31. Teorem o diskriminantu dlja porjadkov algebraičnogo čislovogo ili funkcijnogo polja

Journal f. d. reine u. angew. Math. 157 (1927), str. 82--104

Dedekindov teorem o diskriminantu, kako jest znano, tvrdi: prosto čislo vhodi v diskriminant polja togda i samo togda, kogda glavny ideal, porodženy tym čislom, jest dělimy najmanje kvadratom prostogo ideala.

V slědujučem pokazujem, že toj teorem ostaje validny za vse konečne porjadky konečnogo algebraičnogo čislovogo polja, t. j. za vsa taka kolca cělyh čisel, ktore obejmajut kolco vsih cělyh racionalnyh čisel, v slědujućem formulovanju: prosto čislo vhodi v diskriminant porjadka togda i samo togda, kogda v idealnom razloženju glavnogo ideala na največe primarne komponenty, validnom v tom porjadku, pojavja se najmanje jeden vlastny primarny ideal, t. j. takovy, ktory ne jest prosty ideal.

Poněže za glavny porjadok, sistem vsih cělyh čisel polja, ne obstajut druge primarne idealy než stepeni prostyh idealov, Dedekindov teorem proizhodi črez specializaciju.

Dokaz teorema črez prěhod k kolcu klasov ostatkov porjadka modulo privodi se k teoriji razloženja onyh kolc, ktore imajut konečny rang vzhodno k polju sadržanom v kolcu; ony tedy tvoret komutativny sistem hiperkompleksnyh veličin s glavnoj jedinicoju i koeficientami iz togo samogo polja. Tu osoblivo kako polje koeficientov vystupaje polje klasov ostatkov cělyh racionalnyh čisel modulo , a razloženju v kolcu klasov ostatkov odgovarja razloženje nulovogo ideala.

Ako tedy tako kolco konečnogo ranga nazyvaje se popolno reducibilnym, kogda jego nulovy ideal može byti predstavjen kako najmenši obči kratnik konečno mnogih prostyh idealov, jde o kriterije popolnoj reducibilnosti. Kako takovy kriterij najprvo dostava se: pri sovršenom polju kako oblasti koeficientov kolco jest popolno reducibilno togda i samo togda, kogda razširjeno kolco s algebraično zatvorjenoju oblastju koeficientov jest popolno reducibilno. Za to razširjeno kolco ale nenulovost diskriminanta jest velmi prosto poznana kako neobhodny i dostatočny kriterij popolnoj reducibilnosti; i poněže diskriminant porjadka modulo vsako prosto čislo prěhodi v diskriminant kolca klasov ostatkov, s tym jest teorem o diskriminantu dokazan.

Ako razgledajut se funkcijne polja vměsto čislovyh polj, porjadok mora teper obejmati osnovnu oblast vsih cělyh racionalnyh funkcij, odnosno pri algebraičnyh funkcijah od više neopreděljenyh ili pri cělyh algebraičnyh funkcijah osnovnu oblast vsih cělyh funkcionalov s cělo-racionalnymi koeficientami. Togda v kolcu klasov ostatkov može nastupiti takože slučaj nesovršenoj oblasti koeficientov, napr. kogda v slučaju cěločislovej funkcionalnoj oblasti jde o kolco klasov ostatkov po prostom čislu. Pri nesovršenom polju kako oblasti koeficientov treba razlikovati proste idealy prvogo i drugogo roda, podle togo jest li polje klasov ostatkov po prostom idealu razširjeno polje prvogo ili drugogo roda, i odpovědajuče razlikovati popolnu reducibilnost prvogo i drugogo roda. Vsi gore navedeni kriteriji odnoset se k popolnoj reducibilnosti prvogo roda, ktora sama nastupaje v sovršenom slučaju; i tym v najobčejšem slučaju teorem o diskriminantu govori, že prosty element osnovnoj oblasti vhodi v diskriminant porjadka togda i samo togda, kogda v idealnom razloženju pojavja se najmanje jedna vlastno primarna komponenta ili prosty ideal drugogo roda.

Taj fakt za glavny porjadok byl najprvo zaměčeny na priměrah od Kronecker, poslě togo kako v Festschrift ješče pogrěšno nahodilo se formulovanje validno za glavny porjadok čislovogo polja, hoti bez provedeno dokaza. Za glavny porjadok Ostrowski dal dokaz vyše navedenoho teorema o diskriminantu i dalje teoremy razvětvenja povezane s nim; Jednočasno tamo nahodi se podrobny pregled literatury. Nakonec kako direktno slědstvo proizhodi teorem o diskriminantu za vse porjadky relativnyh polj, imeno črez prěhod k kolcu kvocientov vzhodno k vsakomu prostomu idealu osnovnoj oblasti. Mysl togo prěhoda, znana v specialnom slučaju, byla principialno podčrknjena od W. Krull; sistematičnu teoriju kolca kvocientov v ramkah obćejših izslědovanj daje H. Grell.

Ravnoměrno razgledanje vsih porjadkov dano tu, i sovršenej i nesovršenej oblasti koeficientov, opiraje se, pokraj znanja teorije idealov, na to, že od samogo početka za osnovu vzęta jest teorija kolc konečnogo ranga i s tym obči pojem konečnogo razširjenja, a ne pojem razširjenja porodženogo primitivnym elementom. Modulna baza porjadka, s relacijami medžu jej elementami, tedy zaměnjuje stepeni primitivnogo elementa polja i definujuče uravnenje, odnosno stepeni fundamentalnoj formy i fundamentalnogo uravnenja.

Taka modulna baza modulo vsakogo prostogo elementa osnovnoj oblasti prěhodi v bazu kolca klasov ostatkov, medžutym to ne mora iměti město uže za glavny porjadok pri bazi iz stepenov primitivnogo elementa; takože ne pri bazi iz stepenov fundamentalnoj formy, skoro jde o cěle algebraične funkcije několiko neopreděljenyh. Drugymi slovami: kolco klasov ostatkov polinomnoj oblasti jednej neopreděljenej, s koeficientami iz osnovnoj oblasti, po libovoljnom definujučem uravnenju ili takože po fundamentalnom uravnenju ne mora modulo byti izomorfno kolcu klasov ostatkov glavnogo porjadka po ; v tom prěstavanju izomorfizma ležet glavne težkosti običnyh predstavjenj. Poněže ta pomočna polinomna oblast tu ne nastupaje, te težkosti sut s tym samy soboju obhodžene; Jednočasno aditivna teorija razloženja kolca klasov ostatkov može se ponimati kako ekvivalent multiplikativnogo razloženja uravnenja, kojemu i tu pri razloženju na vzajemno proste faktory odgovarja aditivno razloženje v polinomnom kolcu klasov ostatkov.

