22. Obrabotka K. Hentzelt: k teoriji polinomnyh idealov i rezultantov

Math. Ann. 88 (1923), str. 53--79

V slědujučem idě o obču zadaču teorije eliminacije: opreděliti obče nuly vsih polinomov ideala iz polinomov; abo, što jest s tym identično, nuly libovoljnogo konečnogo čisla polinomov, ktore tvorjut bazis ideala; pri tom jednočasno pojavi se ponjatijno tolkovanje nastavajučih mnogokratnostij. Koeficienty polinomov možno priraditi libovoljnomu polju; nuly togda naležat algebraično zamknjenomu polju, izvedenomu iz njega. Kromě togo ideal možno bez ograničenja občnosti smatrati transformovanym (§ 3). Togda suščstveny rezultat jest slědujuči:

Každomu idealu iz polinomov možno priraditi rezultantnu formu:

tako že izčezaje za vse nuly i samo za njih. Ako jest dělitelj od , i rezultantne formy i soglasujut se, togda soglasujut se takogo idealy i .

Druga čest glavnogo teorema pokazuje, že rezultantna forma dava nuly v harakternoj mnogokratnosti. Ta druga čest jest analogon tomu, že dva ideala algebraičnogo čislovogo polja, od ktoryh jeden jest dělitelj drugogo, soglasujut se togda i samo togda, kogda njih normy soglasujut se; vnutrny osnov obojih teoremov jest takogo ten samy.

Imenno, možno pojmati kako modul linearnyh form , ako každy polinom pojmati kako linearnu formu v stepennyh produktah od i prisojediniti k oblasti koeficientov. Rezultantny faktor togda stava ravny normě odpovědajučego osnovnogo modula (§ 1) po ; iz togo takoj daje se tolkovanje mnogokratnosti -- produkt stepena i eksponenta faktora -- črez čislo linearno nezavisnyh klasov ostatkov, fakt, ktory dosele byl znany samo v specialnom slučaju, kde rezultant možno opreděliti za neopreděljene koeficienty.

Za vyvodženje tih rezultatov v § 1 i § 2 dajut se teoremy o modulah iz linearnyh form, ktoryh koeficienty sut cěle racionalne čisla abo polinomy jednej proměnnoj. Svęz s idealami iz polinomov, uvedenymi v § 3, posrědkuje teorem izomorfizma § 4. § 5 dava vyše spomenutu drugu čest glavnogo teorema, § 7 teorem o nulah, ktoremu v § 6 prethodi obča teorija eliminacije. Tamo se jednočasno, pri uvedenju novyh proměnnyh, dokazuje razloženje rezolventy na linearne formy tih proměnnyh; i tym pri tut danoj eliminaciji dava se bezporočny dokaz za jedno tvrđenje Kronecker.

§ 1. Moduly iz linearnyh form.

Pod cělymi veličinami v prvih dvoh paragrafah razumějut se cěle racionalne čisla ili polinomy jednej neopreděljenej s koeficientami iz libovoljnogo, abstraktno opreděljenogo polja ; pod linearnymi formami razumějut se take formy v konečnom čislu neopreděljenyh s cělymi veličinami kako koeficientami.

Modul iz linearnyh form opredělja se uslovijami: zajedno s i modul soderži takože razliku ; zajedno s on soderži takože , kde pod razuměje se libovoljna cěla veličina.

Pod rangom razumějemo, kako obyčno, maksimalno čislo linearno nezavisnyh linearnyh form iz ; pod -tym determinantnym děliteljem modula -- največši obči dělitelj vseh determinantov reda iz (to jest vseh determinantov reda , ktore možno utvoriti iz matrice koeficientov libovolnyh linearnyh form iz ). Ako jest rang , tako že sut nenulove determinantne dělitelji, togda elementarne dělitelji modula opreděljajut se formulami , , . Kako znano, jest konečny modul, ktory imaje modulny bazis točno iz linearnyh form ; črez njih vsaka linearna forma iz može se predstaviti linearno, s cělymi veličinami kako koeficientami: . Ako označuje matricu koeficientov tih linearnyh form, togda determinantne i elementarne dělitelji soglasujut se s odpovědajučimi děliteljami ; iz togo najprvo slěduje, že vsaky elementarny dělitelj děli slědujuči . Matrično ravnanje, dano teorijeju elementarnyh děliteljev,

dale pokazuje -- ako črez unimodularnu transformaciju vvedut se nove neopreděljene -- že obstaje modulno ravnanje:

Najsuščestvenějši pojem za to, čto slěduje, jest pojem osnovnogo modula, po slědujučej

I. Modul nazyvaje se osnovnym modulom, ako on ne imaje vlastnogo dělitelja jednakogo ranga.

Togda jest osnovny modul togda i samo togda, kogda iz

Svęz medžu libovoljnym modulom i osnovnym modulom daje slědujuči

I. Vsaky modul jest dělimy črez jedin i samo jedin osnovny modul jednakogo ranga; opredělja se kako najmenši dělitelj jednakogo ranga i predstavjaje se črez

bude nazyvany osnovnym modulom modula .

Uslovje, že ma byti najmenši dělitelj jednakogo ranga, vyraža se tako: soderži vse i samo te linearne formy , ktore zadovoljajut relaciji

Iz togo najprvo slěduje, že jest modul, bo zajedno s

izpolnjeno jest takože

i, razumě se, takože . Ale jest takože osnovny modul; bo iz

po (4) slěduje

a zato, znovu po (4), takože .

