24. Teorija eliminacije i obča teorija idealov

Math. Ann. 90 (1923), str. 229--261

V slědujučem jde o vključenje teorije eliminacije --- v aritmetičnoj formě, ktoru ja dala Hentzeltovomu prikazu i ktoru možno označiti kako teoriju idealov v polinomnoj oblasti --- v obču teoriju idealov, i jednovremenno o novo osnovanje čestij, ktore odnoset se k nuljam. Osnovne pojmy obojih teorij sut kratko sobrane v § 1, takože pojmy teorije polj, takže mogu tut na njih odkazati.

Vključenje i novo osnovanje grupirajut se okolo četyreh vprašanij: aritmetična formulacija pojma dimenzije; teorija nuljev; vez medžu teoremami razloženja za normy i elementarne dělitelje i teoremami obče teorije idealov; harakterizacija prostyh idealov i primarnyh idealov črez normu i formu elementarnyh děliteljev.

Aritmetična formulacija pojma dimenzije (§ 4) děje se črez cepi prostyh idealov, aritmetičny ekvivalent tomu, že na površinah sut krive, a na krivah sut točky. Ta aritmetična formulacija, ktora bude dokazano identična s parametričnym opreděljenjem teorije eliminacije, može se s legkoj modifikacijeju prěnesti na libovoljne oblasti kolcev i tam, vměstě s prěnosom někojih čestij ostalyh vprašanij, daje točno razuměnje struktury idealov, kako pokažu na drugom městu.

V H.-N. vprašanje o nuljah kako obyčno napada se direktno za dany ideal, imenno črez vozvračanje k sukcesivnoj eliminaciji, pri čem ne može se polnostju izběgnuti harakter verificiranja. Nasuprot tomu stoji put, vsagda upotrěbljany za polinomy jednej prěměnnoj: dany polinom predstavlja se kako produkt potęg prostyh funkcij (primarnyh funkcij) i za vsaku pojedinu prostu funkciju konstruuje se polje nuljev kako polje izomorfno polju ostatkovyh klasov. Stepen proste funkcije daje stepen togo polja; ale stepen primarnoj funkcije, ktorej nulje soglašajut se z nuljami proste funkcije, daje stepen kolca ostatkovyh klasov po toj primarnoj funkciji. Ako se pri vsakoj prostoj funkciji prějde k Galoisovu polju, poluča se razloženje na linearne faktory; i s tym za izvorno dany polinom vprašanje nuljev, razloženja na linearne faktory i mnogokratnosti jest rěšeno. Sovsěm podobno tut (§ 3) sistem ostatkovyh klasov po prostom idealu črez tvorjenje kvocientov razširjaje se do polja ostatkovyh klasov, i konstruuje se polje nuljev izomorfno jemu. To polje nuljev vsebuje podpolje, tvorjeno prisojedinjenjem neopreděljenyh --- napr. ; stepen normy daje stepen vzhodno k tomu podpolju; jednovremenno črez prěhod k Galoisovu polju nastavaje razloženje formy elementarnyh děliteljev, a zato i normy, na linearne faktory. Za prinaležny primarny ideal nulje sut te same; razloženje jest takože dano, poněže norma stavaje potęgoju formy elementarnyh děliteljev prostogo ideala (§ 2); stepen normy daje stepen kolca ostatkovyh klasov po primarnom idealu vzhodno k podpolju izvedenom iz neopreděljenyh.

Tym samym vprašanje nuljev libovoljnogo ideala svodise k vezi medžu teoremami razloženja za normy i elementarne dělitelje i teoremami obče teorije idealov (§ 5). Fakt, že nulje ideala sostavljajut se iz nuljev jego pojedinyh asociovanyh prostyh idealov, odgovarja razloženju normy na največše primarne faktory, ktore stavajut ravne potęgam formy elementarnyh děliteljev pojedinyh asociovanyh prostyh idealov; s tym razloženje normy na linearne faktory jest obče izvršeno. Mnogokratnost však v H.-N. dostava svoje tumačenje posrědstvom osnovnyh idealov i njihovih komponentov: stepen največšego primarnogo faktora normy stavaje ravny čislu linearno nezavisnyh ostatkovyh klasov --- pri prisojedinjenju --- osnovnogo ideala -go nivoja po komponentu osnovnogo ideala -go nivoja. Potom osnovny ideal -go nivoja dokazuje se identičnym s izolovanym komponentom razloženja, jednoznačno opreděljenym vsimi prostymi idealami dimenzije vyše než -ta; a komponent osnovnogo ideala -go nivoja identičnym s izolovanym komponentom razloženja, opreděljenym prostym idealom, ktory odgovarja faktoru normy, i vsimi prostymi idealami vyšej dimenzije. Stepen odgovarjajučego faktora normy --- pri prisojedinjenju --- stavaje ravny stepenu togo podkolca ostatkovyh klasov togo komponenta, ktoro sostoji samo iz klasov osnovnogo ideala -go nivoja.

Harakterizacija prostyh idealov i vlastnyh primarnyh idealov (§ 6) vyhodi kako direktny poslědok razmatranja polj ostatkovyh klasov. Ako izvorna oblast koeficientov jest sovršeno polje, togda prostym idealam kako norma i forma elementarnyh děliteljev odgovarjajut proste funkcije, vlastnym primarnym idealam vlastne primarne funkcije, i obratno. Pri nesovršenom polju kako oblasti koeficientov možno dati samo uslovija, ktore sut ili potrěbne ili dostatočne; kako pokazyvajut priměry, norma prostogo ideala može stati vlastno primarnoju, a forma elementarnyh děliteljev vlastnogo primarnogo ideala prostoju funkcijeju. Točnije, pri karakteristiki norma prostogo ideala stavaje -ta potęga ( ) jego formy elementarnyh děliteljev; medžutym pri vlastnyh primarnyh idealah, ktoryh forma elementarnyh děliteljev jest prosta funkcija, norma može stati libovoljnoju potęgoju, kako znovu pokazyvajut priměry. Nakonec razmatrajut se absolutne proste idealy (§ 7), to jest take, ktore ostavajut prostymi idealami pri razširenju oblasti koeficientov do algebraično zatvorjenogo polja. Pri absolutnyh prostyh idealah s koeficientami iz (konečnogo) algebraičnogo čislovogo polja harakterizacija vodi k prěnosu teorema, najprvo postavljenogo od A. Ostrowski za absolutne proste funkcije: svojstvo byti prostym idealom ostavaje sohranjeno modulo vsaky prosty ideal čislovogo polja, najviše s konečno mnogimi izključenjami.

Treba još ukazati analogiju poslědnjego vprašanja s teorijeju idealov v algebraičnyh čislovyh poljah. Kako formu elementarnyh děliteljev takogo ideala treba razuměti najmenše cěle racionalno čislo dělimo črez ideal (prim. 10), ktoro zato za prost ideal vsagda stavaje prosto čislo, medžutym obratno ideal stavaje prost ideal, čim njegova norma jest prosto čislo; dokazy takože idut sovsěm paralelno. Vyše navedene priměry zato pokazyvajut, že pri nesovršenom polju pojavjaje se analogon prostyh idealov vyšego stepena i razvětvenyh idealov, medžutym pri sovršenom polju sut samo proste idealy prvogo stepena i nema razvětvenyh idealov.

§ 1. Osnovne pojmy teorije eliminacije, obče teorije idealov i teorije polj

1. Oblast. Nehaj označaje oblast cělosti vsih polinomov v s koeficientami iz abstraktno opreděljenogo polja . Nehaj budut podvrgnute prěobraženju s neopreděljenymi kako koeficientami:

s obratnym prěobraženjem

i nehaj , abo --- što zaradi vzaimnoj racionalnoj izrazimosti jest ravnoznačno --- budut prisojedinjene k , tako že nastavaje oblast koeficientov ; označaje oblast cělosti vsih polinomov v s koeficientami iz . Oblasti i ležat v osnově teorije eliminacije; razmatrajut se idealy v i v . Ideal v libovoljnom kolcu tut kako obyčno opreděljeje se tym, že vměstě s i vsebuje takože , i vměstě s takože , kde razuměje se kako libovoljny element kolca; vsagda označaje jediničny ideal sostojany iz vsih elementov.

2. Transformovane idealy. Ideal v nazyva se transformovanym, ako nastavaje iz ideala v posrědstvom (1) pri prisojedinjenju abo . Tako sostoji, kogda abo proběgajut vse polinomy iz , iz vsih linearnyh kombinacij

abo takože

tut osoblivo vsebujeju se vse , abo, što vyhodi na to samo, vse . Poněže odnosno sut opreděljene samo do veličin iz , možno bez ograničenja občeho smatrati za stepenove produkty od odnosno . znovu prěhodet v polinomy iz , ako zaměnjajut se libovoljnymi drugimi stepenovymi produktami, osoblivo črez zaměnu stolpcov v (1) odnosno redov v (1'); tym vměstě s někojim polinomom vsebuje takože vse nastale iz jego zaměnoju , ako samo v koeficientah zavisečih od odnosno izvršajut se odgovarjajuče zaměny. Vse idealy, ktore nastupajut dalje, treba --- ako izrično ne bude rečeno protivno --- smatrati transformovanymi. Netransformovane idealy črez složenje (1) s

prěhodet v transformovane idealy v polinomnoj oblasti s koeficientami iz , medžutym pri transformovanyh idealah to složenje vyhodi samo na zaměnu bilinearnymi kombinacijami od .

