40. Nekomutativne algebry

Math. Zs. 37 (1933), 514--541

Nekomutativna algebra.
i javno zadovolja asociativny zakon.

( ) postavaje, kako znano, grupa s operatorami, ako dana jest množina ( ) symbolov (O,H, ), tak že svęzanja (gO,gH, ) daju jednoznačno definirane elementy iz ( ) i porođajut homomorfizmy od ( ) v sebe:

Ako oblast operatorov ( ) jest multiplikativno zakryta, togda jednoznačno obrazovanje od ( ) na odpovědajuču čest oblasti avtomorfizmov jest multiplikativno-homomorfno togda i samo togda, kogda izpolnjena jest asociativna relacija

Odpovědajuče definovany jest recipročny homomorfizm, ako ide o lěve operatory.

Bo obrazovanje ( ) na ( ) dano jest črez (g za vse (g) iz ( ), togda takodže črez

tako že (1a) stavaje nužnym i dostatočnym za multiplikativnu homomorfiju. To, že lěve operatory porođajut recipročny homomorfizm, prihodi odtud, že lěvo zapisane avtomorfizmy ( ^ g, ^ ^ g) treba čitati od desna k lěvu: ( ^ ^ g=g ), operatory pak vsegda od lěva k desnu.

2. Operatorno-homomorfno obrazovanje. Ako ( ) jest grupa s operatorami, operatorna homomorfija definovaje se črez

odnosno pri lěvyh operatorah črez

to jest črez komutativnu svęzanost odnosno prohodny asociativny zakon. Iz zaključivanja 1., obrazovanja na oblast avtomorfizmov, za dvě razne oblasti operatorov vyhodi:

Ako dane sut dvě oblasti operatorov ( ) i ( ), elementi ( ) porođajut ( )-avtomorfizmy i jednočasno elementi ( ) porođajut ( )-avtomorfizmy togda i samo togda, kogda oblasti komutativno svęzane sut s ( ), odnosno kogda izpolnjaje se prohodny asociativny zakon:

odnosno

3. Moduly i dvojne moduly nad kolcami. Pravy modul ( ) nad kolcom ( ) jest aditivna abelova grupa s elementami iz ( ) kako pravymi operatorami, pri čem pored asociativnoj relacije (1a) izpolnjajut se i distributivne relacije:

Odpovědajuči fakt važi za lěve moduly.

Medžu dvojnymi modulami treba razlikovati dva vida. Prave moduly nad dvoma kolcami ( ) i ( ) zovut se dvojne moduly, ako kromě za ( ) i ( ) pojedinačno važečih svęzanj još važi

( )-lěve, ( )-prave moduly zovut se dvojne moduly, ako pridodaje se prohodny asociativny zakon

Značenje tyh svęzanj slěduje iz togo, že v slučaju abelovyh grup absolutna oblast avtomorfizmov tvori kolco, absolutno kolco avtomorfizmov. Podrobno obrazovateljno zaključivanje daje:

Ako oblast operatorov ( ) aditivno zapisanoj abelovoj grupy ( ) jest kolco, togda jednoznačno obrazovanje od ( ) na podmnožinu ( ) absolutnogo kolca avtomorfizmov jest kolcovo-homomorfno togda i samo togda, kogda ( ) jest pravy modul nad ( ), to jest kogda (1a) i (3a) izpolnjene sut; pri lěvyh modulah recipročno kolcovo-homomorfno.

Ako ( ) jest pravy modul nad kolcami ( ) i ( ), ( ) stavaje dvojny modul, (2a), togda i samo togda, kogda ( ) možno kolcovo-homomorfno obrazovati na podkolco ( )-avtomorfnogo kolca i jednočasno ( ) na podkolco ( )-avtomorfnogo kolca. Ako ( ) jest pravy modul nad ( ), lěvy modul nad ( ), dvojny modul, (2a*), znači homomorfno obrazovanje od ( ) na podkolco ( )-avtomorfnogo kolca, recipročno homomorfno od ( ) na podkolco ( )-avtomorfnogo kolca.

Odtud osoblivo slěduje:

1. Ako ( ) jest kolco s jedinicoju, ( ) jest direktno izomorfno svojmu avtomorfnomu kolcu kako ( )-lěvy modul i recipročno izomorfno svojmu avtomorfnomu kolcu kako ( )-pravy modul.

2. Ako ( ) jest polno matrično kolco nad vobće nekomutativnym tělom (A),

togda (A) stavaje recipročno izomorfno avtomorfnomu tělu prostyh pravyh idealov, direktno izomorfno avtomorfnomu tělu prostyh lěvyh idealov.

4. Prěhod od pravogo dvojnogo modula k jednostronnomu modulu nad kolcom produkta. Na tom prěhodu suščstveno osnovano jest značenje pravogo dvojnogo modula.

Teorem. Ako ( ) jest pravy modul nad kolcom ( ), ktore soderži dva elementno medžusobno komutujuče podkolca ( ) i ( ), togda ( ) možno takodže razuměti kako dvojny modul nad ( ) i ( ). Obratno, ako dan jest dvojny modul nad ( ) i ( ), i obstaja kolco produkta ( ), v ktorom ( ) i ( ) elementno komutujut, togda ( ) možno takodže razuměti kako pravy modul nad ( ), pri čem ( )-svęzanje prodolžaje dane ( )- i ( )-svęzanja.

Prvo tvrdženje slěduje iz toga, že ( ) po definiciji može se homomorfno obrazovati na podkolco ( ) absolutnogo kolca avtomorfizmov, pri čem ( , ) prěhodet v elementno komutujuče podkolca ( , ). To ravno znači relaciju (2a), harakterizujuču dvojny modul.

Obratno, ako ( ) dan jest kako ( , )-dvojny modul (pravy modul), togda ( , ) znovu možno homomorfno obrazovati na elementno komutujuče podkolca ( , ) absolutnogo kolca avtomorfizmov. V absolutnom kolcu avtomorfizmov obstaja za ( , ) kolco produkta ( ), ktore zaradi elementnoj komutativnosti sostoji iz vsih elementov formy

(ako ( , ) imajut jedinice, dodatne členi ( r, s) otpadajut). Ako teper obstaja takodže kolco produkta ( ), v ktorom ( ) i ( ) elementno komutujut, ono odpovědajuče sostoji iz vsih elementov formy ( _i r_i s_i+r+s). Homomorfizmy

možno teda dopolniti črez prirěđenje

do homomorfizma ( ); teda svęzanje

jest jednoznačno i definira po §1, 3. ( )-modul, ktory obhvača dany ( , )-modul.

§2. Recipročno i direktno predstavjenje

1. Moduly linearnyh form. Prěhod od teorije razvijene v §1 k teoriji predstavjenj osnovan jest na specializaciji tamtyh modulov na moduly linearnyh form i na razsmotrenju njihovih kolc avtomorfizmov.

( )-pravy modul ( ), kde ( ) jest kolco s jedinicoju, zove se modul linearnyh form v ( ), ako ( ) jest direktna suma (n) jednočlennyh ( )-modulov:

tako že (m_i ) jest operatorno izomorfen k ( ), znači iz (m_i s=0) vsegda slěduje (s=0). Iz toga vyhodi, že ( ) možno ne samo homomorfno, ale izomorfno obrazovati na podkolco absolutnogo kolca avtomorfizmov.

Teorem 1. Ako ( ) jest modul linearnyh form v ( ), togda ( )-avtomorfno kolco ( ) od ( ) jest recipročno izomorfno, ne samo homomorfno, kolcu ( ) vsih (n)-rędnyh matric v ( ).

Libovoljny ( )-avtomorfizm ( ) od ( ) polno opisan jest črez prirěđenje

bo iz toga po definiciji slěduje

Ako v matričnom zapisu

togda, kogda ( ) proběgaje vse avtomorfizmy, prirěđenje ( A) daje jedno-jednoznačnu svęz medžu ( ) i ( ). Bo ( ) byl predpostavjen kako modul linearnyh form, (A) jednoznačno opreděljena jest črez ( ), i vsaka matrica (A) (n)-togo stepena v ( ) porođaje avtomorfizm; dalje slěduje:

Poslědnje po

zaradi (ms s).