Dale ne obstaje osnovny modul , različny od najmenšego dělitelja jednakogo ranga, ktory by zadovoljaval te uslovija. Bo musil by byti dělimy črez , ale kako osnovny modul on ne imaje vlastnogo dělitelja jednakogo ranga, i zato jest identičny s . Nakonec modul predstavjeny pravoju stranoju (3) jest osnovny modul, bo vsaky vlastny dělitelj musil by soderžati daljnju neopreděljenu , znači imal by vyšši rang. Tymy (3) daje jednoznačno opreděljeny osnovny modul od , i Teorem I jest dokazany vo vseh čestjah.

Daljny pojem, suščestveny za to, čto slěduje, jest Dedekindov pojem kvocienta dvoh modulov, imenno:

II. Kvocient dvoh modulov iz linearnyh form opredělja se kako cělost cělyh veličin , ktore zadovoljajut uslovju

predstavlja ideal iz cělyh veličin, zato glavny ideal. Odpovědajuče, kvocient modula iz linearnyh form črez ideal iz cělyh veličin opredělja se kako cělost linearnyh form , ktore zadovoljajut uslovju

znovu predstavlja modul iz linearnyh form, imenno, skoro jest različny od nulovogo ideala, modul jednakogo ranga kako .

Tut trěba samo primětiti, že iz definicije jasno jest: kvocient vsagda imaje modulno svojstvo; sistemy iz cělyh veličin s modulnym svojstvom sut pak idealy.

Pojem kvocienta vodi k svęzi medžu osnovnym modulom i najvyššim elementarnym děliteljem:

II. Medžu osnovnym modulom i najvyššim elementarnym děliteljem od obstaje vzaimna relacija

kde znači glavny ideal izvedeny iz .

Bo poněže vsaky elementarny dělitelj děli , iz (1) i (3) dobivajemo

zato jest dělimy črez kvocient . Ale važi i obratno; bo iz

čim dokazana jest prva formula (5). Formula (6) dale pokazuje, že jest dělimy črez kvocient ; toj kvocient jest dělitelj jednakogo ranga, zato po definiciji osnovnogo modula od i obratno jest dělimy črez . Tymy dokazana jest takože druga formula (5).

Nehaj znači libovoljny ne identično izčezajuči determinant reda iz . Togda jest dělimy črez -ty determinantny dělitelj , i zato črez ; prihodit tedy , i po gornjem zaključanju slěduje . Ale za pozdnějše jest suščestveno, že to poslědnje kvocientno predstavjenje za može se dokazati i bez vratanja k elementarnym děliteljam, i zato imaje občejšu silu:

III. Ako pod cělymi veličinami razumějut se polinomy v nekoliko neopreděljenyh, togda ještě važi kvocientno predstavjenje

kde pod razuměje se libovoljny ne identično izčezajuči determinant reda iz .

Najprvo jest jasno, že pojmy ranga, osnovnogo modula i modulnogo kvocienta -- ktory teraz uže ne stava glavnym idealom -- pri tom razširjenju ostavajut zachovane; takože Teorem I, izključivši bazisno predstavjenje.

Nehaj nyně

budut linearno nezavisne linearne formy iz , ktore obće ne budut tvoriti modulny bazis; neopreděljene označimo tako, že

Iz togo slěduje, že linearnyh form specialnogo oblika naležet :

Ale ne može soderžati linearnu formu , ktora zavisi samo od , bo inače najmenej jeden determinant reda , imenno , byl by različny od nule.

Nyně kvocient , kako dělitelj jednakogo ranga, jest dělimy črez ; ale važi i obratno. Bo za vsako po definiciji važi

Po (8) pak

slědovateljno prihodit

Po tom, čto bylo právě priměčeno, slěduje , i tym, zaradi , takože ; zato , čim (7) jest dokazana.

Trěba primětiti, že slěduje takože direktno iz togo, že oba moduly i imajut jednak rang ; togda -- položeno -- determinant reda

izčezaje. Ale dokaz dany vyše vozvrača se v § 4 poslě formuly (30).

§ 2. Teoremy o razloženju norm i modulov.

Nyně znovu jde o moduly linearnyh form vzhodno k cělym racionalnym čislam ili polinomam jednoj neopreděljenej s koeficientami iz .

III. Ako, kako obyčno, vse linearne formy v , ktore sut kongruentne medžu soboju po modulu , shvatiti v jednu ostatkovu klasu, togda symbol označuje sistem ostatkovyh klasov od po , to jest sistem vseh tych ostatkovyh klasov po , ktore sostojut iz elementov . Norma vzhodno k -- v znakah -- opredělja se kako determinant prěhodnogo prěobraženja od k , to jest kako determinant prěobraženja, ktoro vyraža libovolny linearno nezavisny modulny bazis črez takovy bazis osnovnogo modula od .

Iz (1) i (3), odnosno iz primětky k Teoremu II, dobivajemo:

Iz (1), (3) i (9) znanym sposobom slěduje, že v slučaju cělyh racionalnyh čisel predstavjaje čislo ostatkovyh klasov od po , dočim v slučaju polinomov jednoj neopreděljenej -- kde čislo ostatkovyh klasov obće stavaje beskonečnym -- stepenj stavaje jednak čislu ostatkovyh klasov, linearno nezavisnyh vzhodno k . Ako jest dělitelj jednakogo ranga, togda vměstě s predstaviteljem libovoljnoj takoj ostatkovej klasy soderži i vse elementy toj klasy; znači nastava iz dodanjem konečno mnogih ostatkovyh klasov, odnosno jih linearnyh kombinacij. Iz togo odmah slěduje:

IV. Ako jest dělitelj jednakogo ranga, tako že osnovne moduly sovpadajut, i ako navrh togo , togda takože .

O svęzi medžu razloženjem norm i modulov važi slědujuče tvrđenje.

