29. Teorem konečnosti invariantov konečnyh linearnyh grup karakteristiki

Nachr. v. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1926, str. 28--35

Predloženo od R. Courant na zasědanju 30. julija 1926.

V slědujučem pokazujem, že znany teorem konečnosti invariantov konečnyh grup linearnyh substitucij ostaje važečim, ako se za oblast koeficientov, vměsto obyčnogo čislovogo polja, položi v osnovu libovoljno polje -- tedy osoblivo polje karakteristiki . Pritom ale znane dokazy konečnosti odpadajut, skoro red grupy jest dělimy črez ; treba privlekti glubše aritmetične fakty, imeno slědujuči kriterij, dosele znany samo za karakteristiku nulja:

Kriterij konečnosti: oblast cělosti iz polinomov -- občeje iz racionalnyh funkcij -- s koeficientami iz polja jest konečna togda i samo togda, kogda v soderži se konečno podkolco tako, že vsi elementi sut algebraično cěle nad . Vsaka integralna baza togda dopolnjuje se modulnoju bazoju vzhodno k někomu podkolcu od do integralnoj bazy .

Toj kriterij -- ktory sam po sobě imaje samostojny interes -- opiraje se na eksistenciju racionalnoj bazy i na fakt, že teorem o cěpah děliteljev ostaje validny pri prěhodu k cělym elementam konečnogo razširjenja. Taj drugi teorem v prethodnoj notě Artin i van der Waerden dokazali za libovoljnu karakteristiku samo pod někojim predpostavjenjem konečnosti za izhodnu oblast, ktoro jest ispolnjeno v slučaju konečnyh grup (korenjevo kolco predstavja konečno razširjenje). Za eksistenciju racionalnoj bazy dajem dokaz validny za libovoljne polja kako oblasti koeficientov; s tym mogu dokazati kriterij konečnosti pod vyšej označenym ograničenjem.

Že za invarianty konečnyh grup kriterij konečnosti jest ispolnjen, opiraje se na princip simetričnyh funkcij. No dokole pri karakteristiki nulja koeficienty Galoisovej rezolventy uže daju integralnu bazu, v občem slučaju ony tvoret samo konečno podkolco, potrebno v kriteriju konečnosti. Iz eksistencije togo konečnogo podkolca po tyh samyh zaključkah slěduje konečnost „relativnyh” invariantov i „modularnyh” invariantov.

Medžu tuto razgledane invarianty spadajut kako specialne slučaje „projektivne invarianty mod ”, obrabotane od Dickson i jego školy. Tut byl teorem konečnosti znany za modularne invarianty, ale ne za obče „formalne” invarianty.

§ 1. Kriterij konečnosti

1. Teorem o eksistenciji racionalnoj bazy. Prvo formulovanje: Vsaky sistem racionalnyh funkcij od neopreděljenyh, s koeficientami iz polja , imaje konečnu racionalnu bazu; t. j. obstaja konečno mnogo funkcij sistema tako, že vsaka funkcija sistema može se racionalno, s koeficientami iz , izraziti črez te konečno mnoge funkcije.

Drugo formulovanje: Nehaj bude medžupolje medžu i -- kde označajut neopreděljene -- transcendentnogo stepena ; nehaj bude nerazložimy sistem iz . Togda jest konečno algebraično razširjenje od .

Oba formulovanja sut faktično ekvivalentne. Dostatočno jest dokazati eksistenciju racionalnoj bazy za vsa medžupolja; bo polje vyvedeno iz sistema stava tako medžupolje , čija racionalna baza neposrědnje daje racionalnu bazu od , poněže každy element stava racionalna kombinacija konečno mnogih funkcij iz . Iz drugogo formulovanja slěduje pak, že libovoljny nerazložimy sistem iz , razširjen konečno mnogimi funkcijami, ktore karakterizujut kako konečno razširjenje od , daje taku racionalnu bazu. Obratno, ako po prvom formulovanju jest dana racionalna baza od , togda po definiciji transcendentnogo stepena každy bazovy element mora byti algebraično zavisny nad ; s tym jest karakterizovano kako konečno algebraično razširjenje od .

Teorem bude dokazan v drugom formulovanju. Najprvo nehaj imaje toj samy transcendentny stepen kako ; nehaj bude nerazložimy sistem iz i slědovateljno iz . Zbog transcendentnogo stepena sistema každy stava algebraičny nad ; zato i s tym kako medžupolje stava konečno algebraično razširjenje od .