2. Predstavjenje i modul predstavjenja. Ako pod recipročnym odnosno direktnym predstavjenjem (n)-togo stepena kolca ( ) v ( ) razuměti recipročny odnosno direktny kolcovy homomorfizm od ( ) v podkolco kolca vsih (n)-rędnyh matric v ( ), togda teorem 1 možno formulovati takodže:

Teorem 1'. Avtomorfno kolco ( ) modula linearnyh form (n)-togo stepena v ( ) dopušća izomorfno (věrno) recipročno predstavjenje črez polno matrično kolco ( ) vsih (n)-rędnyh matric v ( ).

Odtud obične teoremy za direktne predstavjenja dobyvajut takodže formu za recipročne.

Definicija. Modul linearnyh form ( ) v ( ) zove se recipročny modul predstavjenja od ( ) v ( ), ako ( ) jest dvojny modul nad ( ) i ( ) i jednočasno ( )- i ( )-pravy modul. On zove se direktny modul predstavjenja, ako ( ) jest dvojny modul i jednočasno ( )-lěvy, ( )-pravy modul.

Teorem 2. Vsaky recipročny odnosno direktny modul predstavjenja porođaje klas ekvivalentnyh recipročnyh odnosno direktnyh predstavjenj od ( ) v ( ), i vse recipročne odnosno direktne predstavjenja porođajut se tak.

Nehaj najprvo ( ) bude recipročny modul predstavjenja. Po §1, 3. togda ( ) možno direktno homomorfno obrazovati na podkolco ( ) ( )-avtomorfnogo kolca od ( ); po §2, Teorem 1' ( ) dopušća recipročno (věrno) predstavjenje, ktore togda stavaje recipročnym predstavjenjem od ( ). Ako obratno dano jest recipročno predstavjenje ( ^), ono črez složenje s recipročnym izomorfizmom od ( ^) k podkolcu ( ) ( )-avtomorfnogo kolca daje direktny homomorfizm od ( ) na ( ); teda ( ) stavaje ( )-modul, imenno dvojny modul, to jest modul predstavjenja po §1, 3. Prěhod k drugim ( )-bazam daje klas ekvivalentnyh predstavjenj.

Ako ide o direktny modul predstavjenja, ( ) obrazovaje se na ( ) recipročno homomorfno. Složenje s recipročnym predstavjenjem od ( ) davaje direktno predstavjenje od ( ). Obratno, iz direktnogo predstavjenja slěduje recipročno homomorfno obrazovanje na ( ); potom ( ) stavaje direktny modul predstavjenja po §1, 3.

Zamětka. Naravno, oba vida predstavjenj možno svesti jedno na drugo: direktno predstavjenje od ( ) jest recipročno predstavjenje recipročnoho kolca k ( ) i obratno. Drugo svodženje sostoji v prěhodu od ( ) k recipročnomu kolcu i zaměně matric transponovanymi. To odpovědaje prěhodu od ( )-lěvogo, ( )-pravogo modula k ( )- i ( )-lěvomu modulu.

3. Prěhod od recipročnogo modula predstavjenja k modulu nad kolcom razširenja. Prednost recipročnogo modula predstavjenja opiraje se prěd vsim na možny prěhod k kolcu razširenja po §1, 4. Za tut dany specialny slučaj, ( ) modul linearnyh form po ( ), ide teda o prěhodny teorem za moduly predstavjenj:

Ako ( ) jest pravy modul nad kolcom ( ), ktore soderži dva elementno komutujuče podkolca ( ) i ( ), tako že ( ) stavaje modul linearnyh form po ( ), togda ( ) možno razuměti takodže kako recipročny modul predstavjenja od ( ) v ( ).

Ako obratno dan jest recipročny modul predstavjenja od ( ) v ( ), i obstaja kolco produkta ( ), v ktorom ( ) i ( ) elementno komutujut, togda ( ) možno takodže razuměti kako ( )-modul tako, že ( )-svęzanje jest prodolženje danyh ( )-, ( )-svęzanj.

V teoriji predstavjenj suščstveno upotrěbjaje se

Slědstvo iz prěhodnogo teorema za moduly predstavjenj. Ako ( ) jest recipročny modul predstavjenja od ( ) v ( ) i jednočasno ( )-modul s ( ) kako kolcom produkta, togda ( )-, ( )-izomorfizm od ( ) k modulu ( ) ravnoznačny jest ( )-izomorfizmu. Vsakomu klasu izomorfnyh ( )-modulov odpovědaje teda recipročny klas predstavjenja od ( ) v ( ) i obratno.

Svęz tyh teoremov s §1, 2. i 3. daje osnovnu za dalje svęz medžu matricami komutujučimi s predstavjenjem i ( )-, ( )-avtomorfizmami.

Teorem o komutujučih matricah. Ako ( ^) jest recipročno predstavjenje (n)-togo stepena od ( ) v ( ), i ( ^) znači kolco vsih s ( ^) elementno komutujučih matric ((n)-togo stepena v ( )), togda ( ^) daje recipročno-izomorfno predstavjenje ( )-, ( )-avtomorfizmov, to jest tyh ( )-avtomorfizmov, ktore jednočasno sut ( )-avtomorfizmy, porođajučego modula predstavjenja ili takodže, ako kolco produkta ( ) obstaja, ( )-avtomorfizmov.

Nehaj ( ) bude kolco vsih ( )-, ( )-avtomorfizmov od ( ). Kako podkolco ( )-avtomorfnogo kolca ( ), ( ) dopušća recipročno izomorfno predstavjenje v ( ). Po §1, 2. i 3. ( ) sostoji iz vsih takyh avtomorfizmov iz ( ), ktore komutativno svęzane sut s ( ), to jest zadovoljajut relaciju (2a). ( ) sostoji teda iz vsih avtomorfizmov, ktore elementno komutujut s tymi iz ( ), kde ( ) znači obraz od ( ) v ( ). Poneže pri predstavjenju ( ) i ( ) ide o recipročnu izomorfiju, ne samo homomorfiju, to jest dokazovany fakt.

Zamětka. ( )-, ( )-avtomorfizmy značet prirěđenje (m_i m_i') tako, že posrědstvom (m_i') nastavaje to samo predstavjenje ( ^); pri tom (m_i') ne morajut nužno davati ( )-bazu od ( ), odpovědajuče faktu, že matrice iz ( ^) ne morajut byti obratne. ``Predstavjenje'', ako suma ( m_i' ) ne jest več direktna, treba razuměti v prěnesenom smyslu:

ostava pravdivo, ale (A) ne jest več jednoznačno opreděljeno črez (a).

Daljna zamětka k prěhodnomu teoremu jest slědujuča: diagonalne matrice (E s) daju direktno izomorfno predstavjenje od ( ), ``identično'' od ( ). Že ide tut o direktny izomorfizm, slěduje iz toga, že ( )-avtomorfno kolco od ( ) soderži podkolco recipročno izomorfno k ( ), čije recipročno predstavjenje tut razsmatra se. Bo vsaky jednočlenny sumand (m_i ) od ( ) jest k ( ) kako pravomu modulu operatorno izomorfen, jeho ( )-avtomorfno kolco teda k ( ) recipročno izomorfno (§1, 3., slědstvo 1).

Črez ( ) i ( ) jednoznačno definirano prirěđenje od ( ) k matricam v ( ) jest teda ne predstavjenje kolca ( ), ale razširenje recipročnogo predstavjenja od ( ) k operatorno-homomorfnomu po ( ):

Osoblivo recipročno predstavjenje od ( ) jest jednočasno operatorno-homomorfno vzhodno k v centru ( ) ležečemu prěsěku ([ , ]) od ( ) i ( ).