V. Nehaj

togda obstaje jedin i samo jedin modul , i takože jedin i samo jedin modul , oba dělitelji jednakogo ranga, take, že

važi. i opreděljajut se kako

i jest jednak najmenšemu občemu mnogokratnomu od i . Ako položimo , , togda važe vzaimnosti

Bo ako občejše položimo , , togda iz (9) i (10) prihodit:

i vsaky , odnosno , děli slědujuči , odnosno . Ako tedy položimo

togda i stavajut dělitelji jednakogo ranga; zaradi vzaimnej prostoty i modul stavaje jednak najmenšemu občemu mnogokratnomu od i , i dale prihodit

Dale važi

iz slěduje , zato , čim dokazano jest i odpovědajuče . Iz

dale slěduje, zaradi vzaimnej prostoty vseh k , že ; znači i odpovědajuče . Tymy dokazany sut vzaimnosti (11), ktore v specialnom slučaju prěhodet v (5).

Ostavaje dokazati jednoznačnost i . Nehaj i sut moduly, ktore zadovoljajut uslovjam Teorema V, a i sut jih elementarne dělitelji. Poněže i sut dělitelji od , iz

prihodit takože

Togda i sovpadajut s i po elementarnym děliteljam i osnovnomu modulu. Zato, ako črez unimodularno prěobraženje vvesti nove neopreděljene , togda bude

Iz togda prihodit

zato . Poněže , to daje , ili . Ale poněže , po Teoremu IV prihodit , i odpovědajuče . Tymy Teorem V dokazany jest vo vseh čestjah.

§ 3. Idealy iz polinomov.

Nehaj bude ideal iz polinomov od neopreděljenih , s koeficientami iz libovoljnogo, abstraktno opredělennogo polja ; to jest, vměstě s i ideal soderži takože razliko , i vměstě s soderži takože , kde pod razuměje se libovoljny polinom s koeficientami iz .

Nehaj bude podloženo prěobraženju s neopreděljenymi kako koeficientami,

i nehaj neopreděljene budut prisojedinjene k oblasti koeficientov polinomov, ktora tym prěhodit v polje . Črez to prisojedinjenje prěhodit v ; zato soderži, kromě polinomov iz , takože vse linearne kombinacije konečno mnogih , kde pod razumějut se racionalne funkcije od s koeficientami iz . Pomnoženjem s vhodnym polinomom v možno, bez ograničenja obćnosti, smatrati kako stepenove produkty v . Zato važi:

Posrědstvom (12) prěhodit v ideal iz polinomov v s koeficientami iz :

Spojenje relacij (14) i (13) govori slědujuče:

dočim iz (14) i (15) v obratnom směru znovu dobiva se (13).

IV. Idealy iz polinomov v s koeficientami iz , ktore zadovoljajut relacijam (15), znači ktore posrědstvom nastavaju iz , budut nazvane transformovanymi idealami.

Transformovane idealy odlikujut se eksistovanjem regularnyh polinomov; polinom stepena zove se regularny vzhodno k , ako on soderži člen s nenulevym koeficientom. Vidno jest, že polinomy sut regularne vzhodno k . V slědujučem bude suštno pojmati te transformovane idealy kako moduly iz linearnyh form v někojih stepenovyh produktah od . Za to treba utvrditi pojem osnovnogo ideala, ktory pozdněje prějde v osnovny modul. Najprvo vvodimo označenje, ktoro od nyně bude vsagda držano:

čenje. Pod budut vsagda razuměny polinomy od , ktore sut svobodne od .

V. K vsakomu idealu opreděljene sut osnovne idealy črez slědujuču ustanovu: osnovny ideal -oj stupnje soderži vse i samo te polinomy , za ktore obstava polinom -- v obče, měnjajuči se vměstě s -- tak, že

To, že v samoj stvari sut idealy, točno odpovědaje dokazu modulnogo svojstva za posle formuly (4), pri čem (16) jest analog. Ideal jest dělimy črez , poneže vsaky polinom jednočasno jest někoj .

Za osnovne idealy važi:

VI. Osnovne idealy transformovanyh idealov sut transformovane idealy.

Dokaz opiraje se na poznany Dedekind--Mertensov teorem: nehaj i budut neopreděljene, i nehaj položeno bude

dale nehaj označujut moduly, odpovědajuče izvedene iz pomoću cělyh racionalnyh čisel. Togda obstava eksponent tak, že važi identičnost:

Tut sostoji iz stepenovyh produktov -oj stepeni od i iz jih celočislennyh linearnyh kombinacij.

Za dokaz Teorema VI položimo nyně:

gde i označujut stepenove produkty v . Togda po (16), (14) i (18) važi:

Na lěvoj straně stoji produkt dvoh polinomov v , ktoryh koeficienty sut polinomy i ; koeficienty produkta-polynoma v sut po pravoj strani (19) polinomy iz . Ako tedy v (17) zaměniti tymi polinomami v , dobivaje se

što po (18) jest ravnoznačno s:

Relacije (16), (18) i (20) pokazujut, že osnovne idealy v samoj stvari sut transformovane idealy.

22. Obrabotka K. Hentzelt:\ k teoriji polinomnyh idealov i rezultantov (prodolženje)

Math. Ann. 88 (1923), s. 53--79

§ 4. Vez medžu idealami iz polinomov i modulami iz linearnyh form.