Treba primětiti, že teorem o diskriminantu može predstavjati samo prvi teorem obče teorije razvětvenja porjadkov, podobno kako v glavnom porjadku k teoremu o diskriminantu pristavaje točnejša teorija ideala razvětvenja, ktora tam dopustja točnejše opreděljenje eksponentov. To opreděljenje eksponentov, ktoro opiraje se na predstavjenje primarnyh faktorov uravnenj stepenami, može se tlumačiti kako opreděljenje dolžiny kompozicijnogo reda od do , i pravdopodobno v toj formě nastupi v občej teoriji razvětvenja.

1. Razširjene kolca polj

2. Najprvo podajmo několiko primětok o libovoljnyh kolcah. Ako jest kolco, a sistem elementov iz , togda pod "kolcom izvedenym iz v " razuměje se prěsěk vsih kolc iz , ktore obejmajut . Odpovědajuče definovany jest "ideal izvedeny iz v ", ili " -modul izvedeny iz v ", kogda jest podkolco od .

Ako jest podkolco od i sistem elementov iz , togda kolco izvedeno iz i v označaje se kako kolco , nastalo črez kolcovu adjunkciju k . To kolco sostoji iz vsih polinomov elementov iz s koeficientami iz , pri čem odnosi ravnosti i odnosi operacij sut opreděljeni odnosami ravnosti i operacij v . Po pričině tyh uže opreděljenyh odnosov ravnosti i operacij v specialnom slučaju bude dostatočno tvoriti samo podsistem vsih polinomov, napr. samo vse linearne formy v s koeficientami iz . Taky specialny slučaj nastupaje napr. (srav. 2.), kogda jest kolco s jediničnym elementom, a jest polje s tym samym jediničnym elementom; vse linearne kombinacije , kde sut iz i iz , tvoret kolco .

Ale možno takože, kogda dano jest samo kolco i nadto sistem elementov ne sadržanyh v , s odnosami ravnosti ili takože medžusobnymi odnosami operacij, konstruovati razširjeno kolco , nastalo adjunkciju k . To čini se pokazovanjem, že vsegda obstaja kolco obejmajuče i , imeno formalno stvorjeno iz vsih polinomov v s koeficientami iz , pri ustanovjenju obyčajnyh pravil operacij. Dlja definicije ravnosti, kromě pravil operacij, tu jest možna polna svoboda do ograničenja, že definicije ravnosti validne v i morajut byti obuhvačene. Tedy neobhodno treba stavljati ravnymi samo te polinomy, ktore se, po ravnosti v i i po operacijah, mogut iz ravnyh elementov i tvoriti na ravny način. Tak konstruovano kolco , obejmajuče i , togda jest identično s kolcom izvedenym iz i v .

2. Razširjene kolca polj. Odteper predpolagajut se kolca s jediničnym elementom, ktore sadržet polje kako podkolco, tedy nadkolca polj. Jediničny element od togda jest Jednočasno jediničny element od ; i kolco stava -modul.

Ako jest nadpolje od , razširjeno kolco , nastalo črez kolcovu adjunkciju k , bude objasnjeno slědujuče.

Predpolagaje se, že množinno-teoretičny prěsěk od i jest dany črez , i dalje, že medžu elementami i , ktore ne prinadležet k , ne obstajut odnosi operacij. To predpolaganje može se vsegda dostignuti, zaměnjujuči ekvivalentnym razširjenym poljem od , ili takože ekvivalentnym razširjenym kolcom.

Kako elementy objavjajut se vse formalno stvorjene linearne sočinenja

pri čem prohodet vse elementy iz , a vse elementy iz . Definicija imaje byti jednoznačna, t. j. ako zaměnjajut se ravnymi jim v , a ravnymi jim v , togda i element v imaje byti objavjen ravnym.

Suma definovaje se jednoznačno, t. j. ako summand v ustanovjajemoj definiciji ravnosti zaměni se ravnym, rezultat ostaje ten samy:

Medžu i mogut nastupiti nule, črez čto formalno nastupajut te same .

Produkt definovaje se v tom samom smyslu jednoznačno:

K definiciji ravnosti objavja se: ako sut linearno nezavisne vzhodno k , togda dva elementa

sut ravne togda i samo togda, kogda jest ravno v . Drugymi slovami: elementy iz , linearno nezavisne vzhodno k , objavjajut se linearno nezavisnymi vzhodno k .

Po definicijah sumy i produkta tym samym dana jest definicija ravnosti za vse elementy iz ; imeno iz togo slěduje ih izrazimost črez linearno nezavisne elementy iz . Bo iz relacije

množenjem s po definiciji produkta dostava se

i tym po definiciji sumy izrazimost vsih elementov črez linearno nezavisne iz .

Definicija ravnosti stava tedy, kogda vsi elementi sut izraženi črez linearno nezavisne iz , ravnostju koeficientov v i zato soglasuje se, za elementy prinadležeče Jednočasno k i ili k i , s tamo validnoju ravnostju; medžutym ravnost validna v i za ostale elementy iz ne govori ničto dalje než jednoznačnost potrěbovanu pri definiciji tyh elementov, po predpolaganju o prěsěku i po daljnjem ustanovjenju. Podobno i potrěbovanje jednoznačnosti sumy i produkta ne vleče drugih relacij za soboju, poněže ravne elementy možno smatrjati koeficientno ravnymi, i s tym formalno daju te same izrazy sum i produktov.

Teper se odmah potvrđuje, že vsi aksiomy kolcovoj operacije sut ispolnjene; tedy vsegda obstaja razširjeno kolco , stvorjeno kolcovoju adjunkciju.

3. Idealy v i . Ako jest ideal v , togda modulny produkt stava ideal v , razširjeny ideal od . Jednočasno jest ideal izvedeny iz v ; on sostoji iz vsih linearnyh sočinenj , suma vsegda po konečno mnogih elementah, pri čem prohodet vse elementy iz , a vse elementy iz .

Ako jest ideal v , togda prěsěk stava ideal v , suženy ideal od . Vsaky ideal iz jest suženy ideal, imeno od svojego razširjenogo ideala . Bo vsaky element iz jest formy , kde možno predpolagati linearno nezavisnymi vzhodno k ili . Tedy elementy stavajut linearno zavisne v , i s tym po definiciji ravnosti takože v ; zato prinadleži k . Poněže i obratno važi, stava ravno .

Ako jest prosty ideal v , togda jest prosty ideal v . Bo po drugom teoremu o izomorfizmu kolco klasov ostatkov jest izomorfno podkolcu od , i s tym kolco bez nulovyh děliteljev. Imeno važi kolcovy izomorfizm

gdě pod razuměje se suma, največi obči dělitelj, modulov i .