3. Označenje. Pod budemo vsagda razuměti polinomy v , ktore sut svobodne od .

4. Osnovne idealy. Vsakomu idealu sut prirěđene osnovne idealy črez slědujuče ustanovjenje: osnovny ideal -go nivoja vsebuje vse i samo te polinomy , za ktore jest polinom --- vobče měnjajuči se s --- takovy, že . Iz bytnosti idealnoj bazy slěduje takože bytnost najmene jednogo za vse fiksovanogo , takže

Osnovne idealy transformovanyh idealov sami stavajut transformovane idealy (H.-N., teorem VI). Osnovny ideal -go nivoja jest takože opreděljen kako ideal, v ktory prěhodi pri prisojedinjenju k , ako se ograničiti --- što togda ne označaje ograničenje občeho --- na polinomy cěle v ; vsagda stavaje ravny jediničnomu idealu .

5. Modulno predstavjenje idealov, elementarne dělitelje i pojedine normy. Ako se vsak polinom shvati kako linearna forma v stepenovyh produktah od , s polinomami kako koeficientami, togda ideal prěhodi v modul iz linearnyh form vzhodno k oblasti ; to jest vměstě s libovoljnymi dvoma linearnymi formami vsebuje takože njihovu razliku, a vměstě s linearnoju formoju takože pri libovoljnom . Kako osnovny modul takogo modula označaje se cělost linearnyh form , za ktore , ; zato osnovny ideal pri modulnom predstavjenju prěhodi v osnovny modul od . i zaviset od beskonečno mnogih neopreděljenyh tak, že v vsakoj pojedinoj linearnoj formě nastupa samo konečno mnogo tih neopreděljenyh. ima harakternu vlastnost, že pri prisojedinjenju k ima samo konečno mnogo elementarnyh děliteljev različnyh od jedinice; to jest i dopuščajut pri tom prisojedinjenju bazno predstavjenje --- kde sut nove neopreděljene, povezane s obratno linearnym, v cělym prěobraženjem tak, že v nastupa vsaki raz samo konečno mnogo tih neopreděljenyh ---

kde vsaky děli prědhodny (H.-N. (24) i (28)).

Najvyšši elementarny dělitelj jest takože opreděljen kako največši obči dělitelj --- v polinomnom smyslu --- vsih , ktore nastupajut v (2); možno jego smatrati cělym i primitivnym v , i togda jest regularny v , to jest vsebuje člen s nenulovym koeficientom, ako jest stepena v .

Produkt vsih elementarnyh děliteljev nastupajučih v (3) nazyva se norma od vzhodno k abo takože pojedina norma ideala ; v znakih i s uvagojenjem, že pri prisojedinjenju prěhodi v :

Kako pokazuje (3), pri prisojedinjenju stavaje ravny determinantu prěhodnoj substitucije od k , i stepen daje čislo linearno nezavisnyh ostatkovyh klasov vzhodno k od po , zato od po ; možno smatrati cělym i primitivnym v , i togda jest regularny v . možno izčisliti kako največši obči dělitelj --- v polinomnom smyslu --- vsih -rednyh determinantov někojego vsagda suščestvujučego modula ranga s vlastnostju, že sistem ostatkovyh klasov jest izomorfny k , pri čem razuměje se kako osnovny modul od (H.-N., teorem VII i § 5).

6. Forma elementarnyh děliteljev i norma (rezultantna forma) idealov. Produkt vsih najvyšših elementarnyh děliteljev nazyva se forma elementarnyh děliteljev, a produkt vsih pojedinyh norm nazyva se norma (rezultantna forma) od . Forma elementarnyh děliteljev i norma sut dělimy črez ideal; norma jest dělima črez formu elementarnyh děliteljev, a někoja potęga poslědnjej jest dělima črez normu. Obče velja još:

(H.-N., teorem VIII), i dalje: ako jest dělimy črez , i normy i soglašajut se, togda soglašajut se takože idealy i (H.-N., teorem IX). Ako se vzame do uvagy, že za dělitelj od iz soglašenja slěduje soglašenje osnovnyh idealov i že vsagda , dobivamo podobno: ako jest vlastny dělitelj od , togda prva pojedina norma od , ktora različna jest od odgovarjajučej od , stavaje vlastny dělitelj. Ako vsebuje polinom , togda po opreděljenju sut ravne jediničnomu idealu; i zato , po vlastnosti pojedinyh norm izloženej v 5. --- opreděljati čislo linearno nezavisnyh ostatkovyh klasov --- stavajut ravne jedinici; slědovateljno i stavajut ravne jedinici.

7. Razloženje pojedinyh norm i elementarnyh děliteljev; komponenty osnovnyh idealov. Pod prostoju funkcijeju razuměje se polinom nerazložimy vzhodno k ; pod primarnoju funkcijeju potęga proste funkcije. Vlastna primarna funkcija jest taka, ktora ne jest jednovremenno prosta funkcija, kde jde za potęgu vyšu od prve. Razloženje polinoma na največše primarne faktory jest tako, kde vsaky faktor jest primarna funkcija, ale produkt libovolnyh dvoh faktorov uže ne jest primarny. Razloženju pojedinoj normy na največše primarne faktory odgovarja predstavjenje kako najmenše obče mnogokratno

tak, že ; pri tom ima kako svoj osnovny ideal -go nivoja i soglašaje se so svojim osnovnym idealom -go nivoja; nazyvajut se komponentami osnovnyh idealov. Najvyšši elementarny dělitelj od stavaje ravny največšemu občemu dělitelju --- v polinomnom smyslu --- od i , zato ravny največšemu primarnomu faktoru od . sut jednoznačno opreděljene svojim vyše ukazanym povedenjem vzhodno k osnovnym idealam i potrěbovanjem, že ili pojedina norma, ili najvyšši elementarny dělitelj stane največši primarny faktor od odnosno (H.-N., teorem X).

8. Pojem dimenzije. Idealu pripisuje se najvyšša dimenzija , ako jest prva od jedinice različna pojedina norma --- abo što po 6. jest ravnoznačno, ako jest prvi od jediničnogo ideala različny osnovny ideal; jediničnomu idealu pripisuje se dimenzija . Ako jest samo jedna od jedinice različna pojedina norma , takže , togda najvyšša dimenzija nazyva se takože prosto dimenzija od . Ako vsebuje polinom , togda ima najvyššu dimenziju najviše , kako pokazuje primětka na koncu 6. Ako jest najvyššej dimenzije , a jest dělitelj od , togda jest takože najvyššej dimenzije najviše .

9. Norma (rezultantna forma) i nulje. Pod nuljami ideala razumějut se vse sistemi veličin , naležeče vhodnomu algebraičnomu razširiteljnemu polju od ( ), za ktore --- pri prisojedinjenju k oblasti koeficientov --- vse polinomy iz izčezajut. Vsakomu faktoru normy (rezultantnoj formy) pri tom prisojedinjenju odgovarja toliko nuljev od , koliko ukazuje stepen ; i , napisano v bilinearnyh kombinacijah od i daljnjih neopreděljenyh , dopušča eksplicitno razloženje:

kde vsak raz označaje sistem prinaležnyh nuljev (H.-N., teorem XIII; novo osnovanje bude dano v § 3). Medžu nuljami ideala najvyššej dimenzije sut zato take, ktore zaviset od parametrov, ale nema takih, ktore zaviset od bolšego čisla parametrov; s tym pokazano jest soglašenje pojma dimenzije danogo v 8. s obyčno upotrěbljanoju formulacijeju.

10. Oblast kolca obče teorije idealov. Osnovna oblast nehaj bude komutativno kolco, v ktorom velja teorem konečnoj cepi: vsaka cep idealov , kde vsaky jest vlastny dělitelj --- dělitelj v idealnom smyslu --- neposrědnje prědhodnogo, prěriva se v konečnom čislu korakov. To potrěbovanje jest ekvivalentno drugomu, že vsaky ideal ima idealnu bazu (Idealtheorie, teorem I), i zato osoblivo ispolnja se za polinomnu oblast. V slědujučih nomerah 11., 12., 13. ta obča oblast kolca bude osnovoju.

11. Proste idealy i primarne idealy. Ideal nazyva se prost ideal, ako iz dělimosti produkta črez slěduje dělimost najmene jednogo faktora; nazyva se primarny ideal --- abo primarny --- ako iz dělimosti produkta črez slěduje dělimost jednogo faktora abo potęgy vsakogo faktora. V znakih:

K vsakomu primarnomu idealu jest jedin i samo jedin asociovany prost ideal , ktory jest dělitelj od i čija potęga jest dělima črez , , ; pri tom sostoji iz vsih elementov kolca, čija někoja potęga jest dělima črez . Kako pokazuje opreděljenje, vsaky prost ideal jest jednovremenno primarny ideal; pod vlastnymi primarnymi idealami razumějut se take, ktore ne sut jednovremenno proste idealy, za ktore zato .

12. Teorem razloženja. Predstavjenje ideala kako najmenše obče mnogokratno nazyva se najkratše, ako ni jeden ne vhodi v najmenše obče mnogokratno ostalyh --- v svoj komplement; ono nazyva se predstavjenje črez največše primarne komponenty, ako vsaky jest primarny, ale najmenše obče mnogokratno libovolnyh dvoh ne jest primarno. Vsaky ideal dopušča najkratše predstavjenje črez konečno mnogo največših primarnyh komponentov; pri dvoh različnyh takih predstavjenjah soglašajut se čislo komponentov i asociovane proste idealy, vse medžusobno različne. Tak jednoznačno opreděljene proste idealy budut nazyvane prostymi idealami abo asociovanymi prostymi idealami ideala (Idealtheorie, teorem IX).

