19. Teorija idealov v kolcevyh oblastjah

Math. Ann. 83 (1921), str. 24--66

Sodržanje. Uvod.

1. Kolceva oblast, ideal, uslovje konečnosti.

2. Predstavjenje ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo konečno mnogyh nerazložimyh idealov.

3. Ravnost čisla komponentov pri dvoh različnyh razloženjah na nerazložime idealy.

4. Primarne idealy. Jedinost pridruženih prostyh idealov pri dvoh različnyh razloženjah na nerazložime idealy.

5. Predstavjenje ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo najvećih primarnyh idealov. Jedinost pridruženih prostyh idealov.

6. Jedino predstavjenje ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo relativno-prosto nerazložimyh idealov.

7. Jedinost izolovanyh idealov.

8. Jedino predstavjenje ideala kako produkta vzaimno-prosto nerazložimyh idealov.

9. Razširjenje izslědovanja na moduly. Ravnost čisla komponentov pri razloženjah na nerazložime moduly.

10. Specialny slučaj oblasti polinomov.

11. Priměry iz teorije čisel i iz teorije diferencialnyh izrazov.

12. Priměr iz teorije elementarnyh děliteljev.

Uvod. Sodržanje nastoječej raboty jest prěnos razložnyh teoremov cělyh racionalnyh čisel, odnosno idealov v algebraičnyh čislovyh poljah, na idealy v ljubih oblastjah cělosti, obćejše v kolcevyh oblastjah. Za razuměnje togo prěnosa najprvo navedemo razložne teoremy za cěle racionalne čisla v formě několiko različnej od obyčnoj formulacije.

Ako v

primarne stepeni (q_i) berut se kako komponenty razloženja, togda ty komponenty imajut slědujuče harakteristične svojstva:

1. One sut poparno vzaimno proste; ale nijedno (q_i) ne može byti predstavjeno kako produkt poparno vzaimno prostyh čisel, znači v tom smyslu imaje město nerazložimost. Iz poparnoj vzaimnoj prostosti dalje slěduje, že produkt (q_1 q_ ) stava ravny najmenšemu občemu mnogokratnomu ([q_1 q_ ]).

2. Každe dvije komponenty, (q_i) i (q_k), sut relativno proste; t. j. ako (bq_i) jest dělimy črez (q_k), togda (b) jest dělimy črez (q_k). I v tom smyslu imaje město nerazložimost.

3. Každo (q) jest primarno; t. j. ako produkt (b c) jest dělimy črez (q), ale (b) ne jest dělimy, togda někoja stepenj od (c) jest dělimaja. Predstavjenje jest dalje tako predstavjenje črez najveće primarne komponenty, poneže produkt dvoh različnyh (q) uže ne jest primarny. Takože v odnosu k razloženju na največše primarne komponenty ta (q) sut nerazložime.

4. Každo (q) jest nerazložimo v tom smyslu, že jego ne možno predstaviti kako najmenše obče mnogokratno dvoh vlastnyh děliteljev.

Svez tyh primarnyh čisel (q) s prostymi čislami (p) sostoji v tom, že k každomu (q) suščstvuje jedno i, kromě znaka, samo jedno (p), ktoro jest dělitelj (q) i čija stepenj jest dělimaja črez (q): pridruženo prosto čislo. Ako (p^ ) jest najnižša taka stepenj -- ( ) eksponent od (q) --, togda tu osoblivo (p^ ) jest ravno (q). Teorem jedinosti možno nyně izrekti tako:

Pri dvoh različnyh razloženjah cělogo racionalnogo čisla na nerazložime, največše primarne komponenty (q) sovpadajut čislo komponentov, pridružene proste čisla (do znaka) i eksponenty. Poneže (p^ iz togo slěduje takože sovpadanje samyh (q) (do znaka).

Neopreděljenost dana znakom, kako znano, odstranja se, ako vměsto čisel razględaju se izvedene iz njih idealy (vse čisla dělimy črez (a)); togda formulacija važi točno tako za jedino razloženje idealov konečnyh algebraičnyh čislovyh polj na stepeni prostyh idealov.

V daljnem ( 1) za osnovu se bere obča kolceva oblast, ktora mora izpolnjati samo uslovje konečnosti: každy ideal oblasti imaje konečny idealny bazis. Bez takogo uslovja konečnosti nerazložime i proste idealy ne musili by obće suščstvovati, kako pokazuje oblast vseh cělyh algebraičnyh čisel, v kotoroj ne imaje razloženja na proste idealy.

Pokazuje se, že -- odpovědajuče četyrim harakterističnym svojstvam komponentov (q) -- v obćem slučaju suščstvujut četyri odvojene razloženja, ktore jedno iz drugogo nastajut črez podrazděljenje. Pri tom razloženje na vzaimno-prosto nerazložime idealy jest produktno predstavjenje, a ostale tri razloženja sut reducirane ( 2) predstavjenja kako najmenša obča mnogokratna. Svez medžu primarnym idealom -- i nerazložime idealy sut primarne -- i pridruženym prostym idealom takože ostaje: k každomu primarnomu idealu ( Q) jednoznačno jest opreděljen pridruženy prosty ideal ( P), ktory jest dělitelj ( Q) i čija stepenj stava dělimaja črez ( Q). Ako ( P^ ) jest najnižša taka stepenj -- ( ) eksponent od ( Q) --, togda tu ( P^ ) ne trěba sovpadati s ( Q). Teorem jedinosti izgovarja se tako:

Razloženja 1 i 2 sut jedine; pri dvoh različnyh razloženjah 3 ili 4 sovpadajut čislo komponentov i pridružene proste idealy; izolovane idealy ( 7), ktore nastupajut medžu komponentami, sut jednoznačno opreděljene.

Za dokaz razložnyh teoremov iz uslovja konečnosti vyvodit se najprvo ``teorem o konečnoj cěpi'', pervo izrečeny Dedekindom za konečne čislove moduly, i iz njega predstavjenje 4 každogo ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo konečno mnogyh nerazložimyh idealov. Prěoblikovanjem pojma razložimosti komponenta iz togo se dobiva osnovny teorem jedinosti za razloženje 4 na nerazložime idealy. Sobraniem po konečno mnogyh komponentov se potom prihodit k ostalym razloženjam, čiji teoremy jedinosti sledut kako poslědok iz teorema jedinosti 4.

Naposlědku pokazuje se ( 9), že predstavjenje črez konečno mnogo nerazložimyh komponentov imaje město i pod slabšimi prědpostavkami; komutativnost kolcevoj oblasti ne jest potrěbna, i dostatno jest vměsto ideala razględati modul v odnosu k oblasti. V tom obćejšem slučaju ještě važi ravnost čisla komponentov pri dvoh različnyh razloženjah, medžutym pojmy prosty i primarny sut svęzane s komutativnostju i s pojmom ideala; naprotiv, pojem vzaimnoj prostosti pri idealah v nekomutativnyh oblastjah ostaje.

Najprostějša kolceva oblast, v kotoroj faktično nastupajut četyri odvojene razloženja, jest oblast vseh polinomov od (n) proměnnyh s ljubymi kompleksnymi koeficientami. Jedina razloženja možno tu iracionalno tolkovati črez povedenje algebraičnyh tvorb, i teorem jedinosti za pridružene proste idealy odpovědaje fundamentalnomu teoremu teorije eliminacije o jedinoj razložimosti algebraičnyh tvorb na nerazložime. Daljnje priměry dajut vse konečne oblasti cělosti iz polinomov ( 10). Ale i prosta oblast vseh parnyh čisel, obćejše vseh čisel dělimyh črez jedno ustaljeno čislo, uže dava priměr čestično odvojenyh razloženj ( 11). Priměr teorije idealov v nekomutativnyh oblastjah dava teorija elementarnyh děliteljev ( 12), gdje suščstvuje jedino razloženje na nerazložime idealy, odnosno klasy. Te nerazložime klasy polno karakterizujut nerazložime sostavne česti elementarnyh děliteljev i možno v oblastjah, gdje obyčna teorija elementarnyh děliteljev ne uspěva, smatrjati jih kako jej ekvivalent.

O suščstvujućej literaturi trěba primětiti slědujuče: razloženje na največše primarne idealy za oblast polinomov s ljubymi kompleksnymi, odnosno cělymi, koeficientami dal Lasker, i Macaulay jego v pojedinyh točkah dalje razvil. Oba opirajut se na teoriju eliminacije, znači koristajut fakt, že polinom možno jednoznačno predstaviti kako produkt nerazložimyh polinomov. V samoj stvari razložne teoremy za idealy sut nezavisne od toj prědpostavky, kako može se očekivati iz teorije idealov v algebraičnyh čislovyh poljah i kako pokazuje nastoječa rabota. I primarny ideal pri Laskeru i Macaulayu opreděljen jest na osnově pojmov iz teorije eliminacije.

Razloženje na nerazložime idealy i razloženje na relativno-prosto nerazložime zdaje se, že v literaturi ne bylo zaměčeno ni za oblast polinomov; samo pri Macaulayu nahodi se primětka o jedinosti izolovanyh primarnyh idealov.

Razloženje na vzaimno-prosto nerazložime idealy za oblast polinomov dal Schmeidler, koristeči teoriju eliminacije za dokaz konečnosti. Ale tam teorem jedinosti izrečen jest samo za klasy idealov, ne za same idealy. Poslědnji teorem jedinosti nahodi se v obćej rabotě, gdje jde o idealy v nekomutativnyh polinomovyh oblastjah. Tam se upotrěbja samo konečny idealny bazis; teoremy i metody zato ostavajut važne za obče kolceve oblasti, i nastoječa rabota jih zaostruje v odnosu k ravnosti čisla ( 11). Nastoječa izslědovanja predstavljajut silno obobčenje i daljnje razvijanje pojmovyh tvorb, ležečih v osnově oběh rabot. Suščstveno v oběh rabotah jest prěhod od predstavjenja kako najmenšego občego mnogokratnogo k aditivnomu razloženju sistema klasov ostatkov. Tu, dlja prostějšego izloženja, znovo ostajemo pri najmenšem občem mnogokratnom; aditivnomu razloženju togda odpovědaje prěoblikovanje pojma razložimosti v svojstvo komplementa ( 3). Ale po razmyslam, ktore suščstveno odpovědajut tym iz obćej raboty, vse navedene teoremy možno takože razuměti kako aditivne razložne teoremy za sistem klasov ostatkov i někotore podsistemy. Taj sistem klasov ostatkov tvori kolco takoj samoj obćnosti kako prvonačalno osnovano; imenno každo kolco možno razuměti kako sistem klasov ostatkov togo ideala, ktory odpovědaje cělosti identičnyh relacij medžu elementami kolca; ili takože někoj podsistemy tyh relacij, ako ostale relacije prijimajut se kako uže izpolnjene v oblasti.

Ta primětka dava takože město rabotam Fraenkela. Fraenkel razględa aditivne razloženja kolc, ktore podvrgajut se takim ograničnym uslovjam (suščstvovanje regularnyh elementov, děljenje črez njih, uslovje razložimosti), že za odpovědajuči ideal četyri razloženja sovpadajut. Iz-za togo sovpadanja jego uslovje konečnosti, že ideal ima samo konečno mnogo vlastnyh děliteljev -- od čego se v česti odstupaje -- ne znači silnějše ograničenje než naše. Izhodišče Fraenkela jest uslovjeno inymi, v sučnosti algebraičnymi, cěljami jego rabot; črez algebraično razširjenje on potom prihodit k obćejšim kolcam s mene ograničnymi uslovjami.

1. Kolceva oblast, ideal, uslovje konečnosti.

2. Za osnovu vzęta oblast ( ) naj bude (komutativno) kolco v abstraktnoj definiciji; t. j. ( ) sostoji iz sistema elementov (a,b,c, ,f,g,h, ), v kojem relacija, zadovolajuča obyčne uslovja, jest definirana kako ravnost; i v kojem črez dvě operacije (vrsty spojivanja), složenje i množenje, iz každih dvoh elementov kolca (a) i (b) vsegda jednoznačno dobiva se tretji element kako suma (a+b) i kako produkt (a b). Kolco i ty inače polno proizvoljne operacije morajut pri tom zadovolati slědujučim zakonom:

Asociativny zakon složenja: ((a+b)+c=a+(b+c)). Komutativny zakon složenja: (a+b=b+a). Asociativny zakon množenja: ((a b)c=a(b c)). Komutativny zakon množenja: (a b=b a). Distributivny zakon: (a(b+c)=ab+ac). Zakon neograničenogo i jednoznačnogo odčitanja. V ( ) suščstvuje jediny element (x), ktory zadovolja jednačenje (a+x=b). (Označuje se (x=b-a).)

