34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Math. Zs. 30 (1929), s. 641--692.

Uvod

Najvažnejše obče teoremy o hiperkompleksnyh sistemah izhode od Moliena (Math. Annalen, tom 41, i Dorpater Ber. 1897). V sučnosti nezavisno od togo Frobenius skoro potom razvil teoriju hiperkompleksnyh sistemov i jih predstavjenj -- osobito teoriju predstavjenj konečnyh grup -- kako jedinorodnu teoriju. Osnova jest pojem grupnogo determinanta, ktory izhodi od Dedekinda, občeje -- determinanta libovoljnogo hiperkompleksnogo sistema. Frobenius pokazuje, že različnym ireducibilnym faktoram togo determinanta (koeficientna oblast jest vsegda polje vsih kompleksnyh čisel) odpovědajut različne klase ireducibilnyh predstavjenj, i že tym sposobom izčerpavajut se vse klase ireducibilnyh predstavjenj. Taka klasa predstavjenj jest popolno karakterizovana svojim “sistemom karakterov”; v slučaju konečnyh grup toj sistem karakterov nastavaje črez razklad determinanta onogo komutativnogo hiperkompleksnogo sistema, ktory izvodimo jest iz klasov konjugovanyh elementov grupy. Toj determinant razkladaje se na linearne faktory s karakterami kako koeficientami, t. j. jest direktno obobčenje rezultata, ktory najprvo polučil Dedekind: grupny determinant konečnoj abelovoj grupy razkladaje se na linearne faktory, jihže koeficienty sut različne karaktery abelovoj grupy (korespondencija s Frobeniusom).

Te pojmovno proste i prozračne rezultaty u Frobeniusa však polučajut se trudnym računanjem. Pozdnějši razvoj šel k uproščenomu izvodu tyh rezultatov i Jednočasno k jih razširjenju pri položenu libovoljnogo těla za koeficientnu oblast. To pozdnějše razvitje za hiperkompleksne sistemy i za teoriju predstavjenj teklo popolno odděljenymi putjami. Hiperkompleksne sistemy dostali aritmetično obrabotanje u Wedderburna: vsaky hiperkompleksny sistem jednoznačno jest direktna suma dvustranno direktno nerazložimyh kolc; pri sistemah bez radikala ta nerazložima kolca stavaju se izomorfne sistemu vsih -rędnyh matric s elementami iz pridruženogo, ne nužno komutativnogo těla, opreděljenogo v sučnosti jednoznačno. Teorija predstavjenj dostala elementarno osnovanje u Burnsidea i I. Schura, ktori, nezavisno od hiperkompleksnogo sistema, vyhodili direktno iz danogo predstavjenja i operovali s matričnymi teoremami. Osobito Schur obrabotaval pytanje o čislovyh poljah najmanjšego stepena, v ktoryh predstavjenje ireducibilno nad danym tělom razpadaje se absolutno. Te absolutno ireducibilne sostavne česti prinadležet k konečno mnogim konjugovanym klasam predstavjenj. Stepen iskanyh čislovyh polj jest ravny produktu čisla tyh klasov s indeksom (čislom sostavnyh čestij v vsakoj iz konjugovanyh klasov). Glavno pomočno srědstvo Schurovoj teorije tvori sistem vsih matric, ktore komutirajut s ireducibilnym predstavjenjem.

V slědujučem čisto aritmetičnom osnovanju hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj znovu pokazyvajut se kako jedna cělost -- kako specialny slučaj obče teorije nekomutativnyh kolc, ktore zadovoljajut samo někojim uslovjam konečnosti. Imenno ide o teoriju klasov modulov i idealov vzhodno k tym kolcam s glavnym rezultatom, že ireducibilne klasy modulov uže sut izčerpane odpovědajučimi klasami idealov; osobito, že za kolca bez radikala vse klasy modulov razpadajut se na ireducibilne (stavaju se popolno reducibilne). To jest aritmetičny ekvivalent Frobeniusovogo rezultata, že ireducibilne faktory regularnogo grupnogo (odnosno sistemnogo) determinanta uže izčerpavajut cělost klasov ireducibilnyh predstavjenj, i že pri sistemah bez radikala važi polna reducibilnost predstavjenj. Gledanje na sistemny determinant i jego razklad možno imenno razuměti kako prěhod k normě, dokolě tut direktno obrabotavajut se direktne sumne razklady idealov i jih kompozicijne redy. Teorija predstavjenj pak, posrědstvom pojma modula predstavjenja, stavaje se teorijeju klasov modulov.

Vvedenje klasov modulov i idealov jest čisto grupno-teoretično osnovano. Moduly i idealy smatrjajut se kako abelove grupy vzhodno k složenju, ograničene tym, že dopuskajut někoje množenja s elementami kolca: one tvorjat “grupy s operatorami” (§1). Za take grupy na město obyčnogo izomorfizma nastavaje “operatorny izomorfizm” (§2); grupy operatorno-izomorfne medžu soboju (v fiksovanoj oblasti) sobiraju se v jednu klasu -- pojem klasy, ktory na pr. v slučaju idealov čislovogo polja sovpadaje s obyčnym. Teorija grup s operatorami izhodi od W. Krull i O. Schmidt (sr. prim. 6); v I. poglavju ona razviva se sistematično. Teoremy, ktore i tut ostavaju validne, o kompozicijnyh redah, direktnom produktu (odnosno sumi) i popolno reducibilnyh grupah -- teoremy jednoznačnosti v smyslu vyše spomenutogo razděljenja na klasy -- tvorjat osnovu vsogo slědujučego.

One najprvo dajut obče teoremy jednoznačnosti ireducibilnyh diagonalnyh sostavnyh čestij pri libovoljnyh predstavjenjah (III. poglavje §16), na osnově fakta jedino-jednoznačnogo odpovědanja klasov predstavjenj s klasami modulov predstavjenja, t. j. s klasami grup s operatorami. Daljše pytanje o cělosti predstavjenj potrěbuje točnejše vhodženje v strukturu kolc, ktore treba predstaviti, tedy v specialnom slučaju v strukturu hiperkompleksnyh sistemov. V II. poglavju rezultaty Wedderburna polučajut se znovu i vodet se dalje, na osnově grupno-teoretičnogo poimanja, po ktorom gledanje na jednostranne idealy stoji v prědnom planu. Imenno pokazuje se, že “mnogokratny teorem o cěpah” za prave idealy, ili identično s njim “minimalno uslovje” (v vsakoj množině pravyh idealov jest najmanje jeden -- v toj množině -- minimalny), dostaje kako uslovje konečnosti. Dobiva se identičnost kolc bez radikala s minimalnym uslovjem s (pravo) popolno reducibilnymi kolcami s jediniceju. V takyh kolcah vsi prosti prave idealy dvustranno nerazložimogo kolca prinadležet k toj samoj klasi i zato imajut -- kako grupy s operatorami -- to samo kolco avtomorfizmov, ktoro zaradi prostosti idealov stavaje se tělom. To tělo avtomorfizmov klasy jest to, čto posrědkuje matrično predstavjenje, najdeno od Wedderburna.

To matrično predstavjenje v tělě avtomorfizmov Jednočasno rěšaje problem predstavjenja v popolno reducibilnom slučaju, skoro kako potrěbno jest predstavjenje vzhodno k tělu avtomorfizmov ili jego podpoljam -- tedy osobito vzhodno k koeficientnoj oblasti hiperkompleksnogo sistema. Ne jest -- to jest direktna poslědica teorema o vozvračenju klasov modulov k klasam idealov -- nikakyh drugih ireducibilnyh predstavjenj kromě Wedderburnovogo i těch, ktore iz njega nastavaju, kogda elementy těla avtomorfizmov prirodnym sposobom zaměnjajut se matricami nad podpoljem.

Tedy v popolno reducibilnom slučaju jest toliko različnyh klasov ireducibilnyh predstavjenj koliko klasov idealov; jih čislo sovpadaje s čislom različnyh dvustranno nerazložimyh, tedy prostyh, kolc. To čislo nakonec znovu jest identično s čislom nerazložimyh komponentov centra, ktore stavaju se komutativnymi poljami. Ti poslědnji v slučaju hiperkompleksnyh sistemov s algebraično zatvorjenoju koeficientnoju oblastju sut popolno opreděljeni različnymi homomorfizmami kolc (ireducibilnymi predstavjenjami) centra; a to sut, do čislovogo faktora, karakteri.

Polučene rezultaty Jednočasno dajut pregled ireducibilnyh predstavjenj sistemov s radikalom, dotoliko koliko oni možet se vozvratiti k predstavjenjam kolca klasov ostatkov po radikalu, ktoro stavaje se sistemom bez radikala.

Kako pozdněje bude pokazano, za hiperkompleksne sistemy bez radikala iz těla avtomorfizmov slěduje takože teorija “razpadnyh polj”, t. j. komutativnyh razširjenj koeficientnoj oblasti, v ktoryh predstavjenja razpadajut se na absolutno ireducibilne -- drugymi slovami, v ktoryh imaje město direktno sumno razloženje na absolutno proste prave idealy. Razpadne polja sut identične s razpadnymi poljami těla avtomorfizmov, i vse razpadne polja najmanjšego stepena sut izomorfne maksimalnym komutativnym podpoljam těla avtomorfizmov. Svęz s vyše spomenutymi izslědovanjami Schura ustanavlja se tym, že transponovane matrice, ktore komutirajut s predstavjenjem, upravo dajut predstavjenje těla avtomorfizmov. Te teoremy imajut byti sistematično razvite v okviru Galoisovej teorije nekomutativnyh těl.

Osnovne pojmy -- operatorny homomorfizm i kolco avtomorfizmov -- dajut takože strukturu obćih kolc s radikalom, ktore zadovoljajut samo minimalnomu uslovju; to bude izloženo na drugoj straně.

I. poglavje. Grupno-teoretične osnovy

§ 1. Grupy s operatorami

Nehaj bude grupa (konečna ili beskonečna), s elementami . Pod oblastju operatorov za grupu razuměje se množina novih simbolov , taka že vsakomu iz i vsakomu iz jednoznačno jest opreděljen element iz , i že zadovoljen jest distributivny zakon:

Soglasno tomu vsaky operator opredělja homomorfizm grupy v sebe, pri čem grupa obrazuje se na sebe samu ili na podgrupu. Jediničny element prěhodi v jediničny element, obratny element v obratny.

Oblast operatorov nazyvaje se absolutnoju, ako različni operatori takože opreděljajut različne homomorfizmy. Iz libovoljnoj oblasti operatorov dobiva se absolutna tako, že sravnjajut se vsi elementi, ktore poraždajut toj samy homomorfizm. Absolutna oblast operatorov jest jedino-jednoznačny obraz podmnožiny množiny vsih homomorfizmov grupy v sebe.

Dopustima podgrupa od -- vzhodno k fiksovanoj oblasti operatorov -- jest taka podgrupa, ktora dopuskaje tu oblast operatorov, t. j. leži v za vsako iz i vsako iz .

Priměry. 1. Nehaj operatori budut vnutrne avtomorfizmy: . Dopustime podgrupy sut normalne dělitelje.

2. Nehaj operatori budut vsi avtomorfizmy. Dopustime podgrupy sut “karakteristične podgrupy”, ktore pri vsih avtomorfizmah prěhodet v sebe.

