30. Abstraktna konstrukcija teorije idealov v algebraičnyh čislovyh poljah i poljah funkcij

Math. Ann. 96 (1927), str. 26--61

V daljem daje se abstraktna karakterizacija vsih tyh kolc, čija teorija idealov soglasuje se s teorijeju idealov vsih cělyh elementov algebraičnogo čislovogo polja, to jest takyh kolc, ktoryh idealy jednoznačno predstavjajut se kako produkty stepenjev prostyh idealov. K najznačnejšim primjeram takyh kolc naleži takože kolco vsih cělyh elementov algebraičnogo polja funkcij od jednej neopreděljenej; občeje, od više neopreděljenyh, skoro se s Kronecker ograničimo na idealy najvyšej dimenzije, to jest prějdemo k někomu kolcu kvocientov, funkcionalnoj oblasti.

Aksiomy, polno ekvivalentne toj teoriji idealov za osnovno komutativno kolco, sut slědujuče:

[I. Uslovje cěpov děliteljev.] Vsaka cěp idealov, v ktoroj každy ideal jest vlastny dělitelj prethodnogo, prěryvaje se po konečno mnogih krokah; drugymi slovami, v vsakoj cěpi děliteljev idealov obstaja indeks, od ktoroho dalje vsi idealy sut ravne. [II. Uslovje cěpov kratnyh modulo vsaky nenulovy ideal.] Vsaka cěp idealov -- vsi ktore sut děliteli fiksovanogo ideala različnogo od nulovogo -- v ktoroj každy ideal jest vlastno kratno prethodnogo, prěryvaje se po konečno mnogih krokah. [III.] Eksistencija jediničnogo elementa množenja. [IV.] Kolco bez nulovyh děliteljev. [V. Integralna zamknjenost v polju kvocientov.] Vsaky element polja kvocientov, ktory jest cěly vzhodno k kolcu, naleži tomu kolcu.

Iz tyh aksiomov razvijam krok za krokom vse silněje ograničenu teoriju idealov do iskanoj; i obratno pokazujem, že tam vse aksiomy faktično sut ispolnjene.

Iz uslovja cěpov děliteljev slěduje, kako jesm pokazala (Teorija idealov, §4), predstavjenje ideala kako najmenšego občego kratnogo konečno mnogih primarnyh idealov naležečih k različnym prostym idealam. Tut kratko povtarjam toj dokaz (§6), poněže on može byti uproščen upotrěboju pojma idealnogo kvocienta, i poněže hoču popraviti propust: izvorni dokaz na jednom městě upotrěbja nepredpostavjenu eksistenciju jediničnogo elementa množenja.

Predpostavjenje uslovja cěpov kratnyh děluje (§7) tako, že v kolcu klasov ostatkov modulo vsaky ideal različny od nulovogo prosty ideal ne može iměti vlastnogo dělitelja, izključno jediničny ideal obnimajuči vse elementy. S tym primarne komponenty tyh idealov sut jednoznačno opreděljene, izključivši ty, ktore naležat k jediničnomu idealu. V něčto menje ostroj formě toj rezultat nahodi se uže u Masazo Sono; jego predpostavjenje eksistencije kompozicijnogo reda v kolcu klasov ostatkov jest ekvivalentno «dvojnomu uslovju cěpov» v tom kolcu, kako na koncu (§10) kratko pokazujem. Pod dvojnym uslovjem cěpov razumějem validnost uslovij cěpov děliteljev i kratnyh bez ograničenja na idealy različne od nulovogo.

Ako jest ispolnjena još aksioma -- eksistencija jediničnogo elementa -- jediničny ideal ne nastupaje kako naležeči prosty ideal; primarne komponenty sut zato jednoznačno opreděljene, stavajut parno vzaimno proste, i jih najmenše obče kratno jest ravno produktu. Aksiomy , , sut ispolnjene za vse konečne porjadky algebraičnogo čislovogo polja; tut uže Dedekind (Dirichlet--Dedekind, Zahlentheorie, 3. izd., 11. dopolnjenje, §172), bez polno izvedenogo dokaza, izrěkl jednoznačno predstavjenje ideala kako produkt parno vzaimno prostyh jednotipnyh idealov (primarnyh komponentov).

Iz predpostavjenja -- nepojavjenje nulovyh děliteljev -- slěduje, že različne stepenje ideala različnogo od nulovogo i jediničnogo ideala sut vse različne, i že polje kvocientov obstaja. Ako nakonec jest ispolnjena ještě aksioma integralnoj zamknjenosti v polju kvocientov, togda primarne idealy -- jednoznačno opreděljene zaradi -- stavajut stepenji prostyh idealov, čim obyčny teorem razloženja jest dobiven (§8). To poslědnje dokazanje opiraje se na poslědok integralnoj zamknjenosti, ktory v slučaju čislovogo polja uže vyvel Dedekind (3. izd., §172): pravo drobny element možno predstaviti kako kvocient cělyh elementov tako, že takodže kvadrat čislitelja ne jest dělimy črez imenitelj. V pozdnějših izloženjah vměsto togo poslědka -- takodže kako poslědok integralnoj zamknjenosti -- vystupaje mnogo menje prozračny obobčeny Gaussov teorem abo odgovarajuče, něčto silnějše modulne teoremy; vse ty teoremy pri upotrěbě predpostavjajut bazove elementy, dokole tut rabotaje se s samymi idealami.

V obratnom smyslu ( 9) aksiomy različne od slědujut skoro neposrědnje; sama slěduje iz dokaza, že pravo drobny element vsegda možno predstaviti tako, že nikaka stepenj čislitelja ne jest dělimy črez imenitelj, čto jest silnějša forma poslědka izvorno dobivenogo iz . To dokazanje uspěvaje ale samo poslě toga, kako iz predstavjenja idealov sut izvedene obyčne zaključki: predstavjenje glavnimi idealami modulo fiksovany ideal i teorija drobnyh idealov, to jest idealnyh kvocientov v polju. Fakt, že iz predstavjenja črez stepenje prostyh idealov slěduje integralna zamknjenost, byl takodže uže znany Dedekind, kako pokazuje primětka (3. izd., §172, str. 522, vnizu).

Aksiomy do daju, že četyri v obče razděljene razloženja -- v najmenše parno vzaimno proste idealy, v vzaimno proste idealy, v največje primarne komponenty i v ireducibilne idealy -- sovpadajut; i obratno, iz togo sovpadanja i aksiomov -- slěduje integralna zamknjenost. Za kolca s nulovymi děliteljami iz ispolnjenja ostalyh aksiomov -- pri čem treba definirati kako integralnu zamknjenost v kolcu kvocientov -- ne slěduje nužno sovpadanje razloženj, kako pokazuje primjer kolca klasov ostatkov modulo někojimi idealami konečnogo porjadka ( 9).

V §1 načrtavam teoriju elementov cělyh vzhodno k kolcu, do Dedekindovogo poslědka iz integralnoj zamknjenosti. V §2 pokazujem, kako uslovja cěpov prěnoset se iz kolca na moduly iz linearnyh form, s tym kolcom kako oblastju koeficientov i množiteljev. Iz toga vyvodim (§3), že pri prěhodu k cělym elementam algebraičnogo razširjenja polja prvogo roda aksiomy do ostavajut validne za vsaky porjadok, dokole za porjadok sostojajuči iz vsih cělyh elementov važi takodže . Taj fakt -- za algebraično čislovo polje naravno znany -- dozvaljaje podrediti polja funkcij spomenute na početku; osoblivo prostym dokazom, že funkcionalna oblast vyvedena iz cěločiselnyh polinomov několiko neopreděljenyh zadovolja aksiomy, Kroneckerova teorija idealov jest polno vključena.

Potom razvijana teorija idealov ne predpostavja tyh §§2 i 3, ktore služet samo za vključenje primjerov. V §§4 i 5 dajut se osnovy nezavisne od aksiomov do ; s tym vystupaje ostrěje než v izvornoj osnově, ktore česti teorije sut nezavisne od predpostavjenj konečnosti.

1. Teorija cělyh elementov

Dano naj bude komutativno kolco bez nulovyh děliteljev, s jediničnym elementom množenja (aksiomy i ); v vyznačeno jest fiksovano podkolco , ktoro vsebuje jediničny element. Pojmy modul, porjadok i cělost vse vrěme odnoset se k tomu fiksovanomu kolcu ; pozdněje to radi kratkosti bude izpuščeno iz označenja. Elementy iz budut označane latinskymi bukvami, a elementy iz v obče grečskymi.

