37. Normalna baza v poljah bez vyšego razvětvjenja

Journal f. d. reine u. angew. Math. 167 (1932), s. 147--152

Von Emmy Noether in Göttingen.

Pod normalnoju bazoju Galoisovogo čislovogo polja (K/k) razuměje se baza maksimalnogo porjadka ( ) polja (K) vzhodno k maksimalnomu porjadku ( ) polja (k), sostojęča iz konjugovanyh elementov. Nužno uslovje za bytje takoj bazy jest poznano: v (K/k) ne smųt nastupati vyša polja razvětvjenja. To ostaje pravilno i kogda se ograničimo na jedno město, to jest kogda prěhodimo k ( )-adičnomu razširjenju (k_ ) polja (k) i k odgovornomu (K_ ) polja (K). Niže pokazujem obratno tvrdženje:

Za vsa města ( ), kde ( ) ne děli stepen (K/k), jest normalna baza. Osoblivo: ako (K/k) ne ima vyšego razvětvjenja, togda pri vsakom razvětvjenom městu jest normalna baza; diskriminant tam stava kvadratom grupovej determinanty.

K tomu poslědnjemu tvrdženju treba dodati, že, protivno predpostavjenju E. Artina, prěhod k jego provodnikam potrěbuje ještě daljne razmysljenja: razklad grupovej determinanty po ireducibilnyh karakterah daje obobčene koreneve čisla; odgovorno sobranje daje razklad v osnovnom polju, razširjenom karakterami. V najprostějših slučajah mogu te nove faktory identificirati s Artinovymi provodnikami, pomoću idealno-teoretičnogo razklada korenevyh čisel. Dalje hoču primětiti, že i v občnoj situaciji, kde normalna baza ne obstaje, razčlenjenje na obobčene koreneve čisla jest vsegda možno pomoću ``kompozicijnogo reda po Galoisovym modulam''; i že iz togo analogno kako gore vyhodi razklad v razširjenom osnovnom polju; tu znovu počinajut idealno-teoretična pytanja.

Dokaz byta normalnej bazy pod gornymi uslovjami osnovan jest na tom, že ( / ), gledano kako Galoisov modul, to jest kako ( )-modul s podstanovami Galoisovej grupy kako oblastju operatorov, stava operatorno izomorfny k jednostrannomu idealu celočislnogo grupovogo kolca, razširjenogo s ( ). To kolco v vsih običnyh razvětvjenih městah jest maksimalny porjadok; ale idealy v maksimalnyh porjadkah ( )-adičnyh poluprostyh sistemov sut glavne idealy, zato tu nastavajut iz jednogo elementa podstanovami grupy ili grupovogo kolca. Vračajuči se ot togo k Galoisovomu modulu, dostajemo ravno bytje normalnej bazy. Pri městah vyšego razvětvjenja celočislno grupovo kolco prěhodi v nemaksimalny porjadok, a ideal, odgovorny ( / ), v neglavny ideal.

Vsa ta razmysljenja očividno ostavajut pravilne, ako ide o funkcijska polja jednoj proměnnoj, tako že karakteristika konstantnogo polja ne děli stepen (K/k).

§1. ( )-adično razširjeno celočislno grupovo kolco

Nehaj ( ), respektivno ( _ ), označajut maksimalne porjadky algebraičnogo čislovogo polja (k) i jego ( )-adičnogo razširjenja (k_ ), kde ( ) jest prosty ideal iz (k). Dalje nehaj (( )) znači racionalno, a ([ ]) celočislno grupovo kolco grupy ( ) s čislom elementov (n). Pod (( )k), respektivno (( )k ), razuměje se grupovo kolco s koeficientami iz (k), respektivno iz (k ); podobno pod ([ ]_ ), respektivno ([ ]_ _ ), razuměje se razširjenje celočislnogo grupovogo kolca k takomu s koeficientami iz ( ), respektivno iz ( _ ).