§3. Moduly v odnosu k tělu

V slědujučem ide samo o predstavjenja v vobće nekomutativnyh tělah. Zato sobirajut se několiko prostyh teoremov o modulah linearnyh form po tělu.

1. Normalna baza podmodula po danoj bazě polnogo modula. Nehaj (A) bude tělo i

modul linearnyh form ranga (n); dalje nehaj

podmodul ranga ( n). (z_i) zovut se normalna baza po (x), ako sut formy

Vsaky modul ( ) ima po podobnom numerovanju (x_i) normalnu bazu. Bo po podobnom numerovanju dohodi

teda

i odpovědajuči

ležet v ( ) i izčerpajut ( ).

2. Modul razširenja. Nehaj znovu (A) bude tělo, (P) podtělo. (A)-modul (N) ranga (n) zove se modul razširenja (P)-modula (M); (N=M_A), ako (M) jest podmodul jednakogo ranga v (N). Ako

teda

Obratno k vsakomu (P)-modulu (M=y_1P+ +y_nP) obstaja do modulnoj izomorfije jednoznačno modul razširenja (M_A). Bo modul (y_1A+ +y_nA) soderži k (M) izomorfny podmodul (M), ktory može byti identificiran s (M).

Slědstvo a). Ako (z_1, ,z_s) sut vzhodno k (P) linearno nezavisne elementy iz (M), togda oni sut takodže linearno nezavisne po (A) v (N=M_A), bo jih možno dopolniti do bazy od (M) i tym samym od (N). Vsaky (P)-modul

iz (M) porođaje teda modul razširenja

Slědstvo b). Vsaky (P)-modul (T=z_1P+ +z_sP) iz (M) jest suženny modul, to jest prěsěk svojego modula razširenja (T_A) s (M):

Bo (T T_A M); leži li obratno (a) v (T_A M), dohodi

teda elementi (M): (a,z_1, ,z_s) sut zavisne po (A), teda po slědstvu a) takodže po (P); zato (a) leži v (T).

3. Teorem o invariantnyh modulah. Nehaj znovu (N=M_A) jest modul razširenja (P)-modula (M) ranga (n), dalje nehaj (P) bude polno invariantno tělo vzhodno k grupě ( ) kolcovyh avtomorfizmov od (A). Grupa ( ) definovaje se kako oblast operatorov od (N=M_A) črez postavjenja

i

Lema. Po tyh postavjenjah (M) sostoji iz vsih elementov od (N), ktore ostavajut nepodvižne pri ( ). Bo ako (x_1, ,x_n) jest (P)-baza od (M), teda (w=x_1 _1+ +x_n _n), iz (G(w)=w) za vsako (G) iz ( ) slěduje, že takodže (G( _i)= _i), i po predpostavjenju ( _i) leži v (P).

Teorem. Moduly razširenja (L_A) podmodulov (L) od (M), i samo oni, sut dopustime podmoduly vzhodno k ( ) kako oblasti operatorov.

Prva polovica jest jasna. Obratno, nehaj (L) bude dopustim vzhodno k ( ), nehaj (z_1, ,z_ ) bude normalna baza (L) (sr. 1.) po (x_1, ,x_n), gde (x_1, ,x_n) izbrana sut kako (P)-baza od (M), teda ( ) elementno dopušća jih. Po predpostavjenju

jest element od (L) za vsako (G) iz ( ), teda pri fiksnom (G) linearno vyražimy črez (z); iz sravnjenja koeficientov pri (x_1, ,x_n) dostava se (G(z_i)=z_i) za vsako (G) iz ( ). Teda po lemi (z) ležet v (M), i (L) stavaje razširenje (P)-modula

iz (M), pri čem (T=L M) (po 2).

§4. Hiperkompleksne sistemy i njihove klasy predstavjenj

1. Teorem razširenja. Teper svęzujemo teoremy predstavjenj iz §2 s modulnymi teoremami iz §3. Na město obćih kolc ( ) razsmatramo hiperkompleksne sistemy s jedinicoju, (S,T, ), nad komutativnym poljem (P), to jest

na město libovoljnyh kolc predstavjenja ( ) samo těla (A,B, ), i to, ako ništo drugo ne zaměčeno, taka s centrom (P). V tom slučaju vsegda obstaja kolco produkta, v ktorom (S) i (A) elementno komutujut, s prěsěkom (P); ide o direktny produkt (S A), ktory jednočasno stavaje modul razširenja (S_A) od (S) v smyslu §3,

i zato zove se takodže kolco razširenja.

Pri toj specializaciji teorem o invariantnyh modulah (§3, 3.) prěhodi v

Teorem razširenja. Vsaky dvostronny ideal iz (S_A) jest ideal razširenja ideala iz (S), imenno razširenje svojego prěsěka s (S).

Bo ako osnovna grupa ( ) jest grupa vnutrišnjih avtomorfizmov od (A), (P) kako centar od (A) stavaje polno invariantno tělo, medžutym elementna komutativnost (A) s (S) znači, že ( ) po §3, 3. razširjena jest na (S_A) tako, že (S) stavaje polna oblast invariantov. Vsaky dvostronny ideal ( a) iz (S_A) jest dopustima podgrupa, zaradi ( ^-1 a a), teda po §3, 3. razširenje svojego prěsěčnogo modula ( a S), ktory stavaje ideal v (S).

Dodatok: Ako (S) jest komutativno, (S) stavaje centrom od (S_A). Bo (S) leži v centru i jest polna invariantna oblast vzhodno k vnutrišnjim avtomorfizmam porođenym od (A). Obćejše, centar od (S) stavaje takodže centrom od (S_A).

Označenje: Pod (A_r,B_n, ) treba vsegda razuměti matrične kolca naznačenogo stepena nad (A,B, ), teda

V slědujučem suščstveno upotrěbjaje se slědstvo, teorem razširenja za proste sistemy: Ako (S) jest prosty sistem, togda (S_A) takodže stavaje prosty:

s prirěđenym tělom (B), čiji centar obhvača (P). Pri tom (A), i tym takodže (B), može byti beskonečnogo ranga nad (P); samo (S) predpostavja se kako hiperkompleksny. Ako (S) i (A) imajut obći centar (P), togda (P) stavaje takodže centrom od (S_A).

Obćejše važi još: ako (S) jest prosty hiperkompleksny sistem, togda takodže direktny produkt (S A_r) jest prosty. Bo (S A_r) sovpada s (S_A P_r), teda stavaje (B_tr), ako (S_A=B_t).

2. Klasy predstavjenj. Pod recipročnym ili direktnym predstavjenjem hiperkompleksnogo sistema treba, kako obyčno, razuměti tako, ktore jest operatorno-homomorfno vzhodno k oblasti koeficientov (P) (§2, konec) i različno od nulovogo predstavjenja. Svęz prěhodnogo teorema i jego slědstva (§2, 3.) s teoremom razširenja iz 1. daje

Teorem o klasah predstavjenj. Ako (S) jest hiperkompleksny s jedinicoju, s (P) kako oblastju koeficientov, a (A) tělo s centrom (P), togda (S) ima toliko raznyh nerazložimyh recipročnyh klasov predstavjenj od (S) v (A), koliko ima klasov prostyh pravyh idealov v ostatkovom kolcu od (S_A) po njegovom radikalu. Ako (S) jest prosty sistem, togda ima točno jeden nerazložimy recipročny i jeden nerazložimy direktny klas predstavjenja v (A).

