32. Sovmestno s R. Brauerom: O minimalnyh razpadnyh poljah nerazložimyh predstavjenj

Sitz. Ber. d. Preuß. Akad. d. Wiss. 1927, str. 221--228.

(Predloženo g. Šurom.)

Pytanje o čislovyh poljah najnižšego stepena nad osnovnym poljem , v ktoryh predstavjenje konečnoj grupy, nerazložime nad , razpada se na absolutno nerazložime sostavne česti, bylo najprvo razmotreno I. Šurom. Nehaj, napr., soderži karakter takoj sostavnoj česti. Tedy I. Šur pokazal, že stepen tyh polj nad -- indeks -- soglasuje se s čislom tyh absolutno nerazložimyh sostavnyh česti, ktore vse prinadležet k tomu samomu klasu; že slědovatelno to samo polje jest uže opreděljeno potrěbovanjem odděliti jednu absolutno nerazložimu sostavnu čest; dalje, že stepen vsakogo polja nad , v ktorom nastavaje taky razpad, jest kratny indeksa. Vsa ta polja budemo nazyvati razpadnymi poljami, takože v slučaju, kogda ne soderži karaktera. Na jednom priměru I. Šur pokazal, že razpadne polja najnižšego stepena ne moraju byti izomorfne. Ako ne soderžalo odpovědajučego nerazložimogo karaktera, togda razpadne polja morajut obhvatiti polje takogo karaktera i jego konjugaty vzhodno k ; absolutno nerazložime predstavjenja, prinadležeče k raznym konjugovanym karakteram, sut pravda konjugovane, ale očividno prinadležet k raznym klasam. Dlja odděljenja sistema absolutno nerazložimyh predstavjenj jednogo klasa i tu dostatočno jest polje odpovědajučego karaktera i jedno iz odpovědajučih razpadnyh polj.

V slědujučem pytanje o razpadnyh poljah bude dalje razsmatrjano. Razpadne polja najnižšego stepena možno karakterizovati črez pridružene nekomutativne těla; obče razpadne polja -- črez dvustranno proste kolca, invariantno svęzane s tymi nekomutativnymi tělami. Dalej na priměru kvaternionnogo těla bude pokazano, že stepeny minimalnyh razpadnyh polj ne sut ograničene; pri tom razpadno polje nazyvaje se minimalnym, ako nijedno jego vlastno podpolje ne jest razpadno polje. Ta neograničenost suštno slěduje iz čislovo-teoretičnogo teorema sušstvovanja, čij dokaz daje H. Hasse v neposrědnje slědujučej notě. Ale prěklad takože bude obrabotany elementarno-računski -- bolj za verifikaciju; i tak, bez privlečenja občej teorije i čislovo-teoretičnogo teorema sušstvovanja, pokazuje se neograničenost stepenov črez elementarny dokaz menje daleko idučego, ale dostatočnogo teorema sušstvovanja. Treba ješče zamětiti, že i v tom priměru ide o razpadne polja konečnoj grupy; imenno kvaternionnoj grupy, ktora takože leži v osnově Šurovogo priměra. Tamo dane predstavjenja sut Jednočasno (izomorfne) predstavjenja kvaternionnogo těla.

1. Karakterizacija razpadnyh polj.

Najprvo kratko sobirajemo osnovne pojmy. Nehaj označuje hiperkompleksnu sistemu nad poljem . Pod predstavjenjem od -- v -- razuměje se sistem matric s elementami iz , taky že stavaje se homomorfnym obrazom i že elementam iz pridružene sut diagonalne matrice ; zato mora obhvatati . Predstavjenje vměstě so vsimi svojimi transformovanymi tvori klas predstavjenj. V tako definovane predstavjenja vhodet takože predstavjenja konečnyh grup ; pridružena hiperkompleksna sistema , “grupno kolco”, sostoji iz vsih “grupnyh čisel”, t. j. iz vsih linearnyh kombinacij grupnyh elementov s koeficientami iz , pričem izhodne grupne elementy smatrajut se linearně nezavisnymi, a množenje jest definirano grupnym množenjem i računskymi zakonami. Pojmy “razložime”, “nerazložime”, “popolno reducibilne”, “absolutno nerazložime” predstavjenja sut definirane kako obyčno; nazvanje razširjamo takože na klasy predstavjenj. Sistema nazyvaje se “popolno reducibilna v ”, ako vse jej klasy predstavjenj v sut popolno reducibilne.