13. Izolovane komponenty razloženja. Ideal nazyva se izolovany komponent razloženja od , ako nastupajut v najmene jednom najkratšem predstavjenju črez največše primarne komponenty i ispolnjajut uslovije, že ni jeden iz njihovih asociovanyh prostyh idealov ne vhodi v někoj iz ostalyh prostyh idealov od . Izolovane komponenty razloženja sut jednoznačno opreděljene svojimi prostymi idealami; osoblivo sut izolovane največše primarne komponenty jednoznačno opreděljene (Idealtheorie, teorem XIII).

14. Karakteristika, sovršene i nesovršene polja, razširenje prvogo roda. Polje nazyva se harakteristiki nul, ako prosto polje, ktoro vsebuje se v i vyvodi se iz jedinice, jest tipa polja racionalnyh čisel; harakteristiki , ako to prosto polje jest tipa sistema ostatkovyh klasov po prostom čislu . Polje nazyva se sovršeno, ako vsaka prosta funkcija s koeficientami iz v vhodnom razširiteljnem polju razpada se na različne linearne faktory; v protivnom slučaju nazyva se nesovršeno. Vsako polje harakteristiki nul jest sovršeno; polje harakteristiki jest sovršeno togda i samo togda, kogda vměstě s vsakym elementom vsebuje takože jego -ti korenj. Prosta funkcija v nesovršenom polju jest cěla funkcija -go stepena od i razpada se v vhodnom razširiteljnem polju na -te potęgy različnyh linearnyh faktorov; nazyva se eksponent. Prosta funkcija nazyva se prvogo roda, ako v vhodnom razširiteljnem polju razpada se na različne linearne faktory, to jest ako eksponent jest nul; razširenje nazyva se prvogo roda, ako vsaky element jest prvogo roda, to jest jest nulj proste funkcije prvogo roda. Vsako razširenje, ktoro nastavaje prisojedinjenjem elementa prvogo roda, jest prvogo roda; pri sovršenih poljah sut samo razširenja prvogo roda (Steinitz, § 11 i § 13).

15. Redukovany stepen i eksponent konečnogo razširenja. Ako jest konečno razširenje nesovršenogo polja , togda v vsebuje se podpolje stepena , ktoro jest prvogo roda vzhodno k i ktoro sostoji iz vsih i samo iz elementov prvogo roda v . -ta potęga vsakogo elementa iz naleži k , i sut v elementi, ktore sut točno stepena . nazyva se redukovany stepen, eksponent konečnogo razširenja (Steinitz, § 14, 1 i § 14, 5).

§ 2. Forma elementarnyh děliteljev i norma prostyh idealov i primarnyh idealov. Dělitelji prostyh idealov

Od nyně govori se vsagda o polinomnoj oblasti opreděljenoj v § 1, 1. Najprěd treba pokazati, že takože pri prostyh idealah i primarnyh idealah možno ograničiti se na transformovane idealy, po slědujučem tvrdženju.

Lema I. Transformovany ideal prostogo ideala v stavaje prost ideal, a transformovany primarnogo ideala v stavaje primarny ideal. Drugymi slovami, vlastnost byti prostym idealom abo primarnym idealom sohranja se pri prisojedinjenju k .

V samoj stvari, nehaj bude prědpoloženo: , , kde i ne nužno imajut byti transformovane idealy; nehaj napr. , , kde i označajut polinomy iz i . Črez obrat (1) po (1') dostavamo --- razumějuči pod bez ograničenja občeho stepenove produkty od ---

i musi byti tako, že najmene jedin i najmene jedin ne jest dělimy črez . Nehaj napr. , budut sootvětnye najvyšše členy pri někojim leksikografičnom redu na ; togda takože , i zato , a tym . S tym jest dokazany kako prost ideal. Dokaz očividno opira se na to, že sistem ostatkovyh klasov po prostom idealu tvori kolco bez nulovyh děliteljev; ta vlastnost sohranja se pri prisojedinjenju neopreděljenyh.

Sootvětně nehaj , za vsaky pokazatelj ; togda iz bytnosti idealnoj bazy slěduje, že mora suščestvovati iz i iz tako, že , za vsaky pokazatelj : bo pri protivnom prědpoloženju někoja potęga byla by dělima črez .

Položivši , nehaj označajut idealy sootvětně vyvedene iz koeficientov od . Togda za vsaky pokazatelj , ibo inako byla by dělima črez ; zaradi mora zato takože za vsaku potęgu . No po teoremu Dedekinda--Mertensa suščestvuje pokazatelj takovy, že ; zato mora byti . To davaje i slědovateljno . S tym jest dokazany kako primarny.

Takože pri predstavjenju ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo možno ograničiti se na transformovane idealy, po slědujučem tvrdženju.

Lema II. Iz predstavjenja v slěduje predstavjenje v , gde označajut transformovane od . Osoblivo zato v vsakom najkratšem predstavjenju črez največše primarne komponenty možno te smatrati transformovanymi.

V samoj stvari, jest dělimy črez , ibo vsaky polinom iz --- možno poslě množjenja s vhodnoju potęgoju --- ima formu , gde vsaky kako polinom iz po prědpoloženju jest dělimy črez vse . Obratno, ako jest dělimy črez vsaky , togda on ima vyše danu formu i zato jest dělimy črez . Ako se tedy vyhodi iz razloženja na največše primarne komponenty v , dostava se razloženje v ; tut kako transformovane idealy primarnyh idealov sut primarne po Leme I, i ide o največše primarne komponenty, poněže različnym asociovanym prostym idealam v odgovarjajut takože različne v .

Nyně ide o prvu karakterizaciju prostyh idealov i primarnyh idealov črez formu elementarnyh děliteljev i normu, jošče bez polnogo razděljenja prostogo i primarnogo; imenno v točnoj analogiji s teorijeju idealov v algebraičnyh čislovyh poljah velja:

Teorem I. Forma elementarnyh děliteljev prostogo ideala stavaje ravna prostoj funkciji, a norma potęze toj prostej funkcije. Pri primarnyh idealah forma elementarnyh děliteljev i norma stavajut primarne funkcije, imenno potęgy toj samej prostej funkcije, ktora sama jest forma elementarnyh děliteljev asociovanogo prostogo ideala. Pri prostyh idealah i primarnyh idealah najvyšša dimenzija soglašaje se s dimenzijeju v sobstvenom smyslu; ta dimenzija soglašaje se za primarny ideal i asociovany prost ideal.

Teorem I očividno jest ispolnjen za jediničny ideal, čija forma elementarnyh děliteljev i norma stavajut ravne jedinici. Nehaj nyně prost ideal bude najvyššej dimenzije ; po (4), § 1, 6. dostava se

ibo inako po § 1, 8. byl by najviše najvyššej dimenzije . Zato , to jest jest identičny so svojim osnovnym idealom -go nivoja i slědovateljno takože so . Tedy stavajut ravne jedinici, a tym takože kako dělitelji od ; i zato forma elementarnyh děliteljev stavaje ravna , ktoro mora stati prosta funkcija . Bo po § 1, 5. i s uvagojenjem, že stavaje jediničny ideal, jest opreděljeno kako največši obči dělitelj --- v polinomnom smyslu --- vsih dělimyh črez ; iz slědovalo by, že uže jedin iz faktorov abo mora izčeznuti po modulu . No poněže někoja potęga od jest dělima črez , stavaje potęga --- možno takože prva --- toj prostej funkcije ; jednovremenno stavaje norma od . Poněže nastupa samo jedna od jedinice različna pojedina norma, najvyšša dimenzija nakonec soglašaje se s dimenzijeju v sobstvenom smyslu.

Sootvětně nehaj primarny ideal bude najvyššej dimenzije ; togda kako vyše

za vsaky pokazatelj ; i slědovateljno kako vyše , njegova forma elementarnyh děliteljev jest ravna , njegova norma jest ravna , a najvyšša dimenzija jest ravna dimenziji v sobstvenom smyslu. Ta dimenzija soglašaje se s dimenzijeju asociovanogo prostogo ideala; ibo iz , slěduje, že dimenzija od jest najviše ravna toj od , a ta od najviše ravna toj od ; iz , gde označaje formu elementarnyh děliteljev od , pokazuje se poslědnja najvyšša dimenzija kako najviše , i tym stavaje dimenzija od i . Iz dalje slěduje, že --- kako največši obči dělitelj vsih iz --- stavaje potęga od , ktora takože može byti prva, i že to samo velja za . S tym Teorem I jest dokazan vo vsih čestjah.

Karakterizacija prostyh idealov posrědstvom pojma dimenzije daje se črez

Teorem II. Prost ideal ne ima vlastnogo dělitelja toj samej najvyššej dimenzije; i obratno, vsaky takovy ideal jest prost ideal.

Dokaz opira se na

Lema III. Ako prost ideal iz polinomov s koeficientami iz polja ima samo konečno mnogo ostatkovyh klasov linearno nezavisnyh vzhodno k , togda ne ima vlastnogo dělitelja različnogo od jediničnogo ideala; drugymi slovami, sistem ostatkovyh klasov po tvori polje.