Da by ideal iz polinomov, ktory vse dalje predpolagaje se transformovanym, možno bylo smatrati kako modul iz linearnyh form, pojedine polinomy treba smatrati kako linearne formy v stepenovyh produktah od :

gde, po označenju iz § 3, pod razumějut se polinomy v . Iz definicije ideala odmah slěduje, že ima modulnu vlastnost vzhodno k tym cělym veličinam ; a poneže beskonečno mnogo stepenovyh produktov od vystupaje samo linearno, oni radi svojej linearnoj nezavisnosti igraju za rolu neopreděljenyh. Vsaky modul soderži beskonečno mnogo neopreděljenyh , ale v vsakoj pojedinoj linearnoj formě vystupaje samo konečno mnogo neopreděljenyh. Takože vsaky osnovny ideal treba smatrati kako modul linearnyh form , gde neopreděljene sut znovu stepenove produkty od . Za ide samo o jednu neopreděljenu , ktora sootvěča jedinici.

Nyně možno, i na tom osnovano jest vse slědujuče, mimo to beskonečno mnogo neopreděljenyh , ograničiti se na moduly linearnyh form v konečno mnogih neopreděljenyh, po slědujučem teoremu.

VII. Sistem ostatkovyh klasov jest izomorfny sistemu ostatkovyh klasov , gde jest modul v konečno mnogih neopreděljenyh, a označuje jego osnovny modul. Modul poslě prisojedinjenja k ima samo konečno mnogo elementarnyh děliteljev različnyh od , imenno te elementarne dělitelje , ktore sut različne od .

Pri tom elementarne dělitelje treba definirati kako v primětce 8). Izomorfija, ktora vstupaje v Teorem VII, osnovana jest na slědujušej definiciji.

V. Dva sistema ostatkovyh klasov zovut se izomorfnymi, ako možno jih vzajemno jednoznačno odpovědati tako, že razlikě dvoh klasov sootvěča razlika odpovědajučih klasov, a produktu klasa s cěloju veličinoju sootvěča produkt odpovědajučego klasa s toju samoju cěloju veličinoju.

Dokaz Teorema VII dobiva se polnoju indukcijeju. Za Teorem VII jest očividny: jest modul linearnyh form v jednej neopreděljenoj , ktora sootvěča stepenovomu produktu nultej stepeni od , to jest jedinici; cěle veličiny sut vse polinomy v . Osnovny ideal jest jediničny ideal, sostojany iz vseh polinomov v , zato jest modul , osnovny modul od , tako že tut sovpada s . Nakonec, poneže ima rang , on može imati najviše jeden elementarny dělitelj različny od .

Najprvo prějdemo od k , da by s tut dobivenym razuměnjem strojenja provesti obči indukcijny krok. K tomu najprvo pokažemo, že za možno vzęti sistem predstaviteljev ograničeny po ; radi dělitelnosti črez to potom privede k konečno mnogim neopreděljenym modula .

Po § 3, kako transformovany ideal, ima najmenej jeden polinom regularny vzhodno k , recimo -oj stepeni; zato soderži linearnu formu . Radi regularnosti vsaky polinom dopusča predstavjenje

zato, vzhodno k prinadležnosti k , za v samoj stvari možno izbrati sistem predstaviteljev, ktory ne dosega -oj stepeni po .

Ako nyně osoblivo za polinomy iz i iz položiti:

i ako označuje sistem vseh linearnyh form , odpovědajuče sistem linearnyh form , togda iz idealnoj vlastnosti i slěduje, že i sut moduly iz linearnyh form v vzhodno k cělym veličinam . Takože glavny ideal vyvedeny iz daje modul vzhodno k tym cělym veličinam:

gde položeno . Elementy sut linearno nezavisne vzhodno k tym cělym veličinam , i medžu soboju i od konečno mnogih . Iz dělitelnosti črez i zato črez slěduje, že takože jest dělimy črez , odnosno črez . S uvagojenjem (22) dobiva se:

Iz (23) i linearnoj nezavisnosti i slěduje Teorem VII za takto. Radi dělitelnosti črez najprvo dobiva se . Da by dokazati izomorfiju s , nehaj něktore linearne formy iz daju sistem predstaviteljev od . Radi linearnoj nezavisnosti i , iz slěduje takože ; formy zato sut takože nekongruentne modulo , tvore sistem predstaviteljev od , i odpovědanje od k , posrědstvom togo sistema predstaviteljev, jest izomorfna po Definiciji V.

Sovsěm odpovědajuče dobiva se: iz , , slěduje , . Poneže to izpolnjaje se za vse iz i samo za te -- bo po (23) sostoji iz vsěh polinomov osnovnogo ideala , ktore jednočasno sut linearne formy v -- tym samym karakterizuje se kako osnovny modul od .

Nakonec, prisojedinjajuči k , dobiva se:

i zato:

Tym, s uvagojenjem primětky 8), poznavajut se kako elementarne dělitelje . Zato za Teorem VII dokazany jest vo vsih čestjah.

Treba primětiti, že (22) i (23) koristajut samo to, že jest regularny vzhodno k . Te formuly i k njim privęzane razmysljenja, veduče k Teoremu VII, zato ostavajut v sile, ako vměsto (12) položi se za osnovu specialno prěobraženje

ktoro posrědstvom složenja s

gde i označujut moduly -- vzhodno k cělym veličinam -- iz linearnyh form v konečno mnogih neopreděljenyh , někojih stepenovyh produktah od ; i gde sut linearno nezavisne i medžu soboju i od vzhodno k tym cělym veličinam. Predstavjenje odpovědajuče k (28), i linearna nezavisnost i , imajut važit takože togda, ako vměsto (12) položi se za osnovu specialno prěobraženje

ktoro može se složiti do (12) posrědstvom

i imenno to specialno predstavjenje ima nastavati iz (28) prosto črez obračenje .