Iz tyh svojstv slěduje suščstvovanje nuly; ale kolco ne trěba iměti jedinicu; i produkt dvoh elementov može izčeznuti, bez togo že ktory faktor izčezne. Kolca, pri ktoryh iz izčeznenja produkta vsegda slěduje izčeznenje jednogo faktora i ktore mimo to imajut jedinicu, nazivajut se vlastne oblasti cělosti. Za konečnu sumu (a+a+ +a) vvodimo obyčno skračeno označenje (na), pričem cěle čisla (n) trěba smatrjati samo kako skračujuče znaky, ne kako elementy kolca, i gdje (a=1a), (na+a=(n+1)a) sut definirane rekurentno.

2. Pod idealom ( M) v ( ) razuměje se sistem elementov iz ( ), ktory zadovolja dvě uslovja:

( M) vměstě s (f) vsebuje takože (a f), gdje (a) jest ljuby element iz ( ). ( M) vměstě s (f) i (g) vsebuje takože razliku (f-g); znači vměstě s (f) takože (nf) za vsako cělo čislo (n).

Ako (f) jest element od ( M), to izgovarjamo obyčno črez (f 0( M)) i govorimo, že (f) jest dělimy črez ( M). Ako každy element od ( N) jest takože element od ( M), znači dělimy črez ( M), govorimo: ( N) jest dělimy črez ( M); v znakoh: ( N 0( M)). ( M) naziva se vlastny dělitelj od ( N), ako vsebuje elementy različne od elementov ( N), znači ako obratno ne jest dělimy črez ( N). Iz ( N 0( M)), ( M 0( N)) slěduje ( N= M).

Takože ostale znane pojmy ostavajut doslovno. Pod najvećim obštym děliteljem dvoh idealov ( A) i ( B), to jest ( D=( A, B)), razumějemo cělost elementov, ktore možno predstaviti v forme (a+b), gdje (a) proběga vse elementy iz ( A), a (b) vse elementy iz ( B); ( D) znovo stava idealom. Podobno najveći obšty dělitelj beskonečno mnogyh idealov,

definira se kako cělost elementov (d), ktore možno predstaviti kako sumu elementov vsakokrat iz konečno mnogyh idealov:

i tu ( D) znovo stava idealom.

Ako ideal ( M) osoblivo vsebuje konečno mnogo elementov (f_1,f_2, ,f_ ) tako, že

za vsako (f 0( M)), pričem (a_i) sut veličiny kolcevoj oblasti, a (n_i) sut cěle čisla, togda ( M) naziva se konečny ideal; (f_1, ,f_ ) naziva se idealny bazis.

V daljnem za osnovu beremo samo taka kolca ( ), ktore izpolnjajut uslovje konečnosti: každy ideal v ( ) jest konečny, znači imaje idealny bazis.

3. Iz uslovja konečnosti neposrědnje slěduje stav, ktory leži v osnově vseh daljnyh razmyslov:

Teorem I (teorem o konečnoj cěpi). Ako ( M, M_1, M_2, , M_ , ) jest izčisljivo beskonečny sistem idealov v ( ), od ktoryh každy jest dělimy črez slědujuči, togda od někojego konečnogo indeksa (n) dalje vsi idealy sut identične:

Drugymi slovami: ako ( M, M_1, M_2, , M_s, ) tvoret prosto uporjadkovanu cěp idealov tako, že každy ideal jest vlastny dělitelj neposrědnje prědhodnogo, togda cěp prekida se v konečnom.

Imenno, naj

bude najveći obšty dělitelj sistema, a (f_1, ,f_ ) bazis od ( D), ktory vsegda suščstvuje po uslovju konečnosti. Togda iz prědpostavky dělimosti slěduje, že každy element od ( D) jest takože element jednogo ideala cěpi; bo iz

slěduje (g 0( M_s)), i zato (f 0( M_s)). Odpovědajuči fakt važi, ako (f) jest suma věče mnogyh česti. Zato suščstvuje takože konečny indeks (n), tak že

Poneže obratno ( M_n 0( D)), stava ( M_n= D); i poneže dalje ( M_n 0( D)), ( D= M_n 0( M_r)), stava takože ( M_r= D= M_n) za vsako (r>n). Tym teorem jest dokazan.

Trěba primětiti, že iz togo teorema obratno znovo slěduje suščstvovanje idealnogo bazisa, tako že uslovje konečnosti moglo by byti izrečeno i v toj bezbazisnoj formě.

2. Predstavjenje ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo konečno mnogyh nerazložimyh idealov.

Najmenše obče mnogokratno ([ B_1, B_2, , B_k]) idealov ( B_1, B_2, , B_k) naj bude definirano, kako obyčno, kako cělost elementov, ktore sut dělimy i črez ( B_1), i črez ( B_2), ( ), i črez ( B_k); v znakoh:

i obratno. Najmenše obče mnogokratno znovo stava idealom; idealy ( B_i) označajemo takože kako komponenty razloženja.

Definicija I. Predstavjenje ( M=[ B_1, , B_k]) naziva se redukovano predstavjenje, ako nijedno ( B_i) ne děli najmenše obče mnogokratno ( U_i) ostalyh idealov, i ako nijedno ( B_i) ne može byti zaměnjeno vlastnym děliteljem. Ako uslovja sut izpolnjene samo za ideal ( B_i), togda predstavjenje naziva se redukovano v odnosu k ( B_i). Najmenše obče mnogokratno ( U_i=[ B_1, , B_i-1, B_i+1, , B_k]) označuje se kako komplement od ( B_i). Predstavjenja, pri ktoryh izpolnjeno jest samo prvo uslovje, nazivajut se najkratše predstavjenja.

Dosta jest zato pri predstavjenju ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo ograničiti se na redukovane predstavjenja, po slědujuči

Lema I. Vsako predstavjenje ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo konečno mnogyh idealov možno najmenej jednim sposobom zaměniti redukovanym predstavjenjem; tako predstavjenje može se osoblivo dostignuti sukcesivnym razloženjem.

Imenno, naj ( M=[ B_1, , B_k]) bude proizvoljno predstavjenje od ( M). My po redu opuščajemo ty ( B_i), ktore děljat najmenše obče mnogokratno ostavjenyh idealov. Poneže ostale idealy vsešče daju ( M), v tako nastavajučem predstavjenju

prvo uslovje jest togda izpolnjeno; ono jest zato najkratše predstavjenje, i to uslovje ostava izpolnjeno, ako se ktore-koli ( B_i) zaměni vlastnym děliteljem. Drugo uslovje jest po teoremu o konečnoj cěpi (teorem I) vsegda dostignivo. Bo naj bude položeno:

gdě vsako ( B_i^( )) jest vlastny dělitelj od neposrědnje prědhodnogo ideala. Togda po tom teoremu cěp ( B_i, B_i', , B_i^( ), ) mora prěkinuti se v konečnom; v predstavjenju ( M=[ U_i, B_i^( )]) ideal ( B_i^( )) zato ne može byti zaměnjen svojim vlastnym děliteljem. To važi tym bole, ako se ( U_i) zaměni vlastnym děliteljem. Ako se zato procedura priměni po redu na vsako ( B_i), pri čem se vsakokrat komplement tvori s uže redukovanymi ( B), nastava redukovano predstavjenje.

Da by se tako predstavjenje dobilo sukcesivno, trěba pokazati, že iz pojedinyh redukovanyh predstavjenj

slěduje, že takože iz njih nastavajuče predstavjenje ( M=[ B_1, , B_k, C_k]) jest redukovano. Dosta jest pokazati, že s redukovanymi predstavjenjami

takože ( M=[ B, C_1, C_2]) jest redukovano. V samoj stvari tu po prědpostavce nijedno ( B) ne děli svojego komplementa. Ako by to bylo za nekoje ( C_i), togda protiv prědpostavce v prvom predstavjenju ( C) moglo by byti zaměnjeno vlastnym děliteljem, poneže po drugom redukovanom predstavjenju ( C_1) i ( C_2) sut vlastne děliteli od ( C); predstavjenje zato stava najkratše. Dalje po prědpostavce nijedno ( B) ne može byti zaměnjeno vlastnym děliteljem; ako by to bylo za nekoje ( C_i), to by protiv prědpostavce odgovarjalo zaměnjenju ( C) vlastnym děliteljem, poneže predstavjenje za ( C) jest redukovano. Tym lema jest dokazana.

Definicija II. Ideal ( M) naziva se razložimy, ako on može byti predstavjen kako najmenše obče mnogokratno dvoh vlastnyh děliteljev; v protivnom slučaju ( M) naziva se nerazložimy.

Teper dokazujemo s pomočju teorema I o konečnoj cěpi, koristajuči redukovano predstavjenje:

Teorem II. Vsaky ideal možno predstaviti kako najmenše obče mnogokratno konečno mnogyh nerazložimyh idealov.

Imenno, proizvoljny ideal ( M) ili jest nerazložimy; togda ( M=[ M]) jest predstavjenje, kako teorem II trěbuje. Ili pak ( M=[ B_1, C_1]), gdje ( B_1, C_1) sut vlastne děliteli od ( M), i gdje predstavjenje po lemi I može byti prijeto kako redukovano. Za ( C_1) važi ta sama alternativa: ili on jest nerazložimy, ili suščstvuje redukovano predstavjenje ( C_1=[ B_2, C_2]).

Tako prodolžajuči dobivamo red redukovanyh predstavjenj

V cěpi ( C_1, C_2, , C_n, ) jest zato vsakokrat ( C_n) vlastny dělitelj od neposrědnje prědhodnogo ideala, i slědovateljno cěp prěkida se v konečnom; suščstvuje indeks (n), tako že ( C_n) stava nerazložimy. Po lemi I jest dalje predstavjenje ( M=[ U_n, C_n]) redukovano; ( C_n) zato ne može děliti svoj komplement ( U_n), i v predstavjenju ( M=[ U_n, C_n]) ( U_n) ne može byti zaměnjeno nijakym vlastnym děliteljem. Ako se po potrěbě ( U_n) zaměni vlastnym děliteljem, tako že predstavjenje stava redukovano, tym jest pokazano, že vsaky razložimy ideal dopušča redukovano predstavjenje kako najmenše obče mnogokratno jednogo nerazložimogo i jednogo k njemu komplementarnogo ideala. V redu (1) zato bez ograničenja obćosti vsi ( B_i) mogut byti prijete kako nerazložime; povtorjenje gornjego zaključivanja daje suščstvovanje nerazložimogo ( C_n), čime teorem II jest dokazan.

3. Ravnost čisla komponentov pri dvoh različnih razloženjah na nerazložime idealy.

Za dokaz ravnosti čisla trěba najprvo izraziti razložimost odnosno nerazložimost ideala črez svojstva jego komplementa po slědujučem teoremu.

Teorem III. Najkratše predstavjenje ( M=[ U, C]) naj bude redukovano v odnosu k ( C). Togda nužno i dostatočno uslovje za to, že ( C) jest razložimy, jest suščstvovanje dvoh idealov ( N_1) i ( N_2), ktore sut vlastne děliteli od ( M), tako že

Iz togo još slěduje: ako uslovja (2) sut izpolnjene, a ( C) jest nerazložimy, togda najmenej jedno ( N_i) ne jest vlastny dělitelj od ( M); ( N_i= M).

Naj bude ( C=[ C_1, C_2]), gdje ( C_1, C_2) sut vlastne děliteli od ( C). Togda vyhodi

Tu idealy ([ U, C_i]) sut vlastne děliteli od ( M), bo inače ([ U, C]) ne bylo by redukovano v odnosu k ( C). Poneže takože dělimost črez ( U) jest izpolnjena, uslovje (2) jest dokazano kako nužno. (Predstavjenje (2) ne jest redukovano, bo jedno ([ U, C_i]) može byti zaměnjeno črez ( C_i).)

