21. Formalny variacionny račun i diferencialne invarianty

Encyklopädie d. math. Wiss. II, 3 (1922), str. 68--71 (v: R. Weitzenböck, Differentialinvarianten)

28. Formalny variacionny račun i diferencialne invarianty.

Obrazovanje vsih diferencialnyh invariantov i izvod glavnyh teoremov možno najjednoobrazněje provesti formalnymi metodami variacionnogo računa. To načelo ide nazad k Riemann72) i svoje glavno formo-teoretično razvitje dobilo jest u Lipschitz73).

Ako vyhodimo iz variacionnoj zadači, ktora prinadleži homogennoj formě , kde

jest predpoloženo, imenno

togda integracija po častjah vodi k invariantnoj sistemi jednačenj

kde Lagrangeove izrazy sut kontragredientne k . Formalno to najprosteje vidi se, ako opreděliti bezintegralnoju formalnoju identičnostju, ktora odpovědaje integraciji po častjah (centralno jednačenje Lagrangea)

kde i i sut invarianty, i zato takože prava strana. Osoblivo za kvadratnu formu dobiva se

Ako tut zaměniti kogredientnym i sravniti stepeny po , dobiva se odpovědajuča sistema identičnostij:

Iz togo , i osoblivo takože i , pokazyvajut se kako kontragredientne vektory. Iz (141) izračunava se

i iz togo dobiva se kogredientny vektor

Ako položiti , to očividno daje jednačenja geodezičnyh linij.

Znanje kogredientnogo vektora vede neposrědnje k kovariantnoj derivaciji (sr. nr. 19). Ako napr. jest forma dvoh redov i , togda izraz

kako razlika invariantov sam jest invariant, i jest obrazovany tako, že druge diferencialy se odstranjujut. Zato predstavja formu samo s prvymi diferencialami, kovariantnu derivaciju od . Odpovědajuče važi, ako sodrži vyše redov .

Na tom samom načelu osnovano jest obrazovanje formy kriviny u Riemann i Lipschitz. Prěhodi se od k ``normalnoj formě drugej variacije''

ktora, kako agregat invariantov, sama znovu jest invariant, i v ktoroj teper, v obobčenju centralnogo jednačenja Lagrangea, tretje diferencialy sut eliminovane. Eliminacija drugyh diferencialov děla se v analogiji s kovariantnym diferenciranjem črez obrazovanje razlike

što možno takože pisati kako

Zakon obrazovanja možno izrekti i tako, že v druge diferencialy eliminujut se črez položanje i , odpovědajuče pravyh stran (141), ravnymi nuli. To jest opreděljenje formy kriviny po Riemann (sr. nr. 21), pri čem treba izrično primětiti -- što (146) osoblivo jasno pokazuje -- že to položanje k nuli može nastupiti samo poslě provedenogo diferenciranja; formalny način obrazovanja u Lipschitz obhodi tu trudnost. Odpovědajuče možno by bylo opreděliti i kovariantnu derivaciju (143) tako, že v druge diferencialy eliminovane sut črez položanje ravnymi nuli.

Iz formy kriviny črez sukcesivno obrazovanje kovariantnyh derivacij dobiva se red form u Christoffel], ktoryh projektivne invarianty, poslě dodanja , po Christoffel i Ricci izčerpavajut cělost diferencialnyh invariantov kvadratnoj formy, a ih ekvivalentnost vzgledom linearnyh transformacij bez daljnogo uslovja integrabilnosti izreka ekvivalentnost dvoh kvadratnyh diferencialnyh form (sr. nr. 22). Vnutrny osnov togo teorema redukcije opiraje se na eksistenciji Rimanovyh normalnyh koordinat, ktore nastavajut iz variacionnoj zadači (140) (sr. nr. 20): one transformujut geodezične linije iduče črez točku v prave linije, i zato pri libovoljnoj transformaciji od transformujut se linearno. Obrazovanje vsih invariantov i pitanje ekvivalentnosti sut zato svedene k odpovědajučemu pitanju za pojedine homogene česti v razvoju od po normalnyh koordinatah, i pokazuje se, že te česti linearno sostavljajut se iz . Za kvadratne formy to jest v podrobnostjah provedeno u Vermeil92), v svęzi s notoju E. Noether93). Po toj notě teoremy i metody ostavajut validne, ako v osnovu položiti libovoljny diferencialny izraz (sr. nr. 22 i 23); tym pokazuje se doseg metodov formalnogo variacionnogo računa v protivnosti k metodam čistej teoriji eliminacije.

Položanje ravnym nuli Levi-Civita134) geometrično iztolkoval jest kako ``paralelno prěnešenje vektora'' (sr. takože Hessenberg133)). To ponjatje, aksiomatično uhvačeno od Weyl, v suščnosti jest ograničeno na kvadratne formy, ale dopušča obobčenje drugogo roda. Ono ostavaje pri razširenju grupy (množenje libovoljnoju funkcijeju), skoro kromě kvadratnoj formy takože linearna forma položena jest v osnovu. Togda jest jednoznačno opreděljen, i možno provoditi obrazovanja invariantov odpovědajuče gornjim i opreděljati geodezične koordinaty; no teper vyše ne nastavaje iz variacionnoj zadači! Pitanja o teoremu redukcije i ekvivalentnosti tut ješče ne sut obče razmatrivane; samo za invarianty najnižšego reda R. Weitzenböck dal jest teorem redukcije.

Nakonec treba ukazati na obče ``invariantne variacijske problemy'', t. j. na take, pri ktoryh prosty ili mnogokratny integral jest invarianten vzhodno k někoj grupě v smyslu Lie. Specialnymi fizično interesnymi slučajami zanimajut se raboty Hamel, Herglotz, Lorentz, Fokker, Weyl i Klein. Principialna formulacija u E. Noether pokazuje, že invariantnosti vzhodno k (konečna grupa s suščstvenymi parametrami) odpovědajut linearno nezavisne divergencije; invariantnosti vzhodno k beskonečnoj grupě, ktora sodrži libovoljnyh funkcij do -tej derivacije, odpovědajut zavisimosti medžu Lagrangeovymi izrazami i ih derivacijami do -togo reda. V obojih slučajah važi obrat. Poněže Lagrangeove izrazy stavajut relativnymi invariantami grupy, imajemo vměstě s tym proces, ktory obrazuje invarianty.

(Zaključeno v marcu 1921.)