41. Teorem o glavnom rodu za relativno-Galoisove čislove polja

Math. Ann. 108 (1933), S. 411--419

V najnovějše vrěme pokazalo se, že nekomutativne metody, osoblivo teorija algeber, daju možnost formulovati i dokazati znane teoremy o relativno-cikličnyh i relativno-abelovyh čislovyh poljah za proizvoljne relativno-Galoisove polja. Prěd vsim napominam normny teorem, ktory obecno možno vysloviti kako teorem o razloženih algebrah. V slědujučem pokazujem, že odpovědajuče i teorem o glavnom rodu možno obecno hiperkompleksno formulovati, kako teorem o vnutrnyh avtomorfizmah ili takodže o skrěženih predstavjenjah. Dokaz izhodi iz nazvanogo teorema o razloženih algebrah čistymi algebraično-aritmetičnymi razsmotrenjami, medžu tym kako v prědnem teoremu normny teorem v cikličnom slučaju, i uže pri prostom stepeni, ostaje transcendentnym jadrom.

Za bolje razuměnje formulacije najprvo prědstavljam v slědujučem neupotrěbljany teorem o glavnom rodu v minimalnom smislu, elementarno-algebraičny teorem, ktory v cikličnom specialnom slučaju prěhodi v znany teorem 90 iz Hilbertovogo Zahlbericht, po kojem ( (a)) jest ravno jedinici togda i samo togda, kogda (a=b^1-S). Imenno i tut teorem ja uže vyslovjam kako teorem o vnutrnyh avtomorfizmah ili o skrěženih predstavjenjah i dokazujem jego posrědstvom obćih teoremov o vnutrnyh avtomorfizmah i skrěženo-produktnom predstavjenju algeber.

Na město poslednjego v vlastnom teoremu o glavnom rodu stupa skrěženy produkt idealno-klasnoj grupy i Galoisovej grupy, ale s bolj tonkoju induciranoju idealno-klasnoju razdělboju faktornyh sistemov; tym ohvača se analog k lučno-klasnoj razdělbi teorije klasnyh polj. Kako tut obče teoremy o avtomorfizmah i predstavjenjah ješče nedostavajut, teorem o glavnom rodu možno smatrjati prvim krokom v tom směru. Zato, kako spomenuto, dajem svedenje posrědstvom teorema o razloženih algebrah. Tym teorem svodi se na odpovědajuči teorem za idealy vměsto idealnyh klasov; tut Brandtove teoremy o svęzi maksimalnyh porjadkov algebry možno smatrjati ekvivalentom teoremov o avtomorfizmah. One daju, v svęzi s razsmotrenjami maksimalnyh porjadkov skrěženih produktov, dokaz suščstveno paralelny dokazu v minimalnom, hoti bolj komplikovany zaradi vračanja k odinokym městam. Zato prědpokladam skoro trivialny dokaz, dany od E. Artina, ktory tut prědstavlja ješče prostějši analog Speiserovogo dokaza.

§1. Teorem o glavnom rodu v minimalnom slučaju

V tutom paragrafu (k) znači proizvoljno komutativno polje, ne nužno čislovo polje; (K/k) jest separabilno Galoisovo razširenje (n)-togo stepena, a ( ) jest odpovědajuču Galoisova grupa.

Najprvo sobiraju se znane fakty o skrěženih produktah. Skrěženy produkt znači jednočasno vloženje (K) i ( ) v algebru (A) tako, že avtomorfizmy (K) stavaju se vnutrnymi. Ako (u_S_1, ,u_S_n) sut simboly k (n) elementam grupy, to (A) najprvo postavlja se kako modul linearnyh form ranga (n) nad (K):

Posrědstvom zahtěva vnutrnogo avtomorfizma, porođenogo (u_S), občeje (u_S K^*), (A) stavaje se kolcom, to jest algebroju ranga (n^2) nad (k). Zahtěv vyražaje se črez

za vsako (z K), i črez

i črez asociativny zakon

Ako produkt dvoh proizvoljnyh elementov definujemo črez

to (A) stavaje se skrěženym produktom (K) s ( ) pri faktornoj sistemě (a_S,T); označenje

Dokazuje se, že (A) jest prosta normalna algebra nad (k), to jest matrično kolco (D_r) (r)-togo stepena nad prirěđenoju dělitvenoju algebraju (D), i že (K) jest maksimalno komutativno podpolje, to jest razpadno polje. Obratno, k vsakoj takoj normalnoj dělitvenoj algebri (D) sut matrične kolca (D_r), ktore na toj način možno porođati kako skrěžene produkty.

