23. Algebraične i diferencialne invarianty

J. Ber. d. DMV 32 (1923), str. 177--184

Ako imam podati obzor razvitja algebraičnyh i diferencialnyh invariantov, togda v obojih oblastjah hotěla byh ograničiti se na kritičny period, ktory po primětke Hilbert slěduje za naivnym i formalnym periodom. I toj kritičny period za algebraične invarianty harakterizuje se imenom samogo Hilbert, za diferencialne invarianty imenom Riemann --- abo, po stvari: za algebraične invarianty aritmetičnymi metodami algebry, ktore suštno razvili se pri tih pytanjah i tut mogli pokazati vsu svoju ostrinu; za diferencialne invarianty metodami formalnogo variacionnogo računa. Zato hotěla byh govoriti o aritmetičnyh metodah s njihovym značenjem izvan specialnogo predmeta, medžu tym kako v drugoj česti mogu ograničiti se na podčinjenje diferencialnyh invariantov algebraičnym; to upravo izvršaje se v vezi s metodami variacionnogo računa.

1. V osnově algebraičnyh invariantov, kako znano, leži obča linearna grupa v :

kde označajut neopreděljene, tako že jest različno od nuli. Ako su teper , formy v stepenjev , s neopreděljenymi kako koeficientami, togda posrědstvom (1) nastavaje indukovano prěobraženje od ; bo iz

slěduje, že stavajut linearnymi homogenymi funkcijami od , ktoryh koeficienty imajut stepenje v :

Pod invariantom razuměje se tut invariant vzhodno k prěobraženjam (1) i (2), t. j. cěla racionalna funkcija neopreděljenyh --- kde takože ---, ktora pri priměnjenju prěobraženj reproduciraje se do faktora, potęgy substitucijnogo determinanta:

Koeficienty od možno predpostaviti racionalnymi abo takože cělymi racionalnymi čislami, poněže vsak invariant s koeficientami iz libovoljnogo čislovogo polja može se linearno, s koeficientami iz , izraziti črez konečno mnogo takih specialnyh invariantov. Tak samo ne jest ograničenje predpostaviti pojedinačno homogenym v vsakom redu, poněže i tut vsak invariant može se složiti kako suma konečno mnogih takih specialnyh invariantov.

Treba primětiti, že zahtěvanje (3), obratno, znovu opredělja (1) i (2). Kako nedavno pokazali Ostrowski i Schur, indukovane prěobraženja možno takože harakterizovati kako cělost linearnyh prěobraženj, razdělennyh v vsakom pojedinom redu, ktore --- osim někojih možno ukazati izključenj --- dopušćajut libovoljny invariant , svobodny od .

Produkt dvoh invariantov jest znovu invariant, ale suma jest invariantom togda i samo togda, kogda soglašaje se vaga --- eksponent v (3). Ako se jednak ograničiti na prěobraženja s determinantom jedan, togda i libovoljna suma znovu jest invariant i takože izčerpava vse invarianty vzhodno k tako ograničenoj grupě. Dostava se zato oblast cělosti, i to homogena oblast cělosti, t. j. oblast, pri ktoroj iz naleženja polinoma slěduje naleženje jego homogenyh čestij pojedinačno --- što tut znovu vozvraća se k pojedinačno homogenym invariantam po (3).

Tut nastavaje fundamentalna problema, pri ktoroj razvila se teorija invariantov i aritmetična algebra obće: jest li ta oblast cělosti konečna, t. j. imaje li ona konečnu integralnu bazu taku, že vsak invariant može se cělo i racionalno predstaviti črez , ? Hilbertovo rěšenje problemy --- Gordanov dokaz za binarny slučaj ne dopušča razširenja zaradi nepreglednyh simboličnyh računov, a Mertens--Hilbertov dokaz ne dopušča jego zaradi koristovanja razloženja binarnoj formy na linearne formy --- opiraje se na to, že pitanje integralnoj bazy privodise k pitanju idealnoj bazy. Hotěla byh tut kratko načrtati hod mysli, s naglasom na osnovne aritmetične ideje, a potom prějdti k trim povezanym krugam pytanj: dejstvitelno tvorjenje bazy konečnym čislom krokov, pytanja konečnosti pri podgrupah, pytanja konečnosti s uvagojenjem cěločislovosti.

2. Pripominaju definiciju ideala pri konečnyh algebraičnyh čislovyh poljah. Sistem čisel polja nazyvaje se idealom, ako

I, kako znano, važi teorem, že vsak ideal imaje idealnu bazu: ; t. j. obstojat konečno mnogo elementov iz takih, že posrědstvom 2. i 3. može byti izvedena iz ; zato izčerpava vse elementy iz .

Ta definicija ideala opiraje se samo na to, že tvori oblast cělosti; pojem ideala, i takože pojem idealnoj bazy, ostavaje zato doslovno ten samy, ako zaměniti libovoljnoju oblastju cělosti.

Hilbertov dokaz konečnosti teper raspada se na tri teoremy:

kde označajut polinomy od , a označajut invarianty.