1. Sistem elementov iz nazyvaje se, kako obyčno, -modulom, abo kratko modulom, ako vměstě s dvoma elementami i vsebuje i jih razliku, a vměstě s takodže , gdje jest ljuby element iz . Govori se, že jest dělimy črez ,

i že jest kratno, a dělitelj, ako vsaky element iz jest takodže vsebovany v . -moduly, ktoryh vsi elementy naležat k , nazyvajut se idealy v .

Očitno prěsěk -- najmenše obče kratno -- ljubogo množstva modulov iz jest znovo modul; takodže jest modul. Tako jednoznačno obstaja modul, vyvedeny iz ljubogo sistema elementov iz , kako prěsěk vsih modulov, ktore vsebujejut . Suma -- največji obči dělitelj -- ljubogo sistema modulov jest modul, vyvedeny iz jih sjedinenja. Produkt dvoh modulov definovany jest kako modul, vyvedeny iz elementov , gdje proběga vse elementy iz , a vse iz . Produkt zato zadovolja asociativny i komutativny zakon, poněže ty zakony važe za elementy kolca. Iz distributivnogo zakona v dalje slěduje distributivny zakon za moduly:

poněže po tom samom zakonu v prava i lěva strana sut modul, vyvedeny iz vsih elementov .

Poněže samo jest modul, uslovje, že jest oblast množiteljev, možno izraziti črez . A poněže po predpostavjenju vsebuje jediničny element, imajemo takodže , i zato .

Modul nazyvaje se konečny, to jest konečno porodženy, ako obstaja najmenej jeden sistem iz konečno mnogih elementov, iz ktorego jest vyvedeny; elementy iz nazyvajut se modulna baza od

Suma i produkt dvoh -- i zato konečno mnogih -- konečnyh modulov sut znovo konečne, poněže sut vyvedene iz sjedinenja, odnosno iz produktov bazovyh elementov. Poslědnje slěduje iz predstavjenja vsih elementov iz črez bazu i iz komutativnogo zakona množenja v .

2. Razširjajuče kolco od , ležeče v -- značit, kolco ktoro vsebuje vse elementy iz -- nazyvaje se -porjadok, kratko porjadok. Prěsěk ljubogo množstva porjadkov iz jest znovo porjadok; takodže jest porjadok. Zato jednoznačno obstaja porjadok, vyvedeny iz ljubogo sistema elementov iz . Sumy i produkty porjadkov definirajut se odgovarajuče kako za moduly; osoblivo za vsaky porjadok.

Vsaky porjadok jest Jednočasno -modul; porjadok nazyvaje se konečny, ako jest konečny modul. Poněže sumy i produkty nastavajut tvorjenjem modulnoj sumy i produkta, po punktu 1 sumy i produkty konečnyh porjadkov sut znovo konečne porjadky. Dalej važi tranzitivny zakon: ako jest konečny -porjadok, a konečny -porjadok, togda jest takodže konečny -porjadok. Bo Jednočasno stava -porjadkom, znači -modulom. Ako tvoret modulnu bazu od vzhodno k , a taku bazu od vzhodno k , togda produkty očitno tvoret modulnu bazu od vzhodno k .

3. Element iz nazyvaje se cěly vzhodno k , kratko cěly, ako porjadok , vyvedeny iz , jest konečny; drugymi slovami, ako cěp děliteljev modulov

prěryvaje se po konečno mnogih krokah, .

Definicija dopušča takodže drugu formu, ktora bude upotrěbljena v punktu 4: element iz nazyvaje se cěly, ako obstaja najmenej jeden glavny modul , različny od nulovogo modula -- to jest jest vyvedeny iz elementa -- takovy, že produkt porjadka s jest konečny modul; drugymi slovami, že cěp modulov prěryvaje se po konečno mnogih krokah.

Nakonec definicija jest takodže identična s obyčnoj formoju: element iz nazyvaje se cěly, ako zadovolja najmenej jedno jednačenje

gdje sut elementy iz .

Različne definicije sut v samoj dějstvitelnosti identične. Poněže sovpada s modulom, vyvedenym iz vsih stepenjev , za konečno vsegda možno izbrati modulnu bazu iz tyh stepenjev. Ako taka baza jest dana napr. črez , to znači, že cěp prěryvaje se pri ; obratno, iz dobiva se ta baza. No prěryvanje cěpa jest takodže identično s eksistencijo jednačenja

S jest takodže konečny, zato cěp se prěryvaje; obratno, iz konečnosti , to jest iz prěryvanja , slěduje takodže prěryvanje i s tym konečnost . Bo poněže jest predpostavjen kako glavny modul različny od nulovogo modula, dava takodže .

Kolcevo svojstvo cělyh elementov i tranzitivny zakon cěloj zavisimosti opirajut se na slědujuču lemu.

. Ako jest konečny porjadok iz , a ljuby element iz , togda porjadok , vyvedeny iz , jest konečny; drugymi slovami, vsi elementy konečnogo porjadka sut cěle.

Dokaz dobiva se po obyčnyh zaključkah. Ako jest modulna baza od , togda zaradi kolcevogo svojstva takodže naleži k . Zato nastava

i iz togo

s za , , čim jest dokazany kako cěly. Za nulovost determinanta upotrěblja se, že , i zato , jest predpostavjeno bez nulovyh děliteljev.

Sistem vsih cělyh elementov iz tvori porjadok. vsebuje , bo elementy iz sut cěle, poněže tvori konečny -modul s jediničnym elementom kako bazoju. Ale imaje takodže kolcevo svojstvo: porjadok , vyvedeny iz dvoh ljubych cělyh elementov , stava ravny produktu , i zato jest konečny. Po lemi, i sut zato cěle kako elementy konečnogo porjadka.

zakon cěloj zavisimosti. Ako jest porjadok sostojajuči iz cělyh elementov, togda vsaky element iz , cěly vzhodno k , jest takodže cěly vzhodno k . Po definiciji zadovolja jednačenje

i zato jest takodže cěly vzhodno k porjadku , vyvedenomu iz , ktory jest konečny kako produkt . Po tranzitivnom zakonu danom v punktu 2, konečny -porjadok , vyvedeny iz , stava takodže konečny -porjadok, i jest cěly po lemi kako element konečnogo porjadka.

4. Kolco nazyvaje se integralno zamknjeno v , ako vsaky element iz , cěly vzhodno k , naleži k . Po drugoj formě definicije cělyh elementov v punktu 3, element iz naleži k togda i samo togda, kogda obstaja najmenej jeden glavny modul , različny od nulovogo modula, takovy že tvori konečny modul.

Iz pojma integralno zamknjenogo kolca Dedekind (3. izd., §172) vyvel dva važne poslědky, ktore dozvaljajut upotrěbiti toj pojem za teoriju idealov:

poslědok . naj bude integralno zamknjeno v , i takodže naj v kako daljnja predpostavka važi uslovje cěpov děliteljev za idealy (aksioma ). Ako jest necěly element iz , a element iz , togda jest eksponent takovy, že v redu elementov

elementy sut cěle, a vsi ostale necěle.

Ako by vsi elementy byli cěle, togda by oni zaradi integralnoj zamknjenosti naležali k . Togda by cěp modulov -- gdje označa modul vyvedeny iz , a modul vyvedeny iz -- prěšla v cěp idealov , ktora po predpostavjenju prěryvaje se po konečno mnogih krokah. No togda by, protivno predpostavjenju, bylo konečno i cěly; zato medžu elementami sut necěle. Dalej, vměstě s kakymkoli necělym elementom vse slědujuče sut necěle: bo ako jest cěly, znači v , togda za zadovolja jednačenje

i zato jest takodže cěly. Ako zato jest prvi necěly element, togda -- poněže jest cěly -- i jest iskany eksponent.

Ako specializiramo razširjajuče kolco do polja kvocientov od -- to jest do polja, ktoro nastava adjunkcijo vsih parov elementov -- togda iz togo slěduje:

poslědok . naj bude integralno zamknjeno v svojem polju kvocientov , i v naj važi uslovje cěpov děliteljev za idealy. Ako jest necěly element iz , togda dopusča predstavjenje kako kvocient elementov iz ,

takovo, že takodže jest necěly.

Postavimo s . Togda v redu prva dva elementa sigurno sut cěle, zato , gdje označa eksponent iz poslědka . Ako postavimo

togda i jest necěly.

Tranzitivny zakon integralnoj zamknjenosti imaje slědujuču formu: ako jest ljubo kolco iz , i označa sistem vsih elementov iz , cělyh vzhodno k , togda sostojit takodže iz vsih elementov iz , cělyh vzhodno k . Bo vsaky element, cěly vzhodno k , jest takodže cěly vzhodno k po tranzitivnom zakonu v punktu 3, i zato naleži k .