Bo po slědstvu iz prěhodnogo teorema (§2, 3.) proste recipročne klasy predstavjenj i proste modulne klasy po (S_A) odpovědajut jedno-jednoznačno. Poneže (S_A) jest konečnogo ranga po tělu (A), ono zadovolja maksimalno i minimalno uslovje za jednostronne idealy, teda prvi děl tvrdženja slěduje direktno iz Darstellungstheorie, §19. Ako (S) jest prosty, togda takodže (S_A) po teoremu razširenja. Zaradi maksimalnogo i minimalnogo uslovja ono jest jednočasno polno reducibilno, ima teda samo jeden prosty jednostronny idealny klas; to jest, (S) ima samo jeden nerazložimy recipročny klas predstavjenja v (A). S (S) jest takodže recipročno izomorfny sistem prosty, ima samo jeden nerazložimy recipročny klas predstavjenja; zato (S) ima takodže samo jeden prosty direktny klas predstavjenja.

3. Rangova relacija. Fakt, že ako (S) jest prosty,

jest konečnogo ranga kako po (A), tako po (B), daje rangovu relaciju:

Bo (S_A) samo jest recipročny modul predstavjenja za (S) v (A) (predstavjenje leži už v (P)). Kako matrično kolco nad (B), (S_A) razpadaje se na (t) prostyh pravyh idealov, teda (S_A)-modulov, čiji rang po (A) jest stepen (r) nerazložimogo recipročnogo predstavjenja. Poneže (n) jest jednočasno rang od (S_A) po (A), slěduje rangova relacija.

4. Poostrenje rangovoj relacije, ako (A) jest konečnogo ranga po (P). V tom slučaju važe tri relacije:

Pri tom (2) znači rang po (P) prostogo pravogo ideala iz (S_A), vyraženy po 3. črez rang po (B) odnosno (A), medžutym (3) znači rang prostogo pravogo ideala v matričnom kolcu (B_n) i slěduje iz (2) črez množenje s (r) po (1).

§5. Priměnjenje teoremov predstavjenja na matrične kolca

V §4 razsmatrjano recipročno predstavjenje od (S) v (A) možno takodže razuměti kako direktny homomorfizm od (S) v podkolco od (A_r), gde ( A) znači k (A) recipročno izomorfno tělo. Princip slědujučih paragrafov jest obratno svesti izslědovanje matričnyh kolc (A_r) na teoriju predstavjenj v recipročno izomorfnom tělu (A).

1. Reducibilno i nerazložimo vloženje v (A_r). Nehaj (A) i ( A) sut recipročno-izomorfne těla konečnogo ili beskonečnogo ranga nad svojim centrom (P). Prosty sistem (S) nad (P) zove se nerazložimo odnosno reducibilno vložimy v (A_r), ako (S) ima nerazložimo odnosno reducibilno recipročno predstavjenje (r)-togo stepena v (A). Ako (S) nerazložimo vložimy jest v (A_r), togda on reducibilno vložimy jest v vsih matričnyh kolcah (A_rs) s (s>1), bo ima reducibilne predstavjenja tih i samo tih stepenov (§4, 2.). (S) stavaje teda direktno izomorfny někojim podkolcam od (A_r) i (A_rs). Izomorfizm jest prodolženje identičnogo od (P); po §4, 3. pri tom (r) jest dělitelj ranga (n) od (S) po (P).

Na toj način dobyvajut se vse (P) obhvačajuče proste podkolca konečnogo ranga po (P) raznyh (A_f) ((f=1,2, )); bo vsako tako podkolco jest recipročno izomorfno podkolcu od ( A_f), dopušča teda reducibilno ili nerazložimo recipročno predstavjenje v (A).

2. Teorem o vnutrišnjih avtomorfizmah. Ako (S^(1)) i (S^(2)) sut dva (P) obhvačajuče proste podkolca od (A_f), konečnogo ranga po (P), i (S^(1)) i (S^(2)) izomorfne sut po (P), togda toj izomorfizm porođaje se vnutrišnjim avtomorfizmom od (A_f).

Bo (S^(1)) i (S^(2)) značet, vobće reducibilne, vloženja prostogo sistema (S) v (A_f), teda direktne predstavjenja (f)-togo stepena v (A); oni naležet zato k tomu samomu reducibilnomu direktnomu klasu predstavjenj v (A); prěnosna matrica porođaje avtomorfizm.

Ako samo (A) jest konečnogo ranga po (P), teda hiperkompleksno, teorem prěhodi v znany: dva proste podsistemy od (A_f), obhvačajuče centar (P), izomorfne po (P), prěhodet jedna v drugu črez vnutrišnji avtomorfizm od (A_f). Osoblivo vsaky avtomorfizm od (A_f) jest vnutrišnji.

3. Teorem o elementno komutujučih podkolcah. Toj teorem slěduje iz teorema o komutujučih matricah iz §2, 3., znovu po principu spomenutom na počętku paragrafa:

Ako (S) jest prosty, (P) obhvačajuči sistem iz (A_f), i (R) znači vsě elementy iz (A_f), ktore elementno komutujut s (S), togda takodže (R) jest matrično kolco: (R= B_s). Prirěđene těla (B) od (S_A) i ( B) od (R) sut recipročno izomorfne. Prěsěk od (R) i (S) stavaje centrom od (S). (R) jest tělo togda i samo togda, kogda (S) jest nerazložimo vloženo v (A_f).

Bo po §2, 3. (R) jest direktno izomorfno avtomorfnomu kolcu recipročnogo modula predstavjenja ( ) od (S) v (A); to pak jest avtomorfno kolco od ( ), razuměnogo kako (S_A)-modul. Ako ( ) razpadaje se na (s) prostyh (S_A)-modulov, i, kako v §4, 1., položeno jest (S_A= Bc_ik), togda (R) jest izomorfno k ( Bc_ik), gde (B) i ( B) sut recipročno izomorfne (bo (B) jest recipročno izomorfno avtomorfnomu tělu prostyh pravyh idealov iz (S_A), teda prostyh (S_A)-modulov po koncu §1, 3.). (R) stavaje tělo, (R= B), togda i samo togda, kogda (s=1), teda (S) nerazložimo vloženo jest. Že prěsěk od (R) i (S) jest centar od (S), slěduje neposrědnje iz definicije od (R).

4. Poostreny komutantny teorem pri hiperkompleksnom matričnom kolcu. V tom slučaju rangove relacije iz §4, 4. daju poostrenje:

Proste, (P) obhvačajuče podsistemy iz (A_f), gde (A) jest konečnogo ranga po svojem centru (P), razpadajut se na pary (S, S) tako, že ( S) sostoji iz vsih s (S) elementno komutujučih elementov i obratno. Prirěđene těla od (S_A) i ( S) sut recipročno izomorfne, takodže te od (S) i ( S_A). Prěsěk od (S) i ( S) ravny jest obćemu centru. Jedno podkolco jest tělo togda i samo togda, kogda drugo nerazložimo vloženo jest. Produkt rangovyh čisel po (P) od (S) i ( S) ravny jest rangu od (A_f). Ako (f=rs= r s), gde (S) nerazložimo vložimo jest v (A_r) i ( S) nerazložimo vložimo v (A_ r), prirěđene těla od (S) i ( S) stavajut izomorfne paru komutujučih podkolc iz (A_g) s (f=g s s).

Suščstveno treba dokazati samo tvrdženje o produktu rangovyh čisel. Nehaj najprvo (S) nerazložimo vloženo, teda ( S) tělo i recipročno izomorfno k (B), gde (S_A=B_t). Rangova relacija (3) iz §4, 4. daje produktno tvrdženje, bo teper (f=r), i rang od ( S) ravny jest rangu od (B). Ako (S) reducibilno vloženo, teda ( S=B_s), togda (f=rs), množenje (3) s (s^2) daje tvrdženje. Odtud slěduje neposrědnje, že ( S) sostoji iz vsih elementov elementno komutujučih s (S), i tym vse dalje iz 3. kromě poslědnjogo tvrdženja. To vyhodi črez dvojny prěhod k nerazložimomu vloženju. V (A_r), s (f=rs), (S) nerazložimo vloženo jest, (S) i (R) stavajut parno komutujuče sistemy, pri čem (R) izomorfno tělu (B). Dalje (S), zaradi recipročnosti od (S) i ( S), ravno jest ( B_s), gde ( B) ima to samo značenje za ( S), ktore (B) ima za (S); teda (R) reducibilno vloženo jest v (A_r), nerazložimo v (A_g) s (r=g s). Tut parno komutujuče sistemy stavajut izomorfne k (B) i ( B).