2. Kolca konečnogo ranga. Predstavjenje kako direktna suma

3. Kolca konečnogo ranga. Ako jest konečny -modul, togda imaje konečny rang, recimo , vzhodno k , t. j. v sut i ne več linearno nezavisnyh vzhodno k elementov, i vsaky sistem od linearno nezavisnyh vzhodno k elementov iz zato tvori modulnu bazu . Ako -modul konečnogo ranga imaje kako dělitelj drugy togo samogo konečnogo ranga, , togda ony sut identične.

Odteper predpolagaje se kako konečnogo ranga vzhodno k . Togda vsaky -modul iz imaje konečny rang; zato v vsakoj vlastnoj cěpi děliteljev ili kratnikov -modulov iz rang vsakogo modula mora byti večši, odnosno menši, než rang neposrědnje prědhodnogo; cěpi prěkidajut se po konečno mnogo krokah. Osoblivo tedy važi "teorem o dvojnoj cěpi" za sistem vsih idealov iz .

Iz togo slěduje, že prosty ideal iz ne imaje nikakogo vlastnogo dělitelja raznogo od jediničnogo ideala; zato kolco klasov ostatkov po prostom idealu raznom od jediničnogo stava polje. Ako jest primarny ideal prinadležeči k , t. j. i , togda kolco klasov ostatkov stava primarno kolco, t. j. kolco, v ktorom někoja stepenj (tu vo vsakom slučaju uže -ta) vsakogo nulovogo dělitelja izčezaje, i sadrži samo nulove dělitelje i jedinice. Poslědnje slěduje neposrědnje iz togo, že vsaky ideal ne dělimy črez stava vzajemno prosty s , i zato takože s .

Iz teorema o dvojnoj cěpi i iz eksistencije jediničnogo elementa dalej slěduje, že vsaky ideal iz može jednoznačno byti predstavjen kako produkt konečno mnogih po parah vzajemno prostyh primarnyh idealov. Črez vzajemnu prostotu toj produkt stava ravny najmenšemu občemu kratniku i odgovarja predstavjenju kolca klasov ostatkov kako direktnoj sumy primarnyh kolc, t. j. stava največi obči dělitelj tyh kolc, i predstavjenje vsakogo elementa iz kako sumy jest jednoznačno.

2. Predstavjenje kolc konečnogo ranga kako direktna suma primarnyh kolc. Nehaj predstavjenje nulovogo ideala kolca bude dano črez

i nehaj odgovarjajuče predstavjenje kako direktna suma bude

Togda stava ideal iz , imeno

i stava izomorfno kolcu klasov ostatkov ; pri tom vsakomu elementu iz odgovarja klasa v , predstavjena črez . Ako jest libovoljny ideal iz , togda po distributivnom zakonu nastupaje

pri tom, poněže , komponenty sut idealy i v , i v . Kako idealy, , podobno samym , sut konečne -moduly; črez direktnu sumu ih rangi dodavajut se do ranga , odnosno .

Ako predstavjenje jediničnogo elementa kako sumy dano jest črez

togda predstavjenje vsakogo libovoljnogo elementa iz jednoznačno dostava se črez

gdě tedy komponenta jest element iz ; Jednočasno slěduje . Iz "relacij ortogonalnosti" dostava se:

zato stava -ta komponenta produkta, i takože stava -ta komponenta sumy; te fakty slědujut takože iz homomorfizma od k .

Kolco sadrži podpolje izomorfno k i jest konečnogo ranga vzhodno k ; toj rang jest ravny rangu, ktory imaje kako -modul. Bo za vsaky element iz važi ; zato , čim ; homomorfizm medžu i stava izomorfizm. Dalej, vsaka linearna zavisnost vzhodno k elementov iz črez množenje s prěhodi v taku zavisnost vzhodno k ; i obratno, poněže , vsaka relacija vzhodno k Jednočasno jest relacija vzhodno k . Tedy rangi vzhodno k i sut jednaky.

3. Predstavjenje razširjenyh kolc kako direktne sumy. Ako

togda za važi predstavjenje

gdě označuje razširjeny ideal od v , Jednočasno kolco izvedeno iz v . Bo iz črez množenje s slěduje produktno predstavjenje: , gdě tedy znovu stavajut po parah vzajemno proste. Zato dostava se predstavjenje kako direktna suma za ; i poněže -ta komponenta togo predstavjenja dana jest črez

ona stava ravna razširjenomu idealu od . No toj razširjeny ideal jest po 1, 3 identičny s razširjenym kolcom , utvorenym iz vzhodno k ; zato pri razširjenjah dostatočno jest razširjati oddělne komponenty. Pri tom v obćem slučaju ne bude več primarno kolco.

4. Proste idealy prvogo i drugogo roda. Po punktu 1 kolco klasov ostatkov modulo vsak prosty ideal, različny od jediničnogo ideala, stava poljem; to polje imaje podpolje izomorfno k ,

poneže ne može iměti nikaky element različny od nuly iz . Zato sostoji iz vsih i samo tyh klasov, ktore možno predstaviti elementami iz . Kolco imaje konečny rang vzhodno k , znači jest konečno algebraično razširjenje polja . V zavisnosti od togo, jest li to razširjenje prvogo ali drugogo roda, budemo nazyvati prostym idealom prvogo ili drugogo roda.

3. Polno razložime kolca

4. Kolco nazyva se polno razložimym, ako v produktnom predstavjenju jego nulovogo ideala (§2, 2) vse primarne komponenty stavajut prostymi idealami; ili, čto po §2, 1 i 2 jest tomu ravnoznačno, ako možno predstaviti kako direktnu sumu konečno mnogyh polj. Polno razložimo kolco nazyva se polno razložimym prvogo roda, ako vsi proste idealy sut idealami prvogo roda (§2, 4); v protivnom slučaju --- polno razložimym drugogo roda.

Ako jest sovršeno polje, togda možliva jest samo polna razložimost prvogo roda; osoblivo to vsegda jest slučaj za algebraično zatvorjeno polje. V daljnem specijalno bude označati algebraično zatvorjeno polje izvedeno iz , a bude ravno .

2. Teorem. Kolco jest polno razložimo prvogo roda togda i samo togda, kogda razširjeno kolco s algebraično zatvorjenym jest polno razložimo.

Dokaz sostoji iz trěh krokov.

2a. Iz polnoj razložimosti --- občneje, iz polnoj razložimosti libokakogo razširjenogo kolca --- slěduje polna razložimost (prvogo ili drugogo roda) od . Bo po predpoloženju za nulovy ideal od važi predstavjenje kako najmenši obči kratnik prostyh idealov,

Črez tvorjenje prěsěkov dostava se v predstavjenje nulovogo ideala

i idealy po 1, 3 sut proste idealy.