3. Nehaj bude kolco, t. j. Abelova grupa vzhodno k dodavanju, gde takože opreděljeno jest množenje s vlastnostjami

Vsaky element Jednočasno opredělja dva operatora: operatori i . Dopustime podgrupy sut “idealy” , imenno: lěvostrannje, ktore dopuskajut operacije : ; pravostrannje, ktore dopuskajut operacije : ; dvustrannje, ktore dopuskajut obě operacije. Vsi idealy stavajut se trivialne , ako kolco jest tělo, t. j. ako jest grupa vzhodno k množenju.

4. Moduly vzhodno k kolcu . Nehaj bude kolco, a Abelova grupa, pisana aditivno. Nehaj dano jest množenje elementov iz s elementami iz ; produkt znovu imaje ležati v . Trěba požadovati:

Togda nazyvaje se -modulom; točnije, poneže množitelje iz pišut se lěvo, lěvym -modulom. Kolco jest Jednočasno oblast operatorov. Ako ona jest absolutna, t. j. ako različni elementi kolca daju takože različne operacije, govori se o absolutnoj oblasti množiteljev za modul .

Kako vyše, iz libovoljnoj oblasti množiteljev možno prějdti k absolutnoj tako, že sravnjajut se elementi, ktore poraždajut tu samu operaciju. Absolutna oblast množiteljev jest znovu kolco. Dopustime podgrupy modula nazyvajut se podmoduly. Ako specialno , togda vrčajemo se k lěvym idealam.

5. Dvomoduly. Ako jest Jednočasno lěvy -modul i pravy -modul, i ako nadto za v , v , v vsegda

togda nazyvaje se dvomodulom.

6. Kolco avtomorfizmov Abelovej grupy. Za homomorfizmy v sebe jednej Abelovej grupy (pisanoj aditivno) možno opreděliti dodavanje i množenje formulami

Tako opreděljene operacije javno znovu predstavjajut homomorfizmy i zato znovu prinadležet tomu sistemu. Sistem tvori kolco, i Abelovu grupu možno po 4. smatrjati kako modul vzhodno k tomu kolcu.

Pod “podgrupami” dalje vsegda razumějut se dopustime podgrupy. Prěsěk dvoh dopustimyh podgrup jest znovu dopustima podgrupa. Takože produkt , ako najmanje jedna iz dvoh podgrup jest normalny dělitelj.

§ 2. Teoremy o izomorfizmu

Zobraženje grupy na grupu -- pri čem i imajut iměti tu samu oblast operatorov -- nazyvaje se operatornym homomorfizmom, ako, prvo, ono jest homomorfizm v obyčajnom smyslu ( ), i ako, drugo, kogda ide v , element ide v . Znak: . Ako odpovědanje jest jedino-jednoznačna, ona nazyvaje se operatornym izomorfizmom. Znak: . Kako pri obyčajnyh grupah, dokazuje se teorema o homomorfizmu:

Ako jest operatorno-homomorfny obraz od , togda jest operatorno izomorfna faktorgrupě , kde jest dopustimy normalny dělitelj, sostojęči iz vsih elementov , ktorym odpovědaje jedinica v . Obratno, vsaky dopustimy normalny dělitelj opredělja faktorgrupu , ktora dopuskaje oblast operatorov od i jest operatorno-homomorfny obraz od .

Grupa nazyvaje se prosta, ako ne imaje normalne dělitelje kromě sebe samej i jediničnoj grupy. Vsaky homomorfizm prostej grupy jest ili izomorfizm, ili každome elementu prirědžaje jediničny element.

Prva teorema o izomorfizmu. Nehaj bude homomorfny obraz od , nehaj bude normalny dělitelj v , i nehaj bude vsota elementov , ktorym odpovědajut elementi iz . Togda jest znovu normalny dělitelj, i

Dokaz. , , zato . Zato jest izomorfna faktorgrupě v ; odpovědajuči normalny dělitelj jest vsota elementov, ktorym odpovědaje jedinica v ; to jest upravo .

Dodatok. Ako po teoremě o homomorfizmu položimo , togda sigurno bude objimati . Iz možno vozvratiti : . Odpovědanje jest jedino-jednoznačna. Formulu (1) možno pisati takože:

Druga teorema o izomorfizmu. Nehaj bude podgrupa, a normalny dělitelj od . Togda jest normalny dělitelj v , i

Dokaz. Pri homomorfizmu elementam iz posebno odpovědajut někoje klasy ostatkov , ktore zajedno tvorjut grupu . Zato , iz čego tvrđenje slěduje po teoremě o homomorfizmu.

Operatorno-homomorfno zobraženje grupy na sebe samu ili na podgrupu nazyvaje se endomorfizmom od . Ako jest posebno Abelova grupa (s operatorami), pisana aditivno, i ako suma i produkt homomorfizmov opreděljajut se kako vyše (§1, priměr 6), togda operatorne homomorfizmy grupy v sebe tvorjut kolco, kolco avtomorfizmov.

Kolco avtomorfizmov prostej Abelovej grupy (s operatorami) jest tělo.

Dokaz. Vsaky homomorfizm obrazuje grupu ili na sebe samu, ili na nuljevu grupu (poneže ne imaje drugih dopustimyh podgrup). Homomorfizmy, ktore ne obražajut vse v nulu, sut po tom, čto bylo rečeno vyše o prostyh grupah, izomorfizmy, i izomorfne zobraženja grupy na sebe tvorjut grupu. Tedy po izostavjenju nuljevogo operatora kolco stava se grupoju; zato samo kolco jest tělo.

Ako posebno jest lěvy -modul, i ako operatorne homomorfizmy pišut se kako prave operatory, togda stava se dvomodulom vzhodno k lěvo i kolcu avtomorfizmov pravo. Bo fakt, že nove operatory byly vybrane kako homomorfizmy, izražaje se formulami

ktore (zajedno s ostalymi, uže raněje objašnjenymi) karakterizujut dvomodul.

Obratno, ako dany jest dvomodul, togda te same formuly izražajut, že vsaky element pravojej oblasti množiteljev induciruje operatorny homomorfizm vzhodno k lěvym operatoram, i obratno.

§ 3. Kompozicijne rjady

Ako v jest konečny rjad dopustimyh podgrup

( jest grupa, sostojęča samo iz jedinice ), takovy, že vsaka jest normalny dělitelj v prethodnom členu, i medžu dvoma poslědovateljnymi členami rjada ne jest možno vstaviti ješče jeden člen s toj samoj vlastnostju, togda rjad nazyvaje se kompozicijnym rjadom.

Faktorgrupy nazyvajut se kompozicijnymi faktorami. One sut proste grupy, t.j. ne imajut dopustimyh normalnyh děliteljev kromě sebe samyh i jediničnoj grupy.

Ako medžu operatorami osoblivo vozmemo vse vnutrišnje avtomorfizmy, togda rjad (2) sostojí samo iz normalnyh děliteljev i nazyvaje se glavnym rjadom. Ako vozmemo vse avtomorfizmy, togda on nazyvaje se karakterističnym rjadom. Pri daljnyh priměrah iz §1 šlo by o kompozicijne rjady idealov v , odnosno o kompozicijne rjady modulov ili dvomodulov.

Teorema Jordana--Höldera. Ako za grupu sut dva različne kompozicijne rjady:

togda one imajut tu samu dolgost: , i kompozicijne faktory

sut v někoj rednosti izomorfne k

Za dokaz vidi napr. E. Noether, Abstrakter Aufbau i t.d., Math. Annalen 96 (1926), §10, s. 57. Tam jednočasno dokazuje se:

Ako v jest kompozicijny rjad, togda črez vsaky normalny dělitelj od možno provesti kompozicijny rjad.

Suščestvovanje kompozicijnogo rjada jasno jest za konečne grupy, a občneje za te grupy, v ktoryh važi uslovje maksimalnosti i uslovje minimalnosti:

Uslovje maksimalnosti znači, že v vsakom množstvu podgrup jest maksimalna podgrupa, t.j. taka, ktora uže ne jest objeta drugoju podgrupoju togo množstva. Ekvivalentno tomu jest, že vsaka vzrastajuča veriga podgrup preryvaje se poslě konečno mnogo členov.

Uslovje minimalnosti znači, že v vsakom množstvu podgrup jest minimalna podgrupa, ktora ne obejma ješče drugu podgrupu togo množstva; ili takože, že vsaka spadajuča veriga preryvaje se poslě konečno mnogo členov.

Ako sut dopustimy jako podgrupy samo normalne dělitelji (napr. pri Abelovyh grupah), togda iz suščestvovanja kompozicijnogo rjada obratno slědujut uslovje maksimalnosti i uslovje minimalnosti.

Dokaz. Vsaky normalny dělitelj imaje kompozicijny rjad; jego dolgost nazyvaje se dolgostju normalnogo dělitelja. Ako , togda dolgost jest menša než dolgost , bo črez možno provesti kompozicijny rjad za . Zato vsaka podgrupa najkrajšej dolgosti jest jednočasno minimalna, i vsaka podgrupa največšej dolgosti jest jednočasno maksimalna.

§ 4. Direktne produkty i prěsěky

Grupa nazyvaje se direktnym produktom dvuh faktorov, , ako

Definicija jest očividno ekvivalentna s nastupnym: vsaky element od jednoznačno predstavljaje se kako , kde jest v , jest v , i elementy od komutujut s elementami od : .

Grupa nazyvaje se direktnym produktom faktorov, , ako, položivši , imajemo, že jest direktny produkt za vsako .

Definicija znovu jest ekvivalentna s nastupnym: vsaky od jednoznačno predstavljaje se kako

i elementy od komutujut s elementami od .

Nastupne fakty često se koristajut:

Ako i , togda . Ako i , togda . (To slěduje iz predstavjenja elementov posrědstvom .) Ako i , togda . (To slěduje iz predstavjenja elementov v formě , kde vtory faktor naleži i do , i do .) Ako , togda i (vtoraja teorema izomorfizma). Iz togo dalje slěduje: Ako , i i imajut kompozicijne rjady dolgosti i , togda imaje kompozicijny rjad dolgosti . Ako i , togda .

Grupa nazyvaje se direktno nerazložima, ako je nemožno predstaviti kako direktny produkt faktorov .

Jasno jest: vsaka grupa s uslovjem minimalnosti jest direktny produkt konečno mnogih direktno nerazložimyh grup.

Ako se dotične grupy pišut aditivno, togda pojmy produkt i direktny produkt prehodet v sumu i direktnu sumu. Označenje: za sumu grup , za direktnu sumu .

Pojem "direktnogo prěsěka" dalej ne bude upotrěbjen, ale nastupne teoremy o svęzi medžu direktnym prěsěkom i direktnym produktom pokazyvajut, kako teoriju idealov v nastupnyh glavah možno takože formulovati s prěsěkami vměsto sum; tako se ustanovjaje svęz so znanymi komutativnymi teorijami.

Grupa nazyvaje se direktnym prěsěkom dvuh grup i v odnosu do , ako

Podobno nazyvaje se direktnym prěsěkom grup , ako, položivši , imajemo, že jest direktny za vsako .

Iz definicije slěduje, že mora byti normalny dělitelj v . Ako jest direktny i pri homomorfizmu grupy prehodet v , togda stavaje direktny. Obratno, iz vsakogo takogo predstavjenja vraćajemo se k direktnomu predstavjenju . Črez tu odpovědanje teoremy o direktnyh prěsěkah pri proizvoljnom svodet se k specialnomu slučaju .