Iz predpostavjenj (28) i linearnoj nezavisnosti i slěduje izomorfija s , črez odpovědanje k tomu samomu sistemu predstaviteljev, točno tymi samymi razmysljenjami, ktore vyšše byli privęzane k (23). Takože dobiva se, že stavaje osnovnym modulom od i že ima samo konečno mnogo elementarnyh děliteljev različnyh od , imenno te elementarne dělitelje , ktore sut različne od .

Za provedenje indukcijnogo kroka najprvo treba znovu pokazati, že za , a zato i za , možno vzęti sistem predstaviteljev ograničeny po . To slěduje iz predstavjenja kvocienta dokazannogo v (7), Teorem III:

gde pod razuměje se kojikoli ne identično izčezajuči determinant -go stepena iz , gde označuje rang . Iz česti predpostavjenj, ktora odnosi se k specialnomu prěobraženju (29), slěduje, že možno vsegda prijeti regularnym vzhodno k . Modul odpovědajuči k ima bo jednaky rang; ako označuje kojikoli ne identično izčezajuči determinant -go stepena iz , ktory črez prěhodi v regularny , togda po predpostavjenju stavaje determinantom -go stepena iz .

Iz eksistencije slěduje, kako v (8), pri vhodnom numerovanju , prinadležnost linearnyh form specialnogo oblika

k . Nyně možno vsaku linearnu formu v privedti k obliku:

gde sut ograničene po i ne dosegajut stepena od . To predstavjenje jest jednoznačno; bo iz

slěduje poravnanjem koeficientov pri i s uvagojenjem stepenov po identično izčezanje vsih i .

Nehaj nyně osoblivo

Iz togo dobiva se, kako pri dokazu Teorema III,

i zato, poneže kako pri Teoremu III koeficienty pri morajut izčeznuti,

iz čego slěduje, že takože sut ograničene i ne dosegajut maksimalnogo stepena od . Eksistencija sistema predstaviteljev za , to jest za , ograničenogo po i ne dosegajučego někojego fiksovanogo stepena , jest tym dokazano.

Označimo nyně s konečno mnoge stepenove produkty

i uporjadkujmo izčislimo beskonečno mnogo izrazov

v prosty beskonečny rjad . Togda i sut linearno nezavisne, i pojedino medžu soboju i jedne od drugih, vzhodno k cělym veličinam . Bo iz

gde vsaka suma obhvača samo konečno mnogo členov, radi predpostavjene linearnoj nezavisnosti i , i medžu soboju vzhodno k cělym veličinam , slěduje izčezanje vsih . Iz jednoznačnosti predstavjenja (31) dalje slěduje izčezanje i , i iz togo nakonec, radi linearnoj nezavisnosti , izčezanje .

Ako nyně modul smatrati kako modul vzhodno k cělym veličinam , togda jest dělimy črez , radi dělitelnosti črez , i dobiva se

Za vsako iz (28), (31) i togo, što bylo dokazano vyšše, važi:

kako modulno ravnanje vzhodno k cělym veličinam . No jest dělimy črez , a dělimy črez ; zato ako osoblivo za vsako iz i vsako iz položiti

i ako modul sostojany iz vsih označiti s , a modul sostojany iz vsih s , togda točno te same razmysljenja, ktore vedli k (23), daju:

Pri izvedenju (32) znovu byla koristana samo regularnost vzhodno k , zato celo razmysljenje ostavaje v sile, ako specialno prěobraženje (29) položi se za osnovu za jeden indeks vyše. Togda točno te same razmysljenja, ktore privęzujut se k (27), pokazujut, že to specialno predstavjenje nastava iz (32) prosto črez obračenje .

Tym vsě predpostavjenja (28) i t. d. občego indukcijnogo kroka dokazane sut za jeden indeks vyše; a poneže iz tych predpostavjenj, kako tut pokazano, neposrědstveno slěduje Teorem VII, Teorem VII dokazany jest obče. Tym samym pokazano jest, že proizvoljnost pary , dana proizvoljnostju izbora , znovu ukida se izomorfijeju sistema ostatkovyh klasov .

Ako osoblivo polje , položeno v § 3 kako oblast koeficientov, ima karakteristiku nul -- to jest, ako prosto polje, vključeno v i izvedeno iz jedinice, jest tipa racionalnyh čisel -- togda neopreděljene možno specializovati v veličiny iz tako, že za vsako ostavaje regularno vzhodno k . Gorne razmysljenja pokazujut, že Teorem VII ostavaje v sile i pri toj specializaciji. Osnovny modul i elementarne dělitelje pri tom ne morajut nužno nastavati iz občeho slučaja črez specializaciju .

§ 5. Rezultantna forma i forma elementarnyh děliteljev ideala iz polinomov.

Nehaj budut prisojedinjene k , tako že i , a slědovateljno takože i , prěhodet v moduly linearnyh form, gde cěle veličiny možno smatrati kako polinomy v jednoj neopredělenej . Po Teoremu VII v tom slučaju elementarne dělitelje , različne od , i najviše konečno mnogo elementarnyh děliteljev modula sovpadajut s těmi od . Produkt tych elementarnyh děliteljev, -ty determinantny dělitelj , byl jednak determinantu prěhodnogo prěobraženja od k , zato po Definiciji III jednak . Po (24), odnosno po analognoj formuli za obče , ktora slěduje iz (28), pokazuje se, že produkt tych elementarnyh děliteljev takože stavaje jednak determinantu prěhodnogo prěobraženja od k ; zato jego treba označiti s . Zato dobiva se

gde polinom , to jest največši obči dělitelj v polinomnom smyslu vsih -rędnyh determinantov iz , možno smatrati kako cěly i primitivny po i zato, kako dělitelj , regularny vzhodno k . Takože najvyšši elementarny dělitelj modula , odnosno , možno smatrati kako cěly i primitivny po i zato regularny vzhodno k . To vodi k slědujušej definiciji.

