35. O maksimalnyh oblastjah cěločislnyh funkcij Rec. Soc. Math. Moscou 36 (1929), s. 65--72. Izvorno-věrny prěvod po R124+P40/MathNet600 popravenom německom svědku.

Slědujuče izslědovanja blizko dotykajut Hilbertovu problemu relativno cělyh funkcij; one izhodet iz slučajnogo pytanja E. Hecke, ktory mog neposrědno računsko riješiti specialny slučaj, potrěbny jemu kako pomoćna lema.

Pytanje jest slědujuče. Pod maksimalnoju oblastju cěločislnyh funkcij v (x_1, ,x_n) --- polinomov, stepenovyh redov ili kvocientov takyh --- vnutri danoј oblasti ( Z) razuměju taku oblast, koju uže ne možno razširiti dodavanjem cěločislnyh imenovateljev: ako (a g(x)) prinadleži jej, kde (g(x) Z), togda vsegda prinadleži i (g(x)); tu (a) znači nenulevo cělo racionalno čislo. Vsaka integritetna oblast ( I) v ( Z) jednoznačno porađa maksimalnu oblast (M( I)), koja sostojí iz vsih funkcij (g(x)) iz ( Z), za ktore jest najmenej jedno (a 0) tako, že (a g(x) I).

Idé o pytanje, čto možno rěkti o imenovateljah (a) toj maksimalnoj oblasti (M( I)), ako početna integritetna oblast ( I) byla konečna, to jest sostojala iz vsih cěločislnyh polinomov konečno mnogih funkcij (f_1(x), ,f_r(x)) iz ( Z). Pri tom za ( Z) treba vzęti vse cěločislne polinomy ili stepenove redy v (x_1, ,x_n), respektivno take kvocienty, ktore ne imajut ineh imenovateljev kromě tyh, ktore se javjajut v (f(x)), i jih stepenov.

Pokazujem, že pod dodatnym uslovjem v slučaju stepenovyh redov ili jih kvocientov --- imenno, že medžu (f(x)) sut samo algebraične zavisimosti --- čisla (a) možno vsegda izbirati tako, že v nih vchodit samo konečno mnogo različnyh prvočisel, iako občno v vsakih stepenjah.

Poslědnje jest neposrědno jasno: ako (a g(x) I), ale (a^ g(x)) ne prinadleži za nikaky eksponent ( ), togda pojavjajut se vse stepeny (a^ ); napriměr pri ( I=[2x]) imajemo (x=(2x)/2), (x^2=(2x)^2/2^2).

Pytanje ograničenosti možno formulovati samo tako: možno li dati, občno beskonečnu, sistemu poroditeljev za (M( I)), tako že v odpovědajučih imenovateljah eksponenty prvočisel ostavajut ograničene? Poneže idé samo o konečno mnogo prvočislah, to pytanje po poznanyh dokazah jest isto s pytanjom konečnosti (M( I)), to jest s Hilbertovo problemo relativno cělyh funkcij v cěločislnoj formě. To pytanje s tu upotrěbjenymi metodami ne mogu rěšiti.

Dokaz, že v imenovateljah (a) vchodit samo konečno mnogo različnyh prvočisel (p), opira se na tom, že vsakomu takomu (p) odgovarja najmenej jedna relacija modulo (p) medžu funkcijami (f(x)), ktore porađajut ( I), relacija s cěločislnymi koeficientami, ktora ne jest identično izpolnjena v (x). Drugymi slovami: ako ( o) znači oblast cěločislnyh polinomov v neizvěstnyh (u_1, ,u_r), togda ( I) črez prisvojenje (u_i f_i(x)) jest homomorfny obraz ( o); tut homomorfizm posrědovany jest prostym idealom ( a) iz ( o), to jest ( I) izomorfna jest faktor-kolcu ( o/ a). Odpovědajuče ( I_p) jest homomorfny obraz ( o_p), kde indeks znači prěhod k ostatkovym klasam modulo (p), možny s izključenjem konečno mnogih prvočisel v imenovateljah ( I). Tut homomorfizm znovu posrědovany jest prostym idealom ( c_p) iz ( o_p), ktory obhvata ( a_p). Togda i samo togda (p) vchodit v imenovatelj (M( I)), kogda ( c_p) staje striktny nadideal ( a_p). To može nastati samo ako ili transcendencijny stepen ( I_p) se poniža proti ( I), ili ( a_p) gubi svojstvo prostogo ideala. Že to nastaje samo za konečno mnogo (p), slěduje iz togo, že i modulo (p) algebraična zavisimost vleče izčeznjenje funkcionalnogo determinanta (§1), i že ( a) jest absolutny prosty ideal i zato gubi prostotu modulo samo konečno mnogih (p).