Prědpoloženje govori, že jest konečno čislo tako, že medžu libovoljnymi ostatkovymi klasami jest linearny odvis s koeficientami iz --- točnje, s koeficientami iz polja ostatkovyh klasov predstavjenogo vsimi elementami --- ale že suščestvuje najmene jedin sistem od ostatkovyh klasov linearno nezavisnyh vzhodno k ; iz togo odmah slěduje, že vse ostatkove klasy možno linearno izraziti črez libovoljny sistem od linearno nezavisnyh. Nehaj nyně bude vlastny dělitelj od , a polinom iz ; iz togda slěduje takože

to znači, že ob ostatkovyh klasah od takože klasy od tvorjat sistem od linearno nezavisnyh, črez ktore osoblivo možno linearno predstaviti jediničny klas. Zato stavaje ravny jediničnomu idealu; inako rečeno, sistem ostatkovyh klasov tvori polje, ibo k vsagda jest tako, že .

Za dokaz prvej česti Teorema II treba nyně samo primětiti, že vsaky prost ideal dimenzije --- občeje, vsaky ideal najvyššej dimenzije --- ima samo konečno mnogo ostatkovyh klasov linearno nezavisnyh vzhodno k , imenno (§ 1, 5.) toliko, koliko ukazuje stepen od , poněže tut stavaje jediničny ideal. Vsaky vlastny dělitelj od zato pri prisojedinjenju k prěhodi v jediničny ideal; inako rečeno, osnovny ideal -go nivoja od stavaje jediničny ideal. To znači, že najvyšša dimenzija od jest najviše . Aby tvrdženje veljalo takože za netransformovany ideal kako dělitelj, treba samo po § 1, 2. prějdti k novoj transformovanoj oblasti.

Nehaj nyně obratno ne ima vlastnogo dělitelja toj samej najvyššej dimenzije ; i nehaj , , gde i znovu sut smatrane transformovanymi idealami. Togda po prědpoloženju, poněže i kako največše obče dělitelje --- v idealnom smyslu --- stavajut vlastne dělitelje od , dostavamo:

To davaje

i zato nužno slěduje , ibo inako byl by menšej najvyššej dimenzije než . Poněže sut transformovane idealy, iz togo slěduje, že , i po Leme I takože , jest prost ideal. S tym Teorem II jest dokazan.

§ 3. Nulje prostyh idealov i primarnyh idealov

Prěhod k neposrědnjemu obosnovanju teorije nuljev (§ 1, 9), najprěd za proste idealy, davaje slědujuča lema, ktora jest razširjenje Lemy III i ktora ima silu za proste idealy v libovoljnyh kolcah.

Lema IV. Sistem ostatkovyh klasov po vsakom prostom idealu raznom od jediničnogo ideala možno tvorjenjem kvocientov razširiti do polja, polja ostatkovyh klasov prostogo ideala.

Sistem ostatkovyh klasov po libovoljnom idealu tvori kolco, ibo suma, razlika i produkt znovu naležat tomu sistemu, a asociativny, komutativny i distributivny zakon sohranjajut se pri prěhodu k ostatkovym klasam. Ako ide osoblivo o proste idealy, to kolco ne ima nulovyh děliteljev; bo definicija prostyh idealov (§ 1, 11) govori, že produkt neizčezajučih ostatkovyh klasov takože ne izčezaje. Ako prost ideal jest razny od jediničnogo ideala, to kolco soderži najmene jedin element razny od nulovogo elementa, i zato možno go tvorjenjem kvocientov -- prisojedinjenjem par elementov -- razširiti do polja; tako jest polje ostatkovyh klasov opreděljeno.

Za slědujuče najprěd ustanavljamo označenje, ktoro bude vsegda sohranjano.

Označenje. Ostatkove klasy obče budut označane kladenjem kojego-libo elementa klasa v skobky: ; podobno polja iz ostatkovyh klasov budut označane skobkami. Osoblivo , , označajut polja ostatkovyh klasov, ktore stojat iz vsih i samo tyh ostatkovyh klasov, ktore možno predstaviti elementami iz , , .

Takože najprěd spomenimo slědujuče. Polje imenuje se poljem algebraičnogo ranga (stepenja transcendencije) vzhodno k osnovnomu polju , ako soderži najmene jedin sistem iz veličin algebraično nezavisnyh vzhodno k -- transcendentnyh veličin -- no vsake veličin iz sut algebraično zavisne vzhodno k . Ako možno predstaviti kako algebraično razširjenje podpolja , gde sut algebraično nezavisne -- transcendentne -- vzhodno k , to nužno ; podobno algebraičny rang vzhodno k jest ravny , ako označajut neopreděljene ne soderžane v .

Konstrukcija polja nuljev nyně ide v polnoj analogiji s obyčnym putem pri prostyh funkcijah jednoj neopreděljenej, po slědujučem teoremu.

Teorem III. Polju ostatkovyh klasov prostogo ideala dimenzije možno izomorfno prirěditi polje nuljev ideala , ktoro bude iměti algebraičny rang -- bude zavisěti od parametrov -- i osoblivo može byti shvačeno kako konečno razširjenje polja . Izomorfija medžu i obhvača tu medžu i , medžu i , a pri vzetju kako parametrov takože tu medžu i . Obratno, vsako polje nuljev algebraičnogo ranga -- zaviseče od parametrov -- jest izomorfno polju ostatkovyh klasov .

Teorem III davaje kako korolar znany teorem: ako ideal izčezaje vo vsih nuljah prostogo ideala , togda jest dělimy črez .

Za dokaz najprěd treba primětiti, že polje ostatkovyh klasov ima algebraičny rang vzhodno k . Bo klasy sut algebraično nezavisne vzhodno k , poněže , kako ideal dimenzije , ne soderži polinoma svobodnogo od ; vsak daljny klas pak jest zavisny od njih. Ibo iz naležnosti formy elementarnyh děliteljev k po § 1, 2 takože za slěduje naležnost polinomov, ktore sootvětno zavisat od . Tedy stavaje konečnym razširjenjem polja ; stepen vzhodno k tomu podpolju po § 1, 5 -- s uvagojenjem, že jest ravny jediničnomu idealu, a po Teoremu I stavaje ravny -- jest ravny stepenju normy.

Da by se prěšlo k izomorfnomu polju nuljev, treba dalje primětiti, že i sut izomorfno sootnesene tak, že vsakomu elementu iz prirědžuje se ostatkovy klas predstavjeny tym elementom. Bo najprěd pri toj prirědbě oblasti cělostnosti, sostavljene iz polinomov v odnosno v , sootvětstvujut jedna drugoj izomorfno, poněže ne soderži polinoma svobodnogo od , i zato raznym polinomam iz sootvětstvujut takože razne klasy; iz izomorfnyh oblastij cělostnosti pak tvorjenjem kvocientov proizhodet izomorfna polja. Izomorfno sootnošenje medžu i obhvača ono medžu i , medžu i . Da by se ta izomorfija razširila do izomorfije medžu i poljem nuljev , nehaj klasam budut izomorfno prirědžene někake nove elementy ; to jest vsakomu polinomu sootvětstvuje polinom , a sumi i produktu sootvětstvujut suma i produkt. Tvorjenjem kvocientov -- pri čem možno ograničiti se na znamenatelje iz podpolja odnosno -- polju ostatkovyh klasov togda sootvětstvuje polje , ktoro stavaje konečnym razširjenjem stepenja normy i ktoro možno nazvati poljem nuljev; ibo prirědba govori, že izčezaje, čim . Vmesto v cělom razmyslu moglo by nastupati i nekoje drugo podpolje od , nastalo prisojedinjenjem algebraično nezavisnyh veličin.

Obratno jest legko pokazati, že vsako polje nuljev algebraičnogo ranga stavaje izomorfno polju ostatkovyh klasov. Poněže možno racionalno, s koeficientami iz , izvesti iz veličin , medžu tymi veličinami mora byti algebraično nezavisnyh, tedy transcendentnyh vzhodno k elementov. Osoblivo to mora byti splnjeno za , poněže iz slěduje kako vyše, že stavaje algebraičnym razširjenjem polja . Poněže po prědpoloženju izčezaje za vsaky polinom iz , vsakomu klasu polinomnoj oblasti elementov soderžanoj v sootvětstvuje jedin i samo jedin element iz , ktory jest polinom v ; a sumi i produktu sootvětstvujut suma i produkt. No raznym klasam sootvětstvujut takože razne elementy iz ; inako by ne-nulovomu klasu, a poslě vhodnogo množenja takože klasu predstavjenomu polinomom iz , sootvětstvoval nulovy element v , i medžu veličinami by, protivno prědpoloženju, stojala algebraična zavisnost. Ta prirědba iscrpava vse polinomy v soderžane v ; a tvorjenjem kvocientov -- pri čem možno znovu ograničiti se na znamenatelje iz odnosno -- iz tyh izomorfnyh oblastij cělostnosti proizhodet izomorfna polja.

Nehaj nyně ideal izčezaje vo vsih nuljah , znači osoblivo i vo vsih zavisečih od parametrov. Ako togda jest libovoljny polinom iz , to izčezaje; zaradi izomorfije medžu i tym samym stavaje nulovym klasom, i , a zato , jest dělimy črez . S tym Teorem III i korolar sut dokazani.

Da by se prěšlo od Teorema III k razloženju danomu v § 1, 9, najprěd za proste idealy, i da by možno bylo dati točnejše tvrdženja o eksponentah, potrebno jest dalje izslědovanje formy elementarnyh děliteljev po slědujučej leme.