§6. Galoisova teorija prostyh sistemov

Poostreny komutantny teorem iz §5, 4. vyražaje Galoisovu teoriju prostyh sistemov vzhodno k centru kako osnovnoj oblasti. Razsmatramo najprvo těla, potom obće proste sistemy.

1. Galoisova teorija těla konečnogo ranga po centru. Galoisova grupa ( ) od (A) definovana jest kako grupa vsih avtomorfizmov, ktore sut prodolženje identičnogo od centra (P), teda po §5, 2. kako grupa vsih vnutrišnjih avtomorfizmov. Zato

gde (A^) odnosno (P^) značet multiplikativnu grupu nenulovyh elementov iz (A) odnosno (P). Podgrupam ( H) od ( ) odpovědajut teda jedno-jednoznačno (P^) obhvačajuče podgrupy (H^) od (A^*), po

Podgrupa ( H) od ( ) zove se zakryta, ako (H^*) po pridavanju nuly prěhodi v tělo (H). Fakt, že (C) dopušća grupu ( H), ravnoznačny jest tomu, že (C) elementno komutuje s (H). Tym komutantny teorem §5, 4. prěhodi v

Glavny teorem Galoisovej teorije nekomutativnyh těl. Těla (C) medžu (P) i (A) i zakryte podgrupy ( H) od ( ) možut se jedno-jednoznačno prirěditi tako, že (C) stavaje polno invariantno tělo od ( H) i ( H) polna invariantna grupa od (C).

2. Galoisova teorija prostyh sistemov. Ako (A_f) jest prosty sistem s centrom (P), Galoisova grupa ( ) znovu jest grupa vnutrišnjih avtomorfizmov, teda izomorfna k

gde teper (A_f^) znači multiplikativnu grupu regularnyh elementov iz (A_f). Podgrupa ( H H^/P^) od ( ) zove se prosto-zakryta, ako iz (H^) porođeno podkolco (H) jest prosty sistem i ako (H^*) sostoji iz vsih regularnyh elementov od (H). Prěhod od komutantnogo teorema k Galoisovej teoriji tut dan jest črez

Lema. Vsaky (P) obhvačajuči prosty sistem iz (A_f) porođaje se grupu (H^*) svojih regularnyh elementov. To jest jasno, ako (P) ima beskonečno mnogo elementov; bo s neizvěstnymi stvoreny obći element jest regularny, i črez podobnu specializaciju možno tvoriti regularne bazne elementy po (P). Lema važi po Shodi obće.

Po lemi komutativnost od (S) s prostym sistemom ( S) znovu ravnoznačna jest tomu, že (S) dopušća avtomorfizmy inducirane regularnymi elementami od ( S). Teda i tut komutantny teorem §5, 4. prěhodi v

Glavny teorem Galoisovej teorije prostyh sistemov. Proste, (P) obhvačajuče sistemy (S) iz (A_f) i prosto-zakryte podgrupy ( H) od ( ) možut se jedno-jednoznačno prirěditi tako, že (S) stavaje polna invariantna oblast od ( H) i ( H) polna invariantna grupa od (S).

3. Dokaz posrědstvom principa prodolženja. Za slučaj těla dajem još drugi dokaz glavnogo teorema, osnovany na principu prodolženja izomorfizmov, to jest predstavjenj prvogo stepena, i, bo ne upotrěbjaje rangovogo sčitanja, potrebuje menje predpostavjenj konečnosti. Osoblivo tako vidi se směr, v ktorom bude možny prěnos na těla (S) beskonečnogo ranga. Dokaz takodže ne upotrěbjaje fakt, že obstaja samo jeden nerazložimy recipročny klas predstavjenja; zato važi točno tako v komutativnom, sr. §8, 2. Prědlagam několiko lem.

Predpostavjenja. Prosty sistem (S) nad (P) nehaj dopušća recipročno predstavjenje prvogo stepena v (A), teda jest tělo; pri tom (A) može byti konečnogo ili beskonečnogo ranga nad svojim centrom (P). Razloženje od (S_A) v (n) prostyh, operatorno izomorfnyh pravyh idealov po §4, 3. dano nehaj bude črez

črez (e_i) porođeno recipročno predstavjenje definirano jest črez

Lema 1. (n) črez (e_1, ,e_n) porođenyh recipročnyh predstavjenj sut razne, teda različne predstavjenja togo samogo klasa predstavjenj. (S) ima teda najmenej toliko različnyh predstavjenj, koliko jest jego rang.

Za dokaz razširjamo predstavjenja iz (S) po koncu §2 na prirěđenja od (S_A), ktore stavajut operatorno-homomorfne po (A). Ta prirěđenja definirana sut tut črez

s ( A) za vsako (w S_A). Ako by (e_i) i (e_j), (i j), porođali to samo predstavjenje, dohodi by (e_iw=e_jw) za vsako (w S_A). To nemožno zaradi (e_ie_i=e_i) i (e_je_i=0).

Lema 2. Ako (T) jest tělo medžu (P) i (S), (s) rang od (S) po (T), togda vsaky recipročny izomorfizm od (T) v (A) dopušča najmenej (s) različnyh prodolženj.

Recipročny izomorfizm, to jest recipročno predstavjenje od (T) v (A), nehaj bude posrědkovany razloženjem

gde (E_i) sut idempotenty. To ne jest ograničenje obćnosti, bo predstavjenje porođeno baznym elementom (E_i ) porođaje se takodže črez ( ^-1E_i ), teda črez idempotent. Pravo množenje s (S) daje

Pri tom vsě (E_iS_A) sut ranga (s) po (A). Bo rang od (E_iS_A) jest najvyše (s), kako pokazuje vloženje (T)-bazy v (S) posrědstvom komutativnosti (S) i (A):

Poneže suma (S_A) jest ranga (n=hs), vsako (E_iS_A) ima točno rang (s). Teda

gde (s) predstavjenj porođenyh črez (e_i1, ,e_is) po lemi 1 vsě stavajut razne. Vsě sut prodolženja predstavjenja od (T) porođenogo črez (E_i); bo iz (E_it=E_i ) slěduje

i tym (e_ijt=e_ij ) zaradi direktnogo sumarnogo razloženja.

Definicija. Črez (T) inducirano razděljenje na klasy ( I_T) recipročnyh izomorfizmov ( I) od (S) na (A) definovano jest tako: vse i samo te izomorfizmy iz ( I) razsmatrajut se kako ekvivalentne, ktore na (T) inducirajut toj samy izomorfizm.

Glavny teorem. Ako ( I_T) jest črez (T) inducirano razděljenje na klasy, togda (T) jest maksimalno podtělo vzhodno k tomu razděljenju.

Bo ako (Z) jest medžutělo od (T) i (S), stepena (l) po (T), togda po lemi 2 vsaky klas iz ( I_T) razpadaje se najmenej na (l) klasov iz ( I_Z). Prěhod od toj formy glavnogo teorema k obyčnoj nastavaje tak, že množina izomorfizmov ( I) črez množenje svojih elementov s obratnym někojego fiksnogo elementa prěhodi v grupu avtomorfizmov, pri čem klas iz ( I_T) prěhodi v invariantnu grupu od (T). Tvrdženje, že zakryte podgrupy sut polne invariantne grupy, tut je vključeno; treba samo za ( H H^/P^) vzęti tělo (H) kako medžutělo (T).

§7. Klas podobnyh algeber. Razpadne polja

Odtud dalje ide samo o tělah (A, A) i matričnyh kolcah (A_f), ktore sut konečnogo ranga po svojem centru (P); teda o prostyh normalnyh algebrah nad (P), ktore kratko budut zvane algebry nad (P) ili samo algebry. (A, A) sut togda dělitvene algebry. V jeden klas podobnyh algeber (A,A_f) sobirajut se vsě (A_f) s tym samym prirěđenym (A). Izomorfne (A) pri tom identificirajut se.