V slučaju i dvuh faktorov uslovja za direktny produkt i direktny prěsěk sovpadajut. Pri faktorah suščestvuje nastupna jedino-jednoznačna svęz medžu direktnym produktom i prěsěkom:

I. Ako , togda jest direktny i .

II. Ako jest direktny, togda i .

Dokaz I. Nehaj ; togda . Pokažemo, že . Nehaj, na primjer, jest v ; togda jest v , zato komponentno predstavjenje po davaje:

Poněže produkt vsih jest direktny, ta predstavjenja sovpadajut; na vsakom městu kromě prvogo jeden raz stoji , zato , ili , to jest , i odpovědajuče . Iz togo ; , zato prěsěk jest direktny.

Dokaz II. Nehaj ; togda . Pokažemo, že . Nehaj, na primjer, jest v ; togda, posrědstvom ,

Sformujmo ; togda, berući do uvagy poelementnu komutativnost i , dostavajemo

to jest element vsih , i zato ravny . Zato , ili , i odpovědajuče . Iz togo i ; slědovateljno jest direktny produkt .

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje: glava I, §§5--7, i glava II, §§8--14.

§ 5. Popolno reducibilne grupy

Grupa nazyvaje se popolno reducibilna, ako ona jest direktny produkt konečno mnogih prostyh grup:

V tom slučaju grupy

tvorjat kompozicijny rjad. Jego dolgost jest , a kompozicijne faktory sut

Ako jest popolno reducibilna, togda vsaky normalny dělitelj jest direktny faktor, a drugi faktor možno izbrati kako produkt takyh prostyh grup, ktore vhodet v zadano produktno razloženje . Normalny dělitelj jest takože popolno reducibilny.

Dokaz. Imajemo

Položimo ; togda . Ili , zato ; togda v (3) izpuščajemo faktor . Ili jest vlastny normalny dělitelj v , zato jest , i zato jest direktny produkt. Po izpuščenju izbytočnyh faktorov (3) stavaje se

zato jest direktny faktor. Dalej slěduje

kde sut ostale ; zato jest popolno reducibilny.

Poslědok. Vsako razloženje popolno reducibilnoj grupy na direktno nerazložime faktory jest razloženjem na proste faktory i zato davaje kompozicijny rjad; iz togo slěduje jednoznačna opreděljenost faktorov do izomorfizma.

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje: glava I, §§5--7, i glava II, §§8--14.

§ 6. Moduly vzhodno k tělu. Hiperkompleksne sistemy

Skoro trivialny primjer popolno reducibilnyh grup s operatorami daju moduly s konečnoju bazoju vzhodno k (ne nužno komutativnomu) tělu.

Nehaj bude pravy -modul, i nehaj jediničny element těla bude Jednočasno jediničny operator: za iz . Vsaky podmodul , generovany elementom , jest prosty, imenno jednak modulu generovanomu libovoljnym jego nenuljevym elementom. Zato, ako jest podmodul generovany někojimi elementami, a jest element ne naležeči k , togda , i zato jest direktna suma. Tako, izhodeči iz libovoljnogo bazovogo elementa , možno vsečas dodavati nove bazove elementy i dobiti kako direktnu sumu

Zato jest popolno reducibilna.

Čislo , to jest dolgost kompozicijnogo rjada, nazyvaje se rangom vzhodno k . Baza jest linearno nezavisna zaradi jednoznačnogo predstavjenja elementov (i zato, že bylo predpoloženo kako jediničny operator).

Vsaky podmodul jest direktny sumand:

ili: vsaku linearno nezavisnu bazu možno dopolniti do linearno nezavisnoj bazy . Elementy možno čak izbrati iz izhodnyh bazovyh elementov .

Nehaj i budut linearno nezavisne bazy. Togda

ili, zapisano v matricah,

Obratno,

Iz togo slěduje

a zato, poneže i sut linearno nezavisne,

Specialne -moduly, ktore sut Jednočasno kolca, sut ``hiperkompleksne sistemy''.

Kolco , ktore jest Jednočasno pravy modul vzhodno k komutativnomu polju , nazyvaje se hiperkompleksnym sistemom vzhodno k (v literaturi takože ``algebra nad ''), ako:

rang jest konečny (nehaj linearno nezavisna baza bude ); . To izraža se tako: jest komutativno svęzano s ; jediničny element polja jest Jednočasno jediničny operator: za iz .

Zaradi

sistem jest jednoznačno opreděljen, kogda, kromě , dana jest tablica množenja, ktora ukazuje, kako vsaky produkt izražaje se črěz :

Elementy muset zadovoliti znane relacije, ktore slědujut iz asociativnogo zakona.

Ako , kako často budemo predpolagati, imaje jediničny element ( za vse ), togda elementy polja možno identificirati s , to jest smatrjati kako podpolje v . Hiperkompleksny sistem možno togda takože opisati kako kolco konečnogo ranga vzhodno k polju ležečemu v centru.

Primjer hiperkompleksnogo sistema jest grupno kolco konečnoj grupy: za bazove elementy berut se elementy konečnoj grupy, a za množenje -- grupno množenje. Polje pri tom jest libovoljno.

[12]Uslovje 2 govori, že množenje elementom iz davaje homomorfizm za , kogda razsmatra se i kako lěvy -modul, i kako pravy -modul. Posrědstvom 3 ty homomorfizmy sut čak izomorfizmy.

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje: glava I, §§5--7, i glava II, §§8--14.

§ 7. Matrice

Kvadratne matrice , kde sut iz kolca , tvorjat kolco pri obyčnom matričnom množenju i dodavanju .

Matrica s elementami iz těla , za ktoru obstajet prava i lěva obratna matrica, nazyvaje se regularna.

V §6 viděli jesmo: matrica prěhoda medžu dvěma linearno nezavisnymi bazami -modula jest regularna.

Za regularnost dostatočna jest prava obratna matrica. Bo sformujmo pravy -modul s linearno nezavisnoju bazoju (modul linearnyh form iz neizvěstnyh ), i položimo

Togda

zato jest znovu baza, zato znovu linearno nezavisna, i zato matrica jest regularna. Nadto prava obratna matrica jest jednaka lěvoj obratnoj matrici.

Podobno dostatočna jest lěva obratna matrica.

Ako imaje lěvu obratnu matricu, togda ne jest lěvy dělitelj nulja. Dokaz. Iz slěduje .

Zato imaje takože samo jednu pravu obratnu matricu, ktora po §6 sovpada s lěvoju obratnoju matricu.

Ako, kako obyčno, pod razumějemo matricu , a pod matricu, ktora na městu imaje jediničny element i vsude inde nuli, togda

zato matrice nad tvorjat -modul ranga . Matrice zadovoljajut relacije

Tym samym matrice nad tvorjat konečny -modul i, ako jest komutativno, hiperkompleksny sistem.

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje: glava II, §§8--14.

II. poglavje. Nekomutativna teorija idealov

§ 8. Teorem o homomorfizmu za kolca

Ako jest dvustranny ideal v , togda oblast klasov ostatkov jest ne samo -modul, ale takože kolco, kako legko viděti. Vsaky homomorfny obraz od jest znovu kolco i jest izomorfny kolcu klasov ostatkov , kde jest dvustranny ideal. Dokaz jest kako pri grupah.

Ako posebno jest tělo, togda ne obstojat druge idealy kromě i ; zato tu homomorfizm jest ili izomorfizm, ili vsakomu elementu odpovědaje nulu.

Ako posebno kolco jest pravy -modul, kde imaje byti kolco, elementno komutirajoče s :

(napriměr, kogda jde o hiperkompleksny sistem vzhodno k komutativnomu tělu ), togda za dopustime (prave, lěve ili dvustranne) idealy smatrajut se samo take, ktore sut Jednočasno -moduly, i kromě homomorfizma kolc požada se takože operatorny homomorfizm vzhodno k množenju s . Dopustime idealy stavaju se dvomodulami vzhodno k i . (Pri hiperkompleksnyh sistemah pod ``idealami'' bez daljnogo opreděljenja vsegda razumějut se samo take, ktore sut dopustime vzhodno k položenomu v osnovu koeficientnomu tělu .) I pri tom razširjenju vyše uvedeny teorem o homomorfizmu ostava važny.

Priměr homomorfizma kolc jest prěhod od oblasti množiteljev k absolutnoj oblasti množiteljev (§1, priměr 4). Zato absolutna oblast množiteljev jest izomorfna kolcu klasov ostatkov , kde jest dvustranny ideal elementov iz , ktore anulujut .

Iz važnosti teorema o homomorfizmu slědujut, kako v §2, prvy i vtory teorem o izomorfizmu za izomorfizm kolc i operatorny izomorfizm.

Vse produkty podmnožin od treba razuměti kako modulne produkty: jest množina vsih sum , kde jest v , jest v , a jest množina vsih sum , kde jest v . Ako jest pravy modul vzhodno k někomu kolcu kako oblasti operatorov, togda i produkt , odnosno , jest pravy modul. (Osobito: pravy ideal, dopustimy ideal vzhodno k oblasti koeficientov , i t. d.) Ako označuje sumu modulov , togda važet računske pravila

Direktna suma označaje se s (§4).

V daljnjem často budemo razmatrjati kolca, v ktoryh važi uslovje maksimalnosti ili minimalnosti (§3) za prave idealy. K tym prinadležet osobito hiperkompleksne sistemy, poneže po vyše dogovorjenju dopuskajut se kako idealy samo -moduly, a zato jih rang ostava ograničeny (§6).

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje: glava II, §§8--14.

II. poglavje. Nekomutativna teorija idealov

§ 9. Idempotentne elementy. Direktno razloženje na prave idealy

Nehaj bude kolco s jediničnym elementom.

Ako jest pravy ideal, togda , a iz-za jediničnogo elementa čak . Odpovědajuče za lěve idealy: .

Element nazyvaje se idempotentny, ako .

Ako jest razloženje na prave idealy, i pri tom

togda

Dokaz. Nehaj bude elementom iz . Togda

ale takože

zato

Iz prvoj formuly slěduje ; s drugoj strany , zato . Ako specializujemo , dobivamo

To samo važi, ako indeks zaměniti s .

Obratno, ako , , , i položimo , togda .

Dokaz. Vsaky element iz jest

zato

Ale predstavjenje jest jednoznačno: imenno, iz

po množenju s slěduje

Iz pravogo predstavjenja

tym sposobom slěduje lěvo predstavjenje

Ako sut direktno nerazložime, togda take sut i ; bo razloženje, napr. od , značilo by

Iz togo dobiva se pravo razloženje

zato by byl razložimy.

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje: glava II, §§8--14.

II. poglavje. Nekomutativna teorija idealov

§ 10. Razloženje na dvustranne idealy

Nehaj znovu bude kolco s jediničnym elementom, i nehaj

bude razloženjem na dvustranne idealy. Togda relacije ortogonalnosti važe takože za idealy:

Dokaz. Nehaj , ; togda , zato , i tym boljše

Obratno: iz (1) i (2) slěduje, že moduly sut dvustranne idealy. Dokaz.

Prave idealy v kolcu sut prave idealy v . Dokaz.

