38. Zajedno s R. Brauerom i H. Hasse: dokaz glavnoj teoremy v teoriji algebr

Journal f. d. reine u. angew. Math. 167 (1932), s. 399--404

Dokaz glavnoj teoremy v teoriji algebr.
Radi kratkosti izraz algebra \(A\) nad \( \)'' tu i dalje vsegda znači normalna prosta algebra (A) nad algebraičnym čislovym poljem ( )'', to jest prosty hiperkompleksny sistem s centrom ( ). Dalej, (A ) znači, že (A) jest polna matrična algebra nad ( ), to jest prinadleži specialnoj klasi podobnosti, opreděljenoj samym ( ) kako dělitvenoj algebra nad ( ). Nakonec, pod povsudu razloženoju algebra nad ( ) rozuměje se taka, pri ktoroj za kažno primno město ( p) polja ( ) ( p)-adično razširjenje, to jest algebra nastajuča razširjenjem koeficientnogo polja ( ) do prinadležnogo ( p)-adičnogo polja ( _ p), razlaga se:

Dokaz. Nehaj (D) bude dělitvena algebra nad ( ). Ako (Z) jest ciklično polje nad ( ) tako, že za kažno primno město ( p) polja ( ) ( p)-stepenj polja (Z) jest mnogokratnik ( p)-indeksa (D), togda za prinadležne primne dělitelji ( P) v (Z) kažno ( P)-adično polje (Z_ P) jest polje razloženja za (D_ p) [H, 18.1]. Iz togo slěduje, že algebra (D_Z), nastala razširjenjem koeficientnogo polja (D) do (Z), povsudu razlaga se nad (Z). Ako I uže stoji za vsako ( ), togda (D_Z Z). To govori, že (D) ima ciklično polje razloženja (Z), teda može byti ciklično predstavljena [H, 5]. Potom (D) ima i tako ciklično polje razloženja, čij stepenj sovpada so stepenjem same (D); to jest, (D) jest ciklična [H, 6, teorema 6]. Pod uslovom I glavna teorema jest tedy dokazana.

Za drugu redukciju R. Brauer dal odločujuči potisk, kogda v pismu soobčil H. Hasse, kako srodno pytanje o točnoj cěnnosti eksponenta dělitvenoj algebry (ktore vpročem glavna teorema takože rěša, vidi niže) možno s pomočju Sylowovoj grupnoj teoremy svesti na slučaj rěšimogo polja razloženja. Ta mysl potom dala se upotrěbiti i za odgovarajuču dalju redukciju pytanja cikličnosti.

Redukcija 2. Tvrdženje I jest dokazano, ako jest pokazano:

Dokaz. Nehaj (A) bude povsudu razložena algebra nad ( ). Nehaj (K) bude Galoisovo polje razloženja za (A), (p) proizvolno primno čislo, a ( ) jedno iz Sylowovyh polj polja (K) nad ( ) odnosimyh do (p) (to jest invariantno polje Sylowovoj (p)-podgrupy Galoisovoj grupy). Togda (A_ ) jest takože povsudu razložena algebra nad ( ), ktora ima rěšimo polje razloženja (K). Ako II uže stoji za vsako ( ), togda (A_ ). To govori, že (A) ima polje razloženja ( ) stepenja primnogo k (p). Indeks (A), kako dělitelj togo stepenja, jest tedy primny k (p). Poněže to drži za vsako primno čislo (p), indeks jest 1, to jest (A ). Pod uslovom II jest tedy I dokazano.

Tretju redukciju, ktora potom, kako H. Hasse razpoznal imějuči prvy dvě redukcije, vodi k konečnomu dokazu, dala E. Noether po povodu soobčenja H. Hasse; v njem glavna teorema byla dokazana za specialny slučaj abelovogo polja razloženja, imenno s pomočju obćej redukcije 1 i formulnogo snižanja prinadležnoj faktornoj sistemy. Kako jadro toga E. Noether vydělila právě tretju redukciju. Nezavisno od E. Noether, vpročem, i R. Brauer byl uže promyslil tu tretju redukciju.