1. Grupa klasov algeber. Ako (A,B) sut algebry nad (P), togda isto važi za njihov produkt, direktny produkt po (P); bo po koncu §3 dohodi

gde (C) jest do izomorfije jednoznačno opreděljena dělitvena algebra s centrom (P). Množenje (A_r,B_s) s matričnymi kolcami nad (P) pokazuje, že to množenje jednoznačno opreděljeno jest za klasy, ktore teda tvoret multiplikativno zakryty komutativny sistem. Kromě togo važi

Teorem R. Brauera. Klasy podobnyh algeber tvoret vzhodno k direktnomu tvorjenju produkta abelovu grupu.

Bo sistem ima jediničny klas, sostoječi iz matričnyh kolc nad (P), teda algeber podobnyh k (P). On ima dalje k vsakomu klasu ((A)) obratny ((A)^-1), sostoječi iz algeber podobnyh k ( A), gde ( A) jest k (A) recipročno izomorfno. To slěduje iz komutantnogo teorema §5, 3. posrědstvom specializacije (S=A). Bo (A) možno nerazložimo vložiti v samo (A); dohodi teda (B=P) i (A_A=P_t).

2. Razpadno polje klasa algeber. Teorija razpadnyh polj znovu polno opiraje se na princip izrečen na počętku §5; komutativne razširitelne polja predstavjajut se v (A) odnosno ( A). Prědložena bude

Lema. Ako (A) jest tělo s centrom (P), (Z) konečno komutativno razširitelno polje od (P), togda (A_Z) jest prosty s centrom (Z). Bo to važi po §4, 1. za k (A_Z) recipročno izomorfny sistem (Z_ A). Za vsaky klas ((A)) podobnyh k (A) algeber nad (P), (Z) porođaje teda klas razširenja ((A)_Z) podobnyh k (A_Z) prostyh algeber nad (Z).

Prirěđena dělitvena algebra (D) klasa razširenja vyhodi neposrědnje iz komutantnogo teorema §5, 3.:

Teorem o prirěđenoj dělitvenoj algebrě klasa razširenja. Nehaj ((A)_Z) bude klas razširenja, (Z) znači nerazložimo vloženje, teda predstavjenje, od (Z) v (A_f). Togda

gde (D) sostoji iz vsih elementov iz (A_f), ktore elementno komutujut s (Z). Treba samo v §5, 3. zaměniti tamošnji prosty sistem (S) črez (Z), uzimajuči v obzir, že (Z_A) i (A_Z) sut recipročno izomorfne. Ako ide o reducibilno vloženje od (Z), togda vsě elementy elementno komutujuče s (Z) daju matrično kolco nad (D).

Komutativno razširitelno polje (Z) od (P) zove se, kako znano, razpadno polje klasa ((A)), ako klas razširenja ((A)_Z) polno razpadaje se, t. j. stavaje ravny jediničnomu klasu nad (Z), klasu vsih matričnyh kolc nad (Z).

Teorem o harakterizaciji razpadnyh polj. Konečno komutativno razširitelno polje (Z) od (P) jest togda i samo togda razpadno polje klasa ((A)), kogda jego nerazložimo vloženje v (A_f) daje maksimalno komutativno podtělo od (A_f).

Bo svojstvo od (Z), byti razpadnym poljem od ((A)), ravnoznačno jest ((D)=(Z)). Po teoremu o prirěđenoj dělitvenoj algebrě nerazložimo vloženje (Z) mora byti maksimalno komutativno podtělo. Ako uslovje izpolnjeno, nužno (D=Z), bo vsako (a) iz (D) črez adjunkciju k (Z) porođaje komutativno razširitelno polje.

Zamětky.

1. Jednočasno slěduje, že maksimalno-komutativno podtělo (Z) pri nerazložimom vloženju porođaje maksimalno-komutativno podkolco. Bo vsě elementy elementno komutujuče s (Z) tvoret tělo.

2. Teorem daje takodže obstajanje razpadnyh polj; bo prirěđena dělitvena algebra (A) sigurano ima maksimalno-komutativne podtěla.

3. Rangove relacije, indeks, beskonečne komutativne razširenja. Rangovo tvrdženje iz §5, 4. najprvo daje znany fakt, že rang proste algebry po centru jest kvadrat. Bo ako (Z) jest maksimalno-komutativno v (A), togda, bo v (A) vsako vloženje jest nerazložimo,

teda

gde (m) jest Schurov indeks, ktory jednočasno znači stepen vsih v samu dělitvenu algebru (A) vložimyh razpadnyh polj. Dalje za stepen (n) obćego razpadnogo polja dohodi

napr. zaradi ((A_r:P)=m^2r^2), ili takodže po rangovoj relaciji §4, 3., poslednje zato, že indeks (m) jest takodže broj prostyh komponentov od (A_Z), ktore stavaje matrično kolco nad (Z) ranga (m^2). Obćejše, ako (A_L D), (L) jest nerazložimo vloženje od (A) v (A_r), i (d^2) rang ((D:L)) dělitvenoj algebry (D) nad svojim centrom (L), togda

Bo po §5, 4. i teoremu o prirěđenoj dělitvenoj algebrě iz 2. dohodi

teda

Iz obstajanja razpadnyh polj slědujut za beskonečne komutativne, algebraične ili transcendentne, razširitelne polja ( ) od (P) fakty: klas razširenja ((A)_ ) jest klas prostyh algeber s centrom ( ). Ako osoblivo ( ) jest algebraično zakryto, togda (A_ ) stavaje matrično kolco stepena (m). Indeks jest teda jednak ``absolutnomu broju komponentov''. Bo ako (Z) jest razpadno polje od (A) i ( ') kompozitum od ( ) i (Z), togda (A_ ') jest matrično kolco nad ( '), teda bez radikala i s centrom ( '). Teda takodže (A_ ) jest bez radikala i jego centar ( ), bo od ( ) različen element od (A_ ) ležal by takodže v centru od (A_ '), teda by byl tělo. (A_ ) jest teda prosta algebra nad ( ), sigurano matrično kolco nad ( ), ako ( ) jest algebraično zakryto.

4. Obstajanje separabilnyh razpadnyh polj. Vsaky klas ((A)) ima separabilne razpadne polja, čak taka, ktore možno vložiti v samo (A).

Nehaj osnovno polje (P) jest karakteristiki (p), indeks

s (s) prěmym k (p). Ako (Z) jest razpadno polje od (A) stepena (m) i (Z_0) v njem soderženo razširenje prvogo vida, teda

togda indeks od (A_Z_0 D) ravny jest (p^f). Treba dokazati obstajanje separabilnogo razširitelnogo polja (Z_1) od (Z_0), tako že indeks od (D_Z_1) stavaje pravi dělitelj od (p^f). Ale (D_ ) s algebraično zakrytym ( ) po 3. jest bez radikala; reducirana diskriminanta od (D) ne izčezava. Teda obstaja najmenej jeden element (d) iz (D) s neizčezajučim reduciranym slědom; pri tom (d) ne može už ležati v osnovnom polju (Z_0), bo slěd vsakogo elementa ( ) iz (Z_0) stavaje (p^f ), teda izčezava. (Z_1=Z_0(d)) stavaje pravo i to separabilno razširitelno polje; indeks od (D_Z_1) stavaje pravi dělitelj od (p^f). Konečno povtorjenje dovodi do separabilnogo razpadnogo polja od ((A)), čiji stepen (m) sovpada s indeksom od (A).

§8. Razpadne polja, polja odcěpjenja i Galoisova teorija v komutativnom

Da by se od razpadnyh polj nad svojim centrom prostyh sistemov prěšlo k razpadnym poljam libovoljnyh prostyh sistemov, treba još razviti razpadnu teoriju centra, k ktorej treba dodati Galoisovu teoriju paralelnu k §6, 3. Vsě těla i sistemy v tom paragrafu sut komutativne.