Ako jest pravy ideal v , togda jest direktna suma pravyh idealov . Dokaz. , i , zato sut prave idealy ležeče v . Dalje, , zato suma jest direktna:

Osobito, ako jest direktno nerazložimy, togda može iměti samo jednu komponentu; zato mora ležati v někom .

Na osnově tyh teoremov vlada se teorijeju idealov v , kogda se zna teorija idealov pojedinyh . Zato se največestěje ograničivamo na dvustranno nerazložime kolca.

Dva prave idealy, ktore ležet v različnih , nikogda ne mogut byti operatorno-izomorfne. Dokaz. Ideal ležeči v jest anulovany vsimi drugymi , ale ne jest anulovany przez . Naprotiv, ideal ležeči v jest anulovany przez .

Ako tedy možno jest razložiti kolco na dvustranno nerazložime idealy , i vsako znovu na jednostranno nerazložime prave idealy , togda operatorno-izomorfne treba iskati medžu tymi, ktore prinadležet k tomu samomu . Ale byvaje, že v tom samom jest ješče različne klasy -- t. j. klasy ne operatorno-izomorfne -- kako pokazuje slědujuči primjer.

Nehaj bude polje racionalnyh čisel,

hiperkompleksny sistem, pri čem i komutujut s čislami iz , i tablica množenja jest

Jediničny element jest . Elementy izpolnjajut relacije ortogonalnosti. Zato pravo razloženje jest

i lěvo razloženje jest

Poneže i očividno sut nerazložime, i takože moraju byti nerazložime.

Dvustranne razloženje jest nemožno; bo togda jedna komponenta morala by sadržati , a druga ; prva by togda sadržala , ale druga takože .

No i ne sut operatorno-izomorfne, poněže imajut različny rang vzhodno k .

Nehaj , i nehaj sut dvustranno nerazložime. Togda one sut jednoznačno opreděljene.

Dokaz. Nehaj kromě togo , tedy

Poslědnja suma jest direktna, poněže i ; ale poněže sut nerazložime, vsi moraju byti nuljevy kromě jednogo: . Zato

Takože:

i , zato vsi ostale sut ,

čto bylo dokazati.

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje: glava II, §§8--14.

II. poglavje. Nekomutativna teorija idealov

§ 11. Centar

Centar kolca jest množstvo vsih , ktore komutujut so vsimi elementami kolca ( za vse ). jest komutativno kolco.

Vsaky jednostranny ideal v imaje v ``ideal suženja'' . Bo, poneže i i sut -moduly, takože jest -modul.

Vsaky ideal v imaje ideal razširenja: ideal , porodženy od v . On jest dvustranny, poneže

Ako se v predpostavja jediničny element, togda možno pisati . V tom slučaju važi slědujuči teorem:

Vsakomu razloženju na dvustranne idealy vzaimno-jednoznačno odgovarja razloženje centra: iz

slěduje

i obratno.

Dokaz. Nehaj bude centralny element, i nehaj

bude jego razloženje po (1). Togda sut centralne elementy; bo

zaradi direktnosti sumy i poneže jest dvustranny,

Zato leži v ; zato (3) davaje tvrđeno razloženje sumy. Osobito, ; zato sut centralne elementy. Nakonec

zato

Obratno, ako jest razloženje centra, togda po §9

Zato po relacijah ortogonalnosti ( 9)

Ako teper postavimo , togda iz prvoj česti tvrđenja znajemo, že

Ale , zato po §4, 2.

Poslědok. i sut jednočasno dvustranno direktno razložime ili ne.

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje: glava II, §§8--14.

II. poglavje. Nekomutativna teorija idealov

§ 12. Nilpotentne idealy

Ideal nazyva se nilpotentnym, ako .

Priměr. Ideal v §10.

Ako v jest nilpotentny pravy ideal , togda suščestvuje takože nilpotentny lěvy ideal (navět dvustranny ideal).

Dokaz. Nehaj . Togda jest lěvy ideal; odnosno, ako ne sadrži jediničnogo elementa i moglo by byti nulovym, lěvym idealom jest , i

Suma dvoh nilpotentnyh pravyh idealov jest znovu nilpotentny pravy ideal.

Dokaz. Nehaj , . V

vsaky člen sadrži ili najmanje faktorov , ili najmanje faktorov . V prvom slučaju imajemo

v drugom slučaju odpovědajuče za faktory . Zato

Ako teper v važi uslovje maksimalnosti za prave idealy, togda suščestvuje maksimalny nilpotentny pravy ideal. On sadrži vse druge nilpotentne prave idealy, bo inače možno bylo by tvoriti sumu s takim idealom. Nehaj on bude . Poneže jest takože nilpotentny pravy ideal, imajemo , zato jest lěvy ideal. Vsaky nilpotentny lěvy ideal takože sadrži se v . Bo jest nilpotentny pravy ideal, zato . Tako suščestvuje maksimalny (dvustranny) nilpotentny ideal , abo “radikal”, ktory sadrži vse druge (prave i lěve).

V priměru §10 ideal jest maksimalny nilpotentny ideal.

Ako radikal jest nulovy ideal, govori se o “kolcu bez radikala” (“poluprostom kolcu”, “Dedekindovom sistemu”). Kolco klasov ostatkov po radikalu jest vsegda kolco bez radikala.

Ako jest centar od , a radikal od , togda jest radikal od .

Dokaz. Jasno jest, že jest nilpotentny. Ako by v suščestvoval ještě širši nilpotentny ideal , togda jego možno bylo by razširiti do nilpotentnogo ideala , ne cělkom sadrženogo v , bo

Poslědok. Ako jest kolco bez radikala, togda takože . Obratno tvrđenje však ne važi, kako pokazuje naš priměr v §10. Centar sadrži kolco izomorfno k ; ono može však byti vlastnym podkolcom (priměr v §10).

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje: glava II, §§8--14.

II. poglavje. Nekomutativna teorija idealov

§ 13. Popolno reducibilne kolca

Po §5 kolco nazyva se pravo popolno reducibilnym, ako ono jest direktna suma konečno mnogih prostyh pravyh idealov.

Pravo popolno reducibilno kolco s jediničnym elementom ne imaje nilpotentnogo ideala , zato ne imaje radikala.

Dokaz. Vsaky pravy ideal jest direktny sumand (§5):

Poneže , imajemo takože . Ako by byl nilpotentny, togda bylo by , zato , zato , q.e.d.

Teper pokažemo oba obratna tvrđenja. Prvo: kolco bez radikala, s uslovjem minimalnosti za prave idealy, jest popolno reducibilno v odnosu do pravyh idealov.

Dokaz. Nehaj bude minimalny pravy ideal . Hočemo pokazati, že sadrži idempotentny element.

Poneže i , slěduje , bo jest pravy ideal. Zato jest nekoje v tako, že . Tada mora byti , bo jest pravy ideal.

Vse elementy v , ktore anulirajut se črez ( ), tvorjat pravy ideal, i ne jest on , zato jest . Znači: iz slěduje .

Zaradi element možno predstaviti v obliku : , . Slěduje

Teper dalje pokažemo, že jest direktny sumand. jest pravy ideal , , bo leži v ; zato . Vsaky element iz dopušča predstavjenje

Elementy tvorjat ideal ; elementy tvorjat drugy pravy ideal , ktory jest anulovany črez : . Zato

Poneže elementy iz ne anulirajut se črez , suma jest direktna:

Ako teper po uslovju minimalnosti predstavimo kako direktnu sumu direktno nerazložimyh idealov:

togda morajut byti proste (= minimalne). Bo ako, na primjer, ne byl by prosty, a byl by minimalny ideal v , togda iz (1) imajemo

zato byl by razložimy, čto ne može byti. Zato jest popolno reducibilno.

Drugo: kolco bez radikala s uslovjem minimalnosti imaje jediničny element.

Da najprvo pokažemo suščestvovanje lěvoj jedinice, dostatočno jest pokazati slědujuče: ako pravy ideal imaje lěvu jedinicu , togda suščestvuje pravy ideal večej dolgosti, ktory takože imaje lěvu jedinicu . Bo popolnu reducibilnost, to jest ograničenost vseh dolgostij, jesmo uže pokazali; tak v konečno mnogih krokah dojdemo do lěvoj jedinice za samo .

Nehaj zato i . Formula

dava, kako vyšje, Peirceovo razloženje . Nehaj, kako vyšje, bude idempotentny element iz , to jest , (bo anuliraje vse elementy iz ). Ako položimo , , togda dostajemo

Po zamětce učinjenoj v primětce, stava lěva jedinica za kolco

koje, zaradi , kako pravy ideal imaje veču dolgost než .

Da pokažemo, že konstruovana lěva jedinica jest takože prava jedinica, činimo Peirceovo razloženje v lěve idealy:

Imajemo , , zato , zato, poneže po predpoloženju ne može suščestvovati nilpotentny lěvy ideal, . Zato jest takože prava jedinica i tym samym jedinica obće.

Teorem. Iz pravostrannoj popolnoj reducibilnosti i suščestvovanja jedinice slěduje dvustranna:

Kako v prethodnom dokazu, dostatočno jest pokazati, že vsaky minimalny (dvustranny) ideal jest direktny sumand. jest kako pravy ideal direktny sumand:

Odgovarajuče lěvo razloženje jest

Slěduje

Zato , zato jest dvustranny; zato jest dvustranny direktny sumand. Od togo města dokaz ide kako dokaz jednostrannoj popolnoj reducibilnosti.

Idealy sut takože kako kolca dvustranno proste, bo vse idealy v sut idealy v . Izslědujemo njihovu strukturu.

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje: glava II, §§8--14.

II. poglavje. Nekomutativna teorija idealov

§ 14. Dvustranno proste popolno reducibilne kolca s jediničnym elementom

Nehaj bude tako kolco:

Togda slěduje

jest dvustranny ideal (bo leži v ), zato jest .

Ako položimo , togda dostajemo direktnu sumu

Bo ako , togda, poneže leži v i jest direktna suma,

a dalje, poneže leži v ,

Dalje: , zato . Nehaj bude iz . Togda

zato

Ako za vsako iz položimo

togda preslikanje jest operatorny homomorfizm od do . Elementy, ktorym jest pridělena nula, tvorjat ideal , zato nulovy ideal; zato jest to izomorfizm. Tym:

Vsake dva proste prave idealy i , ktore se pojavjajut v jednom predstavjenju , sut operatorno izomorfne; izomorfizmy posrědujut se elementami iz . Poneže vsake dva različne proste prave idealy vsegda se pojavjajut vměsto najmenej v jednom predstavjenju , sut takože vsake dva take idealy izomorfne.

Vse homomorfizmy od do posrědujut se elementami iz .

Dokaz. Ako , togda iz slěduje, že leži v ; dalje

Osobito, homomorfizmy od v samogo sebe posrědujut se črez .

Produktu dvoh elementov iz odgovarja produkt homomorfizmov, a sumi odgovarja suma. (Definiciju vidi §1, 6.) Različne davaju različne avtomorfizmy, bo prehodi v . Zato kolco jest izomorfno kolcu avtomorfizmov od .

No kolco avtomorfizmov prostogo ideala jest tělo (§2), zato jest tělo. Poneže dalje vse sut operatorno izomorfne, sut takože njihova kolca avtomorfizmov izomorfne kako kolca: jest jednoznačno opreděljeno črez do izomorfizma kolc. Različne možlive sut samo različne konkretne realizacije abstraktno opreděljenogo kolca avtomorfizmov prostyh pravyh idealov.