Naj teper obratno (2) bude izpolnjeno. Tvorimo idealy

Togda ( C) jest dělimy i črez ( C_1), i črez ( C_2), zato takože črez najmenše obče mnogokratno ( C^). Da by se pokazala dělimost od ( C^) črez ( C), naj

gdje (c,t,n_1,n_2) sut veličiny iz ( C, C, N_1, N_2), znači osoblivo (n_1) jest dělimy črez ( N_1). Zato razlika

jest dělimy i črez ( C), i črez ( U), zato črez ( M). Po (n_1=n_2+m) jest dalje (n_1) (takože (n_2)) dělimy i črez ( N_1), i črez ( N_2), zato črez ( M). Zato stava

( C_1) i ( C_2) sut pri tom vlastne děliteli od ( C); bo pri ( C_1=( C, N_1)= C) byl by ( N_1) dělimy črez ( C), zato iz dělimosti črez ( U) byl by rovny ( M), protiv prědpostavce. Zato ( C=[ C_1, C_2]) jest poznany kako razložimy; teorem III jest dokazan.

Trěba primětiti, že skoro to samo razmysljenje pokazuje još slědujuče:

Lema II. Ako v najkratšem predstavjenju ( M=[ U, C]) ideal ( C) može byti zaměnjen vlastnym děliteljem, togda ( C) jest razložimy.

Naj zato

i naj bude položeno

Togda ( C) znovo jest dělimy črez ( C^). Iz (f 0( C^)) dalje slěduje

Razlika (a=c_1-c) jest zato dělimy i črez ( U), i črez ( C_1), slědovateljno črez ( M); zato stava (c_1=c+m), (f 0( C)), ( C^= C). Poneže i ( C_1), i (( U, C)) sut po prědpostavce vlastne děliteli od ( C), tym ( C= C^) jest poznany kako razložimy.

Nerazložimy ( C) zato ne može byti zaměnjen vlastnym děliteljem.

Naj teper budut dane dvě različne najkratše predstavjenja od ( M) kako najmenšego občego mnogokratnogo konečno mnogyh nerazložimyh idealov:

Ty predstavjenja sut po primětce k lemi II takisto redukovane. Togda najprvo dokazujemo

Lema III. K vsakomu komplementu ( U_i=[ B_1 B_i-1 B_i+1 B_k]) suščstvuje ideal ( D_j), tak že ( M=[ U_i, D_j]).

Imenno, ako položimo ( M=[ B_i, C_1]), ( C_1=[ D_1, C_2]) itd., togda dobiva se

Tu za ( N_1=[ U_i, D_1]), ( N_2=[ U_i, C_2]) sut izpolnjene uslovja (2) teorema III, poneže ( M=[ U_i, B_i]) jest redukovano v odnosu k ( B_i), a predstavjenje jest najkratše. Poneže ( B_i) byl prědpostavjen kako nerazložimy, nužno jedno ( N_i) mora stati rovno ( M).

Ako ([ U_i, D_1]= M), lema jest dokazana; ako ([ U_i, C_2]= M), odpovědajuče dobiva se ( M=[[ U_i, D_1],[ U_i, C_2]]), gdje po tom samom zaključku znovo jedna komponenta mora stati rovna ( M). Tako prodolžajuči, dolazi ili ( M=[ U_i, D_j]), gdje (j<l); ili stava ( M=[ U_i, D_1, , D_l-1]); po ( D_1 D_l-1= D_l) tym lema jest dokazana.

Iz togo teper slěduje

Teorem IV. Pri dvoh različnih najkratših predstavjenjah ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo iz nerazložimyh, čislo komponentov jest isto.

Iz lemy imenno slěduje za (i=1):

Ako teper razgledajemo dvě razloženja

i povtorimo gornji zaključak v odnosu k komplementu ( U_2=[ D_j_1, B_3, , B_k]) od ( B_2), togda dobiva se

i prodolženjem procedury

Poneže po prědpostavce predstavjenje ( M=[ D_1 D_l]) jest najkratše, znači nijedno ( D) ne može byti opuščeno, različne među ( D_j_i) morajut iscrpati vse ( D); zato (k l). Ako v lemi i slědujučih zaključkah vsudy zaměnimo ( B) s ( D), odpovědajuče dobiva se (l k), i zato (k=l), čime ravnost čisla jest dokazana. Iz togo još slěduje, že idealy ( D_j_i) sut vsi medžu soboju različne, bo inače v najkratšem predstavjenju črez ( D_j_i) pojavilo by se menje než (k) komponentov; možno zato vybrati označenje tako, že ( D_j_i= D_i). Iz toj samoj pričiny sut takože vsa medžupredstavjenja ( M=[ D_j_1 D_j_r, B_r+1, , B_k]) najkratše i po primětce k lemi II zato redukovane.

Ravnost čisla vodi k obratu lemy I črez

Lema IV. Ako se v redukovanom predstavjenju komponenty shvate v grupy i stvori se njihovo najmenše obče mnogokratno, nastavajuče predstavjenje bude redukovano. Drugymi slovami: iz redukovanogo predstavjenja

slěduje, že takože ( M=[ N_1, N_2]) jest redukovano, ako jest položeno ( N_1=[ C_1, , C_h]), ( N_2=[ C_h+1, , C_k]).

Najprvo trěba primětiti, že ( N_1) ne može děliti svoj komplement ( N_2), bo to ne važi za nijednogo iz jego děliteljev ( C_i); predstavjenje jest zato najkratše. Da by se pokazalo, že ( N_1) ne može byti zaměnjeno nijakym vlastnym děliteljem, razlagajemo ( C) na jih nerazložime idealy ( B), tako že nastavajut (po lemi I) redukovane predstavjenja

Naj teper ( M=[ N_1, N_2]) bude redukovano v odnosu k ( N_2), a ( N_1^*) vlastny dělitelj od ( N_1). Po lemi II stava

i to predstavjenje jest nužno redukovano v odnosu k ( N_1^), bo inače ( N_1) moglo by se i v ( M) zaměniti vlastnym děliteljem. Zaměnimo teper po potrěbě takože (( N_1, N_2)) vlastnym děliteljem, tako že nastane redukovano predstavjenje za ( N_1). Ako teper razložimo obě komponenty od ( N_1) na nerazložime idealy, čislo ( ) nerazložimyh idealov od ( N_1) sklada se aditivno iz čisel komponentov; čislo nerazložimyh idealov odgovarjajučih vlastnomu dělitelju ( N_1^) jest zato nužno menje než ( ). Togda ale i razloženje od ( M=[ N_1^*, N_2]) na nerazložime idealy vodi k menje než ( ) idealam, v protivrěčnosti s ravnostju čisla. Kako specialny slučaj ( još slěduje, že predstavjenje ( M=[ N_1, N_2]) jest takože redukovano v odnosu k komplementu ( N_2).

4. Primarne idealy. Jedinost pridruženih prostyh idealov pri dvoh različnih razloženjah na nerazložime idealy.

V slědujučem ide o svęz medžu primarnymi i nerazložimymi idealami.

Definicija III. Ideal ( Q) imenuje se primarny, ako iz (a b 0( Q)), (a 0( Q)) nužno slěduje (b^ 0( Q)), gdje eksponent ( ) jest konečno čislo.

Definicija može byti izrečena takože tak: ako produkt (a b) jest dělimy črez ( Q), togda ili jeden faktor jest dělimy črez ( Q), ili nějaky stepen vsakogo faktora jest dělimy črez ( Q). Ako osoblivo ( ) vsegda jest ravno (1), togda ideal imenuje se prosty ideal.

Iz definicije primarnogo, odnosno prostogo, ideala posrědstvom suščstvovanja bazisov slěduje formulacija, ktora govori samo o produktah idealov.

Definicija IIIa. Ideal ( Q) imenuje se primarny, ako iz ( A B 0( Q)), ( A 0( Q)) nužno slěduje ( B^ 0( Q)). Ako ( ) vsegda jest ravno (1), togda ideal imenuje se prosty ideal. Za prosty ideal ( P) zato iz ( A B 0( P)), ( A 0( P)) vsegda slěduje ( B 0( P)).

Poneže v IIIa za ( A=(a)), ( B=(b)) definicija III jest sodržana kako specialny slučaj, vsaky ideal primarny po IIIa jest takože primarny po III. Naj obratno ( Q) bude primarny po III, i naj bude izpolnjena předpostavka IIIa: ( A B 0( Q)). Togda ili slěduje ( A 0( Q)), ili suščstvuje najmenej jedna veličina (a 0( Q)), taka že (a B 0( Q)), (a 0( Q)). Ako teper (b_1, ,b_s) jest idealny bazis od ( B), togda po definiciji III, poneže (a b_i 0( Q)), dobiva se

Zaradi

za ( produkt vsakyh ( ) veličin (b) jest dělimy črez ( Q). S tym jest za idealy primarne po III dokazano izpolnjenje definicije IIIa. Specialno za proste idealy ( P) iz (a B 0( P)), znači takože (a b 0( P)) za vsako (b 0( B)), i (a 0( P)), slěduje (b 0( P)) i zato ( B 0( P)). S tym jest pokazana ekvivalentnost oběh definicij.

Svęz medžu primarnymi i prostymi idealami ustanavlja se primětkoju, že cělost ( P) vseh elementov (p) s svojstvom, že nějaky stepen od (p) jest dělimy črez ( Q), tvori prosty ideal. Najprvo jest jasno, že ( P) jest ideal, poneže pored (p_1) i (p_2) takože (a p_1) i (p_1-p_2) imajut nazvano svojstvo. Po tom samom bazisnom zaključku, ktory byl priměnjen pri definiciji IIIa, dalje dobiva se suščstvovanje čisla ( ), takogo že ( P^ 0( Q)).

Naj teper

Togda po definiciji ( P) dobiva se

tedy po definiciji ( Q):

čim ( P) jest dokazan kako prosty ideal. ( P) jest takože definovany kako najveći obšty dělitelj vseh idealov ( B) s svojstvom, že nějaky stepen od ( B) jest dělimy črez ( Q). Bo vsaky takovy ( B) jest dělimy črez ( P); zato takože največši obšty dělitelj ( D) tyh ( B) jest dělimy črez ( P). Obratno, sam ( P) jest takovy ideal ( B), zato jest dělimy črez ( D), čim jest dokazano ( P= D). Zato ( P) jest prosty ideal, ktory jest dělitelj od ( Q) i od ktorogo nějaky stepen jest dělimy črez ( Q); črez to svojstvo on jest jednoznačno definovany. Bo iz

slěduje:

tedy po svojstvu prostyh idealov

Sobrano, imajemo:

Teorem V. K vsakomu primarnomu idealu ( Q) suščstvuje jeden i samo jeden prosty ideal ( P), ktory jest dělitelj od ( Q) i od ktorogo nějaky stepen jest dělimy črez ( Q); ( P) bude nazvan ``pridruženy prosty ideal''. ( P) jest definovany kako najveći obšty dělitelj vseh idealov ( B) s svojstvom, že nějaky stepen od ( B) jest dělimy črez ( Q). Ako ( ) jest najmenše čislo tako, že ( P^ 0( Q)), togda ( ) bude nazvano eksponentom od ( Q).

Teper dokazujemo svęz medžu primarnostju i nerazložimostju:

Teorem VI. Vsaky neprimarny ideal jest razložimy; drugymi slovami: vsaky nerazložimy ideal jest primarny.

Naj ( K) bude neprimarny ideal, tako že po definiciji III suščstvuje najmenej jedna para veličin (a,b), taka že

Tvorimo teper dva ideala

ktore po (3) sut vlastne děliteli od ( K) i za ktore po (3) važi

Za elementy (f) najmenšego občego mnogokratnogo ( K_2=[ K_1, N_1]) teper važi alternativa.

Ili iz

vsegda slěduje predstavjenje

a zato po (4) (f 0( K)). Tedy ( K_2 0( K)), i poneže ( K 0( K_2)), takože ( K= K_2); s tym ( K) jest poznany kako razložimy.

Ili suščstvuje najmenej jedno (f 0( K_2)), za ktoro takovo (l_1) ne suščstvuje. Togda s (a_1) pridruženym tomu (f) tvorimo

Togda zaradi (a_1b 0( K_1)) po (4) takože

i ( K_2) postava vlastny dělitelj od ( K_1).

Za elementy (f) od ( K_3=[ K_2, N_2]) važi ta sama alternativa.

Ili iz

vsegda slěduje

i tym po (4') (f 0( K)).