VI. Polinom označuje se kako rezultant -go nivoja ideala , a kako elementarny dělitelj -go nivoja. Rezultant -go nivoja jest zato norma osnovnogo ideala vzhodno k , smatrana kako norma modula vzhodno k , pri čem sut prisojedinjene k ; takože pri tom samom prisojedinjenju stavaje jednak kvocientu . Kako rezultantna forma odnosno forma elementarnyh děliteljev od označujut se produkty

Za rezultantnu formu i formu elementarnyh děliteljev važi slědujuče.

VIII. Rezultantna forma jest dělima črez formu elementarnyh děliteljev; obratno, někoja potęga od jest dělima črez . i sut dělimy črez ; občeje, i zato .

Imenno, poneže norma jest dělima črez najvyšši elementarny dělitelj i obratno někoja potęga togo najvyššego elementarnogo dělitelja jest dělima črez normu, ta dělitelnost slěduje za i pri prisojedinjenju . Ale i predpolagajut se primitivnymi polinomami vzhodno k , zato dělitelnost važi vzhodno k vsim neopreděljenym . Tak po definiciji tych izrazov vzhodno k vsim neopreděljenym važi dělitelnost črez i někojej potęgi črez .

Dalje, po Teoremu VII i Teoremu II, pri prisojedinjenju , najvyšši elementarny dělitelj definovany jest kako kvocient . Zato, ako znovu prějdemo k polinomam v vsih neopreděljenyh , za vsako

Nyně osoblivo stavaje jediničnym idealom, zato dobiva se:

Obče, po (33), priměnjenoj k

jest tako, že ; zato . Poneže , dobiva se

Ako v (33) prěhodi črez konečno mnogo polinomov nekojej bazy ideala i označuje produkt odpovědajučih , togda dobiva se

i iz togo, kako vyše, črez konečno povtorjenje:

i zato takože

čim Teorem VIII jest dokazany vo vsih čestjah.

Teorem VIII osnovan jest suštno na vlastnostjah formy elementarnyh děliteljev; ale že rezultantna forma ima karakteristično značenje za , pokazuje

IX. Ako jest dělitelj od -- dělitelj razuměny v idealnom smyslu -- i ako rezultantne formy i sovpadajut, togda idealy i sovpadajut.

Imenno, nehaj i označujut osnovne idealy od i . Najprvo i stavajut oba jediničnym idealom, zato . Ako nyně predpostaviti , tako že i imajut toj samy osnovny modul , togda predpostavjenje pri prisojedinjenju možno zapisati kako:

pri tom položeno jest odpovědajuče k (32): , tako že takože stavaje modulom linearnyh form v , a jego osnovnym modulom. Radi dělitelnosti črez , ktora vodi k dělitelnosti črez , iz togo po Teoremu IV slěduje, že pri tom prisojedinjenju dva moduly i , i zato takože i , sovpadajut. Prisojedinjenje znači ale, že k odnosno k dodavajut se vse takie polinomy , za ktore

važi, to jest, črez prisojedinjenje odnosno prěhodi v , odpovědajuče v ; zato i slědovateljno , to jest dokazano.

Nakonec to samo načelo prěnosa, priměnjeno k Teoremu V, daje još

X. Nehaj bude razloženje na -- v polinomnom smyslu -- vzaimno proste polinomy i . Togda eksistuje jeden i samo jeden ideal , takože jeden i samo jeden ideal , oba dělitelje od s jednakym osnovnym idealom -go nivoja , tako že stavaje jednak , a jednak . i definovane sut kako cělost polinomov odnosno takyh, že

i stavaje najmenše obče mnogokratno od i ,

K tomu treba samo primětiti, že za i možno izbrati fiksovano, kako produkt , ktore sootvěčajut baznym elementam od odnosno , i že, kako vyše priměčeno, pri prisojedinjenju prěobražaje se v . Osoblivo razloženje možno prodolžiti do potęg nerazložimyh polinomov -- primarnyh faktorov -- što vodi k odpovědajučemu predstavjenju kako najmenšego občego mnogokratnogo.

§ 6. Vlastna teorija eliminacije.

Po Teoremu VIII odnosno po formuli (34) rezultantna forma i forma elementarnyh děliteljev sut dělimy črez , zato izčezajut za vse nuly ; pri tom pod ``nulami '' razumějut se take -- prinaležne algebraično zatvorjenomu polju, vyvedenomu iz -- sistemi veličin , že za te sistemi veličin vsaky polinom iz izčezaje, pri čem mysljet se prisojedinjene k oblasti koeficientov . Te prisojedinjene , kako bude pokazano, možno takože zaměniti veličinami iz . Soderžanje teorije eliminacije, obratno, jest vyvodženje nul iz nul rezultantnoj formy. To obratno vyvodženje osnovano jest na sukcesivnoj eliminaciji, ktora bude razvijena v tom paragrafu; kogda v slědujučem paragrafu bude dokazano, že pri tom nastavajuča forma jest dělima črez , iz děliteljnosti někojej potęgi črez slěduje želano obratno tvrđenje.

Teorija sukcesivnoj eliminacije, ktora tut ma byti dana, osnovana jest na slědujučem.

XI. Nehaj označuje ideal iz polinomov v jednej neopreděljenoj s koeficientami iz , znači glavny ideal; nehaj bude polinom iz stepena , a modul linearnyh form v , v ktory prěhodit modulo . Togda ima rang , ako označuje stepenj baznogo polinoma ideala .