2. Uslovja cěpov v konečnyh modulnyh oblastjah

Modulny teorem, po ktorom uslovja cěpov se prěnoset, v tut danej upotrěbě nastupaje samo za moduly razširjajučego kolca. Ale poněže dokaz v slučaju občej modulnoj oblasti ostavaje toj samy, taka oblast bude položena v osnovu.

Sistem elementov nazyvaje se modulna oblast vzhodno k kolcu , ako v dane sut dvě operacije, ktore jednoznačno vedut k elementam iz : aditivno spojanje elementov i množenje elementov s elementami iz ; ako vzhodno k složenju tvori abelovu grupu, dokole za množenje jest ispolnjen asociativny zakon; i ako distributivny zakon važi v oběh formah.

Za modulnu oblast očitno ostavajut validne vse definicije modulov dane v §1, 1, ktore ne odnoset se k množenju. Osoblivo nazyvaje se konečna modulna oblast, ako obstaja konečno mnogo elementov iz tako, že jest ravno modulu vyvedenomu iz , znači sistemu vsih linearnyh form , ako v eksistuje jediničny element, dokole inače prihodet ješče dodatne členy .

teorem. Naj bude konečna modulna oblast vzhodno k komutativnomu kolcu s jediničnym elementom, i naj v važi uslovje cěpov děliteljev odnosno uslovje cěpov kratnyh za idealy. Togda v važi uslovje cěpov děliteljev odnosno uslovje cěpov kratnyh za moduly.

Dokaz opiraje se na to, že vsakomu modulu iz jednoznačno prirědžuje se sistem konečno mnogih idealov iz tako, že vlastnomu dělitelju odnosno vlastnomu kratnomu modula vsegda odgovarja najmenej jeden vlastny dělitelj odnosno vlastno kratno medžu idealami.

Element iz nazyvaje se elementom dlžiny , ako može byti predstavjen najmenej jednym načinom kako linearna forma v , ale ne dopušća predstavjenja kako linearna forma v . Ljubomu modulu iz teper prirědimo idealov iz : pod razuměje se modul vsih elementov iz dlžiny , a označa sistem vsih koeficientov pri v . Najprvo slěduje:

Ako jest vlastny dělitelj od , a sut idealy prirědžene , togda medžu jest najmenej jeden vlastny dělitelj odpovědajučego . Bo iz slěduje i zato za . Po predpostavjenju v morajut byti elementy, ktore ne sut vsebovane v , znači takodže take najmanjše dlžiny . Togda stava vlastny dělitelj od ; bo , , ako

jest taky element najmanjše dlžiny iz . Ako by , to by slědovala eksistencija elementa

i zato eksistencija elementa , , menšej dlžiny než .

Naj teper bude dana cěp děliteljev odnosno kratnyh

i naj v važi uslovje cěpov děliteljev odnosno kratnyh. Ako označajut idealy prirědžene , togda redy

tvoret cěpi děliteljev odnosno kratnyh za . Zato po predpostavjenju obstaja indeks taky, že ideal jest ravny vsim slědujučim za vsako . No togda modul po gore dokazannom jest ravny vsim slědujučim modulam, i s tym uslovja cěpov sut prěnesene.

Iz togo neposrědnje slěduje:

ědok modulnogo teorema. Ako v važi uslovje cěpov kratnyh modulo vsaky ideal različny od nulovogo ideala, togda v važi uslovje cěpov kratnyh modulo vsaky modul , čiji prirědžene idealy vsi sut različne od nulovogo ideala. Bo pod tymi predpostavjenjami cěpi kratnyh prěryvajut se po konečno mnogih krokah.

primětka. Ako jest kolco bez jediničnogo elementa, togda se ješče prěnosi uslovje cěpov děliteljev i uslovje cěpov kratnyh modulo idealy različne od nulovogo ideala. Vzamaje se imenno vměsto sistem vsih elementov formy

ktory znovo prěhodi v , ako dodatne cěločiselne kratne zaměnimo elementami iz . Tomu možno, odpovědajuče kako gore, prirěditi idealov, pri čem označajut idealy iz , a idealy iz cělyh čisel. Poněže za važi uslovje cěpov děliteljev i uslovje cěpov kratnyh modulo vsaky ideal različny od nulovogo, dokaz za uslovje cěpov děliteljev ostavaje validny za i tym samym za , dokole pri uslovju cěpov kratnyh treba zahtěvati, že vseh idealov prirědženyh odnosno sut različne od nulovogo ideala.

3. Prěhod k konečnym razširjenjam polj

Za podredženje čislovyh polj i polj funkcij treba pokazati, kako aksiomy -- , formulovane v uvodu, prěnoset se pri prěhodu k konečnym razširjenjam polj.

1. Naj v budu ispolnjene vse aksiomy -- , izključajuči aksiomu -- uslovje cěpov kratnyh. Naj označa polje kvocientov , a konečno razširjenje polja prvogo roda. Togda v sistemu vsih elementov iz , cělyh vzhodno k , važe te same aksiomy; v vsakom porjadku vsebovanom v važe takodže vse te aksiomy, izključajuči integralnu zamknjenost.

Po §1, 3 sistem tvori kolco, za ktoro važe aksiomy i -- eksistencija jediničnogo elementa i nepojavjenje nulovyh děliteljev. Po zaključku §1, 4 sistem jest integralno zamknjeny v ; jednočasno stava poljem kvocientov , bo vsaky element iz črez množenje s vhodnym elementom iz prěhodi v element iz . Aksioma jest zato ispolnjena.

Dokaz vyhodi iz obyčnyh zaključkov. Kako razširjenje prvogo roda, nastava črez adjunkciju jednogo elementa k , ktory po prědhodnom možno predpostaviti cělym vzhodno k . Pored takodže konjugovane elementy , ktore sut v galuaovom polju nad , sut cěle; zato cěly jest i produkt jih razlik, i kvadrat togo produkta razlik. Poněže sut vse različne, jest nenulovy element iz , a zato zaradi integralnoj zamknjenosti v element iz . Po obyčnom zaključku, zaradi integralnoj zamknjenosti , sistem jest vsebovany v konečnoj -modulnoj oblasti , vyvedenoj iz elementov ; za to treba samo pri predstavjenju elementa iz črez prějti k konjugovanym elementam i razrěšiti linearny sistem jednačenj za koeficienty predstavjenja. Po modulnom teoremu iz §2 uslovje cěpov děliteljev važi za vse -moduly iz , zato osoblivo za vse idealy iz . Takože uslovje cěpov děliteljev važi za idealy libovoljnogo porjadka iz , bo i tut idě o -moduly v ; za vsaky porjadok ale takodže važe aksiomy i .

2. Ako v važe vse aksiomy -- , togda to samo važi v . V vsakom porjadku iz važe ještě vse aksiomy, izključajuči integralnu zamknjenost.

S ohledom na 1 ostava dokazati samo ispolnjenje aksiomy . Po poslědku modulnogo teorema iz §2 dostatočny jest slědujuči dokaz: ako nenulovy ideal iz razmatrivaje se kako -modul v , togda idealy iz prirědžene sut vse različne od nulovogo ideala. Dejansko imaje toj samy konečny linearny rang vzhodno k kako , bo pored libovoljnogo elementa modul sodrži takodže . Zato za vsaky obstaja element iz takovy, že naleži k ; zaradi jednoznačnosti predstavjenja črez -- indeks ma proběgati samo vrědnosti menše od stepenja polja -- naleži k , ktory zato jest različny od nulovogo ideala. To razsmatrjanje ostava validno za vse porjadky togo samogo ranga kako ; za porjadok nižšego ranga prěhodi se k jego polju kvocientov, ktoro kako medžupolje medžu i takodže jest prvogo roda, i jego stepenj vzhodno k sovpada s linearnym rangom porjadka; zato razsmatrjanja ostavajut validne. Nakonec treba primětiti, že porjadok iz , različny od samogo , nikogda ne jest integralno zamknjeny; bo vsaky porjadok obhvača takodže , i pri integralnoj zamknjenosti musil by obhvatiti takodže .

Za podredženje čislovyh polj i polj funkcij dostatočno jest zato dokazati ispolnjenje aksiomov -- za osnovne oblasti: cěle čisla, polinomy jednej neopreděljenoj i funkcionalnu oblast polinomov několiko neopreděljenyh.