Ili za najmenej jedno (f) ne suščstvuje takovo (l_2), čto vodi k tvorjenju ( K_3=( K,a,a_1,a_2)) i ( N_3=( K,b^3)), s ( K_3 N_3 0( K)), gdje ( K_3) jest vlastny dělitelj od ( K_2). Tako prodolžujuči, definiramo v občem:

gdje (a_n) sut definovane tym, že suščstvuje (f), tako že

Potom v občem ( K_n N_n 0( K)), ( N_n) po (3) jest vlastny dělitelj od ( K), i ( K_n) jest vlastny dělitelj od ( K_n-1). Po teoremu I o konečnoj cěpi cěp ( K_n) mora prěrvatise v konečnom, napr. pri ( K_n). Za vsako (f 0( K_n)), (f 0( N_n)) zato (f l_n b^n;( K)) s (l_n 0( K_n)), i slědovatelno po gornjem zaključku dobiva se ( K=[ K_n, N_n]), čim ( K) jest dokazan kako razložimy.

Iz právě dokazanogo jedinost pridruženih prostyh idealov slěduje tako:

Naj budut

dva najkratša, zato redukovana predstavjenja od ( M) kako najmenšego občego mnogokratnogo iz nerazložimyh idealov, čije čislo po teoremu IV sovpada. Togda po tom teoremu takože tam nastavajuča medžupredstavjenja (gdje, kako tam bylo priměčeno, indeks (j_i=i) može byti položen)

sut najkratša predstavjenja. Zato

Poneže po teoremu VI nerazložime idealy ( B_i) i ( D_i) sut primarne, iz togo slěduje suščstvovanje dvoh čisel ( _i) i ( _i), takih že

Naj ( P_i) odnosno ( P_i) označajut pridružene proste idealy od ( B_i) odnosno ( D_i); zato ( P_i^ _i 0( B_i)), ( P_i^ _i 0( D_i)). Togda iz (5) dobiva se

i iz togo po svojstvu prostyh idealov:

S tym jest dokazano:

Teorem VII. Pri dvoh različnih najkratših predstavjenjah ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo iz nerazložimyh idealov pridružene proste idealy sovpadajut; medžu njimi mogut se pojavjati takože jednaki, i to v vsakom razloženju jednako često. Slědovatelno same idealy možno jest na najmenej jeden sposob poparno pridružiti tako, že vsaky raz nějaky stepen jednogo ideala ( B_i) jest dělimy črez pridruženy ( D_i), i obratno. Njihovo čislo sovpada po teoremu IV.

5. Predstavjenje ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo iz najvećih primarnyh idealov. Jedinost pridruženih prostyh idealov.

Definicija IV. Najkratše predstavjenje ( M=[ Q_1 Q_ ]) bude nazvano predstavjenjem kako najmenše obče mnogokratno iz največih primarnyh idealov, ako vse ( Q) sut primarne, ale najmenše obče mnogokratno dvoh ( Q) uže ne jest primarne.

Že najmenej jedno tako predstavjenje vsegda suščstvuje, slěduje iz predstavjenja ( M) kako najmenšego občego mnogokratnogo iz nerazložimyh idealov. Bo te idealy sut primarne; ili uže obstaja predstavjenje črez najveće primarne idealy, ili najmenše obče mnogokratno někojih dvoh idealov znovu bude primarne. Poneže tu čislo idealov umenšilo se za jeden, povtorjenje procedury po konečno mnogih krokah vodi k želanomu predstavjenju.

To predstavjenje jest redukovano po lemi IV. Obratno, vsako redukovano predstavjenje črez najveće primarne idealy nastaje na toj sposob, kako pokazuje razloženje ( Q) na nerazložime idealy.

Da by se tu iz teorema VII vyvel odpovědajuči teorem jedinosti, treba izslědovati svęz s pridruženymi prostymi idealami.

Teorem VIII. Ako primarne idealy ( N_1, N_2, , N_ ) vse imajut to samo pridruženy prosty ideal ( P), togda njihovo najmenše obče mnogokratno ( Q=[ N_1, N_2, , N_ ]) jest takože primarne i ima ( P) kako pridruženy prosty ideal. Obratno, ako ( Q=[ N_1 N_ ]) jest redukovano predstavjenje primarnogo ideala ( Q), togda vse ( N_i) sut primarne i imajut kako pridruženy prosty ideal pridruženy prosty ideal ( P) od ( Q).

Za dokaz prvogo česti tvrdženja najprvo primětimo, že iz ( P^ _i 0( N_i)) za vsako (i) takože slěduje ( P^ 0( Q)), gdje ( ) znači največši iz indeksov ( _i). Poneže ( P) dalje jest takože dělitelj od ( Q), ( P) nužno jest pridruženy prosty ideal, ako ( Q) jest primarny. Iz

slěduje zato

i tym ( A 0( N_i)); zato ( A 0( Q)). S tym jest dokazano, že ( Q) jest primarny i že ( P) jest jego pridruženy prosty ideal.

Obratno naj bude najprvo

najkratše predstavjenje od ( Q) črez primarne idealy ( N_i), i naj ( P_i) budut odpovědajuče pridružene proste idealy. Iz

(zaradi najkratšego predstavjenja) togda dobiva se

Poneže ( P_i) jest jednočasno dělitelj od ( Q), ( P_i) za vsako (i) sovpada s pridruženym prostym idealom ( P) od ( Q).

Ostaje pokazati, že pri vsakom redukovanom predstavjenju ( Q=[ N_1 N_ ]) idealy ( N_i) sut primarne. Za to razložimo ( N_i) na jih nerazložime idealy ( B); v tako nastajučem najkratšem predstavjenju ( Q=[ B_1 B_s]) vsaky ideal jest primarny i po ravno dokazannom ima ( P) kako pridruženy prosty ideal. Togda po prvom česti teorema dokazannom vyše to samo važi za vsako ( N_i), čime teorem VIII jest polno dokazany.

Dodatok. Iz togo još slěduje, že prosty ideal nužno jest nerazložimy. Bo iz redukovanogo predstavjenja ( P=[ N, K]) dobiva se po teoremu VIII ( N 0( P)); zato, poneže ( P 0( N)), takože ( P= N), i jednako ( P= K). Nerazložimost od ( P) dobiva se takože direktno: bo iz ( P=[ N, K]) slěduje ( N K 0( P)), ( N 0( P)), ( K 0( P)), protivno definicijskomu svojstvu prostogo ideala.

Naj teper

budut dva redukovane predstavjenja od ( M) kako najmenšego občego mnogokratnogo iz največih primarnyh idealov. Razlagajuči ( Q) na jih nerazložime idealy ( B), a ( Q') odpovědajuče na nerazložime idealy ( D), dobivajut se dva redukovane predstavjenja za ( M) kako najmenše obče mnogokratno iz nerazložimyh idealov, pri ktoryh po teoremu VII sovpadajut i čislo komponentov i pridružene proste idealy. Po teoremu VIII vse nerazložime idealy ( B), ktore nastupajut pri fiksovanom ( Q_i), imajut to samo pridruženy prosty ideal ( P_i); medžutym ( P_j), pridruženy k ( Q_j), nužno jest od togo različny, poneže inače po teoremu VIII ne bylo by predstavjenja črez največše primarne idealy. Čislo ( ) idealov ( Q) zato jest ravno čislu različnih pridruženyh prostyh idealov ( P) od idealov ( B); te različne ( P) tvoręt pridružene proste idealy od ( Q). To samo važi za ( Q') v odnosu k jih razloženju na ( D). Iz teorema VII zato slěduje ravnost čisla ( Q) i ( Q') i sovpadanje jih pridruženyh prostyh idealov. Jednočasno pokazuje se, že na početku paragrafa ukazano shvaćanje nerazložimyh idealov v najveće primarne sostoji v tom, že se shvaćajut vse s tym samym pridruženym prostym idealom, i samo te. Teorem VIII dalje pokazuje svojstvo nerazložimosti največih primarnyh idealov: oni ne dopustjajut redukovanogo predstavjenja kako najmenše obče mnogokratno iz največih primarnyh idealov.

Sobrano jest dokazano:

Teorem IX. Pri dvoh redukovanyh predstavjenjah ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo iz največih primarnyh idealov sovpadajut čislo komponentov i pridružene proste idealy, ktore vse sut medžu soboju različne. Drugymi slovami: vsakomu ( Q) možno jest jedno-jednoznačno pridružiti jedno ( Q') tako, že nějaky stepen od ( Q) jest dělimy črez ( Q'), i obratno. -- Idealy ( Q) i ( Q') imajut svojstvo nerazložimosti v odnosu k razloženju na najveće primarne idealy.

Dodatok. Treba primětiti, že teorem IX v suščnosti ostaje važeči, ako se vměsto redukovanogo predpostavlja samo najkratše predstavjenje. Ako napr.

jest redukovano v odnosu k ( Q_i^), i ( Q_i^) jest vlastny dělitelj od ( Q_i), a ( U_i) jest komplement od ( Q_i), togda po lemi IV dobiva se

i to predstavjenje jest redukovano v odnosu k ( Q_i^). Po teoremu VIII, pri jego priměnjenju ako treba zaměniti (( U_i, Q_i)) vlastnym děliteljem, ( Q_i^) zato jest primarny i ima to samo pridruženy prosty ideal ( P_i) kako ( Q_i). Prodolženje procedury pokazuje, že vsakomu takomu predstavjenju možno jest pridružiti redukovano predstavjenje črez najveće primarne idealy tako, že čislo komponentov i pridružene proste idealy sovpadajut. Zato i pri najkratšem predstavjenju važi, že pri dvoh različnih predstavjenjah čislo komponentov i pridružene proste idealy sovpadajut.

Tak jednoznačno definirane pridružene, medžu soboju različne proste idealy budut kratko nazyvane ``pridružene proste idealy od ( M)''.

6. Jedino predstavjenje ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo iz relativno-prosto-nerazlozimyh idealov.

Definicija V. Ideal ( R) nazyvaje se relativno prosty k ( S), ako iz

nužno slěduje ( T 0( S)). Ako i ( R) jest relativno prosty k ( S), i ( S) jest relativno prosty k ( R), togda ( R) i ( S) nazyvajut se vzaimno relativno prostymi.

Ideal nazyvaje se relativno-prosto-nerazlozimy, ako jego ne možno predstaviti kako najmenše obče mnogokratno iz vzaimno relativno prostyh vlastnyh děliteljev.

Ako se osoblivo vměsto ( T) vozme največši obšty dělitelj ( T_0) vseh ( T), za ktore ( T R 0( S)), togda takože ( T_0 R 0( S)) i ( S 0( T_0)). Zato ( T_0= S), ako ( R) jest relativno prosty k ( S); a ( T_0) jest vlastny dělitelj od ( S), ako ( R) ne jest relativno prosty k ( S).

Dokaz jedinosti opira se na:

Teorem X. 1. Ako ( R) jest relativno prosty k idealam ( S_1, , S_ ), togda ( R) jest relativno prosty i k jih najmenšemu občemu mnogokratnomu ( S).

2. Ako idealy ( S_1, , S_ ) sut relativno proste k ( R), togda i jih najmenše obče mnogokratno ( S) jest relativno proste k ( R).

3. Ako ( R) jest relativno prosty k ( S) i ( S=[ S_1 S_ ]) jest redukovano predstavjenje za ( S), togda ( R) jest relativno prosty takože k vsakomu ( S_i).

4. Ako ( S) jest relativno prosty k ( R), togda i vsaky dělitelj ( S_i) od ( S) jest relativno prosty k ( R).

5. Poneže iz ( T R 0( S)) nužno slěduje ( T R 0( S_i)), po predpostavjenju dobivaje se ( T 0( S_i)), i tym ( T 0( S)).

6. Naj bude položeno

Iz ( T S 0( R)) togda slěduje ( T S_1 S_1 0( R)); zato po predpostavjenju ( T S_1 0( R)). Iz togo znovu slěduje ( T S_2 S_12 0( R)), zato ( T S_12 0( R)), i nakonec ( T S_12 -1= T S_ 0( R)); zato ( T 0( R)).

3. Naj ( S_i) označaje komplement od ( S_i). Iz ( T_0 R 0( S_i)) togda, zaradi ( S_i R 0( S_i)), slěduje takože

Ako by ( T_0) byl vlastny dělitelj od ( S_i), togda zaradi redukovanogo predstavjenja ( S=[ S_i, S_i]) i ([ T_0, S_i]) byl by vlastny dělitelj od ( S), protivno predpostavjenju.

4. Iz ( T S_i 0( R)), kde ( T) jest vlastny dělitelj od ( R), slěduje takože ( T S 0( R)); zato ( T) byl by vlastny dělitelj od ( R), protivno predpostavjenju.

Definicija V osoblivo pokazuje, že vsaky ideal jest relativno prosty k jediničnomu idealu ( D), sostavljenomu iz vseh elementov ( ); slědujuče teoremy však važe samo za idealy različne od ( D).