Pri tom dokaz 1. v principu opiraje se na te same zaključki kako v algebraičnom čislovom polju; eksistencija idealnoj bazy v obojih slučajah slěduje neposrědnje iz občego teorema o modulah iz linearnyh form. Iz 1. neposrědnje slěduje eksistencija idealnoj bazy za vsaku konečnu oblast cělosti iz polinomov; za homogene oblasti lako jest viděti i obrat. Samo pri 3. koristujut se specialne vlastnosti invariantov; imenno pri Hilbert 3. proizhodi kako slědstvo znanogo teorema o -procesu, medžu tym kako nedavno E. Fischer pokazal jest, že 3. --- na osnově drugih občih teoremov --- možno už izvesti iz vlastnosti obče linearne grupy, že zajedno s vsakym prěobraženjem sodrži takože k njemu kontragredientno, odnosno jego konjugovano-kompleksno prěobraženje.

3. Dejstvitelno tvorjenje bazy opiraje se na dalne aritmetično prěformovanje pojma konečnosti črez privlěčenje teorije polj funkcij. Važi:

Ako se govori specialno, kako v slučaju invariantov, o homogenyh oblastjah , za ktore teorem o idealnoj bazi važi v ostrějšej formě 3., togda taka oblast može byti izvedena iz někojih, vsegda obstojęčih, konečno mnogih polinomov kako integralnoj bazy, iz čijego izčezanja slěduje izčezanje vsih polinomov iz . To fakt znovu opiraje se na obči teorem teorije idealov:

V slučaju invariantov možno opreděliti gornju granicu za stepenje od , a tym i za njih čislo , ktora zavisi samo od stepenjev položenih v osnovu osnovnyh form. I na tom městě znovu privlěčeny sut specialne vlastnosti invariantov; idě o teorem, že čislovno specializovany sistem osnovnyh form imaje nenulovy invariant togda i samo togda, kogda jest algebraično cěla nad transformovanymi koeficientami.

Iz toj gornjej granicy K. Hentzelt opredělil jest gornju granicu za stepenje invariantov integralnoj bazy, ktora znovu zavisi samo od stepenjev osnovnyh form. Jemu to udaje se tym, že za eksponent v 5. daje gornju granicu, ktora zavisi samo od čisla i najwyšego stepenja polinomov idealnoj bazy od , jest nezavisna od koeficientov tih polinomov i može byti izračunana iz danyh čisel konečnym čislom krokov. Principialno jest s tym postavljena problema polno rěšena; priznati treba, že dana meja jest izobilno vysoka: tako na pr. pri ternarnoj kvadratičnoj formě, kde diskriminant, t. j. invariant 3. stepenja, už tvori bazu vsih invariantov svobodnyh od , po Hilbert i Hentzelt dohodise vysoko v miliony.

4. V pitanju konečnosti invariantov podgrup obče linearne grupy dosel dostignuty sut samo čestne rezultaty. Metoda opiraje se skoro izključivo na to, po postupku Study za ortogonalnu grupu, že invarianty podgrup privodit se k simultannym invariantam obče linearne grupy. To provedli sut Weitzenböck za invarianty gibanja i afine invarianty, Deruyts za semiinvarianty i invarianty posuvanja; pitanje o dosęgu toj metody ješče ne rěšeno. Fischerova primětka spomenuta na koncu 2. takože rěšaje problemu konečnosti za ręd podgrup; osoblivo s tym dostavljen jest najprostejši dokaz za ortogonalnu grupu. Ale primjer semiinvariantov pokazuje --- na što Fischer nedavno ukazal ---, že pri podgrupah, naprěki konečnosti, ostrějša forma 3. za idealnu bazu ne mora byti izpolnjena.

Tutno pitanje konečnosti pojato v smyslu teorije polj vodi k Hilbertovomu pytanju o relativno cělyh funkcijah, t. j. k pitanju, či take oblasti cělosti, ktore sostojat iz vsih polinomov polja racionalnyh funkcij, sut vsegda konečne. V tom směru leži --- elementarno dokazlivy --- fakt, že za invarianty konečnyh grup možno neposrědnje ukazati odličenu integralnu bazu --- sistem koeficientov Galoisovej rezolventy.

5. Takože pitanje, može li teorem konečnosti invariantov byti zaostren vzhodno k cěločislovosti, obće ješče ne jest rěšeno. Pravda, kako pokazal Hilbert, teorem o idealnoj bazi važi takože za oblast vsih cěločislovnyh polinomov; i takože vez 2. medžu idealnoju bazoju i integralnoju bazoju ostavaje validna; ale dokaz za --- nepotrěbnu --- ostrějšu formu 3. odpada. Za slučaj binarnyh invariantov cěločislovna konečnost može byti dokazana; dokaz, ktory predstavlja cěločislovno zaostrenje binarnogo Mertens--Hilbertovogo dokaza konečnosti, koristuje kromě teorema o cěločislovnoj idealnoj bazi takože razloženje binarnyh form na linearne formy i zato ne dopušča prěnosa na vyše neopreděljenyh. Naprotiv, na podobnyh osnovah proizhodi cěločislovna konečnost za invarianty konečnyh grup, kako zaostrenje vyšespomenutogo dokaza, pri čem jednak teper znovu nastavaje samo dokaz eksistencije, a ne dejstvitelno ukazanje bazy. I tut věrojetno samo dalny razvoj teorije polj funkcij i obče teorije idealov privede k cělu.