2b. Iz polnoj razložimosti prvogo roda kolca slěduje polna razložimost prvogo roda kolca ; občneje, polna razložimost prvogo roda vsakogo medžukolca medžu i .

Poněže po 2, 3 predstavjenju kako direktnoj sumy odgovarja tako predstavjenje , že vsaka komponenta stava razširjeno kolco --- gde jest razširjeno polje izomorfno k od podpolja komponenty , izomorfnogo k , --- dostatočno jest razsmotriti pojedinu komponentu . Zato bez ograničenja obćnosti možno predpolagati, že jest polje, imeno konečno razširjeno polje prvogo roda svojego podpolja . Tedy nastavaje prisojedinjenjem primitivnogo elementa prvogo roda k ; drugymi slovami, jest izomorfno kolcu klasov ostatkov , gde označaje nerazložimy polinom prvogo roda v polinomnoj oblasti jednej neopreděljenej . Ako jest razširjeno polje od , togda jest izomorfno k ; bo pri prěhodu od k rang kolca klasov ostatkov sohranja se i jest ravny stepeni , takže ide točno o konstrukciju razširjenogo kolca danu v 1, 2. V polinom razpada se na po parah vzajemno proste nerazložime polinomy prvogo roda, od kojih vsaky porađaje prosty ideal v ; to znači, že , a zaradi izomorfizma takože , stava polno razložimo prvogo roda. Poněže to važi za vsako razširjeno polje , osoblivo takože za algebraično zatvorjeno polje , s tym jest 2b dokazano.

2c. Ako jest polno razložimo drugogo roda, togda ne jest polno razložimo.

Kako pod 2b, dostatočno jest predpolagati, že jest polje, imeno konečno razširjeno polje drugogo roda nad . Trěba pokazati, že v predstavjenju kako direktnoj sumy primarnyh kolc nastupa najmanje jedna vlastno primarna komponenta. Za to dostatočno jest pokazati nenulovy element iz , od ktorogo někoja stepenj izčezaje. Bo ako , togda najmanje jedna komponenta ; ako , togda ( 2, 2, homomorfizm od k ), i zato ne jest polje.

Nehaj bude element drugogo roda iz , eksponenty ; nehaj

bude uravnenje najnižšego stepena, ktoromu zadovolja vzhodno k , gde označaje karakteristiku . Elementy

iz sut zato linearno nezavisne vzhodno k i poslědovateljno po definiciji ravnosti ostavajut linearno nezavisne vzhodno k takože v . Ako zato položiti

togda jest nenulovy element iz ; bo zaradi i čislo jest vsegda menše než , zato ne može byti nikakoj zavisimosti medžu stepenjami , ktore nastupajut v . Ale i zato izčezaje; s tym jest 2c dokazano.

Iz 2a i 2c slěduje, že polna razložimost prvogo roda vlěče za soboju polnu razložimost prvogo roda ; iz 2b slěduje obrat. S tym jest teorem dokazany.

3. Poslědok. Ako jest polno razložimo prvogo roda, togda stava direktna suma kolc ranga jedan, znači polj izomorfnyh k . Tako razloženje v kolca ranga jedan eksistuje uže v kolcu , gde jest konečno razširjeno polje od .

Bo po 2b kolco stava direktna suma polj, ktore kako konečne razširenja podpolj izomorfnyh k --- zaradi algebraične zatvorjenosti --- sut identične s tymi podpoljami. Zato dostava se

komponenty elementa jednočasno tvorjat linearno nezavisnu modulnu bazu od .

Ako po 1, 2 predstaviti kako linearne kombinacije elementov iz s koeficientami iz , togda sistem vsih koeficientov opredělja konečno razširjeno polje od ; zato prinadležet k , i iz svojstva modulnoj bazy dostava se

Tako uže v važi razloženje v kolca ranga jedan, i v vsakom medžukolcu medžu i nerazložime komponenty nastavajut kako razširjena kolca od .

§4. Matrične predstavjenja, slědy i diskriminanty pri kolcah konečnogo ranga

V tutom i slědujučem paragrafu prědpoloženja o osnovnom kolcu budut několiko občneje než dosele, aby objęti takože porjadky v čislovyh i funkcionalnyh poljah. Dělo jest o občnoj i jednakoj formulaciji v suštnosti znanyh faktov.

Prědpoloženje. Nehaj bude razširjeno kolco oblasti cělosti ; jediničny element kolca uže leži v . Za každy -modul iz -- osoblivo za samo -- eksistuje najmanje jedna konečna modulna baza, sostavljena iz elementov linearno nezavisnyh nad . Pored , elementy togda i samo togda tvoret linearno nezavisnu modulnu bazu togo samogo -modula, kogda determinant transformacije jest jedinica v .

To prědpoloženje javno jest ispolnjeno za dosele razsmotrene kolca konečnogo ranga, gde stava poljem . Ono takože jest ispolnjeno za porjadky v čislovyh i funkcionalnyh poljah, gde jest odpovědajuče kolcom racionalnyh cělyh čisl ili funkcionalnoju oblastju.

1. Matrične kolca homomorfne k . Nehaj bude linearno nezavisna -modulna baza ideala , i nehaj bude libovoljny element iz . Togda takože prinadleži k , i imajut město ravnosti s koeficientami iz :

Ili v matričnoj formě, ako vsakokrat označaje jednorednu matricu sostavljenu iz tyh elementov:

Kogda proběgaje vse elementy iz , cělost matric , prirěđenyh pomoću bazy , tvori homomorfno kolco ; pri tom jest izomorfno k kolcu klasov ostatkov , gde označaje idealny kvocient nulovogo ideala črez . Bo razlici prirěđena jest razlika , i to samo važi za produkt, poněže

Elementam iz osoblivo prirěđene sut diagonalne matrice . Vsim i samo tym elementam , za ktore jest ravno nulovomu idealu, prirěđena jest nulova matrica.

Druga baza togo samogo ideala tvori matrično kolco, izomorfno k , pri tom ekvivalentno jemu:

Bo nehaj bude još jedna linearno nezavisna -modulna baza; sledovateljno , gde determinant matrice jest jedinica iz . Togda

to jest .

2. Klasy idealov i klasy predstavjenj. Dva ideala i iz prinadležet k jednomu i tomu samomu klasu idealov, ako oni sut izomorfne kako -moduly; to jest ako jih elementy možno jednoznačno vzajemno prirěditi tako, že razlika i množenje tym samym elementom iz odgovarjajut jedno drugomu. Zato iz vsegda slěduje za libovoljno iz .

Dva kolca i , stvorjene matričnym predstavjenjem po 1, prinadležet k jednomu i tomu samomu klasu predstavjenj, ako oni sut ekvivalentne, to jest ako obstaje unimodularna matrica taka, že

važi.