Treba ještě primětiti, že vse razsuđivanja s malymi modifikacijami ostavajut validne, ako naměsto cělyh racionalnyh čisel vzęti cěle čisla konečnogo algebraičnogo čislovogo polja i jego proste idealy (§4).

§ 1. Funkcionalne determinanty nad oblastami koeficientov karakteristiki (p).

Nehaj (f_1(x_1, ,x_n), ,f_t(x_1, ,x_n)) sut racionalne funkcije ili, občneje, formalno definovane stepenove redy ili kvocienty takyh, s koeficientami iz polja (P) karakteristiki (p). Izvody ( f_i/ x_k) takože nehaj budut formalno definovane, pri čem vse obyčne računske zakony ostavajut. Pod ( ) razuměje se algebraično zatvoreno razširenje polja (P).

Togda, kako i pri karakteristiki nula, velja:

. Ako medžu (f(x)) jest algebraična zavisimost s koeficientami iz ( ), togda rang funkcionalnoj matrice (( f_i/ x_k)), (i=1, ,t), (k=1, ,n), jest menši než (t).

. V polinomnoj oblasti ( [u_1, ,u_t]) nehaj ( m) znači prosty ideal vsih polinomov (G(u)), za ktore (G(f)=0) identično v (x). Po predpostavjenju ( m) ne jest nulovy ideal; nehaj (G(u) 0), zato i (G(u) const.), jest polinom najnižšego stepena iz ( m). Iz togo osobno slěduje, že (G(u)) jest ireducibilny. Togda kako obyčno dobivamo

odkud slěduje, že ili rang funkcionalnoj matrice jest menši než (t), ili vse ( G/ u_i) izčezajut. Ale poneže (G(u)) byl izbran kako polinom najnižšego stepena, iz togo slěduje izčeznjenje vsih ( G/ u_i).

Tako imamo (G(u)=H(u^p, ,u^p)); a poneže koeficientna oblast ( ) jest algebraično zatvoreno, zato perfektno, polje, dalje (G(u)=H(u)^p=(H(u))^p), protivno izboru (G(u)). Dokaz naravno velja i za karakteristiku nula, kde poslědnji krok odpada.

2. Poslědok. Nehaj (F_1(x_1, ,x_n), ,F_t(x_1, ,x_n)) sut cěločislne funkcije, to jest polinomy, stepenove redy ili kvocienty takyh, s funkcionalnoju matriceju točno ranga (t). Prvočislo (p) nehaj bude izbrano tako, že ono ne vchodit ni v imenovatelje (F(x)), ni v vse (t)-redne determinanty funkcionalnoj matrice.

Togda (F_1(x), ,F_t(x)) ostavajut algebraično nezavisime i modulo (p).

. Nehaj ( P) znači ostatkovo polje po (p), a (f_1(x), ,f_t(x)) funkcije iz ( P), ktore nastajut iz (F_1(x), ,F_t(x)), kogda cěločislne koeficienty zaměnjaju se svojimi ostatkovymi klasami po (p). Funkcije (f_i(x)) sut definovane, bo (p) ne vchodilo v imenovatelj (F_i(x)). Jih funkcionalna matrica (( f_i/ x_k)) nastaje iz (( F_i/ x_k)) takože zaměnoju cěločislnyh koeficientov ostatkovymi klasami po (p); v (( F_i/ x_k)) ne pojavjajut se ine imenovatelje než v (F(x)). Zaradi izbora (p) matrica (( f_i/ x_k)) zachovava rang (t); funkcije (f(x)) sut algebraično nezavisime v ( ), i tem bolj v ( P).

§ 2. Formulacija teorema.