Glavny teorem. Vsako popolno reducibilno dvustranno prosto kolco s jediničnym elementom jest izomorfno kolcu matric -go stepena nad tělom . (Tělo jest izomorfno tělu avtomorfizmov pravyh idealov od .)

Dokaz. Konstrukcija matričnyh jedinic . Nehaj bude identičny avtomorfizm od , libovolny izomorfizm , i nakonec položimo

Togda obće slěduje

Ako jest posrědovan elementom iz , togda dalje slěduje:

zato

Zato sut matrične jedinice (§7).

Konstrukcija od . Priradženje

priradžaje vsakomu iz ``konjugovany element'' iz .

To priradženje jest izomorfizm kolc, bo izomorfizmy , ktore odgovarjajut i , sut povezane formulom

relacijo, ktora kako znano predstavlja izomorfizm kolc. Teper tvorimo elementy

Vsakomu jest priradženo jedno (jednoznačno i obratno jednoznačno zaradi direktnoj sumy). Vsota vseh jest tělo , bo iz

slěduje

zato priradženje jest izomorfizm.

Dalje jest

zato vsako jest zaměnljivo s vsimi .

Nakonec iz tyh samyh formul slěduje

zato

Priradženje. Ako vsaky element od predstavimo v obliku i priradimo tomu elementu matricu , togda priradženje stava izomorfizm, kako odmah slěduje iz definicije množenja matric. Tym glavny teorem jest dokazan.

Obratno tvrđenje. Kolco matric -go stepena nad tělom jest dvustranno prosto i popolno reducibilno; jest izomorfno kolcu avtomorfizmov pravyh idealov, a jest to , konstruovano v prethodnom teoremu.

Dokaz. Nehaj matrične jedinice (§7) budut . Položimo

Togda očito . Idealy sut proste prave idealy, bo vsaky nenulovy element generuje cijely . Jestli , togda

i proběgaje vse elementy od .

Idealy sut operatorno izomorfne: .

Iz togo slěduje: jest dvustranno nerazložimo, zato po teoremu iz §13 na osnově uže dokazane popolne reducibilnosti -- i poneže suščestvuje jediničny element -- ono jest dvustranno prosto (kako možno viděti i iz togo, že nekoje generuje cijely dvustranny ideal ).

Dalje jest

Nakonec, ako položimo , slěduje

čim vse jest dokazano.

Centar od jest centar od , zato tělo.

Dokaz. sostavi se iz vsih , ktore sut zaměnljive s vsimi . One sut však takože zaměnljive s vsimi , zato i so sumami . Zato:

Obratno: nehaj bude v ,

zato

Zato jest v i zaměnljivo s vsimi , zato jest v .

Poneže matrično kolco jest naravno takože lěvo popolno reducibilno, a vsako pravo popolno reducibilno kolco s jediničnym elementom jest direktna suma matričnyh kolc, slěduje:

Vsako pravo popolno reducibilno kolco s jediničnym elementom jest takože lěvo popolno reducibilno, i obratno.

I: centar popolno reducibilnogo kolca s jediničnym elementom jest direktna suma komutativnyh těles, ktore odgovarjajut dvustranno prostym matričnym kolcam.

Ostava još slědujuči teorem:

Vsake dva različne razloženja , prehodet jedno v drugo črez vnutrišnje avtomorfizmy , .

Dokaz. Nehaj

i nehaj budut elementy, ktore posrědujut dva vzajemno obratne izomorfizmy idealov :

Položimo

Togda

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje i završenje: glava III, §§15--19, i glava IV, §§20--26.

III. poglavje. Teorija modulov i predstavjenj

§ 15. Predstavjenja i moduly predstavjenj

Nehaj bude kolco, a kolco s jediničnym elementom. (Pri pozdnejših priměnjenjah jest vsegda tělo.)

Predstavjenje -go stepena od v jest homomorfija

gdě jest kolco matric -go stepena nad .

Pod modulom predstavjenja od v odnosu do razuměje se dvojny modul (§1, 5), ktory jest lěvy -modul i pravy -modul:

ktory dalje jest direktna suma finitno mnogih jednoporodženyh -modulov:

i gdě jediničny element od jest jediničny operator.

Vsaky modul predstavjenja vodi k predstavjenju. Nehaj bude v i

ili

Togda matrice tvorjat predstavjenje elementa , bo

ili

Obratno: vsako predstavjenje od prinadleži modulu predstavjenja, i to opreděljenoj bazi tog modula. Imeno, pod razumějemo cělost formalnyh linearnyh form v ,

Togda jest pravy -modul. Dalje, ako elementu jest priradžena matrica , opredělimo

Iz homomorfizmnyh relacij

slědi

i to samo za sumy . Ostale svojstva dvojnego modula

sut trivialne. Zato jest modul predstavjenja, ktory po samoj konstrukciji točno prinadleži predstavjenju .

Nehaj teper bude druga baza za toj samy modul predstavjenja:

Ako v odnosu do bazy , togda

Predstavjenja i nazivajut se ekvivalentne i računjajut se k tomu samomu klasu predstavjenj. Poneže vsaka regularna matrica prevodi bazu od znovu v bazu, jest dokazano:

Vsaky modul predstavjenja jednoznačno vodi k opreděljenomu klasu predstavjenj.15a)

15. Moduly predstavjenj v odnosu do komutativnyh těl prvi raz pojavjajut se u W. Krulla, Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen, Sitzungsber. Heidelberger Ak. 1926, 1-a rabota. 15a) Dodano pri korekturi (14 aprilja 1929). Kako mi je sdělil B. L. van der Waerden, možno jest dostati svęz, nezavisny od specialnogo izbora bazy, to jest invariantny svęz, neposrědnje razdělěnjem pojmov: linearno transformovanje i matrica. Linearno transformovanje jest homomorfizm dvuh modulov linearnyh form; matrica jest izraz, ili predstavjenje, tog homomorfizma pri opreděljenom izboru bazy. I. Vsaky modul predstavjenja jednoznačno priradžuje oblasti multiplikatorov homomorfnu sistemu linearnyh transformovanj modula v sebe. Bo po koncu §2 lěve multiplikatory dvojnego modula tvorjat operatorne homomorfizmy od v sebe v odnosu do pravyh operatorov (tut množenje s ), i to priradženje jest homomorfno. II. Vsaka sistema linearnyh transformovanj modula linearnyh form v sebe, homomorfna do , vodi k modulu predstavjenja.

Jasno jest: dvoma operatorno izomorfnym modulom predstavjenj odgovarja toj samy klas predstavjenj. Ale i obratno: ako dva moduly predstavjenj i tvorjat to samo predstavjenje, togda priradženje

dava izomorfizm. Bo pravilo množenja jest popolno opreděljeno matricami .

Specialny slučaj: ako dvě bazy od tvorjat to samo predstavjenje, one prehodet jedna v drugu črez operatorny izomorfizm od na sebe.

Ili: ako za vse i fiksovano , togda priradženje

jest izomorfizm od na sebe. Obratno: vsaky izomorfizm dvojnego modula na sebe posrěduje se matricom , ktora jest zaměnljiva so vsimi .

Pojem predstavjenja možno razširiti takože na taka kolca, ktore sut još komutativno povezane s komutativnoju oblastju multiplikatorov (§8). V tom slučaju berut se samo taka kolca-nositelji predstavjenj , ktore imajut v svojem centru, i od predstavjenja se ne trebuje samo, že ono bude ringovy homomorfizm , ale takže, že ono bude operatorny homomorfizm: iz imaje slědovati

Za moduly predstavjenj ta trebovanja označa dodatno računno pravilo

Modul i kolco togda, kako se govori, sut ``komutativno povezane s ''.

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje i završenje: glava III, §§15--19, i glava IV, §§20--26.

III. poglavje. Teorija modulov i predstavjenj

§ 16. Reducibilne predstavjenja

Ako jest podmodul modula predstavjenja , i ako možno jest vybrati bazu za , sostavljenu iz bazy od , dopolnjenu s , to jest

togda predstavjenja imajut formu

gdě matrice same po sebe tvorjat predstavjenje -go stepena, porodženo modulom , a matrice tvorjat predstavjenje -go stepena, porodženo modulom .

Dokaz. Jest

Poneže , kako elementy od , izrazjajut se samo črez , v matrici vpravo gore stoji nula. Ako ostale děly od v pokazanoj porjadnosti nazovemo , togda osoblivo

zato tvorjat predstavjenje, posrědovano črez . Dalje

medžutym tvorjat bazu, linearno nezavisnu modulo . Zato tvorjat predstavjenje, porodženo modulom .

Obratno, ako dano jest ``reducibilno'' predstavjenje

gdě i sut kvadratne matrice, togda v prinaležnom modulu predstavjenja produkty vsakogo s poslědnimi bazovymi elementami izrazjajut se samo črez njih, t. j. jest podmodul.

16. Inymi slovami: kogda kako -modul jest direktny summand. Ako jest tělo, to predpostavjenje vsegda jest izpolnjeno.

Poslědok. Nehaj

bude kompozicijny red za , i nehaj vsaky v prědhodnom bude direktny summand kako -modul, tako že možno jest vybrati bazu

tako že s tvorjat bazu za . Togda predstavjenja, posrědovana črez , imajut formu

i tvorjat predstavjenja, posrědovana črez kompozicijne faktory .

Jedinačne predstavjenja sut ireducibilne, poneže kompozicijne faktory sut proste. Ako predpostaviti, že jest tělo, togda i obratno vsako predstavjenje, najdalje reducirano do formy (2), vodi k kompozicijnomu redu. Po teoremu Jordana--Höldera kompozicijne faktory sut jednoznačne do operatornogo izomorfizma; zato sut jednoznačno opreděljene do ekvivalentnyh predstavjenj i do porjadnosti.

Ako jest direktna suma dvuh modulov predstavjenja , , togda predstavjenje, posrědovano črez bazu , javno imaje formu

gdě označuje predstavjenje elementa , posrědovano črez , a ono, posrědovano črez , i obratno. Ako modul najprvo predstaviti kako direktnu sumu direktno nerazložimyh sostavnyh čestij i za njih iziskati kompozicijne redy kako vyše, togda pri pogodnom vyboru bazy predstavjenje imaje odpovědajuču blokovu formu. Ako znovu jest tělo, togda i obratno vsako najdalje reducirano predstavjenje vodi k predstavjenju modula črez direktno nerazložime summandy i kompozicijne faktory v njih. Po teoremu Krulla i Otta Schmidta klasy direktno nerazložimyh sostavnyh čestij predstavjenja sut jednoznačno opreděljene do porjadnosti.

Ako modul jest popolno reducibilny, togda vsi bloky sostojat iz jedinogo ireducibilnogo predstavjenja, i predstavjenje nazyva se popolno reducibilnym.

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje i završenje: glava III, §§15--19, i glava IV, §§20--26.

III. poglavje. Teorija modulov i predstavjenj

§ 17. Direktno razloženje modulov predstavjenja pri kolcah s jediničnym elementom

Nehaj bude -modul, a kolco s jedinico. Togda

gdě za jedinica jest jediničny operator, a za nuljevy operator. ( i sut takože prave -moduly, ako jest takim.)