Klasy idealov i klasy predstavjenj odgovarjajut jedno drugomu jednoznačno vzajemno. V punktu 1 bylo pokazano, že različne modulne bazy jednogo i togo samogo ideala stvorjajut kolca , , ktore prinadležet k tomu samomu klasu predstavjenj; dalej, različne idealy , togo samogo klasa idealov takože stvorjajut kolca togo samogo klasa predstavjenj. Vpravdu, naj bude baza , prirěđena posrědstvom izomorfizma k bazi ideala . Togda i odgovarjajut jedno drugomu, i tak samo i ; tym samym kolca i sut identične.

Obratno, ako i prinadležet k tomu samomu klasu predstavjenj, to jest ako

gdě tvorjat bazu , a tvorjat bazu , togda

takože tvori bazu , i dostajemo . Ako teper vsakomu elementu iz prirěditi element iz , to prirěđenje jest jednoznačno vzajemno, a suma i razlika se ohranjajut. Iz ravnosti dalje slěduje, že i odgovarjajut jedno drugomu, bo oni vyražajut se tymi samymi linearnymi formami v , odnosno v ; tym samym obće i odgovarjajut jedno drugomu. Zato idealy i prinadležet k tomu samomu klasu idealov. Glavnym klasom naziva se klas jediničnogo ideala; zato vsaka baza daje kako klas predstavjenj glavny klas.

3. Slěd elementa vzhodno k klasu. Naj bude matrica, prirěđena elementu iz v . Prěhod od k ekvivalentnomu kolcu pokazuje, že determinant , i obče , gdje označa neopreděljenu, jest invariant klasa predstavjenj. Tym samym, po punktu 2, to jest Jednočasno invariant klasa idealov, to jest klasovy invariant, kako budemo kratko govoriti. Zato pojedine koeficienty po v sut klasove invarianty; osoblivo koeficient pri budemo nazyvati slědom vzhodno k klasu; v znakih:

Koeficient svobodny od , , budemo nazyvati normoju vzhodno k klasu.

Slědy vzhodno k fiksovanomu klasu tvorjut -modul, k ktoromu , pojmana kako -modul, jest homomorfna. Bo po kolcovom homomorfizmu od k , dokazanymu pod 1, dobivaje se: i . Iz togo za slědy slěduje:

Tedy dobivajut se modulno svojstvo i homomorfizm.

Primětka. Ako jest kolco bez nulovyh děliteljev, togda slěd elementa jest definovany nezavisno od klasa; možno tedy govoriti prosto o slědu; to samo važi za normu. Bo kogda ide o kolca bez nulovyh děliteljev, vsaky ideal različny od nulovogo ideala imaje rang kolca; s tym vsaka baza ideala jest Jednočasno baza jediničnogo ideala v polju kvocientov. Vsi slědy i normy takože Jednočasno sut stvorjene v polju kvocientov črez jediničny ideal i zato sut nezavisne od klasa v .

4. Diskriminant ideala vzhodno k klasu. Invariantom ideala i klasa stava ne sam diskriminant, ale jedino glavny ideal izvedeny iz njega v .

Bo nehaj i budu dvě linearno nezavisne -modulne bazy ideala iz . Determinanty

razlikujut se samo kvadratom jedinice iz kako faktorom. To važi imeno za dva determinanty i , ktore se razlikujut kvadratom determinanta transformacije medžu i . Zaradi modulnogo homomorfizma, dokazanygo pod 3, medžu i obstajut te same linearne relacije kako medžu i ; zato, zaradi kogredientnoj transformacije, determinant prijimaje toj samy faktor.

Diskriminantom vzhodno k klasu , opreděljenym do kvadrata jedinice, nazyvaje se vsaky determinant ; diskriminantnym idealom -- glavny ideal izvedeny iz njega v .

Primětka. Ako jest kolco bez nulovyh děliteljev, togda diskriminant ideala ne zavisi od klasa položenogo v osnovu. Bo po punktu 3 ta nezavisnost jest ispolnjena za vsaky pojediny element determinanta.

§5. Direktne sumy klasov

1. Direktna suma klasa idealov ili klasa predstavjenj. Ako ideal jest direktna suma, , togda iz izomorfizma slěduje, že vsaky ideal togo klasa takože stava direktna suma, . Pri tom jest odpovědajuče izomorfno k , a k , ako idealy razmatrivajut se kako -moduly; zato možno govoriti o direktnoj sumě klasa idealov i o komponentnyh klasah.

Ako kolco někojego klasa predstavjenj jest direktna suma podkolc, ktore Jednočasno sut idealy v , togda zaradi izomorfizma to samo važi za vsako kolco togo klasa predstavjenj, pri čem komponenty stavajut ekvivalentne kolca. Zato možno govoriti o direktnoj sumě klasa predstavjenj i o komponentnyh klasah.

Direktnoj sumě klasa idealov odgovarja direktna suma klasa predstavjenj; v tom smyslu budemo govoriti o direktnoj sumě klasa. Naj bude baza , a baza ; poněže suma jest direktna, i zajedno tvorjat linearno nezavisnu bazu . Ako jest matrično kolco stvorjeno posrědstvom toj bazy, togda matrica iz , prirěđena libovoljnomu elementu iz , imaje formu

Zato opredělimo kako sistem vsih matric

i odpovědajuče opredělimo . Trěba pokazati, že i tvorjat podkolca v , i že jest jih direktna suma; Jednočasno i stavajut izomorfne k kolcam i , stvorjenym odpovědajuče iz i .

Bo črez homomorfizm odgovarja vsim takim elementam iz , za ktore izčezaje, to jest ktore prinadležet k idealnomu kvocientu nulovogo ideala črez , ; zaradi homomorfizma tym samym jest idealom v , i to samo važi za . Kolco jest suma tych idealov, i imeno direktna suma, bo produkt dvuh kolc izčezaje. Nakonec, prirěđenje, ktore matrici prirěđuje matricu iz , sodržajuću i nuly, daje izomorfizm medžu i ; v tom smyslu komponentnym klasam i klasa idealov odgovarjajut komponentne klasy kolca .

2. Ponašanje slěda i diskriminanta pri direktnoj sumě klasov. Naj . Ako za opreděljenje slěda položimo v osnovu blokovu matricu

togda, s uvagoju k punktu 1, neposrědnje čitamo: slěd elementa, vzęty vzhodno k klasu, jest suma slědov, vzętyh vzhodno k komponentnym klasam.

Zaradi izčezanja produkta dalje dostajemo: ako jest element iz , togda

slěd , vzęty vzhodno k klasu , jest ravny slědu, vzętomu vzhodno k klasu .

Iz togo, s uvagoju k §4, 4, dalje slěduje: diskriminantny ideal komponentnogo ideala , vzęty vzhodno k klasu , jest ravny diskriminantnomu idealu , vzętomu vzhodno k komponentnomu klasu .

