20. Algebraičny kriterij absolutnoj nerazložimosti

Math. Ann. 85 (1922), str. 26--33

Polinom -- s koeficientami iz libovoljnogo, abstraktno opreděljenogo polja -- nazyvaje se absolutno nerazložimy, ako ostavaje nerazložimy v algebraično zamknjenom polju, do ktorogo oblast koeficientov možno razširiti. V slědujučem pokažem, že absolutnu nerazložimost, v protivnosti k nerazložimosti vzhodno k zadannomu polju, možno algebraično shvatiti; točnejše važi teorem:

Vsakomu polinomu od prěměnnyh s neopreděljenymi koeficientami možno prirěditi cělu racionalnu funkciju s celočislenymi koeficientami od tyh koeficientov i daljnyh neopreděljenyh, formu reducibilnosti; tako, že za vsaky specialny polinom jednogo stepena nužno i dostatočno uslovje absolutnoj nerazložimosti jest dano neizčezanjem formy reducibilnosti. Drugymi slovami: za vsaku specialnu sistemu vrědnostij koeficientov, za ktoru forma reducibilnosti identično v neopreděljenyh izčezaje i ktora ne uslovjuje poniženje stepena, specialny polinom stavaje razložimy, i obratno.

Ako vměsto polinomov smatrjajut se homogene formy v jednej prěměnnoj više, tada vměsto stepenovogo uslovja vystupaje prostějše uslovje, že koeficientna sistema ne izčezaje identično.

Kako neposrědno slědstvo teorema dobivaje se takože tvrđenje, najprěd postavjeno od A. Ostrowski:

Vsaky absolutno nerazložimy polinom s algebraičnymi čislami kako koeficientami ostavaje nerazložimy modulo vsakogo prostogo ideala konečnogo algebraičnogo polja , ktoro sodrži oblast koeficientov, izključivši najviše konečno mnogo prostyh idealov iz . Osoblivo može byti takože polje racionalnyh čisel.

O daljnyh priměnjenjah k teoriji relativno cělyh funkcij naměrjam govoriti na drugom městu.

1. Najprěd pokažemo, že vsaky polinom od prěměnnyh s neopreděljenymi koeficientami jest absolutno nerazložimy. Imenno, položimo:

kde i značat neopreděljene, a stavajut celočislene bilinearne kombinacije od i . Zato kvocienty

sut racionalne funkcije kvocientov i ; ale čislo tyh funkcij stavaje večše než čislo jih argumentov; bo ono jest odpovědajuče

i važi

Tako obstaja najmene jedna algebraična relacija medžu i slědovateljno takože medžu :

kde znači celočisleny polinom.

Polinom s neopreděljenymi kako koeficientami:

jest zato za nužno absolutno nerazložimy.

2. Cělost tyh polinomov , ktore pri substituciji identično v izčezajut, tvori ideal iz polinomov, točnejše prosty ideal ; bo ako črez substituciju izčezaje produkt , izčezaje najmene jeden faktor. Poněže (2) jest izpolnjeno identično v , ono ostavaje v sile za vsaku specialnu sistemu vrědnostij , kde i slědovateljno takože značat veličiny někojego polja. Koeficienty vsakogo polinoma razložimogo v razširitelnom polju zato zadovoljut uslovjam , sut nule od , ili takože od konečno mnogih bazisnyh polinomov ; nyně ide o dokaz obrata.

K tomu treba primětiti, že vse relacije medžu ostavajut, ako polinomy (1) črez vvedenje novej prěměnnoj prěobrazujut se v homogene formy , , stepenov . Zato takože take koeficienty stavajut nulami , pri ktoryh napr. stavaje stepenom od ; jim tedy črez prěhod k nehomogennym polinomam odpovědaje poniženje stepena od , a ne razpadanje. Pokaže se, že izključivši to poniženje stepena obrat vsegda važi; osoblivo, že za homogene formy obrat važi bez izključkov, ako ne vse izčezajut; drugymi slovami, že vsaka nula od jest dana parametričnym predstavjenjem s veličinami iz razširitelnogo polja.