3. Za kolco cělyh racionalnyh čisel, odnosno polinomov jednej neopreděljenoj s koeficientami iz polja, važe aksiomy -- . Tut i slědujut ili iz toga, že modulo vsako nenulovo čislo, odnosno taky polinom jednej neopreděljenoj, obstaja samo konečno mnogo, odnosno konečno mnogo linearno nezavisnyh, klasov ostatkov; ili takodže iz fakta, že vsaky ideal stava glavny ideal. Bo iz togo slěduje jednoznačno razloženje idealov kako produkt stepenjev prostyh idealov, i zato nenulovy ideal jest dělimy samo črez konečno mnogo idealov. Aksiomy i očitno važe, poslědnja kako poslědok definicije ravnosti. Integralna zamknjenost slěduje iz toga, že črez jednoznačno razloženje elementov iz v nerazložime elementy do jedinic -- děliteljev jedinice -- vsaky element polja kvocientov, nevsebovany v , može byti predstavjen kako kvocient dvoh vzaimno prostyh elementov iz ; zato nikaka stepenj čislitelja ne jest děljiva črez imenitelj. Taky element zato ne može zadovoliti nikakomu jednačenju, ktoro karakterizuje jego kako cěly vzhodno k .

4. Naj teper označa kolco vsih polinomov několiko neopreděljenyh s koeficientami iz polja abo s cělymi racionalnymi čislovymi koeficientami. Togda aksiomy , , važe kako v 3, bo i tut važi jednoznačno razloženje elementov v nerazložime do jedinic. To, že uslovje cěpov děliteljev jest ispolnjeno, jest neposrědnji poslědok Hilbertovogo teorema o eksistenciji idealnoj bazy; medžutym uslovje cěpov kratnyh tut ne važi.

No črez prěhod k funkcionalnoj oblasti, čto odgovarja ograničenju na idealy najwyššej dimenzije, možno dobiti takodže validnost aksiomy ; validnost togda možno dokazati kako v 3, bez privlěčenja Hilbertovogo teorema. Imenno, adjunguje se k neopreděljena i razmatrivaje se kolco vsih polinomov v s koeficientami iz , pri čem ravnost jest definirana kako ravnost koeficientov. Kako obyčno, polinom iz nazyvaje se primitivny vzhodno k , ako največji obči dělitelj jego koeficientov -- dělitelj v smyslu polinoma iz , ne idealny dělitelj -- jest jedinica iz . Togda vsaky polinom iz jest produkt elementa iz i primitivnogo polinoma iz , a produkt primitivnyh polinomov iz znovo jest primitivny.

Cělokupnost elementov polja kvocientov , ktoryh imenitelji sut primitivne polinomy iz , zato tvori kolco, funkcionalnu oblast od . V toj funkcionalnoj oblasti jedinicami sut vse i samo te elementy, ktoryh čislitelj i imenitelj sut primitivne polinomy iz ; vsaky element iz zato možno jednoznačno predstaviti kako produkt elementa iz i jedinice iz . S tym teorem razloženja elementov iz prěnosi se na elementy iz ; za zato pored aksiomov i važi takodže kako v 3.

Dalje, v vsaky ideal stava glavny ideal. Ideal pored libovoljnogo elementa iz sodrži takodže element iz , dobiveny iz njega množenjem s jedinicoju; a pored libovoljnyh dvoh elementov iz sodrži takodže jih največji obči dělitelj. Bo pored i k idealu naleži takodže , a zato takodže , ako i sut vzaimno proste i jih linearna kombinacija zato stava jedinica. Ako se zato začne od libovoljnogo elementa ideala, i ako v idealu jest element ne dělimy črez njega, togda največji obči dělitelj takodže naleži k idealu i stava vlastny dělitelj od ; konečno mnogo kratno povtorjenje zato vodi k bazovomu elementu ideala, i ideal jest poznany kako glavny ideal. S tym v važi jednoznačno razloženje idealov kako produkty stepenjev prostyh idealov, odgovarajuče razloženju elementov iz ; i iz togo slěduje kako v 3 ispolnjenje aksiomov i . Pri razširjenjah polja kvocientov , ktore tut prihodet v razsmatrjanje, idě samo o take, ktore možno poroditi adjunkcijeju elementa iz . S ohledom na 1 i 2 tym jest poznana validnost aksiomov -- za čislove polja i polja funkcij.

4. Teoremy o izomorfiji. Direktne sumy

V slědujučem predpostavlja se samo kolcevo, odnosno modulno svojstvo, ale nikaka druga aksioma.

1. Ako i sut modulne oblasti vzhodno k (§2), togda nazyvaje se homomorfny k (točnije: modulno-homomorfny), , ako vsakomu elementu iz odpovědajuči jest jeden i samo jeden element iz tako, že tym jest vyčerpany; i ako pri toj odpovědanju razlika i množenje tym samym elementom iz odpovědajuči sut jedno drugomu. To jest, iz i vsegda slěduje:

Zato -modulu iz homomorfno odpovědajuči jest -modul iz ; a cělost elementov iz , ktorym odpovědajuči sut elementy -modula iz , tvori v modul , jednoznačno opreděljen črez , asociovany s , pri čem . Ako osoblivo jest modul, asociovany s nulovym elementom iz , togda jest dělitelj i razpada se na klasy elementov iz , kongruentnyh modulo , tako že te klasy vzaimno jednoznačno odpovědajuči sut elementam iz . Ako se prějde od v k v , a potom nazad k , dobiva se , to jest največši obči dělitelj i ; zato , ako jest dělitelj .

Ako odpovědanje medžu elementami iz i jest obratno jednoznačna, oblasti nazyvajut se izomorfne (točnije: modulno-izomorfne), .

Ako jest libovolny -modul iz , togda nastava modulna oblast , homomorfna k -- modul klasov ostatkov -- kogda kongruencija po modulu pojmaje se kako nova relacija ravnosti. Vsakomu elementu iz pri tom prirědžujut se vse i samo te elementy, ktore sut ravne jemu v . Prěhod v od definicije ravnosti k identitetě znači, že vse ravne elementy v sobirajut se v jednu klasu -- ostatkovu klasu -- i te ostatkove klasy pojmajut se kako nove elementy .

Vsaky homomorfizm nastava prěhodom k modulu klasov ostatkov; bo ako , i ako jest modul asociovany s nulovym elementom iz , togda, kako pokazano vyše, jest izomorfny k modulu klasov ostatkov .

2. Prvy teorem o izomorfiji. Ako označa modul klasov ostatkov , i ako jest dělitelj , togda važi izomorfizm

Bo kongruencija po modulu jest jednočasno kongruencija po modulu ; elementy ravne po modulu ostavajut ravne po modulu . Zato možno tvoriti modul klasov ostatkov -- to jest ravnost po modulu -- tako, že se najprvo elementy izjednačujut po modulu , tedy prěhodi se k , i medžu nimi sobirajut se te, ktore sut ravne po modulu ; v to odpovědajuči jest izjednačenju po modulu , tedy tvorjenju .

Drugi teorem o izomorfiji. Ako i sut moduly iz , togda važi izomorfizm

Bo po 1. stava homomorfny k , ako položi se ravnym ; a poneže pri tom nulovomu elementu v odpovědajuči sut vse elementy iz i samo oni, vyše dany izomorfizm znovo slěduje iz 1.

3. Ako i sut (komutativne) kolca, togda nazyvaje se homomorfno k (točnije: kolcevo-homomorfno), , ako vsakomu elementu iz odpovědajuči jest jeden i samo jeden element iz tako, že tym jest vyčerpano, i ako pri toj prirědbě razlike i produkty odpovědajuči sut jedno drugomu. Ako odpovědanje elementov jest obratno jednoznačna, kolca nazyvajut se izomorfne (točnije: kolcevo-izomorfne), .

Vse razsmatrjanja iz 1. i 2. ostavajut validne, ako moduly zaměniti idealami v , i ako pojem modulnogo homomorfizma i modulnogo izomorfizma zaměniti kolcevym homomorfizmom i kolcevym izomorfizmom. Osoblivo, ako jest dělitelj , kolco klasov ostatkov nastava, kogda kongruencija po modulu uvodi se kako nova relacija ravnosti; pri tom treba iměti v vidu, že teper sut definirane takodže produkty ostatkovyh klasov.

Togda jest homomorfno k ; vsaky homomorfizm nastava na toj način, i teoremy o izomorfiji važe kako v 2:

Prvy teorem o izomorfiji. Ako označa kolco klasov ostatkov , i ako jest dělitelj , togda v smyslu kolcevogo izomorfizma.

Drugi teorem o izomorfiji. Ako i sut idealy iz , togda važi kolcevy izomorfizm:

4. V slědujučem budut sobrané računske pravila za vzaimno proste idealy, iz ktoryh v 5. budut slědovati teoremy o direktnyh sumah. V komutativnom kolcu predpostavlja se eksistencija jediničnogo elementa množenja. Zato za vsaky ideal iz , kde pod razuměje se jediničny ideal. Dva idealy nazyvajut se vzaimno proste, ako jih največši obči dělitelj stava ravny .