Tak (( )k) i (( )k ) sut sistemy bez radikala, to jest poluproste sistemy, a ([ ] ) i ([ ]_ _ ) sut porjadky iz (( )_k), respektivno iz (( )k ).

Teorema 1. Ako prosty ideal ( ) ne děli čislo elementov (n) grupy ( ), togda ([ ]_ _ ) stava maksimalny porjadok v (( )k ); ako ( ) děli (n), togda ([ ]_ _ ) ne jest maksimalny.

Diskriminant celočislnogo grupovogo kolca, tak že i diskriminant ([ ]_ ) i ([ ]_ _ ), jest ravny někoj stepeni čisla elementov (n). Zato ako ( ) ne děli (n), diskriminant ([ ]_ _ ) jest jedinica. To znači, že ([ ]_ _ ), pri fiksovanom ( _ ), ne možno razširiti do obširnějšego porjadka; takomu razširjenju odgovarjalo by odděljenje kvadratnogo nej ediničnogo faktora od diskriminanta. Ale ( _ ) uže bylo predpostavljeno kako maksimalny porjadok, to jest maksimalny v (k_ ). Tak dokazana jest prva čest teoremy 1, jedina upotrebjena niže.

Ako protivno ( ) děli (n), togda direktna suma, odgovorna jediničnomu predstavjenju,

jest istinno razširjenje ([ ]_ _ ). Bo iz (E^(1)= 1n S) slěduje, že ( C) jest istinno razširjenje; ( C) jest porjadok so zavisnymi poroditeljami (E^(1)), ((1-E^(1))S) za (S ), pri čem (E^(1)S=E^(1)).

Teorema 2. Ako ( ) ne děli (n), togda vsak cěly ili drobny ideal vzhodno k ([ ]_ _ ) jest glavny ideal.

Bo po teoremi 1 ([ ]_ _ ) jest maksimalny porjadok ( )-adičnogo poluprostogo sistema; zato idealy sut glavne idealy.

§2. Galoisove moduly, operatorna izomorfija, normalna baza

Nehaj (K/k) jest Galoisovo, a ( ) grupa; (z^S) neka znači element (K), nastaly iz (z) podstanovoju (S) iz ( ). Podstanovy ( ) porađajut na (K/k), gledanom kako (k)-modul, to jest aditivna abelova grupa s (k) kako oblastju operatorov, operatorne avtomorfizmy. Zato možno (K/k) definirati kako modul vzhodno k (( )_k) pravilo:

Definicija. Vsak (( )k)-modul iz (K/k) imenuje se racionalny Galoisov modul. Podobno ([ ] )-moduly iz (K/k) imenujut se cěle Galoisove moduly; osoblivo ( / ) jest cěly Galoisov modul.

Teorema 3. Kako racionalny Galoisov modul, (K/k) jest operatorno izomorfny k (( )_k).

To slěduje iz togo, že (K/k) vsegda ima poljnu normalnu bazu, to jest (k)-bazu iz konjugovanyh elementov (z^S). Priradenje

daje operatorny homomorfizm, ktory zaradi ravnogo ranga nad (k) stava izomorfizm.

Teorema 4. Kako cěly Galoisov modul, ( / ) jest operatorno izomorfny k jednomu ([ ]_ )-modulu iz (( )k), maksimalnogo ranga (n). Podobno ( _ / _ ) jest operatorno izomorfny k ([ ] _ )-modulu ranga (n) iz (( )k ).

(( )k)-izomorfizm (K/k ( )k), dany v teoremi 3, priradžuje ([ ] )-modulu ( / ) ([ ] )-modul ranga (n) iz (( )k). Dalje možno toj (( )k)-izomorfizm razširiti do (( )k )-izomorfizma od (K /k ) k (( )k ), ako samo pustimo koeficienty (c_i) v priradenju teoremy 3 proběgati vse elementy iz (k_ ). Toj izomorfizm potom induciruje ([ ]_ _ )-izomorfizm ( _ / _ ). Pri tom treba (K_ /k_ ) gledati kako hiperkompleksny sistem nad (k_ ). On nastava iz (K/k) razširjenjem koeficientov; občno stava sistem s nulovymi děliteljami, imenno suma izomorfnyh polj, zato poluprosty sistem.