Po predpostavjenju , gde jest stepena . Zato ostatkove klasy ideala modulo , predstavjene polinomami , sut linearno nezavisne; i vsaka ostatkova klasa ideala modulo možno linearno, s koeficientami iz , predstaviti črez te specialne klasy. Ale modulo prěhodit v modul linearnyh form v , ktorogo rang tym samym jest točno .

Nehaj nyně bude transformovany ideal iz polinomov, polinom iz , regularny vzhodno k , stepena , a modul linearnyh form v , s polinomami kako koeficientami, v ktory prěhodit modulo . Dale nehaj označuje ideal v , vyvedeny iz vsih -rędnyh determinantov iz . Po Teoremu XI togda i samo togda jest jednak nulovomu idealu, kogda polinomy iz imajut obči dělitelj -- dělitelj razuměny v polinomnom smyslu -- stepena vzhodno k . Ako jest različny od nulovogo ideala, togda, poneže byl predpostavjen kako transformovany ideal, on soderži polinom stepena , regularny vzhodno k , kako to neposrědno vidno iz složenja transformacije (12) iz specialnyh transformacij (25) i (26). Nehaj znovu označuje modul linearnyh form v , v ktory prěhodit modulo , a ideal v , vyvedeny iz vsih -rędnyh determinantov iz , ktory musi soderžati polinom regularny vzhodno k .

Takym sposobom postupak prodolžuje se, dokolě ne pride se k nulovomu idealu ili dokolě ne stane jediničnym idealom; bo, poneže jest svobodny od , on može byti samo nulovy ili jediničny ideal. Pokazuje se, že idealy sut jednoznačno opreděljene črez , nezavisno od polinomov položenih v osnovu. To jasno jest za , zato možno to predpostaviti za . Ako nyně modulo prěhodit v modul linearnyh form , togda možno takože karakterizovati kako cělost polinomov iz , ktore v ne dostigajut stepena ; zato zavisi samo od stepena polinoma . Nehaj nyně bude polinom iz , regularny vzhodno k , stepena , odpovědajuči modul linearnyh form, a ideal vyvedeny iz -rędnyh determinantov iz . Togda važi modulno ravnanje

Poneže, radi regularnosti vzhodno k , polinomy možno vvesti kako nove neopreděljene linearnyh form, iz togo slěduje sovpadanje -rędnyh determinantov iz s -rędnymi iz ; i zato .

Dale vsagda jest dělimy črez . To jasno jest, ako jest nulovy ideal; v protivnom slučaju jest ranga , zato jest po definiciji ideal, sostojany iz -rędnyh determinantov iz , dělimy črez i slědovateljno črez . Vsaky tym samym jest dělimy črez ; ako dakle stavaje jediničny ideal, togda i jest jediničny ideal.

Nehaj nyně bude različny od jediničnogo ideala; . Nehaj bude največši obči dělitelj -- dělitelj razuměny v polinomnom smyslu -- vsih polinomov iz , eksistujuči po Teoremu XI; kako dělitelj od sam jest regularny vzhodno k stepena . Prisojedinimo k ; togda v algebraičnom razširiteljnem polju od dopusča razloženje na linearnyh faktorov. Nehaj bude jeden takovy linearny faktor, tako že za vse polinomy iz izčezajut i slědovateljno po Teoremu XI polinomy iz pri toj specializaciji dobivajut največši obči dělitelj . Kako dělitelj od sam znovu jest regularny vzhodno k stepena ; znači on osoblivo ne može identično izčeznuti i v razširiteljnem polju od dopusča razloženje na linearnyh faktorov. Ako jest takovy linearny faktor, jemu sootvěča največši obči dělitelj iz . Prodolžujuči tako, prihodimo k konečno mnogim občim nuljam , ktore ležat v algebraičnom razširiteljnem polju od . Obratno, radi děliteljnosti črez , vsaka nula jest takože nula . Ako osoblivo jest nula , iz togo slěduje ; i polinomy iz dobivajut največši obči dělitelj s linearnym faktorom . V sumě dobiva se:

XII. Nehaj bude različny od jediničnogo ideala, ; togda pri prisojedinjenju k eksistuje konečno mnogo prinaležnyh sistemov veličin , ktore ležat v algebraičnom razširiteljnem polju od , tak že vse polinomy iz izčezajut za . Obratno, ako dana jest taka nula , iz togo slěduje i nastavanje občego dělitelja vsih polinomov iz , ktory ima linearny faktor .

Teorem XII pokazuje osoblivo, že vsaky ideal , ktory ne ima nuly, stavaje jediničny ideal.

Da by provesti razloženje, ktoro takože eksplicitno pokazuje prinaležnost sistemov veličin, vvodet se nove neopreděljene , ktore možno prisojediniti k . Položimo:

tako že složenje (12) s (35) znovu dava substituciju tipa (12), gde nyně samo zaměnjene sut črez , a občeje črez . Ako tak substitucija (35) prěvodit po predpostavjenju transformovany ideal v , togda nastava prosto iz zaměnoju črez i prisojedinjenjem ; i tym samym procesom idealy , definovane posrědstvom , nastavajut iz . Obratno, nastava iz posrědstvom ; idealy i zato sut jednočasno nulove idealy ili jednočasno različne od nulovogo ideala.