Redukcija 3. Tvrdženje II jest dokazano, ako jest pokazano:

Dokaz. Nehaj (A) bude povsudu razložena algebra s rěšimym poljem razloženja (K) nad ( ). Nehaj

bude veriga polj medžu (K) i ( ) taka, že vsegda ( _i) nad ( i+1) jest ciklično primnogo stepenja. Togda najprvo (A _1) jest takože povsudu razložena algebra nad ( _1), ktora ima ciklično polje razloženja primnogo stepenja (K= 0). Ako III uže stoji za vsako ( ), togda (A _1 _1). To govori, že ( _1) jest polje razloženja za (A). Potom, počinajuči od ( _1) vměsto ( 0), točno tako dokazuje se (A _2 2), i tako dalje, dokolě nakonec (A _r _r), to jest (A ). Pod uslovom III jest tedy II dokazano.

No III stoji po rezultatam H. Hasse [H, 24]. Tedy nazad čerez redukcije 3, 2, 1 slěduje pravdivost glavnoj teoremy.

E. Noether pri tom jošče ukazuje slědujuče. Pravdivost III, obćeje za ciklična polja razloženja proizvolnogo stepenja, svodi se na normnu teoremu Hasse. Za redukciju 3 potrěbny jest ale samo specialny slučaj primnogo stepenja, to jest izvorna normna teorema Hilbert--Furtwängler. Tak redukcija III daje novy prosty dokaz normnoj teoremy Hasse. Taj dokaz šel by tako:

Nehaj (Z) bude ciklično polje nad ( ), a ( ) čislo iz ( ), za ktore normno-ostatkovy symbol

jest za kažno primno město ( p) polja ( ). Togda vsaka ciklična algebra

povsudu razlaga se [H, 17.7]. Po redukciji 3 tedy, upotrěbivši samo normnu teoremu Hilbert--Furtwängler, slěduje (A ). Potom ale ( ) jest norma elementa iz (Z) [H, 15.4].

V svjazi s normnoju teoremoju dalje priměčamo, že teoremu I treba smatrati kako jej pravilno obobčenje na vyšje, takože neabelove, slučaje, medžutym kako doslovno obobčenje, kako H. Hasse pokazal, ne jest obće pravilno.

Iz glavnoj teoremy odmah slěduje odgovor na pytanje, k kotoromu izvorno odnosila se druga redukcijna mysl:

Teorema 1. Eksponent normalnoj prostoj algebry nad algebraičnym čislovym poljem ravny jest jej indeksu.

Dalje iz teoremy I slěduje znatny fakt:

Teorema 2. Osnovny ideal pravej normalnoj dělitvenoj algebry nad ( ) dělimo jest najmenej jednym primnym městom ( ), i čak najmenej dvěma.

Pri tom osnovny ideal opredělja se napr. kako reducirana norma reduciranoj diferenty. K tomu beskonečno primno město vključa se v osnovny ideal togda i samo togda, kogda algebra za njega reduciruje se na kvaternionnu algebru, a ne na realno abo kompleksno čislovo polje.

Dokaz. Po rezultatam H. Hasse primno město ( p) polja ( ) vhodi v osnovny ideal togda i samo togda, kogda ( p)-indeks različny jest od (1). Ako by vsi ( p)-indeksy byli ravne (1), algebra razlagala by se povsudu, i po teoremě I ne byla by prava dělitvena algebra. (Že ni jeden samy ( p)-indeks ne može byti različny od (1), slěduje iz togo, že za normno-ostatkove symbole, čiji porjadki sut ( p)-indeksy [H, 17.7], drži produktna teorema, to jest zakon vzajemnosti [H, 3.8].)

Dalje teorema I umožnja opreděliti, aritmetično označiti, vsaka polja razloženja (K), prinadležna algebri (A) nad ( ). V točnom obobčenju stanja, ktore H. Hasse uže ustanovil v specialnom slučaju cikličnyh (A,K) [H, 6, teorema 2], dobivamo:

Teorema 3. Za algebru (A) nad ( ) algebraično čislovo polje (K) nad ( ) jest polje razloženja togda i samo togda, kogda za vse primne dělitelji ( P_i) v (K) vseh primnyh měst ( p) polja ( ) odpovědajuči ( P_i)-stepenj (n_ P_i) polja (K) jest mnogokratnik ( p)-indeksa (m_ p) algebry (A).