Teorema 5. Pri vsakom městu ( ), ktore ne děli stepen (n) od (K/k), ( _ / _ ) ima normalnu bazu.

Bo po teoremi 1 ([ ]_ _ ) tam stava maksimalny porjadok; ([ ]_ _ )-moduly ranga (n) iz (( )k ) zato stavajut cěle ili drobne idealy, imenno glavne idealy po teoremi 2. Ako tedy ideal, odgovorny ( _ / _ ), jest (W[ ]_ _ ), togda on ima ( _ )-bazu (WS_i); operatorna izomorfija govori, že (w^S_i) jest ( _ )-baza ( _ / _ ), ako (w) označa element iz ( _ / _ ), odgovorny (W). Tih (n) konjugovanyh elementov (w^S_i) zato tvori normalnu bazu ( _ / _ ).

Ako ( ) děli (n), odgovorny modul ( _ / _ ) ne može biti glavny modul, bo v tom slučaju normalna baza ne može obstajati.

Dodatna primětka k teoremi 3. Iz operatornej izomorfije (( )_k) k (K/k), dokazanej v teoremi 3, slědujut Speiserove rezultaty o Kleinovom problemu form, ktore možno formulovati tako:

Vsako nad (k) ireducibilno predstavjenje Galoisovej grupy ( ) od (K/k) porađano jest ireducibilnym racionalnym Galoisovym modulom iz (K/k); vsako absolutno ireducibilno predstavjenje porađano jest Galoisovym modulom iz (K_Z/Z).

Tu (Z) znači razkladno polje, obnimajuče (k), za odgovornu komponentu grupovogo kolca; (K_Z/Z) treba gledati kako hiperkompleksny sistem nad (Z), nastaly iz (K/k) razširjenjem koeficientov. Osoblivo (K_Z) ostaje polje, ako možno (Z) izbrati prosto k (K) vzhodno k (k), to jest ako (K_Z/Z) stava akcesorno razširjenje, slučaj obrabotany Speiserom.

Samo tvrdženje slěduje pomoću operatornej izomorfije iz odgovornogo tvrdženja za (( )_k), respektivno (( )_Z), kde ireducibilne idealy porađajut predstavjenje.

Ako (v_1, ,v_t) jest baza takogo Galoisovogo modula, a (S S) odgovorno predstavjenje, togda:

To jest formulacija Kleina i Speisera.

§3. Diskriminant kako grupova determinanta v poljah bez vyšego razvětvjenja

Za razklad diskriminanta dostatočno jest, kako poznano, gledati razklad pri jednotlivyh razvětvjenih městah; v poljah bez vyšego razvětvjenja ide zato samo o města s normalnoju bazoju.

Teorema 6. Pri Galoisovyh poljah (K/k) bez vyšego razvětvjenja diskriminant pri vsakom razvětvjenom městu jest ravny kvadratu grupovej determinanty Galoisovej grupy, s neizvěstnymi zaměnjenymi normalnoju bazoju. Odgovorno ireducibilnym predstavjenjam grupova determinanta razpada se na obobčene koreneve čisla; diskriminant razpada se na idealy osnovnogo polja, razširjenogo karakterami, pri čem konjugovano-kompleksnym karakteram odgovarjajut ty same idealy.

Bo s (w^S) kako normalnoju bazoju diskriminant ( ) jest kvadrat od

(D) jest grupova determinanta s (w^S) na městu neizvěstnyh (x_S).