Nehaj teper bude predpoložena kako popolno reducibilna v ; nehaj bude prijeto kako perfektno polje, tako že to samo važi za vsako algebraično razširjenje od . Klasy predstavjenj pri vsakom razširjenju od ostavajut popolno reducibilne. Center jest direktna suma konečno mnogih polj; vsako razširjenje od , izomorfno jednomu takomu polju , stavaje se poljem jednogo (prostogo) karaktera. Ako razširimo do polja , izomorfnogo , od oddělja se dvustranno prosto kolco, kojemu pridruženy jest absolutno nerazložimy klas predstavjenj togo karaktera. To kolco -- po teoremu Wedderburna -- jest direktny produkt matričnogo kolca nad i nekomutativnogo těla , jednoznačno opreděljenogo do izomorfizma; center jest dany poljem , a jego stepen nad jest , kde označuje Šurov indeks, pridruženy tomu karakteru. Vsako razpadno polje od -- v odnosu do predstavjenja, pridruženogo tomu karakteru -- jest v tože vrěme tako polje za v odnosu do predstavjenj nad , i obratno. Konjugovane predstavjenja od dostavajemo, kogda vyhodimo iz odgovarjajučego dvustranno prostogo kolca nad ; jego pridruženo tělo stavaje se izomorfno i imaje kako center. Problem razpadnyh polj jest tako popolno svedeny k problemu pridruženogo nekomutativnogo těla i jego razpadov. Osobito važi teorem:

Vsa največa komutativna podpolja od imajut jednaky stepen nad , kde znači Šurov indeks. Vsa ta največa komutativna podpolja sut razpadne polja najmenšego stepena, i vsako razpadno polje najmenšego stepena jest med nimi sodržano. Stepen vsakogo razpadnogo polja jest mnogokratnost od . imaje samo jedin absolutno nerazložimy klas predstavjenj, i tak samo samo jedin nerazložimy klas predstavjenj nad .

Za harakterizaciju obćih razpadnyh polj označimo s direktny produkt s matričnym kolcom stepena nad (sistem vsih -rednyh matric s elementami iz ). Togda jest dvustranno prosto, s kako pridruženym nekomutativnym tělom; i vsako dvustranno prosto kolco, hyperkompleksno nad , kojemu jest pridruženo , dostavaje se tako. jest takože harakterizovano kako sistem vsih -rednyh matric s elementami iz .

Vsako razpadno polje od stepena -- ako tako obstaje -- jest izomorfno jednomu iz največih komutativnyh podpolj od . Obratno, vsa največa komutativna podpolja od sut razpadne polja, vsako stepena , kde jest delitelj od . V regularnom slučaju vsa največja komutativna podpolja od imajut stepen . Pri tom pod regularnym slučajem razuměje se: osnovno polje imaje vlastnost, že za vsako komutativno polje nad , konečno nad , obstajajut još komutativna razširjenja nad proizvoljnogo stepena.

Či med tymi razpadnymi poljami pri pojavjajut se takože minimalne, samo vloženje v ješče ne rěša. Že to vpravdu može byti slučajem za beskonečno mnogo , pokazuje slědujuči primjer.

2. Neograničenost stepenov minimalnyh razpadnyh polj

Za tu neograničenost nyně kako primjer vozměmo kvaternionno tělo, vzęto kako hyperkompleksny sistem v odnosu k polju racionalnyh čisel; s bazisnymi elementami kromě jedinice i s poznatymi relacijami:

Pokáže se, že razpadne polja sut vsě i samo te algebraične čislove polja, pri pridruženju ktoryh obstaje idempotentny element , to jest takovy, že , pri čem jest različny i od nuljevogo, i od jediničnogo elementa. Ta čislove polja možno takože harakterizovati kako te, v ktoryh jest predstavimo kako suma trěh kvadratov, a slědovatelno i kako suma dvuh kvadratov. Vpravdu, ako položimo

to

i zato uslovje jest ravnoznačno sistemu

a tako, poneže ne smut izčeznuti Jednočasno, ravnoznačno uslovju

Že vsaky takovy idempotentny element tvori razpad, i že obstajanje takovogo idempotentnogo elementa jest nužno za razpad, slěduje iz slědujučih faktov. Vsako ireduktibilno predstavjenje polno reducibilnogo sistema tvori se jednostranno prostym idealom, točnije odgovarajučoju klasoju idealov, i vsaka taka klasa idealov tvori predstavjenje. Vsi ti jednostranno proste idealy pojavjajut se pri jednostrannom direktnom razloženju v sumu, i to razloženje opredělja «primitivne» idempotentne elementy, ktore stavajut komponentami jedinice. Obratno, vsaky idempotentny element daje razloženje v sumu

kde označuje jedinicu; «primitivne» davajut odděljenje prostyh idealov. Nekomutativno tělo, vzęto kako hyperkompleksny sistem v odnosu k svojemu centru, poslě razširjenja do hyperkompleksnogo sistema v odnosu k razpadnomu polju, stavaje se direktnoju sumoju absolutno prostyh jednostrannyh idealov, kde jest Šurov indeks.