Ako prěhodi se od (u_S) k (v_S=u_Sc_S) s (c_S K^*), nastavaju asocijovane faktorne sistemy

Osoblivo po (5) faktorne sistemy

asocijovany sut k jedinici; te veličiny nazyvajut se transformacijnymi veličinami. Asocijovane faktorne sistemy sobiraju se v klasu ((a)). Klasy ((a)) odpovědajut jedno-jednoznačno direktnym produktnym tvorjenjam jednoj abelovej grupy; protiv direktnomu produktu one tvore abelovu grupu, izomorfnu poelementnomu produktu klasov faktornyh sistemov. Jediničny element jest klasa razloženih algeber, to jest sistem vsih transformacijnyh veličin. Idě se o R. Brauerovu grupu klasov algeber.

Za ciklične algebry dostava se specialny slučaj: ako (Z/k) jest ciklično i (S) porođajuča substitucija, to stepenjam (S) odpovědajut stepeni (u), i prihodi

pri čem

Vsaka faktorna sistema tut sostoji iz jedinogo elementa osnovnogo polja, označenje (A=( ,Z,S)); jedinična klasa daje se normami iz (Z^), i grupa klasov algeber jest izomorfna k (k^/ (Z^*)).

Formulacija teorema o glavnom rodu v minimalnom slučaju upotrěblja fakt, že relacije (2)--(5) sut čisto multiplikativne i takim načinom takodže definirajut grupu razširenja ( ^) grupy ( ), sostavljenu iz elementov (n) kompleksov (u_S K^):

( ^) imaje (K^) kako abelov normalny podgrup, medžu tym kako ( ^/K^ ). ( ^) sostoji iz vsih regularnyh elementov (g^), ktore transformujut (K) v sebe, to jest (g^-1Kg^=K). Kolcove avtomorfizmy (K) sut zato porođane vsimi i samo elementami ( ^). Bo ako (v=uw) porođaje vnutrny avtomorfizm (K), togda (w) komutuje so vsimi elementami (K), znači leži v (K^), poněže (K) jest maksimalno komutativno podkolco.

Teorem o glavnom rodu v minimalnom slučaju. Prva formulacija: vsak grupovy avtomorfizm ( ^), ktory jest prodolženjem identičnogo avtomorfizma (K^), jest vnutrny i porođaje se elementom iz (K^*). Drugymi slovami: ako transformacijne veličiny

vse imajut vrědnost jedinica, togda (c_S) sut simbolične ((1-S))-te stepeni,

Treta formulacija: grupa ( ) imaje samo jedinu skrěženu klasu predstavjenja prvogo stepena v (K^*), naležeču k faktornoj sistemě jedinica.

Predstavjenje (u_S C_S) nazyva se skrěženo s faktornoju sistemoju (a_S,T), ako

važy. Dvě predstavjenja naležet k toj samoj klasi, ako

Dokazujem prvu formulaciju i potom pokazujem jej soglasje s drugoju i tretoju. Dokaz opiraje se na tom, že vsak grupovy avtomorfizm označenogo roda možno prodolžiti do kolcovogo avtomorfizma (A), ktory, kako znano, jest vnutrnym avtomorfizmom. Nehaj pri tom avtomorfizmu (v_S) sut obrazy (u_S). Togda ( v_SK) znovu tvori skrěženy produkt ( ) s (K) k toj samoj faktornoj sistemě, bo po predpostavjenju vse relacije (2)--(4) ostavajut. Prirěđenje

predstavja kolcovy avtomorfizm, pri kojem elementi (K) ostavajut fiksne. Zato on porođaje se elementom iz (K^*).