Lema V. Ako pri karakteristice forma elementarnyh děliteljev prostogo ideala abo primarnogo ideala -- občeje, ideala , pri ktorom najvyšša dimenzija soglaša se s dimenzijeju v sobstvenom smyslu -- ima eksponentu vzhodno k , tedy jest cěla funkcija od , togda ona ima takože eksponentu vzhodno k i vzhodno k neopreděljenym odnosno nastupajučim v . Osoblivo pri sovršenom polju kako oblasti koeficientov forma elementarnyh děliteljev prostogo ideala vsegda ima eksponentu nul vzhodno k , tedy jest prosta funkcija prvogo roda.

K tomu treba primětiti, že stavaje nesovršeno, čim jest sovršeno polje karakteristiki , tako že iz § 1, 14 ne slěduje prěmo, že stavaje prvogo roda. Nehaj nyně ima eksponentu vzhodno k , no soderži drugu neopreděljenu s eksponentoju . Togda -- prěstavljanjem odnosno -- po § 1, 2 suščestvuje takože ne-nulovy polinom , dělimy črez ideal, ktory jest cěla funkcija od , i ktory po definiciji formy elementarnyh děliteljev jest dělimy črez . No poněže ima jednak stepen kako , on mora soglašati se s do faktora iz , i zato nužno . Tedy -- ktora može byti prědpoložena cěloju i primitivnoju v -- ima formu

gde označajut potěžne produkty od , i sut dělimy črez . Zato dostava se polinom takože naležeči k , ako v vsaky eksponent pojedinyh zaměni se največšim mnogokratnikom od soderžanym v njem; kako vyše dano predstavjenje pokazuje, to znači, že v vsaky eksponent od zaměnja se največšim mnogokratnikom od soderžanym v njem. Črez tu substituciju prěhodi v polinom v , ktory po definiciji jest dělimy črez , i to zaradi prědpoloženej primitivnosti takože vzhodno k ; zato on mora byti identičny s , poněže stepen ne vozrastl v nijednom argumentu. Ako osoblivo jest sovršeno polje, togda kako cěla funkcija od stavaje -ta potęga; ako ide o prost ideal, togda nužno , i forma elementarnyh děliteljev stavaje prosta funkcija prvogo roda.

Razloženje nyně davaje slědujuči teorem.

Teorem IV. Forma elementarnyh děliteljev prostogo ideala dopušča v Galoisovom polju vyvedenom iz polja nuljev eksplicitno razloženje:

gde vsaky raz predstavjajut prinaležny sistem nuljev izhodiščnyh neopreděljenyh , nezavisny od , raznym sootvětstvujut razne linearne faktory, i gde eksponenta pri sovršenom polju ima vrědnost jedin, pri nesovršenom vrědnost ( ). Tym pri prisojedinjenju novyh neopreděljenyh jest takože soopreděljeno razloženje formy elementarnyh děliteljev zapisanoj v bilinearnyh kombinacijah i vmesto :

gde ima to samo značenje kako vyše. Podobno jest dana razložba normy prostogo ideala abo primarnogo ideala s kako asociovanym prostym idealom -- kako potęga od .

Kako korolar iz Teorema IV još prihodi: ako dva prosta ideala soglašajut se v svojej formě elementarnyh děliteljev , togda oni sut identične.

Dokaz Teorema IV bude svoditi se na dokaz, že forma elementarnyh děliteljev jest identična s fundamentalnym uravnenjem razširiteljnogo polja nad . Najprěd -- da by se dobil pogled v zavisnost od neopreděljenyh odnosno -- prějdimo k polju ostatkovyh klasov od , ktoro po tom, čo bylo rečeno pri definiciji algebraičnogo ranga, mora iměti algebraičny rang vzhodno k , gde znači podpolje predstavjeno elementami iz . Bo nastavaje prisojedinjenjem neopreděljenyh odnosno k podpolju izomorfnomu jednomu , ktoro proizhodi tvorjenjem kvocientov iz vsih i samo tyh klasov, ktore možno predstaviti polinomami iz , pri čem i sootvětstvujut jedno drugomu. Algebraičny rang vzhodno k zato jest ravny rangu togo podpolja vzhodno k , i tako po izomorfiji ravny rangu vzhodno k . Poněže možno racionalno, s koeficientami iz , izvesti iz klasov , medžu tymi klasami mora byti algebraično nezavisnyh, i nastavaje kako konečno algebraično razširjenje podpolja sozdannogo prisojedinjenjem tyh klasov k .

Ako se prisojedinjut samo neopreděljene nastupajuče v , togda znovu nastavaje polje ostatkovyh klasov, ktoro soderži klasy i i stavaje konečnym algebraičnym razširjenjem polja -- tut ide o polja izomorfne k podpoljam od , ne identične s njimi; ibo pri raznyh neopreděljenyh ostatkove klasy sut prědstavjene tymi samymi elementami, no ne sut identične, bo ne soderžat tyh samyh elementov. Pri zavisnosti klasov od vhodet zato samo neopreděljene . Nyně tvorimo, prisojedinjenjem , klas ; i nehaj budut razne konjugovane vrědnosti, ktore ležat v Galoisovom polju vzhodno k . Togda -- po tomu, ide li o razširjenja prvogo roda abo ne -- produkt po faktorah abo po jih -tyh potęgah jest prosta funkcija vzhodno k ; ibo, poněže suščestvujut elementy stepenja (§ 1, 15), nužno mora byti takovy element, poněže vsaky element nastavaje specializacijeju ; a jest nulj od . Prěhodeči k izomorfnomu polju nuljev od i k Galoisovu polju iz njega vyvedenom, zato dopušča razloženje na linearne faktory odnosno na jih -te potęgy. No poněže izčezaje pri , jest dělimy črez i tym črez ; a kako prosta funkcija vzhodno k i kako primitivna v , mora stati identična s . Tedy prva razložba Teorema IV jest dokazana.

Da by se prěšlo k drugoj razložbě, treba primětiti, že vlastnost byti abo ne byti razširjenjem prvogo roda sohranja se pri prisojedinjenju neopreděljenyh. Tedy po prisojedinjenju i vsih tvorimo klas i konjugovane klasy . Togda produkt po vsih odnosno po jih -tyh potęgah jest znovu prosta funkcija , ktora izčezaje pri . Zato jest, kako vyše, predstavima kako produkt linearnyh faktorov i identična s formoju elementarnyh děliteljev prostogo ideala vyvedenogo iz složenjem transformacije (1) s ; ta forma elementarnyh děliteljev pak -- zaradi vzaimnoj specializacije -- nastavaje iz tym, že zaměnjajut se někakymi bilinearnymi kombinacijami i . S tymi razložbami dana jest takože razložba normy kako potęgy od , podobno ona normy i formy elementarnyh děliteljev primarnogo ideala s kako asociovanym prostym idealom.

Nakonec, ako dva prosta ideala soglašajut se v formě elementarnyh děliteljev , to po slědstvu vyše danogo razloženja oni soglašajut se v svojih nuljah; zato sut vzajemno dělimi jedin črez drugogo i tym sut identične.

§ 4. Aritmetična formulacija pojma dimenzije.

Prva formulacija pojma dimenzije, nezavisna od vvedenja transformovanyh idealov, dana jest slědujučim teoremom.

Teorem V. Dimenzija prostogo ideala dana jest algebraičnym rangom jego polja ostatkovyh klasov. Najvyšša dimenzija ideala jest ravna najvyšemu iz dimenzijnyh čisel jego asociovanyh prostyh idealov.

Prva čest Teorema V byla dokazana v prvoj primětce k Teoremu IV, gde bylo pokazano, že algebraičny rang polja ostatkovyh klasov od jest ravny dimenziji , v soglašenju s § 1, 8. Za dokaz drugoj česti nehaj bude najkratše predstavjenje črez največše primarne komponenty; togda najprěd nijedno , kako dělitelj od , ne može iměti vyšej dimenzije než . Produkt vsih jest pak dělimy črez , i slědovateljno takože produkt vsih form elementarnyh děliteljev pojedinyh ; ako zato jest najvyše iz dimenzijnyh čisel , togda vsebuje polinom , i zato takože ne može byti vyšej dimenzije než . Dimenzijne čisla po Teoremu I soglašajut se s tymi od jih asociovanyh prostyh idealov. Ako se bez vvedenja transformovanyh idealov definira dimenzija prostogo ideala črez algebraičny rang polja ostatkovyh klasov, togda druga čest Teorema V daje definiciju najvyššej dimenzije libovoljnogo ideala.

Da by se, s drugoj strany, pojem dimenzije mogl uhvatiti črez cepi prostyh idealov, što znovu bude nezavisno od vvedenja transformovanyh idealov, treba v dopolnjenju k Teoremu II pokazati slědujuče.

Teorem VI. Vsaky od jediničnogo ideala različny prost ideal ima --- po možnom prisojedinjenju neopreděljenyh --- najmenej jedin prost ideal kako dělitelj, čija dimenzija umenšila se točno za jednu jedinicu.