Iz právě dokazanogo teorema X najprvo dobiva se:

Lema V. Vsako predstavjenje ideala kako najmenše obče mnogokratno iz vzaimno relativno prostyh idealov, različnyh od ( D), jest redukovano.

Naj

bude tako predstavjenje. Po teoremu X, 2 togda i ( L_i) jest relativno prosty k ( R_i); zato ( R_i) ne može vhoditi v ( L_i), i predstavjenje jest najkratše. Bo iz ( L_i 0( R_i)), kde ( L_i) jest relativno prosty k ( R_i), zaradi ( D L_i 0( R_i)) slědovalo by takože ( D 0( R_i)); zato ( R_i= D), čto jest izključeno po predpostavjenju.

Naj teper ( R_i) može byti zaměnjen vlastnym děliteljem ( R_i^*). Togda po lemi II ( R_i) jest razlozimy i dobiva se

Ako se tu po potrěbě zaměni (( R_i, L_i)) vlastnym děliteljem (( R_i, L_i)^), i takože ( R_i^) vlastnym děliteljem, tako že nastane redukovano predstavjenje za ( R_i), togda teorem X, 3 pokazuje, že ( L_i) jest relativno prosty takože k (( R_i, L_i)^), a toj ideal zaradi najkratšego predstavjenja jest različen od ( D). No poneže (( R_i, L_i)^) vhodi v (( R_i, L_i)), a (( R_i, L_i)) vhodi v ( L_i), tym jest dokazana protivnost.

Iz teorema X dalje dobiva se teorem, ktory posreduje svęz s pridruženymi prostymi idealami:

Teorem XI. Ako ( R) jest relativno prosty k ( S) i ( S) jest različen od ( D), togda nijeden pridruženy prosty ideal od ( R) ne jest dělimy črez pridruženy prosty ideal od ( S). Obratno, ako tako dělimost ne nastupaje, togda ( R) jest relativno prosty k ( S), i naravno ( S) jest različen od ( D).

Naj

budut redukovane predstavjenja od ( R) i ( S) črez največe primarne idealy; ( P_1, , P_ ) i ( P_1^, , P_ ^) naj budut pridružene proste idealy. Tvrdženje dokazujemo v formě: ako jeden ( P) jest dělimy črez jeden ( P^*), togda ( R) ne može byti relativno prosty k ( S), i obratno.

Naj zato ( P_ 0( P_ ^)), i slědovatelno takože ( Q_ ^ 0( P_ ^)); iz definicije ( P_ ^) slěduje ( Q_ ^ 0( Q_ ^)), zato takože ( R^ 0( Q_ ^)). Naj ( R^ ) bude najnižši stepen od ( R), ktory jest dělimy črez ( Q_ ^). Za ( ideal ( R) jest dělimy črez ( Q_ ^); no poneže po predpostavjenju ( S) jest različen od ( D), ( R) ne jest relativno prosty k ( Q_ ^). Za ( 2) imamo ( R^ -1 R 0( Q_ ^)), ( R^ -1 0( Q_ ^)), zato ( R) ne jest relativno prosty k ( Q_ ^*); i slědovatelno v obojih slučajah po teoremu X, 3 takože ( R) ne jest relativno prosty k ( S).

Obratno, ako ( R) ne jest relativno prosty k ( S), togda po teoremu X, 1 ( R) ne jest relativno prosty k najmanje jednomu ( Q_ ^*). Zato važi

i iz togo, poneže ( Q_ ^*) jest primarny:

Iz togo slěduje za pridružene proste idealy

i po svojstvu prostyh idealov ( P_ ^*) vhodi najmanje v jeden ( P). Tym teorem XI jest dokazan.

Iz teoremov X i XI teper slěduje sušćstvovanje i jedinost razloženja na relativno-prosto-nerazlozime idealy.

Naj ( M=[ Q_1 Q_ ]) bude redukovano ili najmanje najkratše predstavjenje od ( M) črez največe primarne idealy; ( P_1, , P_ ) naj budut pridružene proste idealy. Shvatimo idealy ( P) v grupy tako, že nijeden ideal jednej grupy ne jest dělimy črez ideal različnej grupy, medžutym jedna grupa ne može razděliti se na dvě podgrupy, obě s tym samym svojstvom.

Da by se konstruovalo tako grupno razděljenje, trěba primětiti, že po definiciji jedna grupa (G) pri vsakom idealu ( P) mora obsahovati takože vse jego dělitelje i mnogokratne, ktore nastupajut medžu ( P_1, , P_ ) (t. e. te, ktore sut dělimy črez ( P)). Naj napr. ( P_j^(i)) budut vse mnogokratne od ( P), ( P_j_1^(i_1)) vse dělitelje od ( P_j^(i)), ( P_j_1^(i_1 i_2)) vse mnogokratne od ( P_j_1^(i_1)) i t. d.; obče ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ )) budut vse mnogokratne od ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ -1)), a ( P_j_1 j_ ^(i_1 i_ )) vse dělitelje od ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ )). Poneže v cělom ide samo o konečno mnogo idealov ( P), procedura mora zastati po konečno mnogih krokah, t. e. ne dati ideal različny od vseh predhodečih. Tako dobyty sobor idealov ( P) stvarno tvori grupu (G) s želanymi svojstvami.

Bo po definiciji (G) pri vsakom ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ -1)) obsahuje vse mnogokratne ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ )), pri vsakom ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ )) takože vse dělitelje ( P_j_1 j_ ^(i_1 i_ )). Medžu nimi sut ale takože vse dělitelje od ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ -1)), medžutym mnogokratne od samyh ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ )) sut znovu ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ )). Idealy ne obsahovane v (G) zato ne mogut byti ni dělitelje ni mnogokratne od idealov sadržanyh v (G).

(G) izpolnja ale takože uslovje nerazlozimosti. Bo ako postoji razděljenje na dvě podgrupy (G^(1)) i (G^(2)), i (G^(1)) obsahuje napr. ( P_j_1 j_ ^(i_1 i_ )) ili ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ )), togda ono sadržy takože vse predhodeče, poneže one sut poměnno mnogokratne i dělitelje ili dělitelje i mnogokratne; zato takože ( P), i tym celu grupu (G). Ako se s idealami ne sadržanymi v (G) postupa podobno, dobiva se grupno razděljenje (G_1, ,G_ ) vseh ( P), ktoromu prinadležat želane svojstva. Tako grupno razděljenje jest jedino: bo ako (G'1, ,G' ) jest drugo razděljenje i ( P_j_1 j_ ^(i_1 i_ )) ili ( P_j_1 j_ -1^(i_1 i_ )) jest element od (G'_i), togda po vyšnemu (G'_i) obsahuje celu grupu (G), i zato zaradi svojstva nerazlozimosti jest identično s (G).

Naj teper ( Q_i ), gdje ( ) teče od (1) do ( _i), označajut idealy ( Q) shvačene v jednu grupu (G_i). Poneže vse ( P) sut medžu soboju različne, primarne idealy ( Q_i ), odpovědajuče najkratšemu predstavjenju, sut jednoznačno opreděljene. Položimo

Pokazujemo, že tym jest dostignuto razloženje od ( M) na relativno-prosto-nerazlozime idealy. Najprvo trěba primětiti, že teorem XI ostaje priměnimy, i ako ( R_i=[ Q_i1 Q_i _i]) jest samo najkratše predstavjenje, bo po dodatku k teoremu IX pridružene proste idealy sut tym uže jednoznačno definirane. Poneže nijeden pridruženy prosty ideal ( P_i ) od ( R_i) ne jest dělimy črez pridruženy prosty ideal ( P_j ) od ( R_j), i obratno, po teoremu XI ( R_i) i ( R_j) sut vzaimno relativno proste; i vsaky posamebny ( R_i) jest po teoremu XI, zaradi svojstva nerazlozimosti grupy (G_i), relativno-prosto-nerazlozimy, poneže pri razlozimosti vsegda vzirajut se idealy različne od ( D). Po lemi V ide se dalje o redukovano predstavjenje, i ako izpočatka ishodi se samo od najkratšego predstavjenja črez ( Q). Obratno, po teoremu XI vsako razloženje na relativno-prosto-nerazlozime idealy vodi k ukazanomu grupnomu razděljenju idealov ( P_i ).

Naj teper

bude drugo predstavjenje od ( M) črez relativno-prosto-nerazlozime idealy, ktore po lemi V jest redukovano. Togda, kako pokazuje razloženje ( R) na največe primarne idealy, pridružene proste idealy sovpadajut; zato sovpadajut takože grupna razděljenja tych prostyh idealov, kojih jedinost byla dokazana vyše. Zato ( i označenje možno izbrati tako, že ( R_i) i ( R_i) prinadležat k toj samoj grupě. Naj togda

bude predstavjenje črez ideal i komplement. Poneže ( R_i) jest pridruženy k toj samoj grupě kako ( R_i), po teoremu XI takože ( L_i) jest relativno prosty k ( R_i), a ( L_i) relativno prosty k ( R_i). Zaradi

dobiva se zato

Tym jest dokazano:

Teorem XII. Vsaky ideal možno jednoznačno predstaviti kako najmenše obče mnogokratno iz konečno mnogih vzaimno relativno prostyh i relativno-prosto-nerazlozimyh idealov.

7. Jedinost izolovanyh idealov.

Definicija VI. Ako najkratše predstavjenje ( M=[ R, L]) jest redukovano v odnosu k ( L), togda ( R) nazyvaje se izolovany ideal, ako nijeden pridruženy prosty ideal od ( R) ne vhodi v pridruženy prosty ideal od ( L), drugimi slovami, ako ( L) jest relativno prosty k ( R).

Po tomu predstavjenje ( M=[ R, L]) izpolnja uslovja predstavjenja ( M=[ R_i, L_i]) v lemi V, i s lemoju V jest dokazano:

Lema VI. Ako ( R) jest izolovany ideal najkratšego predstavjenja ( M=[ R, L]), redukovanogo v odnosu k ( L), togda predstavjenje jest takože redukovano v odnosu k ( R).

Poneže pri izolovanyh idealah ide zato o redukovano predstavjenje, pridružene proste idealy, nastupajuče pri razloženju ( R) i ( L) na nerazlozime idealy, dopolnjajut jedne druge do jednoznačno opreděljenyh pridruženyh prostyh idealov, nastupajučih pri odpovědajučem razloženju ( M). Zato nijeden pridruženy prosty ideal od ( R), prinadležny k razloženju na nerazlozime idealy, ne vhodi v ostale pridružene proste idealy, prinadležne k odpovědajučemu razloženju ( M). Obratno, ako to uslovje jest izpolnjeno i ( R) nastupaje najmanje v jednom predstavjenju ( M=[ R, L]), redukovanom v odnosu k ( R), zato takože v redukovanom predstavjenju ( M=[ R, L^*]), togda ( R) po definiciji VI jest izolovany. Iz togo dobiva se definicija nezavisna od specialnogo komplementa ( L):

Definicija VIa. ( R) nazyvaje se izolovany ideal, ako proste idealy od ( R), pridružene k razloženju na nerazlozime idealy, ne vhodet v ostale proste idealy, pridružene k odpovědajučemu razloženju ( M), i ako ( R) nastupaje najmanje v jednom predstavjenju ( M=[ R, L]), redukovanom v odnosu k ( R).

Naj teper

budut dva predstavjenja od ( M) črez izolovane idealy ( R) i ( R) i komplementy ( L) i ( L), tako že pridružene proste idealy od ( R) i ( R) sovpadajut. Ako se ( L) i ( L) zaměnjat takymi děliteljami ( L^) i ( L^), že predstavjenja stanet redukovane, togda sovpadajut takože pridružene proste idealy od ( L^) i ( L^); po teoremu XI zato ( L^) jest relativno prosty k ( R), a ( L^) relativno prosty k ( R). Zaradi

dobiva se

izolovane idealy sut zato jednoznačno opreděljene svojimi pridruženymi prostymi idealami. To daje osoblivo zaoštrenje teoremov VII i IX o razloženju na nerazlozime odnosno največe primarne idealy; pri tom po dodatku k teoremu IX dostatočno jest predpostaviti samo najkratše predstavjenje. Sobrano dobiva se:

Teorem XIII. Pri vsakom najkratšem predstavjenju ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo iz nerazlozimyh odnosno najvećih primarnyh idealov izolovane nerazlozime odnosno najveće primarne idealy sut jednoznačno opreděljene; mnogoznačnost odnosi se samo na neizolovane nerazlozime odnosno najveće primarne idealy. Obče izolovane idealy sut jednoznačno opreděljene svojimi pridruženymi prostymi idealami.