4 . Ako , togda . Bo

jest dělimo črez i obratno. Iz togo slěduje:

4 . Iz i slěduje . Bo jest ravnoznačno s ; zato zaradi takodže , ili . Dalej slěduje:

4 . Ako každy iz idealov jest vzaimno prosty s každym iz idealov , togda produkt jest vzaimno prosty s produktom . Bo iz i dobiva se , a konečno povtorjenje daje tvrdženje.

Iz 4 i 4 dobiva se:

4 . Ako idealy sut poparno vzaimno proste, to jest za , togda jih najmenše obče mnogokratno jest ravno jih produktu. Naj , . Togda

poněže , odtud slěduje , a konečno povtorjenje s użyvanjem 4 daje tvrdženje.

4 . Ako idealy sut poparno vzaimno proste, i ako

jest položeno, togda , i zato . Bo po distributivnom zakonu

i zato

iz čego konečnym povtorjenjem pri vhodnom numerovanju slěduje tvrdženje.

Ideal nazyvaje se komplementom v predstavjenju .

5. V komutativnom kolcu znovo predpostavlja se eksistencija jediničnogo elementa množenja. Kolco nazyvaje se direktna suma idealov -- v znakih

ako vsaky element iz možno predstaviti jednym i samo jednym načinom v formě , kde vsaky jest element iz .

Ako nulovy ideal jest najmenše obče mnogokratno poparno vzaimno prostyh idealov , i ako jest komplement , togda jest direktna suma idealov . Bo zaradi vsaky element iz dopustja najmene jedno aditivno predstavjenje črez ; zaradi to predstavjenje jest jednoznačno, bo iz dobiva se . Po drugom teoremu o izomorfiji idealy sut izomorfne k kolcam klasov ostatkov . Važe "ortogonalne relacije" za i ; poslědnje zaradi .

Obratno, ako eksistuje predstavjenje kako direktnoj sumy,

i ako položi se

togda sut poparno vzaimno proste i jih najmenše obče mnogokratno jest ravno nulovomu idealu. Bo iz slěduje za , poněže jest dělitelj . Naj dalje jest dělimo črez vse . Togda

kde vsakokrat . Iz jednoznačnosti predstavjenja, poněže vsakokrat jedna komponenta stava nulova, slěduje za vsako , i tym .

5. Proste idealy i primarne idealy

Naj znovo bude komutativno kolco, za ktoro ne predpostavlja se nikaka daljša aksioma -- ni eksistencija jediničnogo elementa. Sobirajut se osnovne fakty o prostyh i primarnyh idealah.

1. Ideal iz nazyvaje se slaby prosty ideal, ako kolco klasov ostatkov jest kolco bez děliteljev nuly; to jest, ako iz i vsegda slěduje . Ideal iz nazyvaje se silny prosty ideal, ako kolco klasov ostatkov jest kolco bez idealov-děliteljev nuly; to jest, ako iz i vsegda slěduje .

Vsaky silny prosty ideal jest jednočasno slaby prosty ideal, kako pokazuje specializacija do glavnyh idealov. Obratno, vsaky slaby prosty ideal jest takodže silny prosty ideal; zato možno govoriti prosto o prostyh idealah. Nehaj bude slaby prosty ideal; nehaj i ; izberimo elementy i iz i tako, že i . Togda i zato ; slědovateljno jest takodže silny prosty ideal.

2. Ideal iz nazyvaje se slaby primarny ideal, ako v kolcu klasov ostatkov někoj stepen vsakogo dělitelja nuly izčezaje; to jest, ako iz i za vsako vsegda slěduje . Sistem vsih elementov iz , ktore stavajut děliteljami nuly v , tvori ideal, i to prosty ideal; on jest dělitelj i nazyvaje se asociovany prosty ideal. Bo pored děliteljem nuly stava takodže , pored i takodže ; poslědnje zato, že pored i element vsegda stava dělimy črez . Ako nadto ne jest dělitelj nuly, po definiciji nikaky stepen takodže ne jest dělitelj nuly; iz i zato slěduje , i tym .

Ideal iz nazyvaje se silny primarny ideal, ako v kolcu klasov ostatkov někoj stepen vsakogo ideala-dělitelja nuly izčezaje; to jest, ako iz i za vsako vsegda slěduje . Kako pri slabyh primarnyh idealah, pokazuje se: največši obči dělitelj vsih idealov iz , ktore stavajut idealami-děliteljami nuly v , tvori prosty ideal, ktory jest dělitelj , asociovany prosty ideal. Obratno, o vsih primarnyh idealah, ktore imajut toj samy asociovany prosty ideal , govori se, že oni "naležet k ".

Vsaky silny primarny ideal jest jednočasno slaby primarny ideal, kako pokazuje specializacija do glavnyh idealov. V obče ale obratno tvrđenje ne važi. Ako ale v predpostavjena jest aksioma I uslovja cěpov děliteljev, togda vsaky slaby primarny ideal stava jednočasno silny primarny ideal; zato možno govoriti prosto o primarnyh idealah. Nehaj bude slaby primarny ideal; nehaj i za vsako . Togda eksistujut elementy iz i iz tako, že i za vsako ; slědovateljno i zato . Bo ako za vsako iz eksistoval by eksponent , tak že , togda , gde sut eksponenty konečno mnogih bazovyh elementov. To poslědnje razsmatrjanje pokazuje ještě: eksistuje (najmenši) eksponent , tak že , gde označa asociovany prosty ideal; nazyvaje se eksponent od .

3. V slědujučem uslovje cěpov děliteljev znovo ne predpostavlja se. Najmenše obče mnogokratno konečno mnogih idealov nazyvaje se najkrajše predstavjenje, ako nikaky ne vsebuje se v najmenšem občem mnogokratnom ostalyh idealov, to jest ako nikaky ne može byti izpuščeny.

Najmenše obče mnogokratno konečno mnogih slabyh odnosno silnyh primarnyh idealov, naležečih k tomu samomu prostomu idealu , znovo jest slaby primarny ideal s kako asociovanym prostym idealom. Najkrajše predstavjenje črez konečno mnoge slabe odnosno silne primarne idealy, naležeče k različnym prostym idealam, ne jest slaby odnosno silny primarny ideal. Nehaj i nehaj bude asociovany prosty ideal slabyh primarnyh idealov ; togda sostavaje takodže iz cělosti elementov, od ktoryh někoj stepen jest dělimy črez . Iz i za vsako zato slěduje, že i za najmenej jeden indeks ; slědovateljno i tym . Ako elementy povsudu zaměniti idealami, ne možno uže zaključiti .

Nehaj nyně s za bude najkrajše predstavjenje črez slabe primarne idealy, i nehaj . Togda eksistuje najmenej jeden asociovany prosty ideal, napr. , ktory ne vsebuje se v nikakom iz ostalyh; bo vsaka vlastna cěp kratnyh medžu mora prekinuti se po najviše krokah. Zato eksistujut elementy iz tako, že i . Ako dalej jest element iz , togda , ale nikaky stepen ne jest dělimy črez , bo inače slědovala by děliteljnost črez ; zato ne jest slaby primarny ideal. Ako elementy povsudu zaměniti idealami, to jest zaměniti s , a s idealami tak, že

dobiva se dokaz za silne primarne idealy.

4. Modulny i idealny kvocient. Nehaj bude razširjajuče kolco od , i nehaj budu -moduly v . Kvocient definovany jest kako modul, ktory zadovoljaje uslovjam , i iz slěduje ; zato jest "najmenši" modul, za ktory . Tym kvocient jest jednoznačno opreděljen kako največši obči dělitelj vsih modulov , za ktore ; take eksistujut, bo nulovy modul sigurno jest takovy modul.

Iz definicije slěduje: ako jest kratno od , togda jest kratno od . Ako jest kratno od , togda jest kratno od . Važi

Ako razširjajuče kolco sovpada s , modulny kvocient prěhodi v idealny kvocient ; zato i tut važe vyše dane računske pravila. Z tut ještě slěduje .

5. Ako , togda nazyvaje se prost vzhodno k . Ideal jest zato prost vzhodno k togda i samo togda, ako iz vsegda slěduje . Iz računskih pravil pod 4 slěduje: ako i sut proste vzhodno k , togda jih produkt i jih najmenše obče mnogokratno sut takodže proste vzhodno k . Ako jest prost vzhodno k i prost vzhodno k , togda i nazyvajut se vzaimno proste v tom smyslu. Iz 4, 4 , slěduje: ako i sut vzaimno proste kako dělitelji, togda oni sut takodže vzaimno proste v tom smyslu.