I nakonec dostajemo: diskriminantny ideal , vzęty vzhodno k klasu , jest ravny produktu diskriminantnyh idealov komponentov, vzętyh vzhodno k komponentnym klasam. Bo ako i za tvorjenje diskriminanta, i za tvorjenje slěda položimo v osnovu bazu , odpovědajuču direktnoj sumě, togda baza diskriminantnogo ideala , vzętogo vzhodno k , dana jest črez

3. Prěhod k razširjenym kolcam. Nehaj bude razširjeno kolco od i bez nulovyh děliteljev, pri čem prěsěk jest ravny ; nehaj razširjeno kolco , nastalo črez prisojedinjenje , bude definirano, kako v 1, 2, kako kolco togo samogo ranga.

Ako i sut idealy v , a i ih razširjene idealy v , togda diskriminantny ideal od , vzęty vzhodno k , jest takože razširjeny ideal v togo diskriminantnogo ideala od , ktory jest vzęty vzhodno k . Bo vsaka baza od ili jest takože -modulna baza od ili ; zato za konstrukciju diskriminanta od vzhodno k možno položiti v osnovu bazu od i .

Osoblivo diskriminantny ideal od vzhodno k glavnomu klasu jest razširjeny ideal togo diskriminantnogo ideala od , ktory jest vzęty vzhodno k glavnomu klasu ; tak definirany ideal v , odnosno v , kratko budemo nazyvati diskriminantnym idealom kolca.

6. Diskriminantny kriterij polnoj razložimosti prvogo roda

Odteper znovu predpolagaje se, že jest razširjeno kolco polja , a jest razširjeno polje od . Neobhodnym i dostatočnym uslovjem polnoj razložimosti prvogo roda pokaže se nenulovost diskriminanta. Po 5, 3 diskriminantny ideal od možno opreděliti posrědstvom razširjenogo kolca ; i po 5, 2 dostatočno jest ograničiti se na primarne kolca, iz ktoryh aditivno sostavja se. Zato najprvo treba razsmotriti diskriminantne idealy primarnyh kolc.

1. Specialne -modulne bazy. Nehaj i sut idealy iz , i nehaj jest děljiva črez . Togda vsaku bazu ideala možno, dodavajučy elementy , dopolniti do linearno nezavisnoj -modulnoj bazy ideala . To jest neposrědnji poslědok predpoloženogo konečnogo ranga vzhodno k polju .

Nehaj teper predpolagaje se kako primarno kolco; nehaj bude prosty ideal, asociovany s nulovym idealom, a jego eksponent, to jest i . Togda specialna -modulna baza od dostava se tako: sukcesivno dopolnjaje se baza od do bazy od i, obće, baza od do bazy od , pri čem računa se kako . Posrědstvom takoj bazy možno pokazati: ako jest primarno kolco, togda slěd, vzęty vzhodno k glavnomu klasu ( 4, 2), vsakogo elementa děljivogo črez odpovědajuči prosty ideal , izčezaje. Imeno, nehaj

bude taka specialna -modulna baza s

Iz slěduje ; zato matrica, prirędžena k po toj bazi, imaje v diagonalě samo nuly, i slěd od izčezaje.

2. Diskriminantne idealy primarnyh kolc s algebraično zamknjenym podkolcom . Ako nulovy ideal kolca jest prosty ideal i jest algebraično zamknjeno, togda imaje rang jedan, zato jest identično s ( 3, 3); jediničny element možno vzęti kako modulnu bazu. Tym dostava se

i diskriminantny ideal jest ravny jediničnomu idealu.

Dalje možno pokazati, že diskriminantny ideal vlastno primarnogo kolca s algebraično zamknjenym podkolcom jest ravny nulovomu idealu. Ako za vzęti kako osnovu specialnu modulnu bazu, danu v punktu 1, ili samo dopolniti libovoljnu bazu od do bazy od , togda jest ravno jednomu, bo faktor-kolco stavaje kolcom ranga jedan; kako možno napr. vzęti jediničny element . Tym vse bazne produkty različne od sut děljive črez , i ih slěd, vzęty vzhodno k glavnomu klasu, izčezaje. Tym izčezaje takože diskriminanta kako determinanta reda najmanje dva, poněže bylo predpoloženo kako vlastno primarno i zato mora iměti najmanje jeden bazny element različny od ; v toj determinantě vse elementy različne od izčezajut.

3. Teorem. Kolco konečnogo ranga vzhodno k podpolju jest polno razložimo prvogo roda togda i samo togda, kogda jego diskriminantny ideal jest jediničny ideal v ; drugymi slovami, kogda diskriminant, opreděljeny do kvadrata jedinicy, jest različny od nuly.

Polna razložimost prvogo roda po 3, 2 jest ravnosilna tomu, že razširjeno kolco jest polno razložimo, to jest jego nerazložime komponenty stavajut poljami izomorfnymi s . Po 5, 3 diskriminantny ideal od , a jednočasno i od , jest nulovy ili jediničny ideal; a po 5, 2 diskriminantny ideal od jest produkt diskriminantnyh idealov komponentov, vzętyh vzhodno k tym komponentam. Te pojedine diskriminantne idealy nastavajut iz onyh razsmotrenyh v punktu 2, kde komponenty vystupajut kako kolca same po sebě, a ne kako idealy od , kogda v vsakom slučaju polje , izomorfno s , zaměnja se samym . Iz togo slěduje, že pri polnoj razložimosti od diskriminantny ideal, kako produkt jediničnyh idealov, sam stavaje jediničny ideal; kogda že ne jest polno razložimo, togda dlja najmanje jednoj komponenty diskriminantny ideal jest ravny nulovomu idealu, črez čto i dlja diskriminantnogo ideala od dostava se nulovy ideal. Tym teorem jest dokazany.

4. Predstavjenje slěda, normy i diskriminanta črez konjugovane elementy v slučaju polnoj razložimosti prvogo roda. Nehaj po 3, 3 pri polnoj razložimosti prvogo roda

jest predstavjenje kako direktna suma kolc ranga jedan, to jest polj izomorfnyh k , i nehaj jest najmenše razširjeno polje, v ktorom tako predstavjenje jest možno. Nehaj komponentov od sut dane črez , gde vsako jest podpolje od i jest homomorfno k ; treba izraziti slěd, normu i diskriminant (vzhodno k glavnomu klasu) črez elementy iz .