To dokazanje provedu direktnym obrazovanjem konečno mnogih funkcij ; imennno črez Kroneckerovu substituciju

prirědjam polinomam (1) polinomy od jednej prěměnnoj; pokazujem, že tut nastavajut luky v eksponentah, i črez obrazovanje normy odpovědajučih koeficientov prihodim k funkcijam i k iskannomu kriteriju.

3. Nehaj bude položeno:

Tada črez Kroneckerovu substituciju polinomam v (1) odpovědajut odpovědajuče polinomy

To prirěđenje jest, kako znano, jedno-jednoznačno, poněže za vse v (5) vystupajuče indukovane eksponenty iz slěduje takože ; i zato iz slěduje takože . Različne produkty zato mogut dati ten sam eksponent samo togda, kogda i odpovědajuče produkty vedut k tomu samomu eksponentu. Tako prihodit:

i iz izpolnjenosti relacije (6), tako že v i ne vystupajut eksponenty različne od indukovanyh, nazad slěduje

Pri tom v indukovanyh eksponentah v i v samoj stvari vystupajut luky. Bo najvyšši eksponent od stavaje , drugy najvyšši ; razlika jest zaradi , ; i to samo važi za .

Relacije (6) i (7), važeče za neopreděljene , ostavajut za vsaku specialnu sistemu vrědnostij . Da by pri tom stepeni ostali, homogenizujem (6) i (7) črez prěměnne i . Homogena forma zato razpadaje se v algebraičnom razširitelnom polju togda i samo togda, kogda v njem odpovědajuča binarna forma može se razložiti v dva faktory tako, že v faktorah ne vystupajut eksponenty različne od indukovanyh.

4. Da by se provedlo obrazovanje normy pomenjeno na koncu 2., nehaj

značat nove neopreděljene. Nehaj bude položeno

kde vsegda značat homogenizovane elementarne simetrične funkcije; t. j. te simetrične funkcije rędov , linearnyh v vsakom jedinačnom rědu, iz ktoryh vse cěle simetrične funkcije, ktore sut v vsakom jedinačnom rědu homogene i jednakogo stepena, skladujut se cělo i s celočislenymi koeficientami -- i to samo jednym sposobom.

Nyně obrazujem s daljnymi neopreděljenymi linearnu formu

gdě sumovanje razširjaje se po zadanyh indeksah i . Produkt od so vsimi konjugatami, ktore nastavajut črez permutaciju rěda i sut različne od i medžu soboju -- norma od vzhodno k polju , ako smatra se kako funkcija polja od i -- stavaje potom celočislena simetrična funkcija vseh rędov , v vsakom rědu homogena i jednakogo stepena, zato po gornjem jednoznačno opreděljena cěla celočislena funkcija od i :

To samo razmysljenje pokazuje, že takože

gdě vse značat cěle celočislene funkcije od i . Obě strany toj identičnosti izčezajut za ; i to, zaradi algebraičnoj nezavisnosti elementarnyh simetričnyh funkcij , , identično v , ako po (8) položi se ravno celočislenej bilinearnoj kombinaciji od i , a smatra se kako funkcija od i . Tako prihodit

Identičnosti (10) i (11) ostavajut za vse specialne sistemy vrědnostij od ; odpovědajuče od . Ako sut osoblivo izbrane tako, že vse produkty izčezajut -- gde značat indekse vystupajuče v (9) -- tak že črez substituciju izčezaje, tada, ako položimo , po (11) prihodit:

Obratno, nehaj sut take, ne vse izčezajuče sistemy vrědnostij, že (12) jest izpolnjeno. Poněže v algebraičnom razširitelnom polju obstaja razloženje

kde v žadnom faktoru i ne izčezajut jednočasno, ale něktore ili mogut izčezati, stavaje . Vstavjenje tyh vrědnostij v (10) pokazuje črez (12), že ili jeden konjugatny faktor izčezaje identično v . Ako zato, po vhodnoj numeraciji od , nyně položimo , , to znači, že dopuščaje najmene jedno razloženje:

tako, že vse produkty vystupajuče v izčezajut, ale ne vse ili .