Ako imenno jest dimenzije i označaje novu neopreděljenu, togda

jest ideal iskanoj vlastnosti. To slěduje iz izomorfnoj prirědby; dostava se , gde nastaje iz tym, že jest zaměnjeno neopreděljenoju , a prisojedinjuje se k oblasti koeficientov; podobno ostatkove klasy nastavajut zaměnoju klasa črez . No prěhodi v sebe samo, kogda prisojedinjuje se k ; iz

nužno slěduje ; ibo ako by soderžal polinom zaviseči samo od , to on soderžal by takože polinom zaviseči samo od , i byl by, protivno prědpoloženju, najviše dimenzije nul. Pri prirědbě nulovomu klasu po zato nužno sootvętstvuje nulovy klas po , i naravno velja takože obratno. Tedy dobiva se izomorfna prirědba medžu sistemom ostatkovyh klasov po i po ; poslědnja ne ima děliteljev nuly, zato stavaje prost ideal. Po toj izomorfnoj prirědbě algebraičnoj zavisnosti medžu i sootvętstvuje relacija medžu vzhodno k , medžutym za zavisnosti medžu i kako take ostavajut sohranjene i zato ne umenšajut algebraičnogo ranga dalje; algebraičny rang umenšil se točno za jednu jedinicu. Ako byl dimenzije nul, togda stavaje jediničny ideal; gornji rezultat zato ostavaje v sili. V izhodnoj oblasti zato

gde položeno jest ravnym , jest ideal iskanoj svojstvennosti. Ako osoblivo vsebuje beskonečno mnogo elementov, togda možno vsagda specializovati do elementov iz tako, že norma i forma elementarnyh děliteljev, i tym dimenzija , stanut ravne tym od specializovanogo ideala ; pri tom forma elementarnyh děliteljev pak ne mora ostati prosta funkcija. No po Teoremu V ima najmenej jedin asociovany prost ideal iskanoj dimenzije; vračajuči se znovu k , dostava se zato, že tut Teorem VI velja bez prisojedinjenja ikakih neopreděljenyh.

Teoremy II i VI neposrědnje davajut želanu formulaciju po slědujučem teoremu.

Teorem VII. Prosty ideal jest dimenzije , ako --- pri možnom prisojedinjenju neopreděljenyh --- suščestvuje najmenej jedna cep iz prostyh idealov

iz ktoryh vsaky jest vlastny dělitelj neposrědnje prědhodnogo, ako pak ne suščestvuje takova cep s boljšim čislom členov. Ta definicija velja takože v izhodnoj oblasti, i to bez vvedenja ikakih neopreděljenyh, ako vsebuje beskonečno mnogo elementov.

Najprěd jest jasno, že poslědnji element cepi mora stati ravny jediničnomu idealu --- ktory udovletvorja definiciji prostogo ideala ---, ibo inako cep možno bylo by prodolžiti dodanjem ; za samo po Teoremu VII dobiva se dimenzija v soglašenju s § 1, 8. Nehaj teper bude različny od i dimenzije ; togda čislo členov cepi može byti najviše , poněže po Teoremu II ne mogut nastupati dva prosta ideala jednakoj dimenzije. No po Teoremu VI --- pri možnom prisojedinjenju novyh neopreděljenyh --- suščestvuje najmenej jedna cep togo čisla členov, pokoliku dimenzija pri vsakom členu cepi umenšila se točno za jednu jedinicu. Ako se Teorem VII položi kako definicija dimenzije --- definicija, ktora očividno može byti izrečena točno tak samo v izhodnoj oblasti i pri ktoroju po Teoremu VI vvedenje neopreděljenyh stavaje nepotrěbno, kogda vsebuje beskonečno mnogo elementov ---, togda definicija najvyššej dimenzije libovoljnogo ideala znovu dana jest drugoju čestju Teorema V.

§ 5. Vstavjenje osnovnyh idealov i jih komponentov v obču teoriju idealov. Nulje idealov.

Ide o harakterizaciju osnovnyh idealov i jih komponentov (§ 1, 7.) črez izolovane komponenty razloženja (§ 1, 13.) v smyslu obče teorije idealov. Ta harakterizacija pokaže paralelno idenje teoremov o razloženju norm s tymi obče teorije idealov i pozvoli izrekti teoriju nuljev, danu v § 3 za proste idealy i primarne idealy, za libovoljne idealy. Za osnovne idealy velja:

Teorem VIII. Osnovne idealy -go nivoja sut izolovane komponenty razloženja, jednoznačno opreděljene cěloju sovokupnostju asociovanyh prostyh idealov dimenzij . Ako vsi asociovane proste idealy sut toj samej dimenzije, togda i ideal stavaje toj dimenzije; to jest nastupa samo jedin faktor normy. Obče norma ima toliko od jedinice različnyh faktorov , koliko različnyh dimenzijnyh čisel nastupa medžu asociovanymi prostymi idealami.

Pred dokazom postavimo lemu.

Lema VI. Ako ideal jest predstavjen kako najmenše obče mnogokratno, , togda jego osnovny ideal jest najmenše obče mnogokratno osnovnyh idealov -go nivoja od idealov .

Ibo iz

slěduje

zato jest dělimy črez . Obratno iz

slěduje takože

i s tym obratna dělimost, čime lema jest dokazana.

Nehaj teper asociovane proste idealy od budut uporjadkovane po dimenziji (gde naravno někoje dimenzije mogut takože nedostavati, ):

gde v občem označaje prost ideal dimenzije ; nehaj bude sootvětny primarny ideal nastupajuči v nekakom fiksovanom danom razloženju . Togda osnovny ideal -go nivoja po definiciji stavaje ravny jediničnomu idealu za vse , pri ktoryh ; za pak po Teoremu I toj osnovny ideal stavaje ravny . Tedy po Leme VI dostava se:

i to predstavjenje pokazuje kako izolovanu komponentu razloženja, poněže nijedin iz prostyh idealov prinaležečih k ne može vhoditi v neki iz ostalyh prostyh idealov, ktore vsi sut nižšej dimenzije.

Ako osoblivo medžu asociovanymi prostymi idealami nastupajut samo take dimenzije , togda po (5) stavajut ravne jediničnomu idealu, ; zato . Ako pak sut prisutne proste idealy različnyh dimenzij, na pr. različne od nuly, togda po (5):

ale

zato faktory i samo ty sut različne od jedinice.

Po Teoremu VIII možno Teorem I zaoštriti do:

Teorem IX. Ideal jest primarny togda i samo togda, kogda jego forma elementarnyh děliteljev -- i slědovateljno jego norma -- jest primarna funkcija.

Že uslovje jest izpolnjeno za primarne idealy, bylo pokazano v Teoremu I. Nehaj teper obratno forma elementarnyh děliteljev od bude dana kako , gde znači prostu funkciju. Togda po Teoremu VIII vsi proste idealy od sut toj samej dimenzije . Iz dostava se:

Poněže vsi sut dimenzije , a znači prostu funkciju, stavaje ravny formě elementarnyh děliteljev vsakogo . Tedy po korolaru k Teoremu IV vsi soglašajut se; zato, poněže ide o največše primarne komponenty, može nastupiti samo jedin ; stavaje primarny, pri čem za specialny slučaj prostogo ideala ne jest izključen. Teoremy VIII i IX vodet k vstavjenju komponentov osnovnyh idealov po:

Teorem X. Komponent osnovnogo ideala , ktory sootvętstvuje največšemu primarnomu faktoru od , jest dan izolovanoju komponentoju razloženja, jednoznačno opreděljenoju asociovanymi prostymi idealami dimenzij i tym prostym idealom dimenzije , čija forma elementarnyh děliteljev stavaje ravna . Asociovane proste idealy i največše primarne faktory normy sootvętstvujut jedno-jednoznačno.

Po § 1, 7. soglašajut se so svojim osnovnym idealom -go nivoja i imajut kako osnovny ideal -go nivoja; zato po Teoremu VIII odnosno po (5) oni dopuščajut najkratše predstavjenje:

gde vsi sut dimenzije i prinadležet k različnym prostym idealam. Po definiciji -- s uvagojenjem, že soglašaje se so svojim osnovnym idealom -go nivoja -- dostava se:

i slědovateljno

i tym ; iz togo, kako pri dokazu Teorema IX, slěduje, že v predstavjenju može nastupiti samo jedno i prinaležeče dimenzije ; i že forma elementarnyh děliteljev od dana jest črez . Treba dokazati kako asociovany prost ideal od i pokazati, že v samoj stvari nastupaje v najmenej jednom predstavjenju črez največše primarne komponenty; togda tym takože jest poznany kako izolovana komponenta razloženja, poněže nijedin prost ideal ne može vhoditi v ideal jednakoj abo nižšej dimenzije, i to kako komponent opreděljen črez i vse asociovane proste idealy vyšej dimenzije. Za toj dokaz treba samo pokazati, že nastupaje v najkratšem predstavjenju , poněže tako predstavjenje po Teoremu VIII vsagda možno dopolniti do najkratšego predstavjenja ; treba zato samo pokazati, že predstavjenje

stavaje najkratše. Ako by napr. vhodil v svoj komplement, znači ako byl dělimy črez , togda zaradi iz togo slědovala by dělimost někojej potęgy črez za ; togda, poněže asociovane proste idealy i sut oba jednakoj dimenzije, ty proste idealy po Teoremu II soglasili by se. To pak jest nemožno, bo jih formy elementarnyh děliteljev i sut po definiciji različne. Predstavjenje , ktoremu po Teoremu VIII sootvętstvujut vsi asociovane proste idealy dimenzije , dalje pokazuje, že vsakomu takomu prostomu idealu v samoj stvari sootvętstvuje takože največši primarny faktor normy; jedno-jednoznačno sootvętstvovanje jest tym dokazano.

