25. Teorija eliminacije i teorija idealov

J. Ber. d. DMV 33 (1924), str. 116--120

V slědujučem hoču pokazati, kako se teorija eliminacije može izgraditi povsem paralelno s teorijeju nuljev pri polinomah jednej prěměnnoj; ta izgradnja opira se na povezanje eliminacijskoj teorije, danej od Hentzelt, s metodami teorije polj, kako jih razvil Steinitz, i teorije idealov, kako ju sama razvila jesm.

Najprvo skiciram postavjenje pytanja v slučaju polinomov jednej prěměnnoj. Kako oblast koeficientov položimo raz i navsegda fiksovano polje , k kojemu se odnosęt pojmy prosta funkcija i t. d. Pri tom možno jest prijeti kako abstraktno opreděljeno v smyslu Steinitza; ale naravno v specialnom slučaju ono može sovpadati s poljem racionalnyh čisel ili s poljem vsih kompleksnyh čisel --- po predpostavjenju, raněje obče obyčnomu v teoriji eliminacije. Teorija nuljev pri polinomah jednej prěměnnoj teper razpada se na četyri kroky:

1. Teorem razloženja, ktory dozvalja svesti pytanje na pytanje o prostyh funkcijah --- polinomah, nerazložimyh v . Bo iz

--- kde označajut različne proste funkcije, a zato "največše primarne funkcije" --- slěduje, že izčezaje vo vsih i samo v nuljah prostyh funkcij .

2. Konstrukcija polja nuljev za prostu funkciju . Tako polje nuljev --- kde označaje nulu --- po Steinitzu vsegda možno konstruovati kako razširjujoče polje polja , izomorfno polju ostatkovyh klasov po . Obratno, vsako polje nuljev, ležeče v razširjujočem polju polja , jest izomorfno polju ostatkovyh klasov ; polje nuljev i polje ostatkovyh klasov sut zato abstraktno identične.

3. Razloženje na linearne faktory v polju Galois, opreděljenom od . Povtorjenjem konstrukcije danej v točki 2 dohodimo do v sučnosti jednoznačno opreděljenogo polja Galois , ktoro točno dostaje, aby razpadlo se na linearne faktory.

4. Značenje mnogokratnosti za početny polinom . Po točkah 1, 2, 3 za proizvoljny polinom pytanje o nuljah i odgovarjajuče razloženje na linearne faktory jest rěšeno. Kako mnogokratnost možno pri tom razuměti stepenj pojedinoj primarnoj funkcije --- to jest čislo ostatkovyh klasov, linearno nezavisnyh vzhodno k , po ; bo v slučaju algebraično zamknjenoj oblasti koeficientov , kde stavajut linearnymi, to čislo vyhodi upravo na mnogokratnost nuljev.

Teper prehodim k obče teoriji eliminacije, to jest položim kako osnovu oblast vsih polinomov v s koeficientami iz ; teoriju eliminacije možno potom opreděliti kako teoriju nuljev ideala iz toj polinomnoj oblasti. Pod idealom razuměju, kako obyčno, taku sistemu polinomov, že vměstě s i takože , i vměstě s takože , naleži k , kde razuměje se kako proizvoljny polinom iz . Pod nuloju razuměju vsaku sistemu vrědnostij , naležeču razširjujočemu polju polja , taku, že izčezaje za vsaky polinom , naležeči idealu. Ako označaje vsegda suščestvujuči bazis ideala --- tak že za vsako iz ---, togda nulje očividno sut identične s nuljami ; i poneže obratno vsaku konečnu sistemu polinomov možno pojmati kako bazis ideala, iz nje vyvedenogo, gornje dano opreděljenje nuljev za teoriju eliminacije jest identično s obyčno upotrěbjanym, ale izběgaje težkost, ležeču v proizvoljnom vyznačenju bazisa. Za polinomy jednej prěměnnoj, kde jde samo o glavne ideale, ta težkost ne vystupaje, bo bazisny polinom jest jednoznačno opreděljen do jedinicy --- veličiny iz kako faktora; no i tam idealno pojmanje daje točnejše razuměnje.

Teorija eliminacije teper, odgovarjajuče slučaju jednej prěměnnoj, razpada se na četyri kroky:

I. Teorem razloženja --- predstavjenje ideala največšimi primarnymi komponentami --- ktory dozvalja svesti pytanje na pytanje o prostyh idealah. Pri tom ideal zove se prostym idealom, ako vhodži v produkt samo togda, kogda vhodži v najmanje jednom faktoru; zove se primarnym idealom, ako vhodži v najmanje jednom faktoru ili v nekoj stepeni vsakogo faktora. K vsakomu primarnomu idealu jest jeden i samo jeden asociovany prost ideal , ktory jest dělitelj i čija neka stepenj stavaje se dělima przez . Imamo predstavjenje kako najmenše obče mnogokratno:

Tut sut največše primarne komponenty; t. j. vsako jest primarno, ale najmenše obče mnogokratno kojih-koli dvoh ne jest primarno. Kromě togo možno bez ograničenja obćnosti prijeti, že nijedno ne vhodži v najmenše obče mnogokratno ostalyh, takže nijedno ne može prosto byti izpuščeno; sut asociovane proste ideale odgovarjajučih . Teper ne , ale --- i v tom leži analogija so slučajem jednej prěměnnoj --- jih asociovane proste ideale sut jednoznačno opreděljene przez ; i poneže vsako jest dělitelj , a obratno produkt stepenjev stavaje se dělimy przez , nulje ideala sovpadajut s nuljami jego asociovanyh prostyh idealov.