Dokaz. Vsako iz možno predstaviti kako

Vsě elementy označimo kako , a vsě elementy kako . Togda i sut očividno aditivne grupy i prave -moduly, ako jest takim. Dalje jest

zato jest takože -modul; podobno

zato jest -modul. Za elementy element jest jediničny operator, a za elementy nuljevy operator. Zato samo nula naleži i do i do ; suma jest direktna.

Ako idě o moduly predstavjenja, togda porađa trivialno predstavjenje, v kojemu vsakomu elementu prirěđuje se nula. Ako odcěpiti summand , ostaje predstavjenje posrědovano črez , v kojemu jediničnomu elementu prirěđuje se jedinična matrica. Na take predstavjenja zato možemo i hočemo od nyně ograničiti se.

Nehaj

bude direktna suma dvustrannyh idealov,

razloženje od , i nehaj bude -modul, gdě jest jediničny operator. Togda

jest direktno. Očividno jest

Postavimo ; togda

i ta suma jest direktna, poneže jest jediničny operator za i nuljevy operator za .

Na osnově sej teoremy obyčno ograničujemo se na predstavjenja dvustranno nerazložimyh kolc.

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje i završenje: glava III, §§15--19, i glava IV, §§20--26.

III. poglavje. Teorija modulov i predstavjenj

§ 18. Teorija modulov i predstavjenj popolno reducibilnyh kolc

Nehaj bude popolno reducibilno i dvustranno prosto, a konečny -modul, za ktory jediničny element od jest jediničny operator. Togda jest popolno reducibilny, a proste komponenty sut operatorno izomorfne prostym lěvym idealam .

Dokaz. Nehaj

togda

Te , ktore sut različne od nuli, sut izomorfne k , bo prirěđenje jest operatorny izomorfizm. Zato sut proste. Ako iz izraza (4) izpustimo te , ktore uže sut sadržane v sumi prědhodnyh, togda suma staje direktna.

Poslědica. Ako k tomu jest direktno nerazložimy, togda jest prosty i izomorfny nekomu .

Nehaj nyně bude tělo avtomorfizmov sej prostoj , a tělo avtomorfizmov ; togda na osnově operatornogo izomorfizma medžu i imamo izomorfizm kolc . Po §1 možno smatrjati i kako bimoduly s odnosno kako pravym skalarnym področjem, pri čem ti bimoduly sut takože moduly predstavjenja. Predstavjenja posrědovane njimi perehodet jedno v drugo črez izomorfizm kolc . Zato za izučenje sej klasy predstavjenj možemo ograničiti se na predstavjenje posrědovano črez v jego tělu avtomorfizmov.

Specifično za položimo za osnovu bazu iz matričnyh jedinic

i kako realizaciju těla avtomorfizmov vozmemo raneje (§14) s označeno podtělo od . Pri tom, v sravnanju s ranejšimi razmysljenjami, prave idealy trěba zaměniti lěvymi, a avtomorfizmy odpovědajuče pisati sprava. Ako predstavimo

togda jest

Obnovjeny prvotny zaključok §18. Ako togda vsaky element od predstavimo v formě

togda jest predstavjenje v , posrědovano črez .

Nehaj bude podtělo od , tako že jest konečnogo ranga vzhodno k :

Togda stavaje svojim vlastnym modulom predstavjenja vzhodno k . Elementy od predstavjajut se matricami v , ktore se dobyvajut tak:

Ako nyně smatrjati kako modul predstavjenja vzhodno k podtělu , nahodimo:

Predstavjenje od v , posrědovano črez , dobiva se tako: v vyše podanom predstavjenju od v , , elementy zaměnjajut se matricami , ktore jim odgovarjajut v predstavjenju od v .

Dokaz.

Posrědstvom bazy element predstavjaje se blokovoju matricoju, ktora v -bloku sadrži jediničnu matricu , a v vsih drugih blokah nulove matrice reda . Takože element iz predstavjaje se blokovo-diagonalnoju matricoju s odgovarjajučimi -rednymi matricami . Zato elementu

odgovarja blokova matrica . Prěhod k libovoljnomu znovu davaje izomorfizm kolc za predstavjenje.

Primětka. Tut izučane predstavjenja v tělu avtomorfizmov lěvyh idealov i v jego konečnyh podtělah sut, do izomorfizma, jedine, ktore mogut byti posrědovane prostymi -modulami ili lěvymi idealami. Bo po raneje (§2) učinjenoj primětce, ako -modul smatrjati kako bimodul vzhodno k někojemu tělu , elementy od poraždajut homomorfizmy modulov. Zato tělo neobhodno mora homomorfno odobražati se v podtělo těla avtomorfizmov sej -modula. Toj homomorfizm, poneže jediničny element jest jediničny operator, jest izomorfizm, i celo tělo avtomorfizmov mora imati konečnu stepenj vzhodno k odpovědajučemu podtělu; inače by i modul predstavjenja imal beskonečny rang, čto ne jest možno.

Na konec naj bude ješče spomenuto, že tut razgledane ireducibilne predstavjenja ješče ne sut vse, ale samo te, ktore sut posrědovane prostymi -modulami. Obće sut ješče moduly predstavjenja, napr. tělo , smatrjano kako bimodul vzhodno k podtělu kako lěvoj oblasti i k samomu sobě kako pravoj oblasti; one kako -moduly sut reducibilne, ale kako bimoduly ireducibilne, i zato vse-taki vodet k ireducibilnym predstavjenjam.

§ 19. Proste kompozicijne faktory pri modulah i modulah predstavjenja

Nehaj bude kolco s uslovjem maksimalnosti i uslovjem minimalnosti za lěve idealy, a -- maksimalny nilpotentny ideal. Togda važi:

Vsaky prosty -modul ili jest anulovany od , ili jest izomorfny prostomu lěvomu idealu iz kolca bez radikala . V poslědnom slučaju modul jest anulovany vsimi tymi dvustrannymi idealami iz , ktore ne sadrže , a absolutna oblast množiteljev (§1) jest izomorfna dvustranno prostomu kolcu, ktore sadrži .

Dokaz. Nehaj . Mora biti ; bo inače by bylo , togda , iz čego zaradi slědoval by protivrěčny zaključok . Zato možno takože smatrjati kako -modul: vse elementy jednogo klasa ostatkov po daju to samo pri množenju s elementom iz .

Kako kolco bez radikala, imaje jediničny element. Zato jest direktna suma modula, ktory jest anulovany od , i modula, za ktory jediničny element stavaje jediničny operator (§17). Poneže jest prosty, može nastupiti samo jeden iz oboju summandov. Ako jediničny element jest jediničny operator, togda podobno kako v §18 slěduje izomorfnost k prostomu lěvomu idealu. Imenno, ako jest element iz , togda takože ; zato za najmenje jeden prosty lěvy ideal iz , i zato on mora izčrpati . Daljne tvrdženja za take lěve idealy sut jasne i odmah prěnoset se na vse k njim izomorfne moduly.

Poslědok. Ako jest -modul, ktory imaje kompozicijny red, togda proste kompozicijne faktory ili sut anulovane od , ili sut izomorfne prostym lěvym idealam iz .

Ako jest kolco komutativno povezano s , togda vse rezultaty ostavajut. Trěba togda samo vměsto modulov smatrjati bimoduly vzhodno k sprava i slěva, ktore zadovoljajut uslovju

Nadto jediničny element od takože imaje byti jediničnym operatorom. Kako podmoduly vsegda se razmatrajut samo take, ktore dopuskajut množenje s , kako pri idealah. Podmoduly , skonstruovane v naših dokazah, zadovoljajut tomu uslovju.

Osoblivo, ako jest tělo i jest -modul konečnogo ranga, togda jest jednočasno modul predstavjenja. Predstavjenje posrědovano črez jest ne samo ringovo-homomorfno, ale takože operatorno-homomorfno vzhodno k (§15). Vse predstavjenja v s toj vlastnostju dostavljajut se takymi modulami. Ireducibilne predstavjenja prinadležet k prostym modulam, i obratno. Zato teoremy sego paragrafa možno odmah razuměti kako teoremy o predstavjenjah od v : vse ireducibilne predstavjenja, kromě nulovyh predstavjenj, sut posrědovane prostymi lěvymi idealami od . Ako tedy libovoljno predstavjenje po §16 reducira se posrědstvom kompozicijnogo reda, togda v glavnoj diagonali, kromě nul, nastupajut samo taka predstavjenja, ktore sut ekvivalentne predstavjenjam posrědovanym črez proste lěve idealy od .

Primětka. Pod predpoloženjami učinjenymi o i , za ne trěba predpostavljati nikakogo uslovja konečnosti. Bo vse predstavjenja sut jednočasno izomorfne predstavjenja absolutnoj oblasti množiteljev, a ona, kako izomorfny praobraz kolca iz matric konečnogo stepena, sama stavaje -modul konečnogo ranga. Poneže po opreděljenju za dopustime idealy smatrjajut se samo -moduly, uslovje maksimalnosti i uslovje minimalnosti za tu absolutnu oblast množiteljev sut izpolnjene.

Ta absolutna oblast množiteljev stavaje hiperkompleksny sistem vzhodno k , ako predpolaga se kako komutativno tělo. To predpoloženje vsegda jest izpolnjeno, čim v glavnoj diagonali nastupajut ne samo nuly. Bo togda , po primětce v §18, jest izomorfno podtělu těla avtomorfizmov od , ktore pri realizaciji črez podtělo od (§14), zaradi komutativnogo povezanja, mora ležati v centru od .

34. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Prodolženje i završenje: poglavje III, §§15--19, i poglavje IV, §§20--26.

Poglavje IV. Predstavjenja grup i hiperkompleksnyh sistemov

§ 20. Uvrstjenje hiperkompleksnyh sistemov v teoriju

Razmatrajemo hiperkompleksne sistemy vzhodno k komutativnomu tělu . Poneže po dogovoru za idealy v v račun prihodet samo -moduly, za lěve i prave idealy važe uslovje maksimalnosti i uslovje minimalnosti (sr. §8). Zato važi cela teorija kolc, izložena v poglavju II.

Pod predstavjenjami hiperkompleksnogo sistema v daljnjem vsegda razumějemo predstavjenja v tělu , i to taka predstavjenja, pri ktoryh iz slěduje

to jest modulna homomorfnost vzhodno k . Za moduly predstavjenja to znači

(sr. konec §15). Zato za moduly predstavjenja važe teoremy §19; iz njih slěduje, že vse ireducibilne predstavjenja posrědujut se prostymi lěvymi idealami kolca

i že zato imajemo toliko neekvivalentnyh ireducibilnyh predstavjenj, koliko dvustranno prostyh summandov pojavjaje se v razloženju

Da by se stvarno opredělilo predstavjenje od , zadano takim lěvym idealom , najprvo se prehodi od elementov k odpovědajučim klasam ostatkov v . Poneže množenje s elementom iz davaje izomorfizm za vse idealy v , tělo jest homomorfno podtělu těla avtomorfizmov vsakogo prostogo lěvogo ideala, i poneže jediničny element jest jediničny operator, to jest čak izomorfizm. Predstavjenje v , posrědovano prostym lěvym idealom , možno dobiti tako: najprvo izučiti predstavjenje, posrědovano črez v tom podtělu , a potom črez izomorfizm prejdti k . Tělo avtomorfizmov imaje konečny rang vzhodno k ; zato ide o predstavjenje v podtělu konečnogo stepena těla avtomorfizmov od .