6. Teorija idealov pri uslovju cěpov děliteljev

V osnovu nehaj bude položeno (komutativno) kolco , za ktoro aksioma I uslovja cěpov děliteljev jest izpolnjena; dalje vsegda nehaj bude položen fiksovany dobry porjadok vsih elementov iz . Tym samym dany jest takodže dobry porjadok vsih idealov iz . Napravdu, dvě predpostavky odmah daju, že vsaky ideal iz imaje bazu ideala, sostavjenu iz konečno mnogih elementov. Ako se zato od dobrogo porjadka elementov iz prehodi do kvazi-leksikografičnogo porjadka vsih konečnyh podmnožstv , i vsakomu idealu kako vyznačenu bazu prirědi se prva medžu raznymi možnymi bazami v dobrom porjadku konečnyh podmnožstv, togda skupaj s konečnymi podmnožstvami dobro uporjadkovane sut takodže idealy.

Teorema I. Pri uslovju cěpov děliteljev vsaky ideal iz dopušča predstavjenje kako najmenše obče mnogokratno konečno mnogih nerazložimyh idealov, t.j. idealov, ktore ne možno predstaviti kako najmenše obče mnogokratno dvoh vlastnyh děliteljev.

Za dokaz treba pokazati: ako teorema I ne jest izpolnjena za ideal , togda imaje vlastny dělitelj, za ktory teorema I takodže ne jest izpolnjena; iz togo možno, protiv predpostavljenomu uslovju cěpov děliteljev, skonstruovati cěp děliteljev, ktory ne prěryvaje se v konečnom času. Napravdu mora byti razložimy, bo inače by dalo potrěbno predstavjenje. Ako , togda teorema I ne može Jednočasno važiti za i , bo inače odgovarjajuče predstavjenje by slědovalo za . Znači, sut vlastne dělitelji od , za ktore teorema I ne jest izpolnjena; nehaj bude prvi medžu nimi v dobrom porjadku idealov. Konstruujuči podobno iz vlastny dělitelj , i obče iz vlastny dělitelj , dobiva se dobro opreděljen cěp děliteljev, ktory ne prěryvaje se v konečnom času, protiv predpostavky.

Zaradi predpostavljenogo uslovja cěpov děliteljev možno po 5, 2 govoriti prosto o primarnyh idealah. Svęz medžu primarnostju i nerazložimostju daje:

Teorema II. Pri uslovju cěpov děliteljev vsaky nerazložimy ideal jest primarny; inymi slovami, vsaky neprimarny ideal jest razložimy.

Kogda pri prehodu do kolca klasov ostatkov zaradi homomorfije uslovje cěpov děliteljev ostava sačuvano, kogda predstavjenju kako najmenšego občego mnogokratnogo odgovarja predstavjenje nulovogo ideala, i kogda zaradi prvoj teoremy izomorfizma ( 4, 3) primarnym děliteljam od znovo odgovarjajut take v i obratno, možno ograničiti se na razloženje nulovogo ideala v kolcu klasov ostatkov. Poněže ono jest kolco toj samej obćnosti, možno od početka predpostaviti, že ideal za razloženje jest nulovy ideal od .

Nehaj zato nulovy ideal od ne bude primarny, tako že eksistuje najmenej jedna para idealov , pri čem možno još predpostaviti kako glavny ideal, taka, že

Nehaj bude obrazovan, po predpostavce v konečnom času prěryvajuči se, cěp děliteljev idealnyh kvocientov:

nehaj napr. bude raven vsim slědujučim idealam togo cěpa; znači , ili jest prost vzhodno k . Dalej kako dělitelj od različny jest od nulovogo ideala, takodže za vsaky eksponent . Za dokaz teoremy II zato dostatočno jest pokazati predstavjenje

Po definiciji jest

zato ostava samo pokazati:

To slěduje iz predpostavok, že jest glavny ideal i jest prost vzhodno k . Vsaky element iz zaradi děliteljnosti črez dopušča predstavjenje, pri čem razuměje se kako symbol cělovo čisla,

gde nyně znovo označaje element iz . Iz slěduje zato i tym zaradi . Tym ale i teorema II jest dokazana.

Teorema III. Pri uslovju cěpov děliteljev vsaky ideal dopušča najkrajše predstavjenje kako najmenše obče mnogokratno konečno mnogih največših primarnyh komponent, naležečih k različnym prostym idealam.

Aby dojti do takogo predstavjenja, treba samo, kogda god možno, po teoremě I eksistujuče predstavjenje črez nerazložime, znači po teoremě II primarne idealy, zaměniti s najkrajšim predstavjenjem. Ako primarne idealy, naležeče k jednakym prostym idealam, sobirajut se skupaj, iskano predstavjenje slěduje po 5, 3. Primarne komponenty možno nazvati največšimi, bo najmenše obče mnogokratno kojihkoli medžu nimi uže ne jest primarno.

7. Teorija idealov pri dvojnom uslovju cěpov

Uproščenja v poravnanju s do nyně razvitoju teorijeju opiraju se na pomočne tvrdženja, ktore budut dane pod 1 i 2.

1. Ako v komutativnom kolcu bez děliteljev nuly izpolnjeno jest uslovje cěpov kratnyh, togda kolco jest takodže polje. Treba pokazati, že za jednačenje vsegda imaje rěšenje v kolcu. Že ono ne može iměti više než jedno rěšenje, slěduje iz predpostavky, že kolco jest bez děliteljev nuly.

Nehaj bude glavny ideal, vyvedeny iz . Po predpostavce red stepenjev prěryvaje se v konečnom času; nehaj napr. bude raven vsim slědujučim stepenjam. Ako označaje glavny ideal, vyvedeny iz , togda dobivamo

To daje osobito za element predstavjenje, pri čem razuměje se kako symbol cělovo čisla,

gde znovo jest element iz . Poněže po predpostavce ne eksistujut dělitelji nuly, iz togo slěduje , čime dokazano jest svojstvo polja.

2. Iz 1 neposrědnje slěduje pomočno tvrdženje: ako v komutativnom kolcu izpolnjeno jest uslovje cěpov kratnyh, togda prosty ideal ne imaje vlastnogo dělitelja različnogo od .

Takodže slěduje dodatek: ako izpolnjena jest samo aksioma II, uslovje cěpov kratnyh modulo vsaky ideal različny od nulovogo ideala, togda vsaky prosty ideal različny od nulovogo ideala ne imaje vlastnogo dělitelja različnogo od .

Bo kolco klasov ostatkov po prostom idealu po definiciji stava kolcom bez děliteljev nuly; i poněže zaradi homomorfije tut takodže izpolnjeno jest uslovje cěpov kratnyh, po 1 ono jest polje. Zaradi jedno-jednoznačnogo odgovarjanja medžu děliteljami od i idealami v kolcu klasov ostatkov zato ne imaje vlastnogo dělitelja različnogo od .

Teorema IV. Ako v komutativnom kolcu izpolnjeno jest dvojno uslovje cěpov, togda v vsakom najkrajšem predstavjenju ideala jednoznačno opreděljene sut te primarne komponenty, ktore ne naležat k jediničnomu idealu .

Dodatek. Pri predpostavce aksiom I i II teorema IV važi za vsaky ideal različny od nulovogo ideala.

Nehaj

budut najkrajša predstavjenja od črez največše primarne komponenty, i nehaj odnosno budut asociovane proste idealy. Pri tom odnosno treba izpustiti, ako ne nastupaje nikaky primarny ideal naležeči k . Zaradi

vsaky mora vhoditi v někoj , znači po pomočnom tvrdženju byti identičny s nim. Odgovarjajuče soglasujut se takodže obratno nastupajuče proste idealy. Dalej prostost ostalyh faktorov daje vzaimnu děliteljnost odgovarjajučih primarnyh komponent. Naposlědku, ako -komponenta opravdu nastupaje, togda to mora byti v obah najkrajših predstavjenjah. Tym jednoznačnost jest pokazana; dokaz pokazuje takodže, že vsako predstavjenje bez primarnoj komponenty naležečej k uže jest najkrajše.

3. Ako k predpostavce dvojnego uslovja cěpov dodaje se još eksistencija jediničnogo elementa, teorema IV zaostrjaje se do teoremy V.

Teorema V. Ako v komutativnom kolcu s jediničnym elementom izpolnjeno jest dvojno uslovje cěpov, togda vsaky ideal možno jednoznačno predstaviti kako produkt konečno mnogih poparno vzaimno prostyh primarnyh idealov.