Nehaj teper ; nehaj numerovanje bude vybrano tako, že tvoret nerazložimy sistem iz . Togda sut nerazložime vzhodno k i zato po tranzitivnom zakonu algebraičnoj zavisnosti takože nerazložime vzhodno k i k vsakomu medžupolju medžu i . To znači, že odnosno stava čisto transcendentno razširjenje od odnosno ; zato každy element iz , ktory ne prinadleži k , stava transcendentny vzhodno k , i podobno každy element iz , ktory ne prinadleži k , stava transcendentny vzhodno k . Takože nehaj bude položeno ravnym čisto transcendentnomu razširjenju ; togda sut nerazložime vzhodno k .

Dokaz može se teper privesti k gornje rěšenomu slučaju, ako bude položeno kako oblast koeficientov. Iz

slěduje

pri čem imaje toj samy transcendentny stepen vzhodno k kako . Zato vzhodno k kako oblasti koeficientov imaje konečnu racionalnu bazu, napr. . Pritom možno vybrati iz , poněže jest polje porodženo od i . Treba pokazati, že jest ravno . jest medžupolje medžu i ; zato každy element jest algebraičny vzhodno k . S druge strany, jest ravno i zato soderži se v . Togda jest medžupolje medžu i ; a poněže každy element iz , ktory ne prinadleži k , jest transcendentny vzhodno k , nužno jest identično s .

Poslědok: Ako i jest algebraično vzhodno k , togda jest konečno algebraično razširjenje od . Bo každy element racionalnoj bazy od togda jest algebraičny vzhodno k ; zato jest karakterizovano kako konečno razširjenje od .

2. Dokaz kriterija konečnosti. Uslovje jest javno nužno; bo ako jest konečna oblast cělosti, togda sama može se smatrjati kako konečno podkolco , nastupajuče v kriteriju.

Uslovje jest dostatočno pod predpostavjenjem, že korenjevo polje jest konečno razširjenje polja koeficientov, kogda ono imaje karakteristiku ; za karakteristiku nulja nikako ograničujuče predpostavjenje nije potrebno. Za dokaz treba pokazati, že imaje konečnu modulnu bazu vzhodno k někomu podkolcu od .

Nehaj označa polje kvocientov od , a polje kvocientov od . Ta polja kvocientov obstajut, poněže ide o kolca bez nulovyh děliteljev; i imajemo . Zato po poslědku pod 1. stava konečno algebraično razširjeno polje od ; dalje, po predpostavjenju, každy element iz jest cěly vzhodno k , i s tym stava podkolco kolca , sostojajučego iz vsih elementov , ktore sut cěle nad . No poněže ničto ne jest predpostavjeno o integralnoj zamknjenosti v , fakt, že teorem o cěpah děliteljev ostaje validny pri konečnom razširjenju, ne može byti upotrebljen neposrědnje. Najprvo treba prějdti k takože konečnomu podkolcu od , za ktoro ta integralna zamknjenost jest ispolnjena.

Nehaj najprvo oblast koeficientov soderži beskonečno mnogo elementov. Togda možno iz vybrati nerazložimy sistem tako, že , i s tym , jest cěla nad . Imeno, nehaj bude integralna baza od , ktora obstaja po predpostavjenju; ako ona ne tvori nerazložimy sistem, togda -- po potrěbnom prěnumerovanju indeksov -- nehaj

bude relacija, ktorej zadovolja. Ako zaměniti črez

togda , i s tym takože , jest cěly nad timi novymi funkcijami, ako vybrane sut kako neopreděljene; poněže imaje beskonečno mnogo elementov, možno specializovati do elementov iz tako, že ta cěla zavisnost ostane. Po konečno mnogih krokah, uzimajuči v račun tranzitivny zakon cěloj zavisnosti, prihodimo k iskanomu kolcu . Togda jest konečno razširjeno polje polja kvocientov od , i kolco iz vsih elementov , cělyh nad , jest identično s kolcom vsih elementov , cělyh nad .

V važi teorem o cěpah děliteljev za sistem vsih idealov, i jest integralno zamknjeno v svojem polju kvocientov; oboje zato, že jest izomorfno polinomnoj oblasti od neopreděljenyh. Iz predpostavjenja, že jest konečno vzhodno k , dalje slěduje, že jest konečno vzhodno k . Zato v važi teorem o cěpah děliteljev za sistem vsih -modulov; osoblivo , kako podkolco od , obnimajuče , imaje konečnu -modulnu bazu. Eksistencija konečnoj -modulnoj bazy za dalje važi bez nikakogo ograničujučego predpostavjenja o oblasti koeficientov , ako stava razširjenje prvogo roda od , tedy osoblivo vsegda ako imaje karakteristiku nulja.