Ako v takom najkratšem predstavjenju črez nerazlozime odnosno najveće primarne idealy idealy ( B_i) odnosno ( Q_j) sut neizolovane, togda po definiciji komplementy ( U_i) odnosno ( L_j) sut dělimy črez ( P_i) odnosno ( P_j). Zato dobiva se

Iz izpolnjenja tyh relacij obratno slěduje, že ( P_i) odnosno ( P_j) vhodi najmanje v jeden pridruženy prosty ideal komplementa, zato po dodatku k teoremu IX takože v pridruženy prosty ideal dělitelja ( L_j^) od ( L_j), ktory posreduje predstavjenje redukovano v odnosu k ( L_j^); zato ( B_i) odnosno ( Q_j) sut neizolovane. Osoblivo nerazlozime idealy ( B_i), kojih pridruženy prosty ideal nastupaje večkratno pri razloženju ( M), sut vsegda neizolovane. Neizolovane primarne idealy sut zato takože harakterizovane tym, že jedna potencija vsakogo komplementa stane dělimy črez nje; izolovane primarne tym, že to ne može byti izpolnjeno.

8. Jednoznačno predstavjenje ideala kako produkta vzaimno-prosto-nerazlozimyh idealov.

Ako podložena kolceva oblast ( ) imaje jedinicu, t. j. element ( ), takovy že ( a=a) byvaje za vsaky element iz ( ), togda možno jest definirati vzaimno proste idealy tako:

Definicija VIII. Dva ideala ( R) i ( S) nazyvajut se vzaimno proste, ako jih največši obči dělitelj jest jednaky jediničnomu idealu ( D=( )), sostavljenomu iz vseh elementov ( ). Ideal nazyvaje se vzaimno-prosto-nerazlozimy, ako on ne može byti predstavjen kako najmenše obče mnogokratno poparno vzaimno prostyh idealov.

Treba primětiti, že dva vzaimno proste ideala sut vsegda vzaimno relativno proste. Po definiciji bo obstajajut dva elementy (r 0( R)), (s 0( S)), takove že ( Iz ( T R 0( S)) slěduje ale ( T r 0( S)), zato ( T T 0( S)); i odpovědajuče iz ( T S 0( R)) takože dobiva se ( T 0( R)). Iz lemy V slěduje zato, že vsako predstavjenje črez poparno vzaimno proste idealy jest takože redukovano.

Dokaz jednoznačnosti osnovan jest na teoremu odpovědajučemu teoremu X:

Teorem XIV. Ako ( R) jest vzaimno prosty k vsakomu iz idealov ( S_1, , S_ ), togda ( R) jest takože vzaimno prosty k ( S=[ S_1 S_ ]). Obratno, iz vzaimnoj prostosti ( R) i ( S) slěduje takože ona od ( R) s vsakym ( S_j). Ako ( R=[ R_1 R_ ]) i vsaky ( R_i) jest vzaimno prosty k vsakomu ( S_j), togda ( R) i ( S) sut vzaimno proste; i tu važi obratno.

Ako bo ( R) jest vzaimno prosty k vsakomu ( S_j), togda obstajajut elementy (s_j), takove že

Zato dobiva se

No poneže (( R, S)) jest dělimy črez vsaky (( R, S_j)), važi takože obratno. Mnogokratno priměnjenje togo zaključka daje drugi děl tvrđenja. Ako bo ( R_i) za stalno (i) jest vzaimno prosty k ( S_1, , S_ ), togda ( R_i) stavaje vzaimno prosty k ( S). Ako to važi za vsako (i), togda, poneže pojem vzaimnoj prostosti jest vzaimny, ( S) jest vzaimno prosty k ( R). Obratno, iz vzaimnoj prostosti ( R) i ( S) slěduje vzaimna prostost ( S) k ( R_i), i zato od ( R_i) k ( S).

Dokaz eksistencije i jednoznačnosti razloženja na vzaimno-prosto-nerazlozime idealy, kako odpovědajuči dokaz pri relativno prostyh idealah, vodi k jednoznačnomu grupnomu razděljenju. No poneže relativno-prosto-nerazlozime idealy ( R_1, , R_ ) ideala ( M) sut po teoremu XII jednoznačno definirane, tu nepotrěbno jest vracati se k pridruženym prostym idealam.

Shvatimo jednoznačno definirane relativno-prosto-nerazlozime idealy ( R_1, , R_ ) ideala ( M) tako v grupy, že vsaky ideal jednej grupy bude vzaimno prosty k vsakomu idealu od njej različnej grupy, medtym kak pojedina grupa ne može se razděliti na dvě podgrupy tako, že vsaky ideal jednej podgrupy bude vzaimno prosty k vsakomu idealu drugoj podgrupy. Tako grupno razděljenje dobiva se slědeče: po definiciji pojedina grupa (G) mora pored vsakogo ideala ( R) sadržati takože vse idealy, ktore ne sut vzaimno proste k ( R). Nehaj one budut dane, napr., črez ( R_i_1); k njim nehaj ( R_i_1i_2) ne bude vzaimno prosty; obče nehaj ( R_i_1 i_ ) ne bude vzaimno prosty k ( R_i_1 i_ -1). Poneže v cělom ide samo o konečno mnogo idealah, procedura mora po konečno mnogo krokah prestati, t. j. ne davati nikakve idealy različne od vseh prědhodnyh; tako dobljeny sobrany kompleks idealov tvori grupu (G) s želanymi svojstvami. Bo vse idealy, ne vključene v (G), po konstrukciji (G) sut vzaimno proste k vsim idealam v (G). Ako dalje imaje se razděljenje na dvě podgrupy (G^(1)) i (G^(2)), i ako napr. ( R_i_1 i_ ) jest element od (G^(1)), togda, poneže svojstvo vzaimnoj prostosti jest vzaimno, (G^(1)) mora takože sadržati ( R_i_1 i_ -1, , R_i_1), zato takože ( R), i slědovateljno cělu grupu (G). Tym jest dokazana nerazlozimost. Ako se postupa odpovědajuče s grupami ne vključenymi v (G), dobiva se grupno razděljenje (G_1, ,G_ ) vseh ( R).

To grupno razděljenje jest jednoznačno. Bo nehaj (G'1, ,G' ) bude drugo razděljenje i ( R_i_1 i_ ) element od (G'_i). Togda (G'_i) vsebuje takože ( R), i zato (G_1), i zaradi uslovja nerazlozimosti ne može sadržati elementy različne od (G_1); zato (G'_i) stavaje jednaka (G_1).

Naj teper ( T_i) bude najmenše obče mnogokratno idealov ( R), objedinenyh v jednej grupě (G_i). Pokažemo, že

stavaje predstavjenje ( M) črez vzaimno-prosto-nerazlozime idealy. Najprvo razloženje ( T) v ( R) pokazuje, že ([ T_1 T_ ]) v samoj stvari predstavlja ( M). Po teoremu XIV dalje idealy ( T) sut poparno vzaimno proste, i vsaky ( T) jest vzaimno-prosto-nerazlozimy. Tym eksistencija takogo predstavjenja jest dokazana.

Za dokaz jednoznačnosti nehaj ( M=[ T_1 T_ ]) bude drugo tako predstavjenje. Ako se ( T) razlože v svoje relativno-prosto-nerazlozime idealy ( R), togda ( R), nastupajuče pri različnyh ( T), po teoremu XIV sut medžu soboju vzaimno proste, zato takože vzaimno relativno proste; one sovpadajut zato s jednoznačno definiranimi relativno-prosto-nerazlozimymi idealami ( R) od ( M). Idealy ( T_i) dalje po teoremu XIV tvorut grupno razděljenje (G'_i) od ( R) s naznačenymi svojstvami. No poneže to grupno razděljenje jest jednoznačno i vsaky ( T_i) jest jednoznačno opreděljen črez grupu (G'_i=G_i), dobiva se ( T_i= T_i), čim jednoznačnost jest dokazana.

Za poparno vzaimno proste idealy, dalje, najmenše obče mnogokratno stavaje jednako produktu. Bo po teoremu XIV za ( M=[ T_1 T_ ]) takože komplement ( L_i) jest vzaimno prosty k ( T_i); zato obstajajut elementy

Iz (f 0( T_i)), (f 0( L_i)) slěduje zato zaradi

No obratno ( L_i T_i) jest dělimy črez ([ L_i, T_i]), zato dobiva se ([ L_i, T_i]= L_i T_i); i pokračanjem procedury na ( L_i) nakonec:

Tym jest dokazano:

Teorem XV. Vsaky ideal može se jednoznačno predstaviti kako produkt konečno mnogih poparno vzaimno prostyh i vzaimno-prosto-nerazlozimyh idealov.

9. Razširjenje izslědovanja na moduly. Ravnost čisla komponentov pri razloženjah na nerazlozime moduly.

Pokazujemo teper, že sadržanje prvih treh paragrafov, ktoro se odnosi k nerazlozimym, ne k primarnym i prostym idealam, ostavaje v sile pod slabšimi predpostavkami. Ty paragrafy bo ne upotrěbjajut komutativny zakon množenja i opirajut se samo na svojstvo idealov byti modulami; zato ostavajut v sile za moduly v odnosu k nekomutativnym oblastjam, ktore teper treba definirati. Za definiciju modulov treba podložiti dvojnu oblast (( ,T)) so slědečimi svojstvami:

( ) jest abstraktno definirano nekomutativno kolco, t. j. ( ) jest sistem elementov (a,b,c, ), za ktore definirane sut dva vida operacij: kolcevo složenje ((+)) i kolcevo množenje (( )), ktore izpolnjajut zakony postavljene v 1, s izključenjem komutativnogo zakona 4 kolcevogo množenja.

(T) jest sistem elementov ( , , , ), za ktory v spojitosti s ( ) takože definirane sut dvě operacije: složenje, ktoro iz vsakih dvoh elementov ( , ) jednoznačno tvori tretji ( + ); množenje elementa ( ) iz (T) s elementom (c) iz ( ), ktoro jednoznačno tvori element (c ) iz (T).

Za ty operacije važe slědeče zakony:

Asociativny zakon složenja: (( + )+ Komutativny zakon složenja: ( + Zakon neograničenogo i jednoznačnogo odčitanja: v (T) obstaja jeden i samo jeden element ( ), ktory zadovolja jednačinu ( + (označaje se ( Asociativny zakon množenja: (a(b )=(a b) ). Distributivny zakon:

Iz tyh uslovij slěduje znano eksistencija nulovogo elementa i važnost distributivnogo zakona takože za spoj odčitanja i množenja:

kde ((-)) znači odčitanje v ( ). Ako ( ) obsahuje jedinicu ( ), togda ( ima važiti za vsaky element ( ) iz (T).

Pod modulom (M) v (( ,T)) razuměje se sistem elementov iz (T), ktory izpolnja dva uslovja:

(M) pored ( ) vsebuje takože (c ), kde (c) jest libovolny element iz ( ). (M) pored ( ) i ( ) vsebuje takože razliko ( - ), zato pored ( ) takože (n ) za vsako cělo čislo (n).

Po toj definiciji (T) samo tvori modul v (( ,T)). Ako osoblivo oblast (T) i tam postavljene operacije sovpadajut s oblastju ( ) i tam važečimi operacijami, modul (M) prěhodi v pravostranny ideal (M) v ( ). Ako se ( ) ešte predpostavi komutativna, nastavaje obyčny pojem ideala, ktory se tako pokazuje kako specialny slučaj pojma modula.

Za moduly ostavajut vse definicije iz 1. Tako ( M) odnosno (N M) znači, že ( ) odnosno vsaky element od (N) jest element od (M); drugimi slovami, ( ) odnosno (N) jest dělimy črez (M). (M) stavaje vlastny dělitelj od (N), ako (M) vsebuje elementy različne od (N); iz (N M), (M N) slěduje (M=N). Takože definicija največšego občego dělitelja i najmenšego občego mnogokratnogo ostavaje doslovno. Ako modul (M) osoblivo vsebuje konečno čislo elementov ( _1, , _ ), tako že

t. j.

byvaje za vsako ( M), pri čem (c_i) sut veličiny iz ( ), (n_i) cěla čisla, togda (M) nazyvaje se konečny modul, a ( _1, , _ ) modulny bazis.

