razklad grupy ostatkov ( G= A_1+ A_2), ktory odpovědaje predstavjenju (41). Za to idemo, kako v 4, od relacije (42), ktora ukazuje vzaimnu prostost ( M_1) i ( M_2). Za jedinice (a_1) i (a_2) dostavajemo klasy ostatkov, porodžene polinomami

odpovědajuče. Tuto daje

Ako nyně podobno tvorimo jedinice (b_1) i (b_2), ktore odpovědajut razkladu ( M=[ N_1, N_2]), zaměnjajuči (y_i) s (z_i), dostavajemo

tedy

Tu (( ^ik)) jest obratna matrica k matrici (( _ik)).

Obratno, črez zaměnu (z_i) s (y_i) dostavaje se

Iz tyh formul vidna jest izomorfija grup ( A) i ( B). Po našim obćim razsmotrjenjam, pri (a_1b_ 0) odpovědajuče pridruženje jest (a_1 a_1b_ ), tedy po (44)

i po (43) podobno

tedy

Tako jest

što davaje obratno pridruženje. Ako (( _ik)) ne jest diagonalna matrica, to uslovje ( _1 ^ 2 0) jest vsegda izpolnjeno za nekoje ( ). Slučaj diagonalnoj matrice trěba izključiti, bo togda moduly sut identične. Ako, na primjer, samo ( _12=0), togda ( A_1= B_1), ale ne ( A_2= B_2). Iz ( A_1+ A_2= B_1+ B_2), ( A_1= B_1), tedy ne slěduje ( A_2= B_2) (srav. opazku 12). Tri moduly ( M_1), ( M_2) i ( N_2) sut togda poparno vzaimno proste, ale ne tvorjut totalno vzaimno prostu sistemu, bo ([ M_1, M_2]) jest dělimy črez ( N_2) (srav. opazku 15).

Dalej, ako položimo

to relacije (35), kako se potvrdžuje izčislenjem, sut izpolnjene.

2. Primjer beskonečnoj grupy davaje vsaky modul od više než jednej prěmennoj, ktory imaje bazis samo iz jednogo polinoma. Malo složnějši jest slědujuči primjer, ktory imaje pokazati, že beskonečne grupy mogut nastupati takože pri mnogočlennyh modulah, t. j. pri takyh, čij modulny bazis obhvaća više než jeden polinom.

Pravilo množenja nehaj bude ono za diferencialne izrazy. Grupa ostatkov tu stavaje beskonečna, bo grupy ostatkov od (( +x )) i (( +1)) sut obě beskonečne, dokolě moduly (( +x )) i (( +1)) sut vzaimno proste poneže

Nyně možno velmi legko pokazati, že ( M) ne imaje polinoma drugogo stepena, položajuči

Iz togo slěduje (u_1=u_2=u_3=v_1=v_2=v_3=0). Ako dalje iščemo polinomy tretjego stepena v ( M), nahodimo dva linearno nezavisne, na primjer

i

Ako by nyně ( M) byl jednoelementny modul, togda oba by musili byti dělimy črez bazisny polinom; i poneže ( M) ne imaje polinoma drugogo stepena, musili by byti dělimy črez polinom tretjego stepena, tedy byti proporcionalne, čto ne jest slučaj. Mnogočlennost modula ( M) jest vnutrišnja pričina neuspěha Landauovyh produktnyh teoremov, ktore važut v slučaju jednej prěmennoj.

3. Daljši primjer pokazuje, že beskonečne grupy mogut nastupati takože pri prostyh modulah. (P) nehaj bude oblast vseh racionalnyh funkcij dvuh prěmennyh (x,y). Modul ( M) s bazisom

imaje beskonečnu grupu, bo ona obsahuje klas ostatkov vsakogo stepena (y); s drugoj strany, ( M) jest prosty modul. V samom dělu pokažemo, že vsaky dělitelj

stavaje jediničnym modulom. Vsaky polinom (F( , )) možno imenno mod(( -a)) predstaviti polinomom (G( )):

Bez ograničenja obćnosti nehaj (c_0=1). Nyně po zakonu množenja ( ^ - ^ tedy, poneže

gdě položeno (F_1=-(c_1 ^ -1+ +c_ )), dostavajemo

Ako razvijemo

i potom tu znovo zaměnimo ( ^ ) črez (F_1), dostavajemo

ili

ili nakonec

Na lěvoj straně stoji nyně polinom v ( ) točnogo stepena ( -1), ktory ne izčezaje identično; bo najvyšši koeficient

poneže inače (c_1=- x+ (y)) ne byl by racionalny. Tako možno postup nastaviti i on vodi k ne identično izčezajučemu polinomu nultogo stepena; tym pokazano, že takože jedinica jest v ( M_1).

4. Ako, s drugoj strany, adjungujemo oblasti racionalnosti takože funkciju ( x), togda ( M) imaje dělitelje

gdě ( (y)) proběgaje vse racionalne funkcije od (y). Ti dělitelji sut vsi različni medžu soboju; za vsakogo jest izpolnjeno uslovje integrabilnosti, i odpovědajuči integral jest

Zato jedinica ne može byti v modulu, bo inače nulta funkcija byla by jediny možny integral. S drugoj strany, ( ) i ( ) sut glede na modul kongruentne nekojej veličině oblasti; zato grupa ostatkov jest konečna i imaje red 1. Dalej, iz beskonečno mnogih děliteljev vsaka dva sut vzaimno prosta, i dany modul ( M) jest raven najmenšemu občemu mnogokratnomu ( N) vseh tyh děliteljev. V samom dělu, on jest dělimy črez vse dělitelje, tedy takože črez ( N). Ako by nyně ( N) byl vlastny dělitelj od ( M), togda ( N) musil by iměti ješče najmene jeden polinom (F), recimo stepena ( ), ktory zavisi samo od ( ). Ako nyně dopustimo, že ( (y)) proběgaje funkcije (y, ,y^ +1), togda medžu odpovědajučimi integralam

ne obstavaje linearna relacija s koeficientami nezavisnymi od (y). Ale diferencialno uravnenje ( )-togo reda (F=0) ne može iměti ( +1) linearno nezavisnyh integralov.

Modul ( M= N) ale ne jest popolno reducibilny. Bo inače byl by najmenše obče mnogokratno konečno mnogih od tyh prostyh modulov, i jego grupa ostatkov iměla by konečny red; međutym grupa ostatkov od ( - yx) obsahuje klasy ostatkov vseh stepenov ( ), tedy jest beskonečna.

Göttingen, 1 avgusta 1919.

(Prijeto 4 avgusta 1919.)