II. Konstrukcija polja nuljev za prost ideal . Ostatkove klasy po prostom idealu tvoret po definiciji kolco bez nuljevyh děliteljev, ktory imaje najmanje jeden element različny od nuljevogo elementa, skoro različny jest od jediničnogo ideala; tvorjenjem kvocientov toj kolco može se zato razširiti do polja ostatkovyh klasov ideala . Vsegda možno konstruovati razširjujoče polje polja , izomorfno k , ktoro stavaje poljem nuljev ; t. j. , kde označaje nulu . Pri tom jest stepenja transcendencije vzhodno k , zato obsahuje algebraično nezavisnyh vzhodno k elementov, medžu tym kako vsakih elementov stavajut algebraično zavisnymi vzhodno k . Obratno, vsako polje nuljev stepenja transcendencije , ležeče v razširjujočem polju polja , jest izomorfno polju ostatkovyh klasov ; polje nuljev stepenja transcendencije i polje ostatkovyh klasov sut zato abstraktno identične.

III. Razloženje normy na linearne faktory v polju Galois, opreděljenom od . Ako prěměnne prijmemo kako proizvedene iz početnyh prěměnnyh linearnym prěobraženjem s neopreděljenymi kako koeficientami, togda polje nuljev stepenja transcendencije možno pojmati kako konečno algebraično razširjujoče polje polja . Možno zato prějti k polju Galois vzhodno k , v ktorom prosta funkcija s nuloju razpada se na linearne faktory. Ta prosta funkcija , kogda vrnemo se k početnym prěměnnym , igra rolu fundamentalnogo uravnenja; bo stavaje ravno fundamentalnoj formě , kde označaje sistemu nuljev v , algebraično zavisnu od parametrov ; razloženje na linearne faktory zato daje produkt po vsih nuljah. Ale prostu funkciju ili neku jej stepenj možno takože pojmati kako normu ideala , ako razumějemo kako modul iz linearnyh form v stepenjevyh produktah , položimo vměsto kako oblast koeficientov i opredělimo normu kako produkt po vsih elementarnyh děliteljah --- iz ktoryh samo konečno mnogo različne sut od jedinicy. Pri sovršenom polju kako oblasti koeficientov vsegda byva ; pri nesovršenom polju kako norma može vystupiti stepenj .

IV. Norma početnogo ideala i značenje mnogokratnosti. Ako odgovarjajuče pojmamo ideal postupno kako modul iz linearnyh form v stepenjevyh produktah , možno pokazati, že pri položenju kako osnovy toj modul v vsakom slučaju imaje samo konečno mnogo elementarnyh děliteljev različnyh od jedinicy; to jest konečnostno uslovje, ktoro slěduje iz suščestvovanja bazisa ideala. Produkt po tych vsakokratno konečno mnogih elementarnyh děliteljah daje pojedine normy; norma opredělja se kako produkt vsih pojedinyh norm. Največše primarne faktory normy odgovarjajut jedno-jednoznačno asociovanym prostym idealam ideala , tak že stavaje stepenju , kde (ili, ako potrěbno, stepenj ) označaje normu ideala . Tako nastavaje razloženje

--- kde, ako potrěbno, trěba zaměniti najvyšim elementarnym děliteljem --- i s tym po I, II, III za vse nulje razloženje normy na linearne faktory jest izvršeno. Kako mnogokratnost nuljev, odgovarjajučih pojedinomu prostomu idealu ideala , možno razuměti stepenj , ktory možno tolkovati kako čislo ostatkovyh klasov linearno nezavisnyh vzhodno k . I to sut ostatkove klasy někojih izolovanyh komponent razloženja, jednoznačno opreděljenyh przez i proste ideale vyšej razměrnosti: imenno ostatkove klasy osnovnogo ideala -go stupnja po komponentě osnovnogo ideala -go stupnja, opreděljenoj od ; poslědnja komponenta imaje i vse proste ideale vyšej razměrnosti kako asociovane proste ideale, prva že samo proste ideale vyšej razměrnosti.

Polno vključenje slučaja jednej prěměnnoj nastavaje, kogda i tut prehodimo k glavnomu idealu. Razloženje dano pod 1 potom --- podľa pojmanja kako bazisnogo polinoma ili kako normy --- razpada se na dva razděljena razloženja: na predstavjenje glavnogo ideala kako najmenšego občego mnogokratnogo največših primarnyh komponent po I, što tut vyhodi na predstavjenje kako produkt stepenjev prostyh idealov; ili na razloženje normy kako produkt stepenjev norm pojedinyh prostyh idealov po IV. Pri konstrukciji polja nuljev po 2 v sučnosti jde o polje nuljev prostogo ideala, opreděljenogo przez , medžu tym kako v 3 norma razlaga se na linearne faktory. Definicija mnogokratnosti po 4 podčinjava se definiciji danej v IV, poneže osnovny ideal nultogo stupnja jest ravny jediničnomu idealu, a osnovny ideal prvogo stupnja pri jednej prěměnnoj uže stavaje ravny samomu idealu.

Vključenje v obyčnu teoriju eliminacije dano jest tym, že normě ideala pripada rezultantno značenje; pri takom pojmanju staro pytanje teorije eliminacije stavaje čestju teorije idealov polinomnoj oblasti, imenno toj čestju, ktora kromě teoremov razloženja idealov takože obrađaje razloženje jih norm i povezanje oboju razloženj.

(Prijeto 19. 10. 1923.)