Teper v slědečem, analogično kako v 1, podlagajemo samo take oblasti (( ,T)), ktore izpolnjajut uslovje konečnosti: vsaky modul v (( ,T)) jest konečny, ima zato modulny bazis.

Togda za tu oblast (( ,T)) teorem I o konečnoj cepi važi takože za moduly, kako pokazuje tamošny dokaz, i tym sut dane vse predpostavky za 2 i 3. Definicija I i lema I o najkratšem i redukovanom predstavjenju možno jest direktno prěnesti; tak samo teorem II o predstavimosti vsakogo modula kako najmenšego občego mnogokratnogo konečno mnogih nerazlozimyh modulov, pri čem lema II pokazuje, že vsako tako najkratše predstavjenje jest takože redukovano. Dale ostavaje teorem III, ktory izražaje razlozimost modula črez svojstva jego komplementa; iz togo slěduje lema III i nakonec teorem IV, ktory izkazyvaje ravnost čisla komponentov pri dvoh različnih najkratših predstavjenjah modula kako najmenšego občego mnogokratnogo nerazlozimyh modulov. Teorem IV daje ešte lemu IV kako obrat lemy I o redukovanom predstavjenju.

Dodatok. To samo razsuđenje pokazuje, že vse te teoremy i definicije ostavajut, ako se za dvostranne oblasti (T), t. j. take, ktore sut i pravostranne i lěvostranne, pod modulom vsude razuměje dvostranny modul, t. j. taky, ktory pored ( ) vsebuje takože (c ) i ( c), pored ( ) i ( ) takože ( - ).

Medtym kak vse te teoremy opirajut se samo na pojem dělimosti i najmenšego občego mnogokratnogo, daljne teoremy jednoznačnosti suštno opirajut se na pojem produkta i zato ne dopuščajut direktnogo prěnesenja. Tako definiciju primarnogo i prostogo ideala ne možno prěnesti na moduly, poneže produkt dvoh veličin iz (T) ne jest definiran. Formalno možno prěnesenje na nekomutativne kolca takože gubi smysl, poneže tut eksistencija pridruženogo prostogo ideala ne može byti dokazana i takože dokaz, že nerazlozimy ideal jest primarny, ne uspěvaje. Te dvě fakta tvorut osnovu slědečih teoremov jednoznačnosti. Naprotiv možno jest, ako nekomutativno kolco imaje jedinicu, definirati vzaimno proste i vzaimno-prosto-nerazlozime idealy, i razsuđenja upotrěbljene za dokaz teorema II pokazyvajut, že vsaky ideal može se predstaviti kako najmenše obče mnogokratno konečno mnogih poparno vzaimno prostyh i vzaimno-prosto-nerazlozimyh idealov.

Nakonec nehaj bude spomenuty dostatočny kriterij za to, že v (( ,T)) izpolnjeno jest uslovje konečnosti: ako ( ) vsebuje jedinicu i izpolnja uslovje konečnosti, i ako (T) samo jest konečny modul v (( ,T)), togda vsaky modul v (( ,T)) jest konečny.

Iz eksistencije jedinice v ( ) bo za

kde ( b_i) sut elementy iz ( ), (n_i) cěla čisla, slěduje takože predstavjenje

kde (b_i) sut elementy iz ( ). Bo zaradi (f_i= f_i) byvaje (n_if_i=n_i f_i), i poneže (n_i prinadleži k ( ), (b_i= b_i+n_i ) byvaje element iz ( ). Predpostavka o (T) teper govori, že vsaky element ( ) iz (T) dopušča predstavjenje

i slědovateljno

kde drugo predstavjenje zaradi ( _i= _i) dobiva se iz prvogo kako vyše.

Ako teper ( ) proběgajut elementy modula (M) iz (( ,T)), koeficienty (a_k) pri ( _k) proběgajut ideal ( M_k) iz ( ); po vyše kazanom byvaje zato za vsako (a_k M_k) takože

Ako ( ^(i)) označaje element iz (M), za ktory koeficient pri ( _k) stavaje jednaky (a_k^(i)), togda ( -b_1 ^(1)- -b_e ^(e)) stavaje element prinadležny k (M), ktory zavisi samo od ( _1, , _k-1). Na cělosť tyh elementov, ktore već ne vsebujejut ( _k) i tvorut modul (M'), možno jest povtoriti proceduru, takže črez konečno-kratno povtorenje tvrdženje jest dokazano.

10. Specialny slučaj polinomnoj oblasti.

11. Nehaj osnovna kolceva oblast ( ) sostoji iz vseh polinomov od (x_1, ,x_n) s libovolnymi kompleksnymi koeficientami; za nju, po Hilbertovom teoremu o modulnom bazisu (Ann. 36), izpolnjeno jest uslovje konečnosti. Ide o svęz naših teoremov s poznanymi teoremami teorije eliminacije i teorije modulov.

Tutoj svęz ustanavlja slědeči specialny slučaj poznanogo Hilbertovogo teorema:

Ako (f) izčezaje za vsako konečno sistema vrědnostij (x_1, ,x_n), ktoro jest obča nula vseh polinomov prostogo ideala ( P) (nula od ( P)), togda (f) jest děljiva črez ( P). Drugimi slovami: prosty ideal ( P) sostoji iz cělosti polinomov, ktore izčezajut v jego nulah.

Ako zato produkt (fg) izčezaje za vse nule od ( P), togda izčezaje najmene jeden faktor; nule tvorut nerazložimu algebraičnu mnogovidnost. Ako se obratno ta definicija nerazložime mnogovidnosti položi v osnovu, pokazuje se, že cělost polinomov izčezajučih v nerazložimoj mnogovidnosti tvori prosty ideal; prosty ideal i nerazložima mnogovidnost zato sootvěčajut jednoznačno jeden drugomu. Zbog ( P^ Q), ( Q P) nule primarnogo ideala sovpadajut s nulami jego pridruženogo prostogo ideala. Predstavjenje ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo največših primarnyh idealov daje zato razloženje vseh nul ideala na nerazložime mnogovidnosti; i, kako pokazal Lasker, važi takože obratno. Dokaz jednoznačnosti pridruženyh prostyh idealov odpovědaje tut fundamentalnomu teoremu teorije eliminacije o jednoznačnoj razložimosti algebraične mnogovidnosti na nerazložime mnogovidnosti; za specialne polinomne oblasti, kde ne obstaja jednoznačno produktno predstavjenje polinomov črez nerazložime polinomy oblasti i slědovateljno ne obstaja ni teorija eliminacije, može on važiti kako ekvivalent toga teorema teorije eliminacije.

Nerazložime mnogovidnosti odpovědajuče izolovanym primarnym idealam sut točno one, ktore vystupajut v ``minimalnoj rezolventě''; bo nule vsakogo neizolovanogo največšego primarnogo ideala sut Jednočasno nule najmene jednogo izolovanogo, iměnno takogo, čij pridruženy prosty ideal jest děljiv črez prosty ideal neizolovanogo ideala. Zato jednoznačnost izolovanyh primarnyh idealov daje v eksponentah nove invariantne čisla mnogokratnosti. Takože teoremy jednoznačnosti pri razloženju primarnyh idealov na nerazložime možno smatrjati kako dopolnjenje teorije eliminacije v smyslu mnogokratnosti.

Po tyh zamětah različna razloženja možno tolkovati po jih odnosu k algebraičnym mnogovidnostjam. Poparno vzaimno prostym idealam odpovědajut take mnogovidnosti, ktore ne imajut občej nuly; pri vzaimno relativno prostyh idealah nijedna nerazložima mnogovidnost jednogo ideala ne jest Jednočasno obča nula; največše primarne idealy izčezajut samo na nerazložimyh mnogovidnostjah, vse različnyh medžu soboju; pri razloženju na nerazložime idealy te same nerazložime mnogovidnosti mogut vystupati takože mnogokratno.

Nehaj bude ešče zaměčeno, že naměsto občej polinomnoj oblasti možno položiti v osnovu i oblast vseh homogenyh form, bo legko se uvěriti, že i pri tam važečih svęzah -- složenje jest definirano samo za formy jednakogo stepena -- obče teoremy ostavajut v sile.

Najprostši primjer četyrih različnyh razloženj -- formuly za nego slědujut niže -- po gornjem jest dan, napr., prjamoju i dvěma k njej mimobežnyma prjamyma, ktore se peresěkajut medžu soboju, iz ktoryh jedna vsebuje točku, različnu od točky peresěka, vo vyšej mnogokratnosti. Razloženju na vzaimno proste nerazložime idealy odpovědaje razloženje na prjamu i k njej mimobežnu mnogovidnost; ta mnogovidnost pri razloženju na relativno proste nerazložime idealy razpada se na dvě prjamy; razloženju na največše primarne idealy odpovědaje odděljenje točky vyšej mnogokratnosti, medžutym kak razloženje na nerazložime idealy uslovljuje razloženje toj točky.

Ako se ta točka vzme za početok, prjama prohodeča črez nju za os (y), prjama peresěkajuča ju paralelno k osi (x), a k njej mimobežna prjama paralelno k osi (z), togda taka konfiguracija jest, napr., predstavljena slědečimi nerazložimymi idealami:

Pridružene proste idealy byvajut:

Največše primarne idealy byvajut:

Relativno proste nerazložime idealy byvajut:

Vzaimno proste nerazložime idealy byvajut:

Iz togo prihodi cěly ideal:

pri čem

Pritom idealy ( B_1), ( B_2), ( B_3) sut izolovane, zato takože pri razloženjah na nerazložime i na največše primarne idealy jednoznačno opreděljene. Idealy ( B_4) i ( B_5), odnosno ( Q_4), sut neizolovane; one ne sut jednoznačno opreděljene, ale napr. zaměnime črez

takože ( Q_4) jest zaměnimy črez

2. Tako samo kako obča (i cělo-čislova) polinomna oblast, takože vsaka konečna oblast cělosti iz polinomov -- kako pokazuje Hilbertov teorem o modulnom bazisu -- izpolnja uslovje konečnosti, pri čem koeficienty mogut byti pridane libovolnomu polju. Dajemo ešče primjer za oblast vseh parnyh polinomov, kako najprostšu oblast, kde zbog (x^2y^2=(xy)^2) ne obstaja jednoznačno produktno predstavjenje polinomov črez nerazložime polinomy oblasti. Ide o tu samu konfiguraciju kako v gornjem primjeru, ktora teper jest dana slědečimi nerazložimymi idealami:

Pridružene proste idealy byvajut:

Že ( P_1) byvaje prosty ideal, slěduje iz togo, že vsaky polinom oblasti dostava formu

Nehaj zato

togda iz (f_1f_2 P_1) slěduje važenje jednačin

i iz togo (f_1 P_1) ili (f_2 P_1). Točno tako pokazuje se, že ( P_2) byvaje prosty ideal; ( P_3) byvaje prosty ideal, bo vsaky polinom oblasti modulo ( P_3) byvaje kongruentny polinomu od (y^2); ( P_4) sostoji iz vseh polinomov oblasti. Zato takože ( B_1), ( B_2) i ( B_3) sut nerazložime kako proste idealy; ( B_4) i ( B_5) pak imajut vsaka samo jediny vlastny dělitelj ( P_4), sut zato nužno nerazložime.

Iz nerazložimyh idealov proizhodet največše primarne:

relativno proste nerazložime idealy:

vzaimno proste nerazložime idealy:

Kako v prvom primjeru, byvaje:

kde

i

Ostale nerazložime odnosno največše primarne idealy ( B_1), ( B_2), ( B_3) sut kako izolovane idealy jednoznačno opreděljene.

11. Priměry iz teorije čisel i teorije diferencialnyh izrazov.

12. Nehaj osnovna oblast ( ) sostoji iz vseh parnyh cělyh racionalnyh čisel. ( ) možno zato vzaimno jednoznačno prirěditi oblasti vseh cělyh racionalnyh čisel, pridavajuči každomu čislu (2a) iz ( ) čislo (a). Iz togo odmah slěduje, že vsaky ideal v ( ) jest glavny ideal ((2a)), pri čem v bazisnom predstavjenju (2c=n 2a) za vsaky element (2c) ideala neparne (n) značet samo skračene zapisy konečnyh sum.