1. Razpadne i odcěpne polja komutativnyh prostyh sistemov. Komutativny sistem (Z) nehaj bude prosty nad (P), teda polje, ( ) algebraično zakryto razširitelno polje od (P). Togda znano važi: (Z_ ) ostava sistem bez radikala togda i samo togda, kogda (Z) jest separabilno, teda razširenje prvogo vida, nad (P). Bo togda i samo togda ima toliko izomorfnyh obrazovanj prvogo stepena v ( ), koliko jest jego rang po (P), teda takodže toliko različnyh predstavjenj, ktore tut sovpadajut s klasami predstavjenj.

Fakt, že v (Z_ ) može nastati radikal, teda ne nužno ima město direktno sumno razloženje v absolutno proste komponenty, vodi k slědujučim definicijam: razširitelno polje ( ) od (P) zove se razpadno polje, ako (Z_ ) razpadaje se v kompozicione faktory prvogo stepena; drugymi slovami, ako vsě absolutno nerazložime predstavjenja ležet už v ( ). Razširitelno polje (T) od (P) zove se odcěpno polje, ako (Z_T) odcěpja najmenej jeden kompoziciony faktor prvogo stepena; drugymi slovami, ako obstaja najmenej jedno absolutno nerazložimo predstavjenje od (Z) v (T).

Razpadne i odcěpne polja možno harakterizovati po

Teorem. Tělo (T) jest togda i samo togda odcěpno polje, kogda ono soderži podtělo (Z'), izomorfno k (Z); tělo ( ) jest togda i samo togda razpadno polje, kogda ono soderži podtělo ( ), ktore stavaje izomorfno k Galoisovomu tělu naležečemu k (Z).

To slěduje direktno iz definicije razpadnyh i odcěpnyh polj posrědstvom absolutno nerazložimyh predstavjenj. Osoblivo vyhodi v analogiji k nekomutativnomu slědstvo: tělo (Z') jest togda i samo togda minimalno odcěpno polje, t. j. nijedno pravo podtělo ne jest odcěpno polje, kogda jest izomorfno k (Z). Minimalno odcěpno polje jest togda i samo togda jednočasno razpadno polje, kogda (Z) jest normalno, teda Galoisovo tělo nad (P).

V tom leži razlog nazvati prostu algebru normalnoju nad svojim centrom. Fakt, že vnutri fiksnogo algebraično zakrytogo ( ) nad (P) obstaja samo jedno jedino minimalno razpadno polje, Galoisovo naležeče k (Z), protivno k vobće beskonečno mnogym neizomorfnym v nekomutativnom, ima osnovu v jednoznačnom direktnom sumnom razloženju v komutativnom proti do operatornoj izomorfije jednoznačnomu v nekomutativnom; ili, čto ravno, v samo konečno mnogyh različnyh absolutno nerazložimyh predstavjenjah vměsto beskonečno mnogyh različnyh v nekomutativnom, ktore vsakože naležet k tomu samomu klasu.

2. Hiperkompleksno obosnovanje Galoisovej teorije v slučaju separabilnyh polj (Z/P). V točnoj analogiji k §6, 3. tut važi teorija izomorfizmov za libovoljne, nad (P) separabilne (Z); v slučaju Galoisovogo (Z) možno potom prějti k obyčnoj grupě avtomorfizmov.

Predpostavjenja. Prosty sistem (Z) nad (P) nehaj bude konečno separabilno razširitelno polje, ( ) znači nad (P) konečno ili beskonečno razpadno polje, (Z'=Z^(1)) k (Z) izomorfno podtělo, ( ) prirěđeno Galoisovo. Po 1. teda važi direktno sumno razloženje

Črez (e^(i)) porođeno predstavjenje (Z Z^(i)) s (Z^(i) ) definirano jest črez

Lema 1. (n) predstavjenj porođenyh črez (e^(1), ,e^(n)) sut vsě različne. Dokaz jest kako v §6, 3., ili takodže po 1.; bo one naležet različnym klasam predstavjenj.

Lema 2. Ako (T) jest medžupolje od (P) i (Z), (s) rang od (Z) po (T), togda vsaky izomorfizm od (T) v ( ) dopušča najmenej, i zato točno, (s) prodolženj.

Dokaz jest kako v §6, 3. Že tut najmenej poostrjaje se k točno , slěduje iz jednoznačnogo razloženja od (Z_ ), po ktorom (Z) ima ne najmenej, ale točno (n) izomorfizmov v ( ).

Kako v §6, 3. definujemo teper črez (T) inducirano razděljenje na klasy ( I_T) konečnoj množiny ( I) izomorfizmov od (Z): vse i samo te izomorfizmy iz ( I) v ( I_T) razsmatrajut se kako ekvivalentne, ktore na (T) inducirajut toj samy izomorfizm. Dokazuje se

Glavny teorem. Ako ( I_T) jest črez (T) inducirano razděljenje na klasy, togda (T) jest maksimalno podpolje vzhodno k tomu razděljenju.

Odtud možno za slučaj Galoisovogo (Z) točno kako v §6, 3. črez složenje s recipročnym izomorfizmom prějti k grupě avtomorfizmov i k obyčnoj formě. Odpovědajuče tvrdženje za podgrupy vyhodi iz razsmotrenja idempotentov, ktore samo po sobě jest interesno.

3. Idempotenty od (Z_ ). Nehaj (S) proběgaje (n) substitucij, ktore prěvodet (Z) v pojedina (Z^(i)), teda složenje izomorfizmov (Z Z_1) i (Z Z^(i)), pri čem prvi znači recipročny k (Z Z_1). (Z) ne mora byti Galoisovo. Za elementy (a) iz (Z_ ) substitucije (S) definirane sut kako operatory črez postavjenje, že na (Z) inducirajut identičnost; k vsakomu (a) jest teda definirano konjugovano (a^S) ležeče v (Z_(i)). Pri tyh postavjenjah važi

Teorem. (n) idempotentov (e^(i)) od (Z_ ) sut konjugovane:

one ležet v (n) konjugovanyh sistemah razširenja (Z ).

Bo upotrěbjenje (S) prěvodi definicione relacije

v

Zaradi jednoznačnosti razloženja i idempotenty sut jednoznačno opreděljene; teda (e^S=e^(i)). Dalje, poneže (Z) jest odcěpno polje, teda už posrědkuje predstavjenje (ez=ez^(1)), (e) leži už v (Z ), i tym (e^S) v (Z^S ).

Ako osoblivo (Z) jest Galoisovo, slěduje neposrědnje čest glavnogo teorema Galoisovej teorije, odnosna k podgrupam; bo ako ( H) jest podgrupa Galoisovej grupy ( ), zaradi jednoznačnogo opreděljenja komponentov direktnoj sumy element

dopušća vse substitucije iz ( H), ale nijednu drugu. Poneže grupa ( ) definirana byla za (Z), ide o Galoisovu teoriju od (Z); zaradi izomorfije s tym gotova jest i ta za (Z').

4. Svęz idempotentov s komplementarnymi bazami. (Z) znovu ne nužno predpostavjaje se kako Galoisovo.

Teorem. Ako (a_1, ,a_n) jest baza od (Z) nad (P), i idempotent stavja se

teda

togda

znači obraz komplementarnoj bazy (b_1, ,b_n) k (a_1, ,a_n) v obrazovanju posrědkovanom črez (e^S).

Bo pri obrazovanju črez (e^S), (e^Sz=e^S ^S), osoblivo (e^Sa_i=e^S _i^S), važe zaradi

prirěđenja (e^S 1), (e^R 0). Teda dohodi

V matričnom zapisu to jest definiciono uravnenje komplementarnyh baz:

Prěhod k slědovoj definiciji slěduje iz toga, že za

matrična relacija po zaměně redov prěhodi v

pri čem (a_i) i (b_i) ležet v (Z), bo dopušćajut vse substitucije (S).