Zato, da by se dobilo iskano predstavjenje, najprvo predstavimo vsako iz črez jego dvustranne komponenty:

Togda treba najdti samo predstavjajuču matricu od , poneže druge anulirajut ideal i zato predstavjajut se nuljevoju matricoju. Po §18 ona se nahodi tako: predstaviti črez matrične jedinice iz :

i v matrici zaměniti vsaky element matricoju , ktora jemu odgovarja v predstavjenju těla nad , posrědovanom samym .

Primětka. Tělo jest konečnogo ranga vzhodno k . Vsaky element zadovoljaje jednačenju s koeficientami iz , poneže medžu stepenjami sigurno suščestvuje linearna zavisnost. Ako osoblivo jest algebraično zatvorjeno, to jednačenje razpadaje se na linearne faktory; poneže jest tělo, už jest nuljevo město jednogo linearnogo faktora i zato prinadleži k . To jest . V tom slučaju same matrice tvoret ireducibilno predstavjenje.

Iz toj primětky zajedno s koncem §19 slěduje "teorema Burnsida":

Nehaj bude algebraično zatvorjeno i komutativno povezano s kolcom . Togda vsako ireducibilno predstavjenje -togo stepena nad sadrži točno linearno nezavisne matrice.

Iz toj formy odmah slěduje obyčna: "Sistem matric -togo stepena nad , ktory zajedno s vsakoju dvoju matric sadrži i jih produkt, jest ireducibilny togda i samo togda, kogda ne možno podati netrivialnu homogennu linearnu relaciju

s koeficientami iz , ktora jest zadovoljena elementami vsakoj matrice sistema." Imenno, iz vsakogo takogo sistema matric, dodavši vse linearne kombinacije, možno izvesti kolco i -modul i smatrjati to kolco kako jego vlastno predstavjenje.

Dokaz. Po §19 absolutna oblast množiteljev jest izomorfna dvustranno prostomu i popolno reducibilnomu kolcu s jediničnym elementom; tako kolco jest polno matrično kolco (napr. kolco vsih matric -togo stepena) vzhodno k tělu avtomorfizmov jego lěvyh idealov, ktoro zaradi algebraičnogo zatvorjenja sovpadaje s . Vsako ireducibilno predstavjenje od , zato i dano predstavjenje, poraždžaje se prostym lěvym idealom. Lěvy ideal imaje rang , predstavjenje imaje stepenj , zato ; tako v , i zato takože v , suščestvuje točno linearno nezavisne elementy.

Takože lahko slěduje "obobčena teorema Burnsida":

Nehaj pod tymi samymi predpoloženjami bude popolno reducibilno predstavjenje od , ktoro razpadaje se na same neekvivalentne sostavne česti stepenjev

togda imaje rang

vzhodno k .

Dokaz. Nehaj znovu bude absolutna oblast množiteljev, ktora neobhodno jest hiperkompleksny sistem. Razne neekvivalentne predstavjenja poraždžajut se lěvymi idealami , ktore prinadležet k raznym dvustranno prostym komponentam od , gdě jest radikal. Zato dano predstavjenje poraždžaje se črez i imaje kako absolutnu oblast množiteljev. Iz togo, s pomoču tyh samyh rangovyh razsmotrenj kako vyše, slěduje tvrdženje.

Nehaj nyně bude hiperkompleksny sistem bez radikala vzhodno k libovoljnomu tělu. Po §13 jest popolno reducibilno i imaje jediničny element. Iz teorem §17 i §18 nyně slěduje: vsako predstavjenje od jest popolno reducibilno.

Obratno važi: vsako popolno reducibilno predstavjenje kolca , komutativno povezanogo s , imaje kako absolutnu oblast množiteljev hiperkompleksny sistem bez radikala.

Dokaz. Absolutna oblast množiteljev jest izomorfna kolcu i -modulu iz matric nad , zato jest hiperkompleksny sistem. Elementy radikala po §19 predstavjajut se nuljeju v vsakom ireducibilnom predstavjenju, zato i v celom predstavjenju; zato .

(Ako v predstavjenju nastupajut samo ekvivalentne sostavne česti, ktore vse sut posrědovane jednym lěvym idealom , togda absolutna oblast množiteljev stavaje dvustranno prosta.)

Kako regularno predstavjenje hiperkompleksnogo sistema označaje se predstavjenje, posrědovano samym jediničnym idealom . (Pri grupovom kolcu specjalno se vybira baza iz grupovyh elementov ; sr. §6.) Poneže v kako kompozicijne faktory sut prisutne vse lěve idealy od , vse ireducibilne predstavjenja už nahodet se v regularnom predstavjenju kako diagonalne matrice , ako predstaviti, že regularno predstavjenje po formuli (2) §16 črez kompozicijny red transformuje se k prikladnoj bazi.

Predstavjenje jest znano, kogda sut znane predstavjajuče matrice bazovyh elementov . Ako ide posebno o grupovo kolco, gdě sut elementy grupy, togda vsako homomorfno matrično predstavjenje grupy poraždžaje takože predstavjenje grupovogo kolca; zato problem predstavjenja grupy jest specialny slučaj problema predstavjenja hiperkompleksnyh sistemov.

E. Noether. Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Izvorno-věrny prěvod §21 iz německogo skan-svědka

§ 21. Razširenje osnovnogo těla. Predstavjenja centra

Nechaj

jest hiperkompleksny sistem, a jest razširno tělo osnovnogo těla . Togy možno utvoriti

so starymi pravilami množenja za bazisne elementy .18a) Sistem znovu jest hiperkompleksny vzhodno k .

Vsako predstavjenje vede k predstavjenju , poneže predstavjenje vseh elementov jest poznano, kogda su poznana predstavjenja bazisnyh elementov .19)

18a) Točnije: vvodet se nove simvoly so starymi pravilami množenja; togda sodrži podkolco, izomorfno s , tako že pozdnjeje možno identifikovati te so starymi. 19) Naravno, tu znovu razmatrajut se samo taka predstavjenja, ktore sut -modulne homomorfizmy: iz imalo by slědovati za , i odpovědajuče za .

Ideal ili modul predstavjenja, kako i odpovědajuče predstavjenje, imenujut se absolutno ireducibilne, ako ostavajut ireducibilne poslě prěhoda k algebraično zatvorjenomu tělu.

Ako jest bez radikala, togda i jest bez radikala; bo nilpotentny ideal v privedl by k razširjenomu idealu v . Obratno tvrdženje ne jest pravdivo, kako uvidimo niže.

Centar jest raven razširjenomu centru . Ako jest popolno reducibilny, togda jest direktna suma tělov:

Ako pri prěhodu k ostava popolno reducibilny, to jest ako ne dodava se nikaky nilpotentny ideal, togda novy centar razklada se:

v znovu v direktnu sumu tělov, ktore, ako jest algebraično zatvorjeno, po primětce v §20 imajut rang vzhodno k i sut izomorfne s .

Za predstavjenja centra važe slědujuče teoremy.

Vsako ireducibilno predstavjenje komutativnogo hiperkompleksnogo sistema v algebraično zatvorjenom tělu jest prvogo stepena; ili: ireducibilne predstavjenja sut identične s homomorfizmami iz v .

Dokaz. Vsako ireducibilno predstavjenje dava takože predstavjenje , a zatym i predstavjenje , kde jest radikal . jest komutativny sistem bez radikala, znači po koncu §14 direktna suma tělov. Te těla sut prvogo stepena, poneže jest predpoloženo algebraično zatvorjeno, i one poraždžajut vse ireducibilne predstavjenja (§20).

Jednočasno slěduje, poneže ekvivalentne predstavjenja prvogo stepena neizběžno stavajut ravne ( ): količstvo različnih homomorfizmov iz v jest ravno rangu .

Poslědnja primětka dava za specialny slučaj, kogda jest tělo nad , taku teoremu.

Komutativno tělo jest togda i samo togda popolno reducibilno, to jest bez radikala, kogda jest razširjenje prvogo roda od .

Bo za tělo homomorfizmy stavajut izomorfizmami. Njihovo količstvo jest ravno rangu , i zato jest ravno stepenju těla, to jest jest razširjenje prvogo roda, togda i samo togda, kogda .

Ako jest popolno reducibilny:

togda pri vsakom predstavjenju takože oddělne těla odobražajut se homomorfno; pri ireducibilnom predstavjenju jedno iz tih tělov odobraža se izomorfno, a ostale nuljevo (§19).

Priměnjenje tih teorem na hiperkompleksne sistemy dava najprvo za sistemy bez radikala:

Ako , a zato i , jest sistem bez radikala, togda pri vsakom absolutno ireducibilnom predstavjenju elementy centra predstavjajut se diagonalnymi matricami , i jest predstavjenje prvogo stepena od v . Taka posrědovana svěza medžu klasami absolutno ireducibilnyh predstavjenj i klasami predstavjenj jest vzaimno-jednoznačna. Količstvo tih klasov predstavjenj jest zato ravno rangu centra.20)

20. Odpovědajuče teoremy važe ne samo za predstavjenja v algebraično zatvorjenom tělu , ale takože za predstavjenja v oddělnyh tělah avtomorfizmov, kako bude izloženo na drugom městu.

Dokaz. Razloženju v dvustranno nerazložime idealy

vzaimno-jednoznačno odpovědaje razloženje centra v těla:

kde jest centar od . Pri ireducibilnom predstavjenju jedno odobraža se izomorfno, ostale nuljevo, i klas predstavjenja jest jednoznačno opreděljen črez . predstavja se črez polno matrično kolco, a centar takogo polnogo matričnogo kolca sostaji iz diagonalnyh matric . Odpovědanje jest homomorfizm od , pri čem jedno odobraža se izomorfno, a ostale nuljevo. S tym vse jest dokazano.

Za pytanje, kogda sistemu bez radikala odpovědaje takože takovy , slěduje ješče:

Ako ima komponentu , ktora jest razširjenje vtorogo roda od , togda sigurno ima radikal.21) Bo v tom slučaju uže ima radikal.

21. Ako ima samo komponenty prvogo roda, togda bude bez radikala, kako takože bude dokazano pozdnjeje. Za karakteristiku nula I. Schur uže dokazal ekvivalentnu teoremu, že ireducibilne predstavjenja v pri vsakom razširjenju oblasti koeficientov ostavajut popolno reducibilne (Beiträge zur Theorie der Gruppen linearer Substitutionen, Transact. Am. Math. Soc. 15 (1909), S. 159).

Emmy Noether: Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Papir 34, §22. Izvorno-točny prěvod iz skanovanogo německogo svědka.

§ 22. Priměnjenje k abelovym grupam

Nehaj

bude konečna Abelova grupa, razložena v direktny produkt cikličnyh grup porjadkov . Jej elementy sut

Nehaj bude tělo, čija karakteristika ne děli porjadok grupy

Grupovo kolco sostoji iz vseh sum

i jest homomorfny obraz polinomialnogo kolca posrědstvom . Znači

V razširnom tělu polinomy razpadajut se na same različne faktory ; zato stava produktom (ili prěsěkom) samyh različnih prostyh idealov

vsakomu iz njih odpovědaje jedna nuljeva točka

Tvorenju prěsěka odpovědaje direktno sumno razloženje (§ 4):

kde vsaky raz ; zato dostajemo predstavjenje

Ta predstavjenja sut karaktere. Njihovo količstvo jest

kako to trěbuje obča teorija.