Prěhod k drugoj formulaciji opiraje se na tom, že po (2) (v_S) moraju iměti formu (v_S=u_Sc_S); kako i faktorne sistemy ostavajut, po (5) odpovědajuče transformacijne veličiny moraju stavať se jediniceju. Obratno, (2)--(5) pokazyvajut, že substitucija (v_S=u_Sc_S) porođaje avtomorfizm označenogo roda. Po prvoj formulaciji zato dostava se

V cikličnom slučaju predpostavjenje osoblivo znači ( (c)=1), i (c=b^1-S) jest znany teorem. Treta formulacija jest neposrědnje ravnoznačna drugoj, bo predpostavjenje govori, že (u_S c_S) tvori skrěženo predstavjenje prvogo stepena k faktornoj sistemě jedinica; (c_S=b^1-S) znači ekvivalenciju k jediničnomu predstavjenju.

§2. Teorem o glavnom rodu

Prědvaritelne zamětky o klasnoj razdělbi. V teoremu o glavnom rodu teorije klasnyh polj za ciklične relativne polja javjajut se, kako znano, dvě različne klasne razdělby: absolutne idealne klasy v gornjem polju, lučne klasy v dolnjem polju. Tomu v obćem slučaju odpovědaje, že klasna razdělba idealov gornjego polja induciraje tonšu idealno-klasnu razdělbu faktornyh sistemov.

Nehaj najprvo ( ) znači grupu vsih idealov iz (K). Kako ( ) porođaje avtomorfizmy v ( ), razširenje s ( ) definirano jest relacijami (2)--(5) i sostoji iz (n) kompleksov (\ u_S \). Ako v ( ) prěhodi se črez ustanovjenje ekvivalencije k grupě absolutnyh idealnyh klasov, to i teper (n) kompleksov (u_S ) sut definirane. Bo ( ) porođaje takodže avtomorfizmy klasnoj grupy, poněže glavna klasa transformuje se v sebe. Tym ekvivalencijny odnos od ( ) k ( ) prěnosi se od (\ u_S \) na (\ u_S \). Osoblivo (u_S) stavaje ekvivalentno vsim produktam (u_S(c_S)), kde ((c_S)) proběgaje glavne idealy.

Ako teper zahtěvamo, že produktne relacije (3) sut jednoznačne v smislu toj ekvivalencije, to znači, že vse transformacijne veličiny iz glavnyh idealov stavaju jednoznačno ekvivalentne. Drugymi slovami:

V sistemě (n) kompleksov (\ u_S \), kde ( ) jest grupa absolutnyh idealnyh klasov iz (K), a (H) osoblivo znači glavnu klasu, produktne relacije (3) za (u_SH) sut togda i samo togda jednoznačno definirane, kogda v induciranoj idealno-klasnoj razdělbi faktornyh sistemov glavna klasa soderži vse transformacijne veličiny iz glavnyh idealov.

Definicija. Inducirana idealno-klasna razdělba faktornyh sistemov ustanavlja se tak, že glavna klasa sostoji iz vsih glavnyh idealov ((a_S,T)), za ktore s najmanje jednym sistemom bazisnyh elementov (a_S,T) algebra

razloži se na vsih razvětvjenyh městah (K).

Ti glavne idealy tvore grupu po spojivanju faktornyh sistemov; ona obhvata transformacijne veličiny

bo faktorne sistemy (c_S^ Tc_T/c_ST) porođajut povsudu razložene algebry.

Formulacija teorema o glavnom rodu. Teorem, odpovědajuče minimalnomu teoremu, vyslovja se v trěh ravnoznačnyh formah.

Prva formulacija: ako pri osnovanoj induciranoj idealno-klasnoj razdělbi faktornyh sistemov substitucija

porođaje avtomorfizm (n) kompleksov (\ u_S \), to jest ako za (v_S) v smislu toj klasnoj razdělby važet te same relacije (3), togda toj avtomorfizm jest vnutrny i porođaje se idealnoju klasoju (b).