Pri tom ( P_i)-stepenj polja (K) jest stepenj prinadležnogo ( P_i)-adičnogo polja (K_ P_i) nad ( p)-adičnym poljem ( _ p), to jest, ako

jest razloženje ( p) v (K), produkt stepenja (f_ P_i) i porjadka razvětvjenja (e_ P_i) dělitelja ( P_i) glede ( p), (n_ P_i=f_ P_ie_ P_i) [H, 4]. A ( p)-indeks (A) jest indeks (m_ p) ( p)-adičnogo razširjenja (A_ p) [H, 6].

Dokaz. Že (K) jest polje razloženja za (A), to jest (A_K K), po teoremě I ravnoznačno jest tomu, že (A_K_ P_i K_ P_i) za každy ( P_i).

Za konečno primno město ( p) nehaj

bude aritmetično odlično ciklično predstavjenje (A_ p) [H, 16; k tomu l. c., teorema 38], tedy (W_ p) nerazvětvjeno polje stepenja (m_ p) nad ( _ p), a ( ) čislo iz ( _ p), točno dělimo s ( p^1). Dalej nehaj (K_ P_iW_ p) bude kompozitum i

prerěz (W_ p) i (K_ P_i). Poněže največje nerazvětvjeno podpolje v (K_ P_i) ima stepenj (f_ P_i) nad ( _ p), i poněže nad ( _ p) za každy stepenj jest samo jedno nerazvětvjeno polje, ( _ P_i)

Zato (K_ P_iW_ p) ima stepenj (m_ p/d_ P_i) nad (K_ P_i), pri tom nerazvětvjen.

Teper

[H, 15.5]. Sledovateljno (A_K_ P_i K_ P_i) ravnoznačno jest tomu, že ( ) jest norma iz (K_ P_iW_ p) glede (K_ P_i). No zbog nerazvětvjenosti (K_ P_iW_ p) nad (K_ P_i) to biva togda i samo togda, kogda porjadkovo čislo (e_ P_i) od ( ) v ( P_i) jest mnogokratnik stepenja (m_ p/d_ P_i) polja (K_ P_iW_ p) nad (K_ P_i), abo, što zbog

jest to samo, kogda

jest mnogokratnik (m_ p/d_ P_i), to jest kogda (n_ P_i) jest mnogokratnik (m_ p), kako tvrdženo.

Za slučaj, že ( p) jest beskonečno primno město i ne trivialny slučaj (m_ p=1), imamo (m_ p=2) i (A_ p) jest kvaternionna algebra nad realnym čislovym poljem ( _ p). Tvrdženje (A_K_ P_i=(A_ p)K P_i K_ P_i) togda ravnoznačno jest tomu, že (K_ P_i) jest kompleksno čislovo polje, to jest (n_ P_i=f_ P_i=2=m_ p) ((e_ P_i) tu ne vhodi), što znovu daje tvrdženje ((n_ P_i), kako (m_ p), može iměti samo vrědnosti 1 abo 2).

Do značečih rezultatov dohodimo, ako pytanje v teoremě 3 o vsih poljah razloženja (K) fiksnoj algebry (A) obratimo: pri fiksnom algebraičnom polju (K) nad ( ) smatrimo vsotu algebr (A) nad ( ), ktore (K) razlaga. Te algebry (A) tvore podgrupu ( K), opreděljenu (K), R. Brauerovoj grupy ( A) vseh algebr, točnije vseh klas podobnyh algebr, nad ( ). Ako predpostavimo, že (K) jest Galoisovo nad ( ), dohodimo do teorem, ktore treba smatrati kako obobčenje glavnyh teorem teorije klasnyh polj, teorije relativno-abelovyh čislovyh polj, na obća relativno-Galoisova čislova polja:

Teorema 4. (Teorema razloženja). Relativny stepenj (f) primnyh děliteljev v (K) primnogo ideala ( p) polja ( ), ktory ne vhodi v relativnu diskriminantu (K), ravny jest najranějšemu eksponentu, za ktory

stane za vse algebry (A) iz grupy ( K), pridruženej k (K).

Dokaz. Poněže (f) jest ( p)-stepenj polja (K), jednak za vse primne dělitelji ( p) v (K), a s drugoj strany ( p)-indeks (A) ravny jest indeksu, tedy eksponentu, (A_ p), po teoremě 3 (f) vsakako jest mnogokratnik onogo najranějšego eksponenta; za dokaz dostaje pokazati, že v grupě ( K) sut algebry (A) s točnym ( p)-indeksom (f).