Nehaj nyně znovu ; zato takože ; nehaj bude prinaležny sistem nul . Ako definujemo , togda posrědstvom (35) stavaje nula . Ako dakle označuje največši obči dělitelj vsih polinomov iz , ktory možno predpolagati cělym i primitivnym po , togda po poslědnjej česti Teorema XII dobiva faktor

i vsakoj nuli , ktora nastava pri prisojedinjenju , sootvěča takovy faktor. Treba pokazati, že tym razloženje jest izčrpano; to jest, že iz ne možno odděliti faktor , ktory ne razklada se na linearne faktory v i . Nehaj to bude slučaj. Togda, radi predpostavjenej primitivnosti po , soderži najmenej jeden linearny faktor , gde prinaleži algebraičnomu razširiteljnemu polju od . Ako jest odpovědajuča nula , ona musi sovpadati s jednoj iz konečno mnogih nul , ktore nastavajut pri prisojedinjenju , i zato musi byti nezavisna od . Tym samym nužno soderži linearno, ne algebraično ili racionalno-nelinearno; proti predpostavjenju, iz možno odděliti ještě jeden linearny faktor v i . Zato kak eksplicitno razloženje dobiva se:

Poneže stepenj i pojedine eksponenty muset sovpadati s odpovědajučimi od -- bo nastava iz specializacijeju , a iz specializacijeju -- to razloženje ještě pokazuje, že radi prisojedinjenja neopreděljenyh k takože pri eliminaciji, ktora vyhodit iz , vsakoj nuli polinoma sootvěča odpovědajuči linearny največši obči dělitelj iz ili potęga takovogo; zato vsaky raz dobiva se samo jeden prinaležny sistem nul ideala .

§ 7. Rezultantna forma i teorija eliminacije.

Da by ustanoviti vez medžu rezultantnoj formoju i teorijeju eliminacije, primenimo sukcesivnu eliminaciju iz § 6 specialno k kvocientu ideala črez osnovny ideal -go nivoja. Najprvo treba pokazati, že toj kvocient predstavlja transformovany ideal. Nyně jest transformovany, i slědovateljno po Teoremu VI iz § 3 takože . Iz

slěduje dakle:

ili

čim dokazano jest děliteljnost črez i tym samym toj ideal kako transformovany, tako že metoda eliminacije iz § 6 stavaje primenima.

Ale (30), s obzirom na (28) -- § 4 -- pokazuje, že jest dělimy črez ; tut pod razuměje se kojakoli ne identično izčezajuča -rędna determinanta iz . Poneže za jest nulovogo stepena v , modul , odpovědajuči idealu , soderži polinomy , i zato jest dělimy črez ; podobno jest dělimy črez , i nakonec črez . Tako sut različno od nulovogo ideala, što važi takože za . Nehaj nyně bude največši obči dělitelj vsih polinomov iz , znači toliko togda od stepena , kogda stavaje jednak nulovomu idealu. Po definiciji i s obzirom na děliteljnost črez dobivamo:

zato stavaje polinomom iz , svobodnym od . No byl definovany kako najvyšši elementarny dělitelj odnosno (Teorem II i § 4) kako največši obči dělitelj -- v polinomnom smyslu -- vsih polinomov iz , svobodnyh od . Zato i, radi regularnosti vzhodno k , takože jest dělimy črez .

To samo razsuđenje možno provesti, ako transformacija (12) byla od početka složena s (35), t. j. ako neopreděljene byly zaměnjene črez ; to dava děliteljnost črez odpovědajuči . Poneže, podobno kako i jedno iz drugogo nastavaju specializacijeju, takože i , i isto i , medžusobno nastavaju specializacijeju, moraju i čisla mnogokratnosti pri razloženju na linearne faktory medžusobno sovpadati. Ako se ještě vzame v obzir, že někoja potęga jest dělima črez , dobiva se v sumě:

XIII. Ako razloži se v algebraičnom razširiteljnem polju od na linearne faktory , togda možno na jeden i samo jeden sposob dopolniti do prinaležnogo sistema veličin , ktory jest nula i slědovateljno nula . Konečno mnoge nuly , ktore tako nastavaju iz linearnyh faktorov -- konečno mnoge po prisojedinjenju -- sobirajut se črez eksplicitno razloženje:

To razloženje, radi regularnosti vzhodno k , ostavaje sohranjeno, ako , prisojedinjene k , zaměniti kojimikoli specialnymi sistemami veličin iz ili iz algebraično zatvorjenogo polja, vyvedenogo iz njega.

Tym samym provedeno jest takože razděljenje nul po pojedinym faktoram rezultantnoj formy; čislo neopreděljenih , prisojedinjenih k , nazyva se takože dimenzija odpovědajučego algebraičnogo obrazovanja.

Ako v razloženju ili v odpovědajučem razloženju sobrati faktory konjugovane vzhodno k , ktore pri občem mogut byti cělkom ili čestično identične, dobiva se razloženje na potęgy polinomov nerazložimyh vzhodno k :

Tomu razloženju po Teoremu X sootvěča predstavjenje tako, že jest jednako normě vzhodno k idealu , odnosno normě modula vzhodno k modulu, odpovědajučemu . Tym samym objasnjeno jest takože značenje eksponentov ; osoblivo, ako označuje stepenj , togda mnogokratnost jest jednaka čislu ostatkovyh klasov modulo , linearno nezavisnyh vzhodno k .

Kratko razsmotrimo ještě specialny slučaj, gde jest karakteristiki nul. Ako tut specializovati do veličin iz tako, že determinantov vsagda ostavajut regularne vzhodno k , togda regularnost takože sohranja se. Pri toj specializaciji i takisto stavajut obči dělitelj vsih -rędnyh determinantov iz , ale ne neobhodno največši obči dělitelj. No specializaciju možno vsagda izbrati tako, že i to poslědnje svojstvo ostavaje sohranjeno. Bo možno -- kako pokazuje eksistencija bazisa modula -- takože karakterizovati kako največši obči dělitelj konečno mnogih -rędnyh determinantov iz . Razloženje tako specializovanogo togda dobiva se prosto zaměnoju črez v (36), tako že cela teorija eliminacije ostavaje sohranjena.

(Dostavljeno 17.3.1922.)