Ako vzęti kako modulnu bazu, togda vsakomu elementu

pripisuje se diagonalna matrica s diagonalju ; pri tom, ako jest element iz , togda leži v . Zato dostava se

gde pod razuměje se slěd, a pod norma vzhodno k glavnomu klasu. Nehaj dalje jest modulna baza od , sostojana iz elementov od ; togda diskriminant treba izraziti črez elementy iz vsih . Ako

togda dostava se

To jest, diskriminant predstavja se kako kvadrat determinanta konjugovanyh baznyh elementov. Osoblivo, ako samo jest polje, znači razširjeno polje prvogo roda svojego podpolja , togda homomorfizmy od k prehodet v izomorfizmy; pri tom elementy iz odpovědajut samym sobě, bo komponenta od jest dana kako . Zato , poněže vse oni ležet v občem obhvatnom polju , sut konjugovane polja vzhodno k ; i imenno tyh izomorfizmov sut medžu soboju različne, kako pokazuje gornje determinantno predstavjenje nenulovogo diskriminanta. Ako jest polje, togda predstavjenje kako direktna suma v dava konjugovanyh razširjenyh polj -togo stepena nad , ležečih v Galoisovom razširjenom polju i izomorfnyh k . Predstavjenje slěda, normy i diskriminanta togda prehodi v znano predstavjenje črez konjugovane elementy. Treba ješče raz podčrknuti, že predpolaga se samo kako polje ekvivalentno k , a ne kako polje samo uže ležeče v Galoisovom razširjenom polju .

§7. Teorem o diskriminantu za porjadky algebraičnogo čislovogo polja ili funkcionalnogo polja

1. Razsmatrivane čislove i funkcionalne polja -- pri čem pri algebraičnyh funkcijah od več než jednej neoznačene i pri cělyh algebraičnyh funkcijah ide se o razširenje funkcionalnoj oblasti -- vse podlagajut se slědujučemu tipu polja s fiksovanym pojmom cělyh elementov. Nehaj bude kolco glavnyh idealov bez děliteljev nuly i s jediniceju (kolco cělyh racionalnyh čisel, oblast polinomov od jednej neoznačene s koeficientami iz polja, funkcionalna oblast), a jego polje kvocientov. Nehaj bude konečno razširenje prvogo roda polja , a kolco vsih elementov iz , cělyh vzhodno k . Vsako podkolco od , ktoro obejmaje , nazyva se porjadok; samo označaje se kako glavny porjadok.

Vsaky -modul v , osoblivo vse idealy porjadka i sam porjadok, imaje linearno nezavisnu modulnu bazu vzhodno k . Ako imaje stepen nad , togda dosta je ograničiti se na porjadky ranga vzhodno k , bo vsaky porjadok nižšego ranga črez tvorjenje kvocientov poraždaje medžupolje medžu i imenno toj stepeni, i za jego vse predposylky ostavajut. Zato vsaky porjadok jest kolco, za ktoro predposylky §4 i §5 sut ispolnjene, i imenno kolco bez děliteljev nuly; tym diskriminant porjadka jest jednoznačno opreděljen do faktora, ktory jest kvadrat jedinice iz . Ta diskriminant jest takože, do faktora-jedinice iz , identičny s diskriminantom polja , smatrjanym kako -modul, i zato različny od nuly, bo byl predpoloženy kako razširenje prvogo roda (§6, 3). Diskriminant takože dopušča predstavjenje, dano v §6, 4, črez kvadrat determinanta konjugovanyh baznyh elementov.

Teorija idealov v jest dana slědujučim teoremom: v vsaky ideal razny od nulovogo ideala može jednoznačno byti predstavjen kako produkt konečno mnogih po parah vzajemno prostyh primarnyh idealov, ktoryh pridružene proste idealy ne imajut nikakogo vlastnogo dělitelja raznogo od jediničnogo ideala.

2. Prěhod od porjadka k kolcam konečnogo ranga vzhodno k polju. Nehaj bude prosty element iz , t. j. glavny ideal , izvedeny iz v , jest prosty ideal iz , razny od nulovogo i jediničnogo idealov; odpovědajuče označimo črez glavny ideal, izvedeny iz v . Kolco klasov ostatkov

stava kolco ranga vzhodno k podpolju , izomorfnomu k polju ; porjadok homomorfno prěhodi v . Ta homomorfija jest obyčny prěhod k kolcu klasov ostatkov.

To, že sadrži podpolje izomorfno k , slěduje iz drugogo teorema o izomorfizmu: podkolco jest izomorfno k . Nehaj bude linearno nezavisna modulna baza vzhodno k , i nehaj budut klasy ostatkov po , određene elementami . Vsaka linearna zavisnost medžu vzhodno k nastala by iz kongruencije

t. j. iz ravnosti s . Iz predstavimosti črez bazu i iz jednoznačnosti toj predstavjenosti slěduje, že vsako jest dělimo črez ; tym element iz izčezaje. Tedy tvoret bazu nad .

Črez homomorfizm diskriminant porjadka prěhodi v diskriminant , a razloženje ideala -- v razloženje nulovogo ideala . Napravdu, zaradi nedavno dokazanoj linearnoj nezavisnosti diskriminant može byti utvorjen po toj bazi kako ; zato črez homomorfizm on nastaje iz diskriminanta porjadka , utvorjenogo po bazi . Pri definiciji slěda za osnovu jest vzęta matrična predstavjenost, a ne predstavjenost črez konjugovane elementy, ktora jest pravilna dlja , ale ne nužno dlja ; slěd, a s njim i diskriminant, nastaje črez kolcove operacije iz elementov kolca.

Ako

jest predstavjenje v , togda ono črez homomorfizm prěhodi v

v . Po prvom teoremu o izomorfizmu jest izomorfno k ; zato i sut jednočasno vlastno primarne idealy abo proste idealy, i zaradi homomorfizma sut po parah vzajemno proste.

3. Teorem o diskriminantu. Prosty element iz vhodi v diskriminant porjadka togda i samo togda, kogda v razloženju glavnogo ideala na po parah vzajemno proste primarne komponenty iz pojavja se najmanje jedna vlastno primarna komponenta abo najmanje jeden prosty ideal drugogo roda.

Ako polje klasov ostatkov jest sovršeno polje, togda vsaky prosty element , ktory vhodi v , i samo takovy element imaje najmanje jednu vlastno primarnu komponentu. Ako jest sovršeno i za izbrany jest glavny porjadok , togda vhodi v diskriminant togda i samo togda, kogda jest dělimy najmanje kvadratom prostogo ideala iz .

Napravdu, zaradi odpovědanja medžu razloženjem ideala v i razloženjem nulovogo ideala v pojavjenje vlastno primarnoj komponenty abo prostogo ideala drugogo roda v znači, že ne jest popolno reducibilno prvogo roda. A po §6, 3 to imaje město togda i samo togda, kogda diskriminant izčezaje; zaradi homomorfizma iz punkta 2 to upravo označaje dělimost črez .