Po Frobeniusovoj teoremě gustoty sigurno jest jošče jeden primny ideal ( p') v ( ), ne vhodeči v relativnu diskriminantu (K), čiji primni dělitelji v (K) iměju relativny stepenj (f). Nehaj (Z) bude ciklično polje nad ( ), čij ( p)-stepenj i ( p')-stepenj imata vrědnost (f). Dalej nehaj ( ) bude čislo v ( ), za ktore normno-ostatkove symbole

imaju recipročne vrědnosti porjadka (f), dokolě za vse druge dělitelji ( q) provodnika (Z) drži

Po obobčenoj teoremě o aritmetičnoj progresiji možno k tomu izbrati ( ) tako, že kromě možebno ( p, p') i ( q) ono ima samo ešte jeden primny ideal ( r) polja ( ), točno v prvoj potenciji. Za tego potom po produktnoj teoremě za normno-ostatkovy symbol, zakonu vzajemnosti, takože

[H, 3.8--10]. Vsaka algebra

ima togda ( p)-indeks i ( p')-indeks (f), a za vse druge primne města ( ) indeks (1) [H, 17.7]. Po teoremě 3, s ogledom na predpostavku o ( p) i izbor ( p'), slěduje, že (K) jest polje razloženja za (A). Tak sut vpravdu v grupě ( K) pokazane algebry (A) s ( p)-indeksom (f).

Teorema 5. (Teorema jednoznačnosti i uporjadženja). Ako (K K'), togda ( K K'), i obratno.

Osobno, pridruženje algebrnyh grup ( K) k Galoisovym poljam (K) jest obratno jednoznačno.

Dokaz. a) Iz (K K') trivialno slěduje ( K K'); bo vsaka algebra (A), razložena od (K), a fortiori jest algebra razložena od (K').

b) Obratno nehaj ( K K'). Togda po teoremě razloženja za každy nedělitelj ( p) relativnoj diskriminanty (f_ p f'_ p). Osobno (f_ p=1) za skoro vse ( p) s (f'_ p=1). Iz togo po običnom analitičnom zaključnom postupku slěduje (K K').

Nakonec izložimo jošče, že glavna teorema daje bitny postup za pytanje, obrabotano I. Schurom, o čislovyh poljah, v ktoryh možne sut absolutno-nerazložime predstavjenja konečnoj grupy:

Teorema 6. Vsa absolutno-nerazložima predstavjenja konečnoj grupy ( G) možne sut v kružnyh poljah, napr. vsakako v polju (n^h)-tyh korenjev jednoty, ako (n) jest porjadok ( G), a (h) dostatočno veliko.

Dokaz. Prehodjači k racionalno-čislovomu grupovomu kolcu (G) grupy ( G), absolutno-nerazložima predstavjenja ( _i) grupy ( G) stavaju absolutno-nerazložimymi predstavjenjami prostyh sostavnyh česti (G_i) poluprostoj algebry (G), i jih centry sut odpovědajuča polja ( _i) harakterov, zaradi konečnosti ( G) tedy svakako kružna polja, i sigurno podpolja polja (n)-tyh korenjev jednoty.

Po teoremě 3 ciklično polje (Z_i) nad ( _i) jest polje razloženja za (G_i), ako za kažno primno město ( p) polja ( _i) jego ( p)-stepenj (n_i p) jest mnogokratnik ( p)-indeksa (m_i p) od (G_i). (m_i p) različny jest od 1 samo za primne dělitelji osnovnogo ideala (G_i) glede ( _i), teda sigurno samo za primne dělitelji absolutnoj diskriminanty (G_i); poněže ona vhodi v (n^n), a (n^n) jest diskriminanta jednogo nemaksimalnogo porjadka v (G), najviše za primne dělitelji ( p) od (n). Da se (n_i p) za ta ( p) učini mnogokratnikom (m_i p), dostaje predpisati, že dotična ( p) v (Z_i) razvětvjena sut porjadkom, každy raz děliteljnym s (m_i p). To, kako lahko se vidi, daje polje (n^h)-tyh korenjev jednoty za dostatočno vysoko (h).

V poslědnoj teoremě navedenej raboty I. Schur ustanavlja, že v vsih doselě znanyh slučajah dostaje uže polje (n)-tyh korenjev jednoty. Či to vsegda jest tako i či tu razvite metody dostaju za rěšenje togo pytanja, ostaje predmetom dalših izslědovanj.

Prišlo 11. novembra 1931.