Dodatek. Pri predpostavce aksiom I, II, III teorema V važi za vsaky ideal različny od nulovogo ideala.

Zaradi eksistencije jediničnogo elementa stava , i tym vsaky primarny ideal naležeči k stava ravny , zato ne može nastupati v najkrajšem predstavjenju ideala različnogo od . Zato po teoremě IV primarne komponenty sut jednoznačno opreděljene. Jednočasno vsako predstavjenje črez izpuščenje stava najkrajše. Dva različne proste idealy po pomočnom tvrdženju pod 2 sut vsegda vzaimno proste; zato to samo važi za primarne komponenty, i najmenše obče mnogokratno stava produkt.

Iz predpostavok dalej slěduje: v komutativnom kolcu s jediničnym elementom i dvojnym uslovjem cěpov, izključno jediničny ideal, vse i samo te proste idealy sut proste vzhodno k idealu , ktore ne vhodet v . Pojmy prostosti vzhodno k i vzaimnoj prostosti sovpadajut.

Ako ne vhodi v , togda on jest različny od vsih prostyh idealov naležečih k i zato stava prost vzhodno k vsakoj primarnoj komponentě i k ; Jednočasno on stava vzaimno prosty s vsakoj primarnoj komponentoju i tym s . Ako protivno vhodi v , togda on mora sovpadati s jednym iz asociovanyh prostyh idealov. Ako on naleži k komponentě , togda stava vlastny dělitelj od ; črez jednoznačnu razložimost togda takodže produkt dělimy črez stava vlastny dělitelj od . Zato ne jest prost vzhodno k .

8. Teorija idealov pri integralnoj zamknjenosti v polju kvocientov

Do sego razvita teorija idealov teper ima byti zaoštrjena do obyčnoj formy dodanjem dvuh poslědnjih aksiomov.

1. Pomočny teorem. Naj bude komutativno kolco bez nulovyh děliteljev s jediničnym elementom, i naj v bude predpostavljeno uslovje cěpov děliteljev (aksiomy I, III, IV). Togda iz i vsegda slěduje . Znači,

za vse idealy različne od nulovogo i jediničnogo idealov.

Dokaz vyhodi kako pri pomočnom teoremu §1, 3, bo možno razsmatrjati kako konečny modul vzhodno k . Ako označa bazu ideala , ktora obstaja po I, togda iz slěduje sistem jednačenj

Poněže jest predpostavljeno bez nulovyh děliteljev, iz togo slěduje , kde za , a . Iz jednačenja

slěduje ale , i zato .

2. Teper ostava samo dokazati, že po dodanju predpostavky integralnoj zamknjenosti v polju kvocientov (aksioma V) k aksiomam I--IV vsaky primarny ideal različny od nulovogo ideala stava stepenju svojego asociovanogo prostogo ideala. Jednoznačnost slědujučego predstavjenja

za vse idealy različne od nulovogo ideala uže jest dokazana teoremoju V i pomočnym teoremom pod 1; jednočasno jest pokazano, že ty proste idealy ne imajut vlastnogo dělitelja različnogo od jediničnogo ideala. Dokaz bude najprvo proveden za eksponent dva s upotrěboju Dedekindovogo poslědka II (§1, 4), a v obče črez polnu indukciju.

Pomočny teorem. Pri predpostavce aksiomov I--V ne obstajut drugi primarne idealy eksponenta dva osim .

Treba dokazati, že iz

nužno slěduje . Naj zato bude

Togda iz pomočnogo teorema §7, 3 slěduje, že stava vlastnym děliteljem . Zato obstaja element takovy, že

Tym ne jest cěly, to jest naleži k polju kvocientov, ale ne k . Treba dokazati ; iz togo slěduje, poněže jest primarny i naleži k , že .

Po Dedekindovom poslědku II obstajut elementy iz take, že

i takodže ne jest cěly, to jest

Množenje s daje

poslědnje, bo idě o kolco bez nulovyh děliteljev. Iz togo slěduje

zbog i ; poslědnje znovu po pomočnom teoremu §7, 3, bo jest vlastny dělitelj . Četyri relacije

davajut . Dejateljno, poněže jest primarny, najprvo dobivamo , i zato iz slěduje . Tym pomočny teorem jest dokazany.

3. Pomočny teorem. Pri predpostavce aksiomov I--V ne obstajut drugi primarne idealy eksponenta osim .

Pomočny teorem slěduje iz pomočnogo teorema pod 2 bez daljnjego upotrěbljenja aksiomov. Za dokaz treba najprvo pokazati:

za vsako . Po pomočnom teoremu pod 2 imamo . Ako zato predpostavimo

togda črez množenje s po distributivnom zakonu slěduje

Dokazujemny pomočny teorem možno privesti k slědujučej drugoj formě:

implikuje

Bo zaradi i po pomočnom teoremu pod 1 vtoro uslovje jest ispolnjeno. Konečno kratno upotrěbljenje toj drugoj formy daje i s tym .

Iz predpostavky drugoj formy, s ohledom na predstavjenje , za vsaky element iz slěduje:

ili, ravnoznačno,

Poněže jest primarny, iz togo slěduje

i s tym .

4. Sumarno dobivamo:

Teorema VI. Ako v komutativnom kolcu važe aksiomy I--V, togda vsaky ideal različny od nulovogo i jediničnogo idealov možno jednoznačno predstaviti kako produkt stepenjev konečno mnogih prostyh idealov različnyh od nulovogo i jediničnogo idealov; ty proste idealy ne imajut vlastnogo dělitelja različnogo od jediničnogo ideala.

9. Aksiomy kako poslědok predpostavjenogo razloženja

Da by iz eksistencije obyčnogo razloženja idealov, ktoro po teoremě VI slěduje iz aksiomov I--V, možno bylo takodže obratno vyvesti ty aksiomy, treba predpostaviti razloženje v slědujučej formě.

Predpostavka. V komutativnom kolcu vsaky ideal, ne vyvedeny iz nulovogo ili jediničnogo elementa, jednoznačno jest predstavimy kako produkt stepenjev prostyh idealov. Ty proste idealy sut jednostavne idealy, ne vyvedene iz jediničnogo elementa, t.j. ne imajut vlastnogo dělitelja različnogo od ; obratno, vse jednostavne idealy sut proste idealy. Jednoznačnost ima važiti v točnoj formě:

za vsaky ideal ne vyvedeny iz nulovogo ili jediničnogo elementa.

Eksistencija jediničnogo elementa pri tom ne jest predpostavjena. Ako jediničny element ne obstaja, uslovje "ne vyvedeny iz jediničnogo elementa" ne predstavlja ograničenja.

1. Dokaz aksioma III. Nehaj aksiom III ne važi. Treba pokazati, že stava jednostavnym idealom, no ne jest prosty ideal. Po predpostavce točnoj jednoznačnosti imajemo ; zato , ale , i tak ne jest prosty ideal. No jest jednostavny: ne može biti dělimy nikakym prostym idealom različnym od , i zato po predpostavjenom produktnom predstavjenju ne imaje děliteljev različnyh od ili .

2. Dokaz aksioma IV. Ako jest nulovy dělitelj, t.j. , ale i , togda množenje predstavjenj glavnyh idealov vyvedenyh iz i daje

gdě sut različne od nulovogo i jediničnogo idealov. Predstavjenje predpostavjamo kako najkratše v tom smyslu, že vynešenje ljubogo faktora daje vlastny dělitelj nuly. Ako v tom predstavjenju nastupaje samo jeden prosty ideal, togda

protiv točnomu zahtěvu jednoznačnosti. Ako nastupaje više než jeden prosty ideal, togda vyhodi

bo zbog eksistencije jediničnogo elementa jest vzaimno prosty so vsimi ostalymi prostymi idealami. Zato i tu nastaje protivrěčje točnomu zahtěvu jednoznačnosti.

3. Dokaz aksiomov I i II. Predpostavky davajut za vsaky ideal različny od nulovogo ideala: iz dělimosti slěduje produktno predstavjenje. Ako

i jest dělitelj , togda v produktnom predstavjenju nastupajut samo take proste idealy, ktore sut identične s , a eksponenty ležat medžu i . Zato obstaja samo konečno mnogo děliteljev , odgovarjajučih kombinacijam . Tym v kolcu ostatkovyh klasov po važi dvojno uslovje cěpov. Tako sut aksiomy I i II dokazany; uslovje cěpov děliteljev važi takodže v samoj , bo vsaky vlastny dělitelj nulovogo ideala jest različny od nulovogo ideala.