Kontragredientnost komplementarnyh baz slěduje tut iz fakta, že idempotenty (e^S) sut invarianty od (Z), nezavisne od osnovnoj bazy, teda že vsě

prěhodet v sebe pri prěhodu k drugoj bazě

od (Z/P).

§9. Razpadne polja i odcěpne polja libovoljnyh sistemov

1. Definicije i redukcija na prosty slučaj. Definicijam danym v §8 odpovědajut v obćem slučaju definicije: nehaj (S) bude hiperkompleksny nad (P). Komutativno razširitelno polje ( ) od (P) zove se razpadno polje od (S), ako (S_ ) pri kompozicionom rědu iz jednostronnyh idealov razpadaje se v absolutno proste kompozicione faktory; drugymi slovami, ako vsě nerazložime predstavjenja od (S) v ( ) sut už absolutno nerazložime. Razširitelno polje (T) od (P) zove se odcěpno polje, ako (S_T) odcěpja najmenej jeden absolutno prosty kompoziciony faktor, teda ako najmenej jedno v (T) nerazložimo predstavjenje jest už absolutno nerazložimo.

Te definicije jasno soderžet v sebě ty dane v §8 za komutativno i v §7 za proste algebry; poslědnje zato, že tut (A_ ) pri vsakoj komutativnoj razširitvi centra jest polno reducibilno i tako kompozicione faktory i komponenty direktnogo sumarnogo razloženja sovpadajut. Polne matrične kolca nad centrom i samo ony daju tut absolutno proste komponenty, teda takodže absolutno nerazložime predstavjenja. Dalje, poneže (A_ ) dvostronno prosty jest, teda razpadaje se v operatorno izomorfne komponenty, odcěpjenje absolutno proste komponente už daje polny razpad: odcěpne i razpadne polja sovpadajut.

Iz definicij neposrědnje vyhode fakty: razpadne polja od (S) dane sut kako sjedinitelne polja po jednom razpadnom polju v (P) nerazložimyh predstavjenj; odcěpno polje od (S) jest vsako odcěpno polje jednogo v (P) nerazložimogo predstavjenja. Zaradi jedno-jednoznačnogo odpovědanja prostyh sistemov, komponentov ostatkovogo kolca po radikalu, i v (P) nerazložimyh predstavjenj, dosta jest razsmatrjati proste sistemy. Tut rezultaty vyjdut črez kombinaciju §7 i §8.

2. Razpadne polja i odcěpne polja prostyh sistemov. Razsmatramo najprvo slučaj prostogo sistema (A) se separabilnym centrom (Z) nad (P). Iz §8, 1. i §8, 3. dohodi: dvostronno razloženje od (A_ ), odpovědajuču direktnomu razloženju od (Z_ ), gde ( ) znači razpadno polje od (Z), daje (n) konjugovanyh, k (A) izomorfnyh komponentov

od (A_ ), ktore stavajut proste algebry nad svojim centrom

Pri tom substitucije (S) definirane sut kako operatory za (A_ ) črez postavjenje, že one na (A) inducirajut identičnost.

Bo po §8, 3. idempotenty sut konjugovane; isto važi zato za komponenty (e^S A_ ) po definiciji substitucij za (A). Poneže (A) dvostronno prosty jest, (e^S A_ ) kolcovo izomorfny jest k (A). Pri tom (e^SA_ A_Z^S), zaradi (e^S Z_ Z); centar teda sovpada s oblastju koeficientov, i komponenty sut normalne algebry.

Rezultaty iz §7, 2. dalje daju: ako (A) jest prosty sistem nad (P) s separabilnym centrom (Z) nad (P), togda takodže (A_ ) jest bez radikala, teda polno reducibilno; pri tom ( ) može značiti neko konečno ili beskonečno razširitelno polje. Bo po §7, 2. (e^S A_ ) ostava prosty pri vsakoj koeficientnoj razširitvi, teda bez radikala. Isto važi za direktnu sumu; ta jest (A_ ), ili, ako ( ) ne jest razpadno polje od (Z), nastava črez koeficientno razširenje iz (A_ ).

Dalje iz §7, 2. slěduje

Harakterizacija odcěpnyh polj i razpadnyh polj. Ako (A) jest dělitvena algebra se separabilnym centrom (Z), nerazložime vloženja odcěpnyh polj dane sut vsimi i samo (Z) obhvačajučimi maksimalnymi komutativnymi podtělami od (A_f); razpadne polja sut vsě i samo sjedinitelne polja odcěpnogo polja s razpadnym poljem centra, osoblivo s Galoisovym tělom naležečim k centru. Minimalno odcěpno polje može byti razpadno polje i bez togo, že centar jest Galoisovy.

Bo odcěpno polje mora obhvačati tělo izomorfno k (Z); tvrdženje o vloženju odcěpnyh polj slěduje iz prědhodnyh faktov i iz §7, 2. Razpadno polje mora dalje obhvačati razpadno polje ( ) za (Z). Vsako odcěpno polje nad ( ) jest pak jednočasno razpadno polje, bo komponenty (e^S A_ ) sut proste i imajut k ( ) izomorfny centar. Ako (Z) jest Galoisovo, minimalne odcěpne i razpadne polja sovpadajut. Ale i v negaloisovom slučaju može byti, inače než v komutativnom, minimalne odcěpne polja, ktore sut jednočasno razpadne polja, imenno ako tako minimalno odcěpno polje obhvača Galoisovo tělo naležeče k (Z). Priměr: kvaternionovo tělo s centrom izomorfnym k (P( [3]2)), (P) tělo racionalnyh čisel; k (P( [3]2)) naležeče Galoisovo tělo jest minimalno odcěpno i razpadno polje.

Ako nakonec ide o neseparabilny centar, togda (Z_ ) i tym (A_ ) stavaje sistem s radikalom. Nehaj napr. ( C) bude radikal od (Z_ ) i ( c) ideal razširenja v (A_ ). Togda za (Z_ / C) važi direktno razloženje v konjugovane komponenty, v točnoj analogiji k §8, 2.; to daje kako vyše direktno razloženje od (A_ / c), tako že komponenty ( e^(i)A) sut k (A) izomorfne s centrom ( e^(i)Z^(i)). Teda ostavajut validne i teoremy o odcěpnyh i razpadnyh poljah. Dalje rangovo sčitanje pokazuje, že kompozicione faktory odpovědajuče kompozicionomu rědu od ( c) stavajut k (A_ / c) operatorno izomorfne, ne samo homomorfne.

Izrečeno za nerazložime predstavjenja, nastavaje rezime: ako dano jest v (P) nerazložimo predstavjenje hiperkompleksnogo sistema, togda predstavjenje jest absolutno polno reducibilno togda i samo togda, kogda prirěđeny centar jest separabilny nad (P). V vsakom slučaju možno razpadne i odcěpne polja predstavjenja harakterizovati črez vloženje v prirěđeny prosty sistem kako vyše. Osoblivo najnižši stepen odcěpnogo polja ravny jest produktu stepena centra s indeksom prirěđenogo klasa algeber nad centrom; stepen vsakogo odcěpnogo polja jest mnogočlen toga. Predstavjenje razpadaje se, v smyslu kompozicionyh rędov, v toliko različnyh, ale konjugovanyh absolutno nerazložimyh klasov predstavjenj, koliko jest stepen najvelikšego v centru soderžanogo separabilnogo polja. Vsaky klas nastava toliko raz, koliko čini produkt indeksa i stepena centra po tom separabilnom razširenju.

Za sovršeno osnovno polje, gde obstajajut samo separabilne razširitelne polja, tako vrčamo se k znanym rezultatom I. Schura, s dodanjem vložiteljne harakterizacije, ktora se nahodi už pri R. Braueru.

(Prijeto 8. junija 1932.)