Proste idealy oblasti sut dane črez ( P_0= D=(2)) i ( P=(2p)), kde (p) znači neparno prosto čislo; vsaky prosty ideal jest zato děliv črez ( P_0), ale ne črez nikaky daljny prosty ideal. Primarne idealy sut dane črez

one sut Jednočasno nerazložime idealy, i po skazanom o prostyh idealah vsake dvě prinadležeče različnym neparnym prostym čislam sut vzaimno relativno proste, ale nijedno ( Q) ne jest relativno prosto k nekakom ( Q_0). ( Q_0) sut zato jedine neizolovane primarne idealy. Jednoznačnomu razloženju (a) na stepeni prostyh čisel odpovědaje jednoznačno predstavjenje ideala ((2a)) črez največše primarne, Jednočasno nerazložime idealy:

Tako sut tut, v protivnosti k primjeram iz polinomnoj oblasti, takože neizolovane največše primarne idealy jednoznačno opreděljene. Za (e_0=0) ide Jednočasno o predstavjenje črez vzaimno relativno proste idealy, medžutym kak za (e_0>0) ideal jest relativno-prosto-nerazložimy.

Dokolě zato v oblasti vseh cělyh čisel četyri različna razloženja sovpadajut, tut to važi samo za dvě razloženja na največše primarne i nerazložime s jednej strany, i pri (e_0>0) za vzaimno-prosto-nerazložime (vsaky ideal jest vzaimno-prosto-nerazložimy, bo oblast ne imaje jedinice) i relativno-prosto-nerazložime s drugoj strany, medžutym kak pri (e_0=0) vzaimno-prosto-nerazložime i relativno-prosto-nerazložime razloženja stavajut različne. Jednočasno tut uže davaje se primjer togo, že prosty ideal može byti děliv črez drugi, bez togo že by byl s nim identičny; obče, že iz dělitelnosti ne slěduje produktno predstavjenje. Poslědnje -- slědstvo togo, že oblast ne vsebuje jedinice -- jest takože razlog, že ne obstaja jednoznačno produktno predstavjenje čisel oblasti črez nerazložime čisla oblasti, hoti vsaky ideal stavaje glavnym idealom; vvedenje najmenšego občego mnogokratnogo pokazuje se zato tut nužnym. Nehaj bude ješče zaměčeno, že odnosi ostavajut točno te same, ako naměsto vseh parnyh čisel budut položene v osnovu vse čisla dělive črez fiksovano prosto čislo ili stepen prostogo čisla.

Naprotiv, nerazložime i primarne idealy stavajut takože različne, ako ( ) sostoji iz vseh čisel dělivyh črez sostavno čislo (g=p_1^ _1 p_s^ s). Vsaky ideal znovu stavaje glavny ideal ((g a)), a proste idealy sut znovu dane črez ( P_0= D=(g)); ( P=(g p)), kde (p) znači prosto čislo različne od prostyh čisel vhodęčih v (g). Naprotiv, nerazložime idealy sut dane črez ( B _i=(g p_i^ _i)) i ( B_e=(g p^e)), a primarne idealy črez ( Q_e= B_e) i črez od nerazložimyh različne

pri čem ( B_ i) i ( Q _1 _s) vse imajut ten samy pridruženy prosty ideal ( P_0=(g)). Takože tut obstaja jednoznačnost razloženja na nerazložime idealy, i slědovateljno takože za razloženje na največše primarne idealy; zato sut znovu i neizolovane idealy jednoznačno opreděljene.

2. Priměr nekomutativnoj kolcevoj oblasti daje v rabotě Noether--Schmeidler obrađena teorija idealov v nekomutativnyh polinomnyh oblastjah. Ide osoblivo o ``polno redukovane'' idealy, t. j. take, pri ktoryh komponenty razloženja sut poparno vzaimno proste i ne imajut vlastnyh děliteljev; komponenty sut zato a fortiori nerazložime. Tako se v dopolnjenje tam dokazanogo izomorfizma po 9 dobiva ješče ravnost čisla komponentov pri dvoh različnih razloženjah. S tym jest za razloženje sistemov parcialnyh ili obyčnyh linearnyh diferencialnyh izrazov, ktoro vystupaje kako specialny slučaj toj raboty, dobjen rezultat, ktory, kako se zda, ne byl zaměčeny ni v poznanom slučaju obyčnogo linearnogo diferencialnogo izraza.

Jednočasno sistem (T) vseh klasov ostatkov fiksovanogo ideala (M) zajedno s nekomutativnoju polinomnoju oblastju ( ) daje dvojnu oblast (( ,T)), kde (T) ima svojstvo modula v odnosu k ( ). Bo razlika dvoh klasov ostatkov jest znovu klasa ostatkov, i takože produkt klasy ostatkov s libovolnym polinomom, medžutym kak produkt dvoh klasov ostatkov ne obstaja (naved. rab., 3). Tam kako ``podgrupy'' označene sistemy klasov ostatkov tvorut zato priměry modulov v dvojnyh oblastjah (( ,T)), kde osnovna kolceva oblast ( ) jest nekomutativna.

12. Priměr iz teorije elementarnyh děliteljev.

Ide o ponimanje teorije elementarnyh děliteljev, ktoro jest uslovjeno občimi razvitjami, ale samo se predpolagaje kako poznano.

Nehaj ( ) bude oblast vseh cěločiselnyh matric iz (n^2) elementov, za ktore dodavanje i množenje sut opreděljene v običnom za matrice smyslu. Tada ( ) stavaje nekomutativna kolceva oblast; idealy sut zato v obče jednostranny, a dvustranne sut v nih vključene samo kako specialny slučaj.

Najprěd pokažemo, že vsaky ideal stavaje glavnym idealom. Zato pri pravostrannyh idealah každoj matrici (A=(a_ik)) prirědjajemo modul

iz cěločiselnyh linearnyh form. Obratno, tomu modulu odpovědaje vsaka matrica, ktora daje bazis (A), znači kromě (A) takože (UA), kde (U) jest unimodularna. Obče, produktu (PA) odpovědaje modul (B), ktory stavaje mnogokratnym od (A). Jedinačna linearna forma iz (A) daje se takymi (P), ktore imajut samo jednu od nula različnu struku.

Nehaj nyně (A_1,A_2, ,A_ , ) sut vse elementy ideala ( M); (A_1,A_2, ,A_ , ) sut jim prirědjene moduly, (A) jih največši obči dělitelj, a (UA) najobčejša matrica prirědjena tomu modulu (A). Vsakoj jedinačnoj linearnoj formě iz (A) tada po opredělěnju največšego občego dělitelja odpovědaje matrica (P_1A_i_1+ +P_ A_i_ ), kde po vyšej skazanom (P) imajut samo jednu od nula različnu struku. Iz togo slěduje, že takože matrica (A), ktora odpovědaje bazisu (A), dopuskaje tako predstavjenje, nyně s občim (P), i zato stavaje elementom iz ( M). Poněže nadalje vsaky modul (A_i) jest děliv črez (A), vsaka matrica (A_i) jest děliv črez (A); (A), i obče (UA), tvori bazis od ( M). Ako ide o lěvostranny idealy, odpovědajuče treba stolbce vsakoj matrice smatrjati kako bazis modula; vsaky ideal stavaje glavnym idealom, za ktory kromě (A) takože (AV) bude bazisom, gde (V) znači libovolnu unimodularnu matricu.

V daljnjem, za svęz s teorijeju elementarnyh děliteljev, polagajemo v osnovu dvustranne idealy, pri ktoryh zato osoblivo kromě (A) takože (PAQ) prinadleži idealu. Tada najobčejši bazis takogo ideala po vyšej skazanom jest dany črez (UAV), kde (U) i (V) sut unimodularne. Bazisne elementy zato izčerpavajut klasu ekvivalentnyh matric, i obstaja vzaimno jednoznačna svęz medžu idealom i klasoju, slědovateljno takože medžu idealom i sistemom elementarnyh děliteljev ((a_1 a_2 a_n)) klasy, kde (a_i) sut, kako poznano, nenegativne cěle čisla, od ktoryh vsako děli slědujuče. Matricu klasy, ktora vystupaje v normalnoj formě uslovjenoj elementarnymi děliteljami, možno zato smatrjati kako specialny bazis ideala; iz dělitelnosti idealov odnosno klasov slěduje dělitelnost elementarnyh děliteljev, i obratno.

Ale Du Pasquier v naved. městu, 11, pokazal, že pri vsakom dvustrannom idealu rang jest (n) i vse elementarne dělitelji sovpadajut. Da byhomo mogli smatrjati slučaj občih elementarnyh děliteljev, musimo zato izhoditi ne iz idealov, ale neposrědnje iz dvustrannyh klasov (ktore takože budut označene velikymi gotičnymi bukvami). Klasa ( A=UAV) jest pri tom dělivna črez drugu klasu ( B), ako (A=PBQ).

Obče važi: najmenše obče mnogokratno (največši obči dělitelj) dvoh klasov dobivaje se obrazovanjem najmenšego občego mnogokratnogo (največšego občego dělitelja) odpovědajučih sistemov elementarnyh děliteljev. Bo nehaj

kde (c_i=[a_i,b_i]), sut sistemy elementarnyh děliteljev od ( A), ( B), ( C^), i nehaj ( C=[ A, B]). Tada ( C^) jest dělivna črez ( A) i ( B), zato črez ( C); obratno, elementarne dělitelji od ( C) sut dělive črez one od ( C^), zato ( C) jest dělivna črez ( C^), i tako ( C= C^*). Odpovědajuče dobivaje se dokaz za največši obči dělitelj.

Jednoznačnomu predstavjenju elementarnyh děliteljev (a_i) kako najmenšego občego mnogokratnogo stepenov prostyh čisel odpovědaje zato predstavjenje ( A) kako najmenšego občego mnogokratnogo klasov ( Q), ktoryh elementarne dělitelji dane sut stepenami jednogo prostogo čisla, v znakih

Ako osoblivo rang ( ) jest ravny (n), tut imajemo razloženje na vzaimno proste i vzaimno-prosto-nerazložime klasy, ktoro jest, naprěkor nekomutativnoj oblasti, jednoznačno.

Klasy ( Q) možno dalje razložiti na klasy, ktore odpovědajut sistemu elementarnyh děliteljev:

kde v ( B_ ) vsaky raz čislo (1) vystupaje (( -1))-krat. Ako napriměr (r_1=r_2= tada ( B_1, , B_ ) sut ravne jediničnoj klasi i slědovateljno imajut byti opuščene pri razloženju; to samo važi za ( B_ +1), ako ( Ako nadalje napriměr (r_ tada ( B_ +1, , B_ + ) sut vlastne dělitelji od ( B_ ), i zato takože imajut byti izključene. Označimo črez ( B_i_1, , B_i_k) ty, ktore ostavajut i nyně dajut najkrajše predstavjenje; tada

jest jednoznačno razloženje ( Q) na nerazložime klasy. Bo nehaj

bude predstavima kako najmenše obče mnogokratno od

Tada v sistemu elementarnyh děliteljev od ( C) i ( D) na prvih (( -1)) městah mora stojati čislo (1); na ( )-tom městu eksponent (s_ ) ili (t_ ), recimo (s_ ), mora stati ravny (r_ ). Ale poněže

stavaje, dobivajemo ( C= B_ ), zato ( B_ ) jest nerazložima. To samo važi za ( B_ +1), kde (p) imaje byti zaměnjeno črez (0). Vsaka iz tyh nerazložimyh klasov daje, kako pokazuje obrazovanje najmenšego občego mnogokratnogo, opreděljen eksponent i město, kde toj eksponent v sistemu elementarnyh děliteljev od ( Q), odnosno ( A), prvi raz vystupaje, medžutym kak ( B_ +1) daje rang. Poněže ty čisla sut jednoznačno opreděljene sistemom elementarnyh děliteljev od ( Q), odnosno ( A), i poněže svęz medžu elementarnymi děliteljami i klasoju jest vzaimno jednoznačna, razloženje ( Q), i takože libovoljnoj klasy, na nerazložime klasy jest jednoznačno.

V sumě možno skazati: vsaka dvustranna klasa ( A) iz cěločiselnyh matric ograničenogo čisla elementov može byti jednoznačno predstavljena kako najmenše obče mnogokratno konečno mnogih nerazložimyh dvustrannyh klasov. Vsaka nerazložima klasa pri tom reprezentuje fiksovany prosty dělitelj sistema elementarnyh děliteljev od ( A), odpovědajuči eksponent i město, kde toj eksponent prvi raz vystupaje. Nerazložima klasa odpovědajuča dělitelju (0) daje rang od ( A).

Erlangen, oktober 1920.

(Prišlo dnja 16. 10. 1920.)