Kako v uvodu, nehaj ( I) znači integritetnu oblast, to jest kolco bez nulovyh děliteljev, iz cěločislnyh funkcij v (x_1, ,x_n): polinomov ili stepenovyh redov s cělymi racionalnymi koeficientami ili kvocientov takyh. V slučaju stepenovyh redov može se govoriti o formalno definovanyh ili o shodnyh v někoj oblasti; upotrěblja se samo to, že pojavjajuče se funkcije tvoret integritetnu oblast.

Nehaj ( Q) znači kvocientno polje ( I), a ( Z) integritetnu oblast medžu ( I) i ( Q). Kako vyše, (M) imenuje se maksimalna v ( Z), ako iz prinadležnosti (a g(x)), gde (a 0) jest cělo čislo i (g(x) Z), vsegda slěduje prinadležnost (g(x)). K ( I) jednoznačno eksistuje maksimalna oblast (M( I)), porodžena črez ( I) v ( Z), kako prěsěk vsih maksimalnyh oblastij v ( Z), ktore obhvatajut ( I); bo sama ( Z) jest taka, i s libokako mnogimi je takože prěsěk maksimalny i obhvata ( I). (M( I)) sostojí iz vsih funkcij (g(x)) iz ( Z), za ktore jest najmenej jedno (a 0) s (a g(x) I).

Bo te (g(x)) tvoret maksimalnu oblast (N) v ( Z), ktora obhvata ( I): iz (b h(x) I), (b 0), (h(x) Z), slěduje (ab h(x) I) i (ab 0), zato (h(x) N). Vsaka maksimalna oblast (M) v ( Z), ktora obhvata ( I), obhvata (N); bo ako (a g(x) I), togda (a g(x) M), poneže ( I M), i zato (g(x) M).

Teper nehaj ( I) bude predpostavjena kako konečna integritetna oblast s jedinicoju, s (f_1(x), ,f_r(x)) kako integritetnoju bazoju; to jest ( I) sostojí iz vsih cěločislnyh polinomov od (f_i(x)). Dalej nehaj ( Z) sostojí iz vsih cěločislnyh polinomov ili stepenovyh redov iz (x), respektivno iz takyh kvocientov, ktore ne imajut ineh imenovateljev kromě tyh, ktore javjajut se v konečno mnogih (f_i(x)); ty naravno v vsakom stepenu.

Dalej predpostavlja se, že v najmenej jednoj (f_i(x)), občno v vsih, (x) stvarno nastupa; inače ( I) i ( Z) prosto sostojat iz vsih cěločislnyh polinomov lomanogo čisla (1/e), i ničto ne treba dokazati.

Ako idé o polinomy ili racionalne funkcije, togda kvocientno polje ( Q) ima transcendencijny stepen (t), (1 t r), glede na polje (K) racionalnyh čisel. Ako, napriměr, (f_1(x), ,f_t(x)) tvoret ireducibilnu sistemu, togda ( Q) jest konečno algebraično razširenje čisto transcendencijnogo polja (K(f_1(x), ,f_t(x))). Jednočasno funkcionalna matrica (f_1(x), ,f_r(x)), i takože ona od (f_1(x), ,f_t(x)), ima točno rang (t).

Aby i v slučaju stepenovyh redov ili jih kvocientov ta struktura ( Q) ostala, treba dodati uslovje: ako (t) jest rang funkcionalnoj matrice (f_i(x)) i napr. Jednočasno rang funkcionalnoj matrice (f_1(x), ,f_t(x)), tako že one po §1, 1 tvoret ireducibilnu sistemu, togda ( Q) znovu dolžno byti konečno algebraično razširenje čisto transcendencijnogo (K(f_1(x), ,f_t(x))); to jest (f_t+1(x), ,f_r(x)) dolžne sut byti algebraične glede na (K(f_1(x), ,f_t(x))). Pri tom znovu (t 1), bo v karakteristiki nula ne mogu izčezati vse ( f_i/ x_k).

Jednočasno uslovje slěduje za vsaku sistemu iz (t) funkcij integritetnoj bazy, ktoryh funkcionalna matrica ima točno rang (t); bo te tvoret ireducibilnu sistemu, od ktorej ostale algebraično zavise.