Razklad v koreneve čisla vyhodi iz zaključkov Speisera, navedeno dělo. Nehaj

jest razklad grupovej determinanty, respektivno grupovej matrice, po absolutno ireducibilnyh predstavjenjah. Ako (S S) znači predstavjenje, odgovorno (M_ ), gde ( S) leže v razširjenom osnovnom polju, togda dostajemo:

i prěhodom k determinanti

Tako (D_ ) poznavajut se kako obobčene koreneve čisla; ( T), kako determinanta ( T), jest korenj jediničnosti, to jest ireducibilno predstavjenje faktor-grupy ( ) po komutatornoj grupě. V slučaju cikličnyh grup (D ) sut prosto Lagrangeova koreneva čisla ( w^S _ (S)).

Občno (D_ ) leže v hiperkompleksnom sistemu, nastalom iz (K_ /k_ ) tako, že oblast koeficientov (k_ ) razširjena jest odgovornym karakterom; i imenno ide o cěle veličiny togo sistema. Bo determinanta, sostavjena s neizvěstnymi (x_S), ima koeficienty, ktore sut cěle čisla iz polja karaktera; a (w^S) sut cěle elementy iz (K_ ).

Da by se prěšlo od razklada grupovej determinanty k razkladu diskriminanta, vsaky raz se predstavjenje sobiraje s jego adjungovanym. Ako ( , ) označajut adjungovane predstavjenja, togda jednočasno:

Jednočasno determinanty, sostavjene za neizvěstne (x_S) i prinadležne k ( , ), sut konjugovano-kompleksne; medžu tym občno konjugovanym karakteram pri neizvěstnyh (x_S) odgovarjajut konjugovane determinanty.

Položimo zato ( _ D_ ). Togda treba adjungovati samo realno podpolje ( )-togo karaktera, i plati

i zato: ( _ ) leži v osnovnom polju, razširjenom realnym podpoljem ( )-togo karaktera.

Razklad diskriminanta

jest zato takov razklad v osnovnom polju, razširjenom realnymi podpoljami karakterov, pri čem konjugovano-kompleksnym karakteram odgovarjajut ty same faktory. Za ostale konjugovane karaktere bez daljnego nič ne slěduje [srav. 2a)].

Tym teorema 6 dokazana jest vo vsih čestjah. Ako možno pokazati, že idealy, porađene ( _ ), vpravdě uže leže v osnovnom polju (k) i za konjugovane karaktere stavajut ravne, togda one sovpadajut s Artinovymi provodnikami, kogda samo složenym karakteram priradimo odgovorne stepenne produkty ( _ ). Bo plati i funkcionalno uravnenje i fakt, ktory direktno slěduje iz normalnej bazy (srav. Speiser, navedeno dělo): jediničnym predstavjenjam podgrup odgovarjajut diskriminanty odgovornyh podpolj. Iz sovpadanja pri vsakom městu slěduje sovpadanje polnyh idealov. Ako se ograničimo na racionalno ireducibilne karaktere, navedene fakty dajut sovpadanje. Za absolutno ireducibilne karaktere bude sovpadanje v najprostějšem slučaju još direktno potvrdženo:

Teorema 7. Ako (k) jest polje racionalnyh čisel, (K/k) ciklično prostogo stepena (l), prostogo k diskriminantu, zato bez vyšego razvětvjenja, togda idealy, porađene ( _ ) za nejedinične predstavjenja, sut vsi ravne medžu soboju i sovpadajut s provodnikom (K/k).

To slěduje iz poznanogo razklada korenevyh čisel. Pri razvětvjenom městu ( ) od (K/k) plati za (k_ ), polje (l)-tyh korenjev jediničnosti, i za (K_ ) ((K_ ) ostaje polje, bo (k_ ) jest prosto k (K) i ( )-adično razširjenje po primětki 7 tu jest nepotrebno):

s ( i) v (k ), ( P_i) v (K_ ). Dalje za koreneve čisla plati:

kde (r_1, ,r_l-1) jest permutacija čisel (1, ,l-1). Koreneve čisla ( _ ) sut ale tu identične s faktorami (D_ ) grupovej determinanty; zato:

zato jest sovpadanje s provodnikom (K/k).

Prijeto 24 avgusta 1931.