4. Kolco ostatkovyh klasov po vsakom idealu različnom od nulovogo ideala jest kolco glavnyh idealov. Ideal možno predpostaviti različnym od jediničnogo ideala. Ako ideal jest primarny, , i ako , ale , togda iz 3 slěduje, že s . Zato

i v kolcu ostatkovyh klasov po primarnom idealu vsaky ideal stava glavny ideal. V obče, pri

i odgovarjajučem predstavjenju kolca ostatkovyh klasov kako direktnoj sumy

jest izomorfny k , i slědovateljno vsaky ideal iz jest glavny ideal. Ako jest proizvoljny ideal kolca ostatkovyh klasov, togda jest glavny ideal ; vyhodi

Bo zbog i zbog glavne idealy i iz sovpadajut.

Taj teorem dopušča još slědujuču formu: ako jest proizvoljny ideal, možno jego prěobraziti v glavny ideal množenjem s idealom vzaimno prostym s danym idealom . Bo ako položimo , togda modulo stava glavny ideal, t.j.

zato i .

5. Teorija drobnyh idealov. Drobny ideal označa vsaky konečny -modul v polju kvocientov .

Konečne -moduly iz , različne od nulovogo modula, tvore Abelovu grupu vzhodno k množenju.

Produkt dvaju konečnyh -modulov jest znovu konečny -modul; množenje jest asociativno i komutativno; poněže , jediničny ideal jest jediničny element sistema. Ostaje samo pokazati, že jednačenje

vsegda imaje rěšenje v sistemu konečnyh -modulov.

Predběžna opomba. Ako jednačenje imaje jedno i samo jedno rěšenje, togda jest rovny modulnomu kvocientu (§5, 4). Bo

Nehaj najprvo jest glavny modul, ; togda jest rěšenje , i jest znovu konečny -modul. Iz toga slěduje: vsaky konečny -modul jest modulny kvocient dvaju idealov iz , čto opravdava nazvanje drobny ideal. Bo nehaj jest baza modula , nehaj , i nehaj jest ideal v vyvedeny iz . Togda , odkuda po predběžnoj opombě slěduje .

Rěšenje možno nyně dati obče. Nehaj , i nehaj jest izbrany tako, že jest rovny glavnomu idealu . Togda

Pri tom , kako kvocient ideala črez glavny ideal, jest znovu konečny -modul. Iz grupovej vlastnosti slěduje još, že modulny kvocient kakihkoli dvaju idealov , kako rěšenje jednačenja , jest konečny -modul.

6. Iz grupovej vlastnosti slědujut daljše poslědky.

6 . Možno jest skračivati; iz slěduje , i obratno. Bo iz slěduje , i obratno.

6 . Vsaky drobny ideal dopušča predstavjenje , gdě i sut vzaimno proste; tym uslovjem i sut jednoznačno opreděljene.

6 . Vsaky glavny modul vyvedeny iz necělogo elementa dopušča predstavjenje kako kvocient glavnyh idealov tako, že nijedna stepenj čislitelja ne jest dělima imenovateljem. Nehaj v skračenom predstavjenju , gdě ; nehaj i . Togda

i poněže takodže stava glavny ideal, vyhodi

No nijedna stepenj od ne jest dělima črez , zaradi i .

7. Dokaz aksioma V. Iz 6 slěduje, že vsaky necěly element iz dopušča kvocientno predstavjenje

tako, že v nijedna stepenj čislitelja ne jest dělima imenovateljem. Taky element zato ne može zadovoliti nikako jednačenje, ktoro jego harakterizuje kako cěly vzhodno k ; bo iz

slěduje v .

8. Poslědok. Ako v komutativnom kolcu važe aksiomy I--IV i vsaky primarny ideal jest nerazložimy, togda važi takodže aksiom V. Zbog aksiomov I--III vsaka stepenj prostogo ideala jest jednočasno primarny ideal; osoblivo to važi za , i po predpostavce on jest nerazložimy. Iz toga treba dokazati

bo togda po pomočnom teoremu §8, 3 slěduje, že vsaky primarny ideal stava stepenju prostogo ideala, čto vměstě s drugymi predpostavkami po 7 vleče integralnu zamknjenost.

Po uslovju cěpov děliteljev vyhodi

pri čem kako množitelji vhodet v razsmatrenje samo ostatkove klasy po , i pri čem možno predpostaviti linearno nezavisnymi vzhodno k polju ostatkovyh klasov po . Iz toj linearnoj nezavisimosti ale za slěduje predstavjenje

tako že i stavajut vlastnymi děliteljami . To protivrěči nerazložimosti. Zato jest dokazano.

9. Ako v kolcu dopustet se nulove dělitelje, togda iz aksiomov I--III i integralnoj zamknjenosti v kolcu kvocientov ne slěduje, že vsaky primarny ideal stava nerazložimy.

Nehaj jest kolco, v ktorom važe vse aksiomy I--IV osim integralnoj zamknjenosti. Po poslědku 8 v obstajajut razložime primarne idealy ; nehaj označa vlastny mnogokratnik , a ostatkovo kolco . V važe aksiomy I--III, i jednočasno važi integralna zamknjenost v kolcu kvocientov. Bo vsaky element ne dělimy stava vzaimno prosty s , tako že v vse regularne elementy sut jedinice. Zato jest identično so svojim kolcom kvocientov.

10. Dvojno uslovje cěpov i kompozicijny red

V slědujučem bude pokazano, že za proizvoljne modulne oblasti, predpostavjene kako dobro uporjadkovane, predpostavka važnosti dvojnego uslovja cěpov, to jest že vsaka cěp děliteljev i vsaka cěp kratnyh modulov prěryvaje se po konečno mnogih krokah, jest ravnoznačna s predpostavkoju, že obstaja kompozicijny red.

Specializacija modulnoj oblasti do komutativnogo kolca daje odgovarjajuče fakty za sistem vsih idealov kolca; pri tom v punktu 2 vsegda treba zaměniti modulny izomorfizm kolcovym izomorfizmom.

Modulna oblast nazyvaje se prosta, ako v ne obstajut druge -moduly osim samej i nulovogo modula . Modul nazyvaje se prosty v , ako jest prosta. Cěp kratnyh

nazyvaje se kompozicijny red dolgosti , ako vse moduly cěpa sut različne i vsaky modul jest prosty v prědhodnom.

1. Ako v predpostavja se važnost dvojnego uslovja cěpov, togda v obstaja kompozicijny red. Iz predpostavjenogo dobrogo porjadka i uslovja cěpov děliteljev, kako v §6, slěduje eksistencija najmanje jednogo modula prostogo v . Imeno, ako jest v dobrom porjadku prvi vlastny dělitelj , a obče prvi vlastny dělitelj , togda dobro opreděljena cěp

prěryvaje se po konečno mnogih krokah i nužno vodi k prostomu modulu. Ako povtoriti taj krok, dostajemo cěp kratnyh

ktora se prěryvaje po uslovju cěpov kratnyh i daje kompozicijny red.

2. Ako v predpostavja se eksistencija kompozicijnogo reda, togda v važi dvojno uslovje cěpov. Dokaz ide črez polnu indukciju; v toku indukcijnogo kroka jednočasno se dostaje teorem Jordan--Hölder.

Nehaj najprvo jest prosta; togda obyčne tvrdženja sut neposrědnje izpolnjene: črez vsaky prosty modul ide kompozicijny red; vse kompozicijne redy imajut jednaku dolgost i izomorfne kvocientne grupy do porjadka; črez vsaky vlastny modul ide kompozicijny red; uslovja cěpov kratnyh i děliteljev važe.

Ty tvrdženja nyně dokazujut se za kompozicijny red

dolgosti , ako one važe za kratše redy. Ako jest drugi modul prosty v , , togda . Ako položimo , drugy teorem o izomorfizmu daje

Iz toga slěduje eksistencija kompozicijnogo reda idučego črez ; porovnanje tako dobivenyh obměnnyh redov daje teorem Jordan--Hölder.

Za proizvoljny modul različny od obrazujemo iz fiksovanogo kompozicijnogo reda red

Po drugom teoremu o izomorfizmu različne členy togo reda sut poslědovateljno proste, zato one tvore kompozicijny red od do . Iz toga slěduje možnost voditi kompozicijne redy črez vsaky vlastny modul. Nakonec, vsaka cěp kratnyh po prěhodu k takomu modulu prěryvaje se po indukciji, i podobno vsaka cěp děliteljev po prěhodu k modulu ostatkovyh klasov. Ekvivalentnost predpostavok, kompozicijny red ili dvojno uslovje cěpov, tym jest dokazana.

Prijeto 13. 8. 1925.