Nehaj teper ( o) znači cěločislnu polinomnu oblast v neizvěstnyh (u_1, ,u_r). Togda ( I) jest kolcovo-homomorfny obraz ( o), kako neposrědno pokazuje prisvojenje (u_i f_i(x)). Zato ( I) jest kolcovo izomorfna k ( o/ a), kde ( a) jest prosty ideal, bo ( I) jest kolco bez nulovyh děliteljev; ( a) sostojí iz vsih polinomov (G(u)), za ktore (G(f)) identično izčezaje v (x).

Kako uže spomenuto v uvodu, idé o teorem.

. Pod dodatnym uslovjem iz 2. nehaj ( o_p, a_p, I_p) značet oblasti, ktore iz ( o, a, I) nastajut zaměnoju cěločislnyh koeficientov jih ostatkovymi klasami modulo (p). Togda, s izključenjem najvyše konečno mnogih prvočisel, medžu ktorymi sut ty v imenovateljah (f(x)), aby ( I_p) byla definovana, homomorfizm od ( o_p) k ( I_p) posrědovany jest črez ( a_p). Zato ( I_p) jest kolcovo izomorfna k ( o_p/ a_p), i tem k ( o/( a,p o)).

Iz teorema slěduje fakt o samo konečno mnogih prvočislah v imenovateljah (a) oblasti (M( I)) črez

ědok. Ako (p) izbrano jest tako, že ( I_p) izomorfna jest k ( o_p/ a_p), togda iz (p g(x) I) i (g(x) Z) vsegda slěduje (g(x) I).

Drugymi slovami: ( I) jest maksimalna v ( Z) glede vsih prvočisel kromě konečno mnogih izključenyh prvočisel.

( o_p/ a_p) jest izomorfno k ( o/( a,p o)). Bo po definiciji ( o_p= o/p o), i odpovědajuče ( a_p=( a,p o)/p o). Zato po prvom izomorfizmnom teoremu ( o_p/ a_p), i po predpostavjenju takože ( I_p), izomorfne sut k ( o/( a,p o)).

To znači: iz (H(f_i(x)) 0 p) v ( I) slěduje (H(u) 0 ( a,p o)) v ( o).

To možno prěformovati tak: iz (H(f(x))=p g(x)), kde (H(f(x)) I) i (g(x) Z), slěduje (H(u)-pF(u) 0 a), zato takože (H(f_i(x))=pF(f_i(x))), i tem (g(x)=F(f_i(x))); zato (g(x) I).

Konečno mnogokratno povtorjenje dava: ako (a) ne dělimo jest nijednym izključenym prvočislom, togda iz (a g(x) I) i (g(x) Z) vsegda slěduje (g(x) I). Poslědok dokazany.

§ 3. Dokaz teorema.

1. Pomoćna lema. Prosty ideal ( a), ktory posrěduje homomorfizm medžu ( I) i ( o) (§2, 3), jest absolutny prosty ideal.

Nehaj ( o^) znači polinomnu oblast v (u_1, ,u_r) s libokakvymi, takože lomanimi, algebraičnymi čislami kako koeficientami, a ( a^) ideal v ( o^), porodženy črez ( a). On sostojí iz vsih linearnyh kombinacij (a_1G_1(u)+ +a_sG_s(u)), gde (a_i) sut libokakve algebraične čisla, a (G_i(u)) polinomy iz ( a). Treba dokazati, že ( a^) jest prosty ideal.

To bude dokazano, ako pokazano bude, že črez ( a^) posrěduje se homomorfizm od ( o^) k ( I^), pod ( I^) razuměvši integritetnu oblast vsih polinomov od (f_i(x)) s libokakvymi algebraičnymi koeficientami; to jest, že (H(u)) prinadleži ( a^), ako (H(u) o^) i (H(f_i(x))=0).

Nehaj ( _1, , _s) znači linearno nezavisimu bazu konečnogo čislovogo polja, porodženogo konečno mnogimi koeficientami (H(u)). Togda

kde (H_i(u) o), a (a 0) jest cělo racionalno čislo. Iz (H(f)=0) slěduje ( _1H_1(f)+ + _sH_s(f)=0), i zato (H_1(f)=0, ,H_s(f)=0). Zato (H_1(u), ,H_s(u)) prinadležet ( a), i tem (H(u) a^*).