Teorem X neposrědnje davaje prěnos Teorema IV po:

Teorem XI. Pojedine največše primarne faktory normy dopuščajut produktno predstavjenje:

gde vsaky raz predstavjajut prinaležny sistem nuljev asociovanogo prostogo ideala v izhodiščnyh neopreděljenyh , nezavisny od , a ima vrědnost jedin abo ; tym razloženje normy na linearne faktory jest dano popolno. Stepen od dava stepen podkolca ostatkovyh klasov po izolovanoj komponentě , predstavjenogo ostatkovymi klasami iz , imenno vzhodno k podpolju ostatkovyh klasov vyvedenomu tvorjenjem kvocientov; pri primarnyh idealah ide zato o kolco vsih ostatkovyh klasov. Pri prisojedinjenju novyh neopreděljenyh prihodi ješče razloženje:

Poněže po Teoremu X poznano jest kako forma elementarnyh děliteljev od , ide v samoj stvari samo o vstavjenje razloženja iz Teorema IV; primětka o stepenu pak jest samo druga formulacija togo, čto rečeno jest v § 1, 5. i 7.

§ 6. Karakterizacija prostyh idealov i vlastnyh primarnyh idealov črez formu elementarnyh děliteljev i normu.

V Teoremě IX primarne idealy byli karakterizovane črez formu elementarnyh děliteljev i normu, ale samo tako, že prosty slučaj byl gledany kako specialny slučaj primarnogo. Teper treba odděliti proste idealy od vlastnyh primarnyh idealov; razmysljenje idě paralelno k § 3. Uslovja, ktore sut ili potrěbne ili dostatočne, možno lehko dati v takoj formě.

Teorema XII. Potrěbno uslovje za prost ideal jest to, že jego forma elementarnyh děliteljev jest prosta funkcija; dostatočno uslovje jest to, že jego norma jest prosta funkcija. Drugymi slovami, forma elementarnyh děliteljev prostogo ideala vsagda jest prosta funkcija, a norma vlastnogo primarnogo ideala vsagda jest vlastna primarna funkcija.

To, že forma elementarnyh děliteljev prostogo ideala stava prostoju funkcijeju, bylo uže pokazano v Teoremě I. Nehaj teper norma jest ravna prostoj funkciji; treba pokazati, že pri tom vsak vlastny dělitelj ideala imaje nižšu najvyššu dimenziju, tak že po Teoremě II razpoznava se kako prost ideal. Vpravdě, po § 1, 6. prvy množitelj normy , ktory se razlikuje od sootvětnogo množitelja , stava vlastnym děliteljem; iz množitelj normy mora byti ravny vlastnomu dělitelju , to jest jedinici; zato imaje nižšu najvyššu dimenziju.

Drugo prosto dokazanje opira se na slědujuću lemu, ktora leži takože v osnově slědujućej teoremy.

Pomočna lema VII. Sistem ostatkovyh klasov, reprezentovany polinomami , po modulu formy elementarnyh děliteljev primarnogo ideala --- občneje, ideala, ktory imaje samo asociovane proste idealy dimenzije , --- jest izomorfny podsystemu ostatkovyh klasov po tom idealu. Stepenj formy elementarnyh děliteljev dava stepenj togo sistema ostatkovyh klasov relativno k polju kvocientov .

Vpravdě, možno ustanoviti sootvětnost, stavjajući v pary klasy, reprezentovane tymi samymi polinomami ; suma i produkt pri tom sootvětuju sumi i produktu. Ta sootvětnost jest takože vzajemno jednoznačna: vsi polinomy , ktore naležet nulovomu klasu po idealu, po opreděljenju dělet se na ; zato nulovomu klasu sootvětuje nulovy klas po , i, razumě se, obratno.

Nehaj teper norma ideala jest prosta funkcija , to jest sovpadaje s formoju elementarnyh děliteljev. Tada stepenji sistemov ostatkovyh klasov po formě elementarnyh děliteljev i po relativno k sovpadajut; zato podsystem, izomorfny sistemu ostatkovyh klasov po , iscrpava ostatkove klasy po ; a poneže toj sistem ne može iměti děliteljev nuly, jest prost ideal.

Vo občnoj situaciji Teoremu XII nemožno posiliti do potrěbnyh i dostatočnyh uslovij, kako bude pokazano niže na priměrah. Zato to jest možno, kogda oblast koeficientov jest sovršeno polje (§ 1, 14.), po slědujućej teoremě.

Teorema XIII. Ako oblast koeficientov jest sovršeno polje, tada norma i forma elementarnyh děliteljev prostogo ideala stavaju prostymi funkcijami i, slědovateljno, sovpadajut; norma i forma elementarnyh děliteljev vlastnogo primarnogo ideala stavaju vlastnymi primarnymi funkcijami. Slědovateljno, nad sovršenym poljem uslovje, že forma elementarnyh děliteljev jest prosta funkcija, jest potrěbno i dostatočno za prost ideal; vměsto formy elementarnyh děliteljev v tom uslovju može stojati takože norma.

S uvagoj Teoremy XII Teorema XIII bude dokazana, ako pokazati, že nad sovršenym poljem ideal stava prostym, skoro jego forma elementarnyh děliteljev jest prosta funkcija, i že tada norma jest ravna toj prostoj funkciji. V Pomočnoj leme V, § 3, bylo pokazano, že nad sovršenym poljem forma elementarnyh děliteljev stava prostoju funkcijeju prvogo roda, skoro ona voobče jest prosta funkcija. Nehaj zato označaje polje ostatkovyh klasov, nastajuće pri dodanju k , to jest po . Tada jest nul prostej funkcije prvogo roda , i zato, kako pokazuje na priměr formula Lagrangea, sut v . Podsystem ostatkovyh klasov po razgledanom idealu , izomorfny po Pomočnoj leme VII k --- pri čem idě samo o pojavě imenovateljev iz , --- obsahuje ostatkove klasy i zato iscrpava sistem ostatkovyh klasov po ; ale poneže kako sistem, izomorfny k , on ne može iměti děliteljev nuly, stava prostym idealom. Stepenj togo polja ostatkovyh klasov ideala relativno k jest ravna stepenju normy ; s drugoj strany, iz-za izomorfizma s ona jest ravna stepenju formy elementarnyh děliteljev ; zato norma i forma elementarnyh děliteljev moraju sovpadati.

Za nesovršene oblasti koeficientov Teorema XII vse že dopušča slědujuće posiljenje.

Teorema XIV. Ako oblast koeficientov jest nesovršeno polje karakteristiki , tada norma prostogo ideala stava -tym stepenjem formy elementarnyh děliteljev; pri tom , kde označaje eksponentu formy elementarnyh děliteljev, a --- dimenziju prostogo ideala.

Teorema XIV svodi se k tvrđenju, že polje ostatkovyh klasov ideala imaje stepenj ( ) relativno k podpolju , izomorfno k . To neposrědno slěduje iz teoremov Steinitza, danih v § 1, 15., točneje iz slědujućego tvrđenja.

Pomočna lema VIII. Nehaj jest konečno razširjenje nesovršenogo polja redukovanogo stepenja i eksponenty , --- polje prvogo roda, sadržano v , a --- medžupolje medžu i . Tada stepenj vsakogo elementa iz relativno k jest stepenj , kde označaje karakteristiku .

Ibo -ty stepenj ( ) vsakogo elementa iz naleži k ; slědovateljno jest nul prostej funkcije s koeficientami iz . Nehaj jest prosta funkcija v s nulom ; tada imaje takože koeficienty iz , a zato koeficienty naležet polju prěsěka i , to jest medžupolju medžu i . Zato stepenj relativno k jest ravna stepenju relativno k tomu medžupolju i, kako dělitelj , jest stepenj .

Za dokazanje Teoremy XIV ostava samo primětiti, že polje mora iměti stepenj relativno k , ako označaje redukovany stepenj, a --- eksponentu ; i že zato polje prvogo roda , sadržano v , mora byti podpoljem . Ibo, poneže v sut elementy stepenja (§ 1, 15.), neobhodno jest, že imaje točno toj stepenj, bo vsi elementy iz nastavajut specializacijeju v ; eksponenta sovpadaje s eksponentoju formy elementarnyh děliteljev, i imaje stepenj i naleži k , slědovateljno jest primitivny element . Poneže že nastavaje dodanjem konečno mnogo elementov --- recimo --- k , konečno mnogokratno priměnjenje Pomočnoj lemy VIII dava potrěbno dokazanje i odnovrěmenno ocěnu za .

Teper dodamo priměry, ktore pokazuju, že Teoremu XII vo občnoj situaciji nemožno posiliti preko Teoremy XIV. Idě o prost ideal, čija norma jest kvadrat formy elementarnyh děliteljev ( ), i o vlastne primarne idealy, čije formy elementarnyh děliteljev sut proste funkcije; poslědnji priměr odnovrěmenno pokazuje, že tu nema analoga Teoremy XIV, a norma može stati proizvoljnym stepenjem formy elementarnyh děliteljev.