§8. Teorem o diskriminantu za porjadky relativnyh polj

Ako naměsto kolca glavnyh idealov uže kako izhodno kolco položimo glavny porjadok čislovogo abo funkcionalnogo polja -- občeje, multiplikacijsko kolco, t. j. kolco, v ktorom važi teorija idealov glavnogo porjadka -- togda naměsto diskriminanta vystupaje diskriminantny ideal porjadka vzhodno k ; teorem o diskriminantu prěnosi se popolno posrědstvom slědujučih razmysljenj.

1. Nehaj bude multiplikacijsko kolco, to jest kolco bez děliteljev nula i s jediničnym elementom, v ktorom vsaky ideal, različny od nulovogo i jediničnogo ideala, jednoznačno može byti predstavjen kako produkt stepenjev prostyh idealov, i kde ti prosty idealy ne imajut vlastnogo dělitelja, različnogo od jediničnogo ideala. Nehaj dalje budut opreděljene kako v §7, 1; togda v važi tam ukazana teorija idealov.

Osoblivo, ako multiplikacijsko kolco imaje samo jedin prosty ideal, različny od nulovogo i jediničnogo ideala, togda jest kolco glavnyh idealov. Bo ako izberemo element , čij glavny ideal jest dělimy točno prvoju stepenju togo prostogo ideala, togda sam poraždaje tot prosty ideal; iz predstavjenja v obliku produkta stepenjev togda slěduje, že i vsi ostali idealy sut glavne idealy.

2. Slěd i diskriminantny ideal. Slěd vsakogo elementa iz jest opreděljen kako slěd v , kde jest razsmatrjany kako -modul. Vsaka sistema iz linearno nezavisnyh nad elementov iz može byti izbrana kako baza za tvorjenje slěda. Ako jest taka sistema, togda, poneže jest predpostavjen kako razširenje prvogo roda,

jest nenulovy element iz , imenno kvadrat determinanta soprjaženyh bazovyh elementov (§6, 4). Iz integralne zamknutosti v slěduje, že ta determinant jest elementom iz , skoro vsi naležat k .

Diskriminantny ideal. Nehaj proběgajut vse sistemy iz elementov iz ; za vsaku taku sistemu utvorjaje se determinant . Zato on jest elementom iz , i nenulovym, skoro sut linearno nezavisne. Ideal v , izvedeny iz celosti tih determinantov, nazyvaje se diskriminantnym idealom porjadka vzhodno k ; zato on jest različny od nulovogo ideala.

Nehaj dalje pri bude (vsegda obstojna) -modulna baza od . Togda konečno mnogo determinantov, ktore odgovarjajut izboru libovoljnyh elementov sredi , tvoret bazu togo diskriminantnogo ideala. To slěduje iz modulne homomorfnosti od k sistemě slědov iz (§4, 3). V samoj stvari determinanty, utvorjene iz produktov , sut linearno predstavime s koeficientami iz črez konečno mnogo determinantov , ktore odgovarjajut elementam ; zato to samo važi za vzhodno k . Ako osoblivo porjadok imaje linearno nezavisnu modulnu bazu , togda determinant može byti vzęty kako baza diskriminantnogo ideala; definicija se pokryva s definicijeju v §7, 1.

3. Prěhod k kolcu kvocientov. Nehaj bude libovoljny ideal iz . Kolco kvocientov jest opreděljeno kako celost elementov polja kvocientov od , ktore imajut v imenovatelju element iz , prosty k . Kolco ne ima, kromě nulovogo i jediničnogo ideala, drugih prostyh idealov než razširjene idealy prostyh idealov, ktore prinadležat k . Obstaje jednoznačno vzajemna odpovědanje i izomorfizm kolc klasov ostatkov medžu vsimi idealami iz , različnymi od nulovogo i jediničnogo ideala, i tymi idealami iz , čiji odpovědajuči prosty idealy nahodet se medžu prostymi idealami prinadležečimi k ; kromě togo, nulovy i jediničny ideal odpovědajut jednoznačno vzajemno.

Te same razmysljenja važe takože za multiplikacijsko kolco . Osoblivo, ako jest prosty ideal, togda imaje samo jedin prosty ideal, različny od nulovogo i jediničnogo ideala; zaradi izomorfizma kolc klasov ostatkov kolco , kako i , jest multiplikacijsko kolco, i po 1 togda jest kolco glavnyh idealov. Element, ktory poraždaje prosty ideal izvedeny iz , stava prostym elementom iz . Razširjeny ideal libovoljnogo ideala iz jest porodženy primarnoju komponentoju , prinadležečoju k ; zato on jest ravny abo jediničnomu idealu, soglasno tomu, vhodi li v -- i to v -toj stepeni -- abo ne vhodi v . Iz togo još slěduje: ako razširjenja dvuh idealov i iz sovpadajut v vsih kolcah kvocientov , togda i sut identične, bo oni sut dělimy tymi samymi prostymi idealami i v tyh samyh stepenjah.

4. Diskriminantny ideal pri prěhodu k kolcu kvocientov. Nehaj bude prosty ideal iz , i označmo črez razširjeny ideal v . Kolco kvocientov imaje modulnu bazu sostavjenu iz linearno nezavisnyh elementov vzhodno k kolcu glavnyh idealov ; Jednočasno jest konečny -porjadok v razširjenom polju polja kvocientov kolca . Tym samym v vzhodno k jest ispolnjen diskriminantny teorem (§7, 3).

Diskriminant pri tom tvori bazu razširjenogo ideala v diskriminantnogo ideala porjadka vzhodno k . Imenno, što jest vsegda možno, vozmimo elementy iz kako -modulnu bazu od ; togda prinadleži k diskriminantnomu idealu, i po punktu 1 vsaky determinant v jest dělimy črez .

5. Obči teorem o diskriminantu. Prosty ideal iz multiplikacijskogo kolca vhodi v diskriminantny ideal porjadka vzhodno k togda i samo togda, kogda v razloženju ideala na po parah vzajemno proste primarne komponenty iz pojavja se najmanje jedna vlastno primarna komponenta abo najmanje jeden prosty ideal drugogo roda.

Iz punktov 3 i 4 slěduje, že prosty ideal iz vhodi v diskriminantny ideal porjadka togda i samo togda, kogda prosty element iz vhodi v diskriminant . To jest ale identično s tym, že kolco klasov ostatkov ne jest popolno reducibilno prvogo roda; poneže po punktu 3 to kolco klasov ostatkov jest izomorfno k , tym jest obči teorem o diskriminantu dokazan.

Kako specializacija na relativne diskriminanty čislovyh polj dostava se: prosty ideal glavnogo porjadka čislovogo polja vhodi v relativny diskriminant razširjenogo polja togda i samo togda, kogda v glavnom porjadku razširjenogo polja jest dělimy kvadratom prostogo ideala.

Göttingen, 30. marca 1926.