Nehaj bude -modulna baza od . Togda predstavjenje

za libovoljny iz -- kde , kako elementi iz , označajut polinomy v -- pokazuje, že tvoret iskatu integralnu bazu.

Ako polje soderži samo konečno mnogo elementov, togda polje , nastalo črez adjunkciju neopreděljene -- t. j. elementa transcendentnogo vzhodno k -- soderži beskonečno mnogo elementov. Zato kolco imaje konečnu integralnu bazu vzhodno k kako oblasti koeficientov; i poněže jest kolco porodženo od i , ta baza može byti vybrana iz črez razděljenje po stepenjah , pri čem bazove elementy od teper ne budu više tvoriti nerazložimy sistem. S tym vsaky polinom iz dopušča predstavjenje , kde označa nenulovy polinom iz i stava cěly v . Sravnjenje koeficientov pri vhodnom stepenu pokazuje, že v i dana jest integralna baza od . S tym jest kriterij konečnosti dokazany v polnoj občosti.

§ 2. Konečnost invariantov

1. Pod konečnoju linearnoju grupoju karakteristiki razuměje se grupa iz linearnyh substitucij (s nenulovym determinantom) s koeficientami iz polja karakteristiki . Pritom predstavja linearnu substituciju

abo skračeno: . Grupa zato prěvodi red s elementami v redy s elementami . Poněže identičnost mora byti soderžana medžu , medžu redami soderži se takože red .

Pod cělym racionalnym (absolutnym) invariantom grupy razuměje se taka cěla racionalna funkcija od -- s koeficientami iz -- ktora pri priměnjenju ostaje identično neizměnjena. K tim invariantam zato prinadležat vse simetrične funkcije -- s koeficientami iz -- redov . Obratno, za vsaky taky invariant važi

Iz toga slěduje, že v slučaju, kde red grupy ne jest dělimy črez karakteristiku -- tedy osoblivo v slučaju karakteristiki nulja -- simetrične funkcije redov , s koeficientami iz , izčerpavajut cělost invariantov. Poněže te simetrične funkcije imajut konečnu integralnu bazu, dokaz konečnosti v tom slučaju jest dokonany; jednočasno integralna baza dobiva se kako sistem koeficientov Galoisovej rezolventy:

2. V slučaju, že jest dělimy črez , ne jest nužno, že vsaky invariant grupy jest simetrična funkcija redov , poněže teper iz ne možno više zaključiti na . Ale kolco , vyvedeno iz konečno mnogih invariantov -- koeficientov Galoisovej rezolventy -- tvori konečno podkolco sistema vsih invariantov, i treba pokazati, že vzhodno k ispolnja predpostavjenja kriterija konečnosti.

Najprvo bez ograničenja občosti za oblast koeficientov može se položiti podpolje od , vyvedeno iz vsih koeficientov substitucij . To polje, vyvedeno iz konečno mnogih elementov, nastaje črez adjunkciju konečno mnogih algebraičnyh abo transcendentnyh elementov k prvotnomu polju; i poněže prvotno polje jest popolno, slěduje, že jest konečno vzhodno k .

Dalje treba pokazati, že jest algebraično cěla nad . Po 1. medžu redami nastupaje takože izhodny red ; zato Galoisova rezolventa za identično izčezaje v . Ako vsakokrat specializovati vse k nuli kromě , ktoro se postavlja ravnym jedinici, dobiva se relacija

ktora pokazuje, že každy jest algebraično cěly nad . S tym isto važi za libovoljny polinom v ; osoblivo jest algebraično cěla nad . Tako sut predpostavjenja kriterija konečnosti ispolnjena, i konečnost invariantov jest dokazana.

3. Treba primětiti, že ty same zaključki daju konečnost relativnyh i modularnyh invariantov. Polinom nazyvaje se relativny invariant grupy, ako vse razlikuju se od samo nenulovym faktorom iz . Sistem absolutnyh invariantov -- osoblivo kolco , vyvedeno iz -- tvori zato konečno podkolco kolca vyvedenogo iz vsih relativnyh invariantov; i kako gore, predpostavjenja kriterija konečnosti vzhodno k sut ispolnjena.

Polinom nazyvaje se modularny invariant grupy, ako stava ravno za vsaky specialny sistem vrědnostij iz . Vsaky absolutny invariant jest jednočasno modularny invariant; ako ale soderži samo konečno mnogo elementov, obratno ne mora važiti. I tut sut predpostavjenja kriterija konečnosti ispolnjena vzhodno k podkolcu , vyvedenom iz .