V slučaju kvaternionnogo těla jest ravno dvěma; i zato vsaky idempotentny element i uže tvori razloženje na absolutno proste idealy, kojemu odgovarja razpad na absolutno ireduktibilne klasy predstavjenj. Tym sut navedena polja harakterizovana kako razpadne polja.

Dalje slěduje: vsa ciklična polja stepena nad poljem racionalnyh čisel, v kotoryh može se predstaviti kako suma dvoh kvadratov, sut minimalne razpadne polja kvaternionnogo těla. Bo razpadno polje, iz-za predstavimosti kako sumy kvadratov, ne može byti realno; s drugoj strany, podpolje stepena polja -- a tym samym vsako pravo podpolje -- nužno jest realno, kako prěsěk s poljem vsih realnyh algebraičnyh čisel. jest imenno Galoisovo polje stepena dva v odnosu k tomu prěsěku, ktory zato nužno sovpada s podpoljem stepena .

Po teoremu obstajanja, dokazany H. Hasseom taka polja obstajajut za vsako ; stepeni minimalnyh razpadnyh polj ne sut ograničene. Tu se čak vsaka potenca indeksa pojavja kako stepen minimalnogo razpadnogo polja.

3. Elementarno obrabotanje razpadnyh polj

kvaternionnogo těla.

Nehaj označuje predstavjenje kvaternionnoj grupy, sostavljeno iz slědujućih 8 matric:

Grupno kolco, stvorjeno , jest točno predstavjenje kvaternionnogo těla, razsmatrjanogo kako hyperkompleksny sistem; hoćemo elementarno pokazati, že može byti predstavljeno nad poljem togda i samo togda, kogda v može se predstaviti kako suma dvoh kvadratov.

a) Nehaj jest predstavjenje racionalno nad poljem , i nehaj , . Poneže i sut dvě podobne matrice racionalne nad , obstaja takože transformacija racionalna nad , kotora prevodi v ,

Ako od načala zaměnimo takože racionalnym nad predstavjenjem , vidimo, že bez ograničenja možno prijeti . Nehaj

Iz slěduje , a iz dostajemo

Iz slěduje , to jest

zato , i zato v opravdu može se predstaviti kako suma dvoh kvadratov.

b) V polju nehaj može se predstaviti kako suma dvoh kvadratov. Postavimo togda, ako napr. ,

Kako legko prověriti, togda , , , tvorjut grupu racionalnu nad , podobnu k .

Dalje treba pokazati, že za beskonečno mnogo obstajut ciklična polja stepena , ktora sut minimalne razpadne polja kvaternionnoj grupy.

Nehaj bude racionalno prosto čislo, za ktoro pri někom podobnom

velja; nehaj bude najvyšša potenca čisla , ktora deli .

Najprěd pokazujemo, že za beskonečno mnogo vrědnostij obstajut prosta čisla . Za to nehaj bude libovoljno pozitivno cělo racionalno čislo, a prosty dělitelj čisla . Togda kongruencija, potrěbna za , jest izpolnjena pri . Dalej, ima red , i zato za najvyššu potencu , ktora deli , čislo jest večše od . V vsakom slučaju obstajut tože proizvoljno velika , k ktorym naležat prosta čisla .

Nehaj bude primitivny -ty korenj iz jedinice. Nyně pokazujemo, že v čislo može se predstaviti kako suma dvoh kvadratov

To jest ravnoznačno tomu, že v polju -tyh korenev iz jedinice obstajut čisla, čija relativna norma vzhodno k jest točno .

Čislo ima relativnu normu ; slědovateljno vsi čisla sut relativne normy čisel iz vzhodno k kako osnovnomu polju. Zato to samo velja takože za

Ako k dodamo jošče (zbog ), togda stavaje sumoju cělyh čestij izraza , i zato

Nyně takože jest relativna norma čisla iz , imenno od . Slědovateljno analogično velja za

Zato v može se predstaviti kako suma dvoh kvadratov; jest razpadno polje za kvaternionnu grupu.

Nehaj bude ciklično polje stepena , vsebovano v ; tvrdimo, že takože jest razpadno polje. Nehaj bude indeks kvaternionnogo těla vzhodno k kako osnovnomu polju; togda abo . No poněže obstaja razpadno polje neparnogo relativnogo stepena vzhodno k , drugy slučaj jest nemožny; zato . To znači, že jest razpadno polje.

Tako za beskonečno mnogo obstajut ciklična polja stepena , ktora sut minimalne razpadne polja.