Dokaz teorema možno teper dati v slědujučnoj formě.

Ako (p) izbrano jest tako, že

[I.] ( I_p) definovana jest, [II.] ( a_p) ostava prosty, imenno absolutny, ideal, [III.] transcendencijny stepen ( I_p) proti tomu od ( I) ne ponizil se,

togda homomorfizm od ( o_p) k ( I_p) posrědovany jest črez ( a_p). Ty uslovja, s izključenjem najvyše konečno mnogih prvočisel, izpolnjene sut za vse prvočisla.

Že izključenyh prvočisel glede I, II, III jest samo konečno mnoho, slěduje neposrědno iz prědhodnogo. I jest jasno: izključenje sut samo konečno mnoge prvočisla v imenovateljah (f_i(x)). II slěduje iz lemy, že ( a) jest absolutny prosty ideal i zachovava to svojstvo modulo vsih prvočisel kromě najvyše konečno mnogih. III pokazano jest v poslědku §1, 2, bo funkcionalna matrica (f_1(x), ,f_t(x)) po §2, 2 ma točno rang (t).

Nehaj teper (p) izbrano jest mimo tih izključenyh prvočisel. Homomorfizm od ( o_p) k ( I_p) posrědovany jest idealom ( c_p), ktory jest prosty, bo ( I_p) takože jest kolco bez nulovyh děliteljev, i jego transcendencijny stepen dany jest transcendencijnym stepenjem ( I_p), zato najmenej (t). Bo ( I_p o_p/ c_p), ostatkovo polje ( c_p) izomorfno jest k kvocientnomu polju ( I_p).

Kako ( a_p) jest takože prosty ideal i mnogokratnik, to jest podideal, od ( c_p), togda ( a_p) i ( c_p) soglašajut se točno togda, kogda jih transcendencijne stepeny soglašajut se. Transcendencijny stepen ( a_p) kako mnogokratnika od ( c_p) jest takože najmenej (t); klase (u_1, ,u_t) modulo ( a_p) tvoret ireducibilnu sistemu. Treba pokazati, že toj stepen jest točno (t); s tym vse bude dokazano.

Tuto v slučaju stepenovyh redov ili jih kvocientov upotrěblja se dodatno uslovje o strukturě kvocientnogo polja ( Q) oblasti ( I) (§2, 2). Po tomu prosty ideal ( a) v vsakom slučaju imal transcendencijny stepen (t), i numeracija byla izbrana tako, že klase (u_1, ,u_t) modulo ( a) tvorili ireducibilnu sistemu, od ktorej klase (u_t+1, ,u_r) algebraično zaviseli. V ( a) byli zato cěločislne i primitivne polinomy

ktore prěhodet v, zbog primitivnosti neizčezajuče, polinomy

iz ( a_p). Tut ale v (G^*_j) mora stvarno nastupati odpovědajuči (u_t+j), bo inače, protivno izboru (p), by nastala algebraična zavisimost medžu klasami (u_1, ,u_t) modulo ( a_p). Tym pokazano jest, že ( a_p) ima transcendencijny stepen (t), zato jest identična s ( c_p) i posrěduje homomorfizm. Vse dokazano.

§ 4. Razširenje na cěle algebraične koeficienty.

Kako uže na koncu uvoda priměčeno, vse razsuđivanja s malymi modifikacijami ostavajut validne, ako naměsto cělyh racionalnyh čisel vzęti cěle čisla konečnogo algebraičnogo čislovogo polja (K), a naměsto prvočisel (p) proste idealy ( p) togo čislovogo polja. Pri tom §1 ostava polno validny, i takože razsuđivanja, ktore vedut k formulaciji teorema v §2; pri dokazu (§3, 2) i pri poslědku v §2, 3 potrěbne sut neke dodatky.

V §3, 2 treba k izključenym prostym idealam dodati ještě konečno mnoge, ktore vchodet v polinomy (G_1(u), ,G_r-t(u)), §3, 2, (1), bo te teper ne možno predpostavljati primitivnymi. Tym garantovano jest neizčeznjenje polinomov (G^_1(u), ,G^_r-t(u)), §3, 2, (2); to jest zaoštrenje uslovja III. Uslovje II ostava, bo teorem o absolutnoj ireducibilnosti ne měnja se; takože naravno ostava I.