6. Teper prěhodžu k diferencialnym invariantam i k vo uvodu postavljenomu pytanju njih privedenja k teoriji algebraičnyh invariantov. Položena v osnovu grupa tut, kako znano, opreděljena jest posrědstvom kako:

Da by se prěšlo k prěobraženjam indukovanym črez (4), možno položiti v osnovu libovoljnu funkciju ; zahtěvajuči invariantnost vzhodno k (4), dostavajut se prěobraženja za derivacije po i . Ako se ograničiti, na pr., na formy homogene v :

togda sut linearne v , sut linearne v i , i t. d.:

i idě o invariantnost vzhodno k prěobraženjam (4) i (5). Pri tom vse nastavajuče veličiny

treba razmatrivati kako neopreděljene, tako že determinant pojedinyh prěobraženj jest sigurno različen od nuli. Samo pri priměnjenju formalno gotovoj teoriji na specialne funkcije nastavaje pitanje ograničenja na take funkcije, že prěobraženja ostavaju v někoj oblasti jednoznačno obratimy i že obstaja dostatočno mnogo derivacij, polno podobno kako v algebraičnom slučaju pri čislovoj specializaciji mora se predpostaviti, že determinant jest različen od nuli.

Pri tom razmatrivanju vsih nastavajučih argumentov kako neopreděljenyh idě zato o specialnu linearnu grupu, ne neposrědnje dostupnu obyčnym algebraičnym metodam, v ktoroj prěobraženja od i soglašajut se s (1) i indukovanym (2). Nastavaje pitanje, či možda obče črez uvodženje novih argumentov možno privedti prěobraženja (4) i (5) k občej linearnoj grupě (1) i k tym indukovanym prěobraženjam (2).

To jest v samoj stvari slučaj. Vyšše diferencialy treba zaměniti Lagrangevymi derivacijami, ktore nastavajut iz variacionnoj zadači naležečej k , i dalnymi kombinacijami utvorjenymi iz njih poljarizacijeju (prěnosi po Weyl i Schouten), ktore vse sut kogredientne k , takže njih prěobraženje dano jest občoju linearnoju grupoju (1). No (abo obče derivacije homogenno predpostavljenej po i ) treba zaměniti koeficientami někojih form, ktore nastavajut iz "normalnyh form vyšših variacij" črez gore ukazanu eliminaciju , i iz njih "kovariantnyh derivacij"

i poněže sut invarianty vzhodno k (4) i (5), ktore zaviset samo od i , ti koeficienty zadovoljajut algebraično indukovanym prěobraženjam (2). Črez toj teorem redukcije teorija diferencialnyh invariantov podčinjuje se algebraičnoj teoriji invariantov.

Red prěryvaje se s , ako jest homogena forma -togo stepenja v . Za kvadratične formy stavaje identična s Rimanovoju formoju kriviny, i tut ukazany proces tvorjenja jest točno toj, ktory Riemann dal v latinskoj konkursnoj rabotě i ktory nezavisno od togo, v vezi s Riemannovym habilitacijskim prědavanjem, takože razvil Lipschitz. Dokaz teorema redukcije, ktory Christoffel i Ricci računsko provedli za kvadratične diferencialne formy, opiraje se na uvedenje "Rimanovyh normalnyh koordinat", ktore ekstremale izhodęče iz jednoj točky transformujut v prave linije; poněže tym libovoljnomu prěobraženju od odpovědaje linearno prěobraženje normalnyh koordinat, one uslovljajut prěhod k občej linearnoj grupě.

Nastavaje pitanje, či takovy teorem redukcije obstaja takože, ako po priměru Weyl i Schouten za definiciju grupy položena jest v osnovu ne variacionna zadača, ale samo prěnos; t. j. ako odpovědajuče Lagrangevym derivacijam postavljajut se izrazy , črez ktore dostigaje se eliminacija vyšših diferencialov, pri čem v analogiji s kvadratičnymi diferencialnymi formami dodaje se samo po sobě nepotrěbno ograničenje, že imajut byti linearne v (pri libovoljnom homogenom polarizovane Lagrangeve derivacije sut homogene samo prvogo reda v ). Črez zahtěvanje kogredientnosti od k indukuje se prěobraženje njih koeficientov i s tym, v analogiji k (5), opredělja se grupa. Za invarianty najnižših redov Weitzenböck računsko potvrdil jest teorem redukcije v slučaju Weyl; obči pristup ješče nedostaje.

(Prijeto 26. 10. 22.)