5. Stepeni v (8) nehaj nyně budut ravne i , t. j. stepenam od i v (5). Indeksy razdělimo na ; pri tom prohodi vse eksponenty, ktore chybajut v , vse eksponenty od v ; i odpovědajuče vse eksponenty, ktore chybajut v , vse eksponenty od v . Nadalje nehaj

znači polinom od jednej prěměnnoj odpovědajuči polinomu (3); i nehaj

znači celočisleny polinom v i , ktory nastavaje iz -- jednoznačno opreděljene pravej strony (10), kde sumovanje v (9) razširjaje se po ukazanyh indeksah -- tym, že zaměnjajut se koeficientami i odpovědajučimi nulami od .

Ako nyně zaměnjajut se koeficientami i odpovědajučimi nulami od i , togda črez tu substituciju izčezaje pri ukazanom sumovanji. Nadalje prěhodi v koeficienty i odpovědajuče nule od ; zato prěhodi v . Po identičnosti (11) zato prihodit

Poněže (14) ostavaje za vsaku specialnu sistemu vrědnostij, koeficienty takyh specialnyh ili občih , ktore v razširitelnom polju razpadajut se v dva faktory, zadovoljut uslovju

Ako obratno za, ne vse izčezajuče, koeficienty polinoma , odpovědajuče formy , uslovje (15) jest izpolnjeno, togda po gornjem to jest jednoznačno s , gde pod razumějut se vsi koeficienty od . Po (13) zato obstaja v razširitelnom polju od razloženje:

gdě v i zaradi ukazanogo sumovanja ne vystupajut žadne od indukovanyh različne eksponenty; i slědovateljno obstaja relacija

Iz togo slěduje, ako za nijeden faktor ne stavaje nultego stepena, osoblivo ako ne uslovjujut poniženje stepena od , daljna relacija

Uslovje (15) jest zato nužno i dostatočno za to, že , i pri izključenju poniženja stepena takože , razpadaje se v razširitelnom polju v dva faktory.

Iz togo dalje slěduje, že ne može izčezati identično v i , bo v 1. pokazano jest, že za polinomy s neopreděljenymi kako koeficientami, a zato takože odpovědajuče homogene formy v jednej prěměnnoj više, sut absolutno nerazložime. Tada, pod razuměvajuči stepenove produkty od , prihodit:

kde po (14) stavajut polinomami iz . Tym jest pokazano, že ne imaje drugyh nul než ty dane parametričnym predstavjenjem , gde i prinadležat algebraičnomu razširitelnomu polju od . Obrat izrečeny na koncu 2. jest tym dokazany.

6. Uslovje absolutnoj nerazložimosti možno nyně neposrědnje formulovati. Zato treba samo stepen od v (3) razložiti na vse možne načiny v dva pozitivne členy , i k vsakomu razloženju obrazovati formu . Produkt po tyh formah

tvori tada formu reducibilnosti od ; bo po gornjemu vsakomu razpadanju od odpovědajuče odpovědaje izčezanje jednogo faktora od (16), i obratno. Tym jest dokazany glavny teorem postavjeny v uvodu i skupaj pokazano, kako forma reducibilnosti može se v samoj stvari postaviti v konečno mnogih krokah.

7. Iz eksistencije formy reducibilnosti (16) neposrědnje slěduje teorem Ostrowski pomenjeny v uvodu. Nehaj

bude absolutno nerazložimy polinom s cělymi algebraičnymi čislami kako koeficientami; nehaj znači konečno algebraično čislovo polje, ktoro sodrži vse , a prosty ideal iz .

Tada forma reducibilnosti obrazovana za točny stepen od pri substituciji ostavaje različna od nuly; stavaje

Ideal jest zato dělivy samo črez konečno mnogo prostyh idealov iz . Ako tedy jest različny od tyh konečno mnogih, togda modulo ne izčezaje identično; i poněže klasy ostatkov modulo znovu tvore polje, slěduje, že modulo jest nerazložimy, točnejše absolutno nerazložimy. To samo važi za , takže ne nastavaje ani poniženje stepena modulo .

Ako koeficienty od sut algebraično drobne čisla, tada treba takože vzęti različny od konečno mnogih prostyh idealov, ktore vhodjat v obči imenovatelj ; modulo vseh ostalyh prostyh idealov možno zaměniti črez , takže gorne prědpostavky sut izpolnjene. Tym jest teorem dokazany.

Erlangen, avgust 1921.

(Dostavljeno 28. 8. 1921.)