Poslědok iz §2, 3, ktory dava konečny rezultat, treba odpovědajuče k tamoj konečnoj formě formulovati tako:

ědok. Ako cělo čislo (a) iz (K) ne dělimo jest nijednym iz konečno mnogih izključenyh prostyh idealov, togda iz (a g(x) I) i (g(x) Z) vsegda slěduje (g(x) I).

Ako ( _1, _2, ) sut cěle čisla iz (K), izbrane tako, že vsako dělimo jest jednym izključenym prostym idealom, ale ne jego kvadratom i ne drugymi, togda za imenovatelje (a) dostačujut stepenove produkty tih ( ).

. Nehaj

jest razloženje ((a)) na proste idealy i ( p_1, , p_g) sut različne od izključenyh prostyh idealov, zato ( I_ p_i) izomorfna jest k ( o_ p_i/ a_ p_i) za vsaky ( p_i). Od kolca vsih cělyh čisel iz (K) prěhodimo k kvocientnomu kolcu (R_a), definovanomu črez ((a)), dodajuči v imenovatelj vse i samo ty cěle čisla, ktore sut prime k ((a)), to jest ne dělime nijednym iz idealov ( p_1, , p_g). V (R_a) idealy ( p_1, , p_g) ostavajut proste, ale stajut glavne; vse druge stajut jednotnym idealom; razloženje ((a)) ostava isto. Zato pri prěhodu k (R_a) kako koeficientnoj oblasti poslědok i jego dokaz ostavajut točno v formě §2, 3.

To znači: ako (a g(x) I), togda (g(x)=F(f_i(x))), kde polinom (F(u)) ima koeficienty iz (R_a). Ako (d) jest společny imenovatelj tih koeficientov, zato (d) jest primy k (a), togda možno formulovati i tako: za (a g(x) I) leži (d g(x) I) s (d) primym k (a). Zato ((d,a)) jest jednotny ideal, i tem iz (a g(x) I) slěduje (g(x) I). Prvo tvrdženje poslědka dokazano.

Za dokaz drugogo tvrdženja nehaj (R^) jest kvocientno kolco v (K), definovano konečno mnogymi izključenymi prostymi idealami, i ( _1, , _s) nehaj sut bazne elementy tih prostyh idealov v (R^), ktore možno vzęti kako cěle čisla. V (R^) vsako (a) jest, do jedinice iz (R^), stepenovy produkt ( ). Vraćajuči se k cělym čislam dobivamo

kde ( ) i ( ) ne dělime sut nijednym izključenym prostym idealom. Iz (a g(x) I) zato slěduje, že ( _1^ _1 _s^ _sg(x)), i po prvom tvrdženju poslědka takože ( _1^ _1 _s^ _sg(x)), leži v ( I).

(Prijeto 11 novembra 1931.)

(prěvod iz ruskogo rezjume v originalu):

Vsaka integritetna oblast ( I) definuje něku maksimalnu oblast (M( I)) istogo tipa, sostavjenu iz vsih funkcij (g(x)), za ktore jest najmenej jedno (a 0) tako, že (a g(x)) sadržano jest v ( I).

V toj praci izslěduje se pytanje o "imenovateljah" (a) toj maksimalnoj oblasti (M( I)), pod predpostavjenjem že oblast ( I) byla konečna. Dokazano jest, že te (a) možno vsegda izbirati tako, aby v njih skupaj vchodilo samo konečno čislo prvočisel kako faktorov.

Jednočasno v slučaju, kde (g(x)) sut stepenove redy ili kvocienty takyh redov, predpostavlja se, že funkcije (f_i(x)), ktore definuju oblast ( I), mogu byti medžusobno povezane samo algebraičnymi relacijami.

Dokaz opira se na svod problemu k někojim pytanjam občnoj teorije idealov. Ten svod izpolnja se razmatranjem pojavjenja prvočisla (p) v imenovatelju (a) kako relacije modulo (p) medžu funkcijami (f_i).