Nehaj oblast koeficientov nastavaje dodanjem dvuh neopreděljenyh k polju ostatkovyh klasov po modulu , to jest jest nesovršeno polje karakteristiki dva. Razgledajmo ideal

ktory mora byti prostym idealom, bo sistem ostatkovyh klasov jest izomorfny polju . imaje četvrty stepenj relativno k , redukovany stepenj , eksponentu ; zato forma elementarnyh děliteljev imaje vtory stepenj, a norma --- četvrty stepenj i, slědovateljno, jest kvadrat , čto takože lehko prověriti po modulnom predstavjenju (3), § 1, 5.; dostavajemo

ili, poslě sootvětnogo množenja,

Nehaj teper nastavaje dodanjem jednogo neopreděljenogo k polju ostatkovyh klasov po modulu , i nehaj vzety jest ideal

Kako forma elementarnyh děliteljev, črez specializaciju v formuli vyše, dostavaje se

slědovateljno prosta funkcija, bo , vodi k prostoj funkciji . Ale jest vlastny primarny ideal, bo on obsahuje , ale ne obsahuje . Norma mora byti ravna kvadratu, to jest -tomu stepenju, , bo čislo linearno nezavisnyh relativno k ostatkovyh klasov po jest četyrje.

Že toj poslědnji analog Teoremy XIV ne vsagda działa, pokazuje slědujući priměr. Nehaj nastavaje dodanjem neopreděljenogo k polju ostatkovyh klasov po modulu , i nehaj

tako že, kako vyše, idě o vlastny primarny ideal. Forma elementarnyh děliteljev stavaje --- s uvagoj togo, že takože děli se na , ---

slědovateljno prostoju funkcijeju; ale norma jest ravna kvadratu , bo idě o šest linearno nezavisnyh ostatkovyh klasov po . Slědovateljno, tu ne pojavja se -ty stepenj formy elementarnyh děliteljev.

Prvy priměr pokazuje, že pri nesovršenom polju kako oblasti koeficientov, tako samo kako v algebraičnyh čislovyh poljah, mogut se javjati proste idealy stepenja vyše prvogo, kde trěba nazvati stepenjem prostogo ideala. Daljnje priměry trěba razuměti kako analogy idealov razvětvenja: prosto čislo može děliti se na vyšši stepenj prostogo ideala, to jest na primarny ideal; ibo, kako pokazano v primětke 10), forma elementarnyh děliteljev sootvětuje najmanjšemu cělomu racionalnomu čislu, ktoro děli se na ideal v algebraičnom čislovom polju.

§ 7. Absolutne proste idealy.

Prost ideal s koeficientami iz nazyva se absolutnym prostym idealom, ako ostava prostym idealom v algebraično zamknjenom polju , do ktorogo može byti razširjeno. Sootvětně prosta funkcija s koeficientami iz nazyva se absolutnoju prostoju funkcijeju --- absolutno nerazložimym polinomom, --- ako ostava prostoju funkcijeju v . Karakterizaciju absolutnyh prostyh idealov dava slědujuća teorema.

Teorema XV. Potrěbno i dostatočno uslovje za absolutny prost ideal jest to, že jego forma elementarnyh děliteljev --- koju možno prědpokladati cěloju i primitivnoju v --- stava absolutnoju prostoju funkcijeju kako polinom v i . Forma elementarnyh děliteljev stava identičnoju s normoju, tako že uslovje možno izreči takože za normu.

Za dokaz najprěd primětimo, že voobče norma i forma elementarnyh děliteljev sohranjajut se pri algebraičnom razširjenju oblasti koeficientov. Ibo pojedine faktory odnosno opreděljene sut kako največši obči dělitelji v polinomnom smyslu, a ta vlastnost sohranja se pri algebraičnom razširjenju oblasti koeficientov. Zato ostava formoju elementarnyh děliteljev pri prěhodu od k , to jest pri prěhodu k sovršenomu polju kako oblasti koeficientov; ibo vsako algebraično zamknjeno polje jest sovršeno, kako definicija neposrědno pokazuje. Po Teoremě XIII potrěbno i dostatočno uslovje za kako absolutny prost ideal jest to, že stava prostoju funkcijeju vzhodno k ; to jest absolutnoju prostoju funkcijeju kako polinom v i , ako prědpoklada se cělym i primitivnym v . Odnovrěmenno po Teoremě XIII stava takože identično s normoju , skoro vzima se kako oblast koeficientov; slědovateljno, po vyše rečenom, to samo važi i pri osnově . Tym Teorema XV jest dokazana.

Za absolutne proste funkcije s koeficientami iz (konečnogo) algebraičnogo čislovogo polja teper važi teorema, že ostava prostoju funkcijeju, točneje absolutnoju prostoju funkcijeju, po modulu vsakogo prostogo ideala iz , najviše s izključenjem konečno mnogo prostyh idealov iz . Prěnesenje togo teorema na absolutne proste idealy opira se na slědujuće.

Teorema XVI. Ako za oblast koeficientov vměsto polja vzeti kolco vsih cělyh algebraičnyh čisel (konečnogo) algebraičnogo čislovogo polja , togda norma i forma elementarnyh děliteljev polinomnogo ideala sohranjajut se kako norma i forma elementarnyh děliteljev po modulu vsakogo prostogo ideala iz , najviše s izključenjem konečno mnogo prostyh idealov iz .

Za dokaz trěba modificirati osnovanu polinomnu oblast v sravnenju s § 1, 1. Nehaj sostoji iz vsih polinomov v s koeficientami iz , to jest iz cělyh algebraičnyh čisel iz ; oblast koeficientov za nehaj bude , to jest vsi polinomy v s koeficientami iz . Ako jest ideal v , togda posrědstvom (1) on prěhodi v transformovany ideal v . Trěba dokazati, že pri tvorenju normy v imenovatelju pojavja se samo konečno mnogo polinomov iz ; iz toga Teorema XVI bude neposrědno slědovati.

K tomu najprěd primětimo, že modulno predstavjenje (3) v § 1, 5. za tvorjenje pojedinoj normy svodi se k redukciji stepenjev po modulu polinoma, regularnogo v ,

pri tom vse koeficienty , osoblivo , možno prědpokladati kako veličiny iz . Poneže idě o sukcesivnu redukciju , modulno predstavjenje, cělo v , jest takože cělo v izključno do stepenjevih produktov

v imenovatelju. Produkt , gledany kako polinom v , opredělja svojimi koeficientami ideal iz , ktory zato jest dělimy samo črez konečno mnogo prostyh idealov iz . Ako vzeti različnym od tych konečno mnogih prostyh idealov i položiti kako oblast koeficientov polje ostatkovyh klasov po , togda izhodno modulno predstavjenje sohranja se: vsako čislo iz samo zaměnja se svojom ostatkovoju klasoju po .

Daleje, poneže norma i forma elementarnyh děliteljev opreděljene sut samo do faktorov iz , možno jih takože, vzhodno k , prědpokladati dělimymi črez . Nehaj pri tom prědpoloženju, napr.,

tako že pri dělimosti vsih determinantov porjadka modula ranga , opreděljenogo črez , v imenovatelju, kromě , pojavjajut se samo stepenji . Ako zato vybrati takože različnym od konečno mnogih prostyh idealov iz , ktore dělet ideal opreděljeny produktom , togda ostava obči dělitelj tyh determinantov, kogda polje ostatkovyh klasov po vzima se kako oblast koeficientov; rang takože sohranja se, bo byl determinant porjadka iz .

Nakonec trěba izbrati još tako, da vsaky raz ostava največšim občim děliteljem. Nehaj proběgaje vse determinanty porjadka iz , tako že po prědpoloženju dostava se

kde ne imajut obči dělitelj, ktory vsebuje , v polinomnom smyslu. Slědovateljno ideal, izvedeny iz vsih , vsebuje polinom

že pri tom možno prědpokladati regularnym v , pokazuje skladanje transformacije (1) s takoju transformacijeju , kde koeficientami sut nove neopreděljene. Ako zato vybrati takože različnym od konečno mnogih prostyh idealov, ktore dělet ideal iz opreděljeny produktom , togda pri vzimanju polja ostatkovyh klasov po kako oblasti koeficientov vpravdě sohranja se kako norma. Sovsěm sootvětno možno izbrati još tako, že takože sohranja se kako forma elementarnyh děliteljev. Tym Teorema XVI jest dokazana.

Iz Teorem XV i XVI, kako obobčenje teorema o absolutnyh prostyh funkcijah i s upotrěboju togo teorema, slěduje:

Teorema XVII. Ako jest absolutny prost ideal s cělymi algebraičnymi čislami iz (konečnogo) algebraičnogo čislovogo polja kako koeficientami, togda ostava prostym idealom, točneje absolutnym prostym idealom, po modulu vsakogo prostogo ideala iz , najviše s izključenjem konečno mnogo prostyh idealov iz .

Za dokaz nehaj norma ideala bude izbrana, kako v Teoremě XVI, tako že ona takože vzhodno k jest dělima črez . Tada

kde možno prědpokladati cělym i primitivnym v . Zato po Teoremě XV, gledany kako polinom v i s koeficientami iz , stava absolutnoju prostoju funkcijeju. Po teoremu o absolutnyh prostyh funkcijah on sohranja tu vlastnost po modulu vsakogo prostogo ideala iz , najviše s izključenjem konečno mnogo prostyh idealov iz . Ako zato vybrati različnym od tych konečno mnogih prostyh idealov i, po Teoremě XVI, još različnym od konečno mnogih daljnyh prostyh idealov iz , togda --- čiji koeficienty iz zaměnjaju se sootvětnymi ostatkovymi klasami po --- stava normoju , kogda polje ostatkovyh klasov po vzima se kako oblast koeficientov , i ta norma stava absolutnoju prostoju funkcijeju. Pri vzimanju kako oblasti koeficientov zato po Teoremě XV ostava absolutnym prostym idealom. Tym Teorema XVII jest dokazana.

Göttingen, 8 maja 1923. [1em] (Prijeto 9. 3. 1923.)