Emmy Noether: Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Papir 34, §23. Izvorno-točny prěvod iz skanovanogo německogo svědka.

§ 23. Determinanta hiperkompleksnogo sistema

Nehaj

bude hiperkompleksny sistem. Pridajemo k neodrěđene veličiny i tvorimo

Neodrěđene veličiny imajut komutovati s ; tym už sut opreděljena pravila računa v .

V leži „obči element“ sistema :

Ako v nekom predstavjenju , togda elementu odpovědaje

imenuje se sistemna matrica danogo predstavjenja; specialno, ako tvore grupu i zato jest grupovo kolco, to jest grupova matrica. Pri regularnom predstavjenju imajemo regularnu sistemnu matricu.

Elementy matrice sut linearne formy v . Zato sistemna determinanta jest stepena , ako ide o predstavjenja -togo stepena. Osoblivo regularna sistemna determinanta jest stepena .

Sistemna determinanta ne měnja se pri prěhodu k ekvivalentnym predstavjenjam, bo

Pri prěhodu od bazy k novoj bazě i od k , nove elementy , i zato takože nova determinanta, dostavajut se iz staryh elementov substitucijeju

s regularnoju substitucijskoju matrico.

Ako dana jest kompozicijna serija modula predstavjenja, togda pri podobnom izboru bazy matrica ima formu

Medžu determinantami libovoljnogo predstavjenja ne pojavjajut se nikake druge, než v regularnom predstavjenju sistema , ili čak sistema , kde jest radikal.

Ako jest algebraično zatvorjeno, togda determinanta , k odnomu ireducibilnomu predstavjenju, jest ireducibilna funkcija v , a k neekvivalentnym predstavjenjam prinadležet različne ireducibilne faktory.

Dokaz. Poneže vse ireducibilne predstavjenja sut takože predstavjenja , možemo ograničiti se na kolco bez radikala . V njem beremo za bazu matrične jedinice ; togda obči element jest

Matrice ireducibilnyh predstavjenj sut

Funkcije sut, kako poznano, ireducibilne i javno različne.

Da by izračunati , možno razložiti regularnu sistemnu matricu na jej ireducibilne faktory. Vsaky ireducibilny faktor pojavja se toliko razov, koliky jest stepenj odpovědajučego ireducibilnogo predstavjenja, bo odpovědajuči ideal toliko razov pojavja se v kompozicijnoj seriji.

Možno takože izhoditi iz regularnoj sistemnoj matrice , no togda vsaky ireducibilny faktor dostaje se čestěje, imenno toliko razov, koliko odpovědajuči prosty ideal pojavja se kako kompozicijny faktor medžu lěvymi idealami. V tom regularnom predstavjenju bylo smatrjano kako lěvy ideal; ako smatrjati kako pravy ideal, pojavja se druga regularna sistemna matrica, „antistrofna matrica“ pri Frobeniusu. Ona sodrži te same ireducibilne faktory, imenno sistemne determinanty vseh ireducibilnyh predstavjenj, ale možno s drugymi eksponentami; gl. primjer v § 10.

Sistemna determinanta komutativnogo sistema razpadaje se na linearne faktory, bo vse ireducibilne predstavjenja sut prvogo stepena. Te linearne faktory same sut ireducibilne predstavjenja, i zato pri abelovyh grupah davajut karaktere. Ta fakt byl izhodny punkt Dedekinda pri izučenju grupovoj determinanty neabelovyh grup.

Emmy Noether: Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Praca 34, §24. Izvorno-věrny prěvod iz skanovanogo německogo svědka.

§ 24. Slědy i karaktere

Ako v predstavjenju hiperkompleksnogo sistema elementu jest pridana matrica , togda stavimo

Slědy sut linearne funkcije:

Ekvivalentne predstavjenja imajut te same slědy.

Slěd v reducibilnom predstavjenju jest suma slědov v predstavjenjah, ktore sut dane kompozicijnymi faktorami.

Dokaz. Pri podobnom izboru bazy matrica ima blokovu formu

zato jej slěd jest

Glavny slěd imenuje se slěd pri regularnom predstavjenju. Redukovany slěd imenuje se suma slědov pri različnoh ireducibilnyh predstavjenjah.

Ako jest element maksimalnogo nilpotentnogo ideala , togda za vsako predstavjenje.

Dokaz. Dostatno jest izučati predstavjenja črěz proste lěve idealy , bo v vsakom drugom predstavjenju pojavjajut se samo ti kompozicijne faktory, a slěd skladaje se aditivno. Ale anuluje vse elementy ; zato vsakomu iz prinadleži nulova matrica, i zato .

Ako jest dvustranno prosty i algebraično zatvorjeno, znači matrično kolco

togda v ireducibilnom predstavjenju elementu

prinadleži matrica . Zato

Osoblivo

i takože

Pri prěhodu od k algebraično zatvorjenomu polju glavny slěd ne mjenja se, bo može se izračunati iz toj samej bazy. To ne jest pravda za redukovany slěd.

Slědy elementov sistema bez radikala v absolutno ireducibilnyh predstavjenjah imenujut se karaktere i označajut se , ili, ako treba ukazati dano predstavjenje, .

V ireducibilnom predstavjenju stepena elementy centra, po §21, predstavjajut se diagonalnymi matricami , kde jest predstavjenje prvogo stepena centra, ili homomorfizm centra v . Zato slěd ima vrědnost . Tak homomorfizmy centra sut svęzane s karakterami relacijeju

V komutativnom slučaju , i karaktere same davajut homomorfizmy (sr. §22).

Ako polje ima karakteristiku nula, čto budemo v daljnjem vsagda predpolagati, togda možno (1) razděliti przez :

Homomorfna vlastnost za izražaje se formulami

Klasa predstavjenj jest uže jednoznačno opreděljena samymi slědami matric. Da by znati slědy vseh matric, jasno dostatno jest znati slědy bazovyh elementov v danom predstavjenju.

Dokaz. Modul predstavjenja jest poznany, ako se zna, koliko razov vsaky ireducibilny modul predstavjenja pojavja se v njem kako direktny sumand. Ako ta čislo jest , togda slěd v predstavjenju jest , kde jest stepenj ireducibilnogo predstavjenja. Zato

Emmy Noether: Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Praca 34, §25. Izvorno-věrny prěvod iz skanovanogo německogo svědka s R124plus korekcijeju P34.

§ 25. Diskriminanty

Nehaj

jest hiperkompleksny sistem. Diskriminantna matrica jest matrica, jej elementy sut glavne slědy . Redukovana diskriminantna matrica jest to samo za redukovane slědy, utvorjene v algebraično zatvorjenom polju. Determinant toj matrice imenuje se diskriminant, odnosno redukovany diskriminant.

Diskriminant ne mjenja se pri razširjenju osnovnogo polja. Pri prěhodu k drugoj bazi on množi se kvadratom determinanta transformacije.

Dokaz. Nehaj

Togda

Takože, ako jest transponovana matrica,

Iz (1) i (1a) slěduje

Prěhod k determinantam dava tvrdženje.

Zato determinant jest opreděljen samo do kvadrata iz ; ale jego zanuljenje ili nezanuljenje jest invariantna vlastnost. Iz (1) takože slěduje, že diskriminant, do nenulovogo faktora, možno izračunati iz dveh različnih baz, to jest kako .

Diskriminant stava nula, ako ima nilpotentny ideal .

Dokaz. Kako bazove elementy za izberimo

kde tvorjat bazu . Togda diskriminantna matrica ima formu

(To važi takože za redukovany diskriminant.) Zato determinant jest nula.

Poslědok. Diskriminant stava nula takože togda, kogda nilpotentny ideal pojavja se poslě prěhoda k algebraično zatvorjenomu polju.

Nehaj

jest direktna dvustranna suma, i nehaj sut diskriminantne matrice kolc . Togda

zato .

Dokaz. Izberimo bazu za , ktora sklada se iz baz za . Ako , togda

kde v obadva razy razumějut se glavne slědy, ale v kolcah odnosno . Dalej, ako faktory ležat v različnih dvustrannyh komponentah, togda ; zato iščezajut i měšane slědy. Iz togo slěduje tvrdženje, i tako samo ono slěduje za redukovany diskriminant.

Da by utvoriti diskriminant matričnogo kolca , izbirajut se dvě različne bazy: elementy raz uporedžujut se po prvyh indeksah, drugy raz po drugyh indeksah. Tablica množenja izgleda tak:

Diskriminant jest

Poslědok. Ako v algebraično zatvorjenom razširjenom polju raspada se na matrične kolca stepenjev , togda diskriminant jest

i redukovany diskriminant jest

Zato redukovany diskriminant pri sistemah bez radikala jest vsagda ; drugi diskriminant jest nenulovy samo togda, kogda nijedno ne děli se karakteristikoju polja. Tak:

Nezanuljenje redukovanogo diskriminanta jest neobhodno i dostatočno za sistemy bez radikala poslě algebraičnogo zatvorjenja polja .

Nezanuljenje diskriminanta v slučaju karakteristiki nula jest neobhodno i dostatočno za nepojavjenje radikala poslě algebraičnogo zatvorjenja polja .22)

22. Za komutativne sistemy sr. E. Noether, Diskriminantensatz für Ordnungen ..., J. f. M. 157 (1927), str. 82--104, §§4--6. Metod dokaza tam jest ty samy, ale v detalah složnějši; prěhod od jednoj bazy k drugoj (§4, 4 tam) treba zaměniti prěhodom danym tu na početku togo paragrafu, bo determinant, ktory se tam pojavja, jest nula.

Emmy Noether: Hiperkompleksne veličiny i teorija predstavjenj Praca 34, §26. Izvorno-věrny prěvod iz skanovanogo německogo svědka s R124plus kontrolom.

§ 26. Vključanje grupovogo kolca

Nehaj sut elementy konečnoj grupy, i utvorimo grupovo kolco nad poljem, jegož karakteristika ne děli . Togda diskriminant , zato grupovo kolco jest kolco bez radikala.

Dokaz. Najprvo pokažemo, pri čem odsejčas znači glavny slěd:

V regularnom predstavjenju imajemo

Za produkty sut permutacija bazovyh elementov bez nepodvižnoj točky; odgovorna matrica ima v glavnoj diagonali samo nule, zato .

Teper vozmemo bazy i . Matrica jest diagonalna s v glavnoj diagonali, zato

Klasoju grupovogo elementa imenuje se suma, utvorjena v grupovom kolcu,

kde sumovanje ide samo po različnih elementah . Klasy sut centralne elementy, bo komutujut so vsimi grupovymi elementami. One porađajut centr: ako element grupovogo kolca komutuje so vsimi , togda

zato koeficienty sut konstantne na vsakoj konjugacijnoj klasi.

Poslědovateljno rang centra jest ravny čislu klasov konjugovanyh grupovyh elementov, i zato takože čislo absolutno ireducibilnyh predstavjenj jest ravno tomu čislu klasov. Matrice i imajut ty samy slěd; zato grupove elementy i imajut ty samy slěd. Beruči slěd na obadvuh stranah (1), dostajemo

kde jest čislo elementov klasy . Slovami: karakter grupovogo elementa jest ravny karakteru klasy, razděljenomu čislom elementov toj klasy.

(Prijeto 12 avgusta 1928.)