Druga formulacija: ako transformacijne veličiny, stvorjene iz idealnyh klasov (c_S),

vse naležet k glavnoj klasi induciranoj klasnoj razdělby faktornyh sistemov, togda vektory (\ c_S \) iz idealnyh klasov tvore glavny rod, a klasy (c_S) sut simbolične ((1-S))-te stepeni; to jest jest idealna klasa (b) taka, že

Treta formulacija: pri osnovanoj induciranoj idealno-klasnoj razdělbi za faktorne sistemy grupa ( ) imaje samo jedinu skrěženu klasu predstavjenja prvogo stepena v idealno-klasnoj grupě, naležeču k jediničnoj klasi faktornyh sistemov.

Že te formulacije sut ravnoznačne, slěduje kako v §1. Prěhod od prvoj k drugoj formulaciji tut jest čak prostějši, bo avtomorfizm uže jest predpostavjen kako porođeny črez (v_S=u_Sc_S). K tretoj formulaciji treba samo zamětiti, že predstavjenja v idealno-klasnoj grupě sut definirane samo multiplikativno; izjava o predstavjenjah prvogo stepena tym ne dobivaje ograničenja.

Dokaz teorema o glavnom rodu. Dokaz drugoj formulaciji opiraje se na dvě pomočne teoremy.

Pomočny teorem 1. Ako transformacijne veličiny, stvorjene iz idealov (c_S),

daju jediničny ideal, togda (c_S) sut simbolične ((1-S))-te stepeni:

Ravnoznačno jest to s prvoju formulacijeju, ako tam predpostavlja se, že avtomorfizm porođaje se črez (v_S=u_Sc_S). Dokaz: (b= c_S) daje požadovano, pri čem suma jest modulna suma, to jest največši občy dělitelj. Bo

tako (c_T=b^1-T).

Pomočny teorem 2. Ako algebra

razloži se na vsih konečnyh i beskonečnyh razvětvjenyh městah (K), i glavne idealy ((a_S,T)) sut transformacijne veličiny idealov,

togda (A) razloži se povsudu, to jest bezuslovno. Togda ((a_S,T)) stavaju transformacijne veličiny glavnyh idealov,

Obratno, vsaka povsudu razložena algebra zadovolja tomu uslovju.

Dokaz opiraje se na znanom povedanju (A) pri (p)-adičnom razširenju. Nehaj (k_p) znači (p)-adično razširenje (k), odpovědajuče (K_ ) ( )-adično razširenje (K), kde ( ) jest prosty ideal nad (p); (A_p) nehaj bude razširenje (A), nastalo prěhodom od (k) k (k_p). Dalje nehaj ( Z) bude grupa razloženja pri ( ), a (a_ Z) odpovědajuči izrěz faktornoj sistemy. Togda važy

Ako (p) jest osoblivo nerazvětvjeny, znači ( Z) ciklična, togda idě o vyznačeno predstavjenje (A_p) posrědstvom nerazvětvjenogo inercijnogo polja (K_ /k_p).

Treba pokazati, že pod predpostavjenjem pomočnogo teorema 2 (A_p) takodže razloži se v tom nerazvětvjenom slučaju. Za beskonečne města tut (K_ zato (A_p) razloži se. Za konečno (p) najprvo slěduje, že faktorna sistema (a_ Z) asocijovana jest s faktornoju sistemoju, sostavjenoju iz jedinic. Pri prěhodu k normovanomu cikličnomu predstavjenju v (A_p=( ,K_ /k_p,R)), s (R) kako porođajučim elementom ( Z), faktorna sistema daje se relacijami

Stavivši (u_R=u), dostava se

tako osoblivo (u_E= E), kogda (E) jest porjadok ( Z). Poněže v nerazvětvjenom razširenju (K /k_p) vse jedinice sut normy, slěduje, že (A_p) razloži se. Zato (A) razloži se povsudu, i tedy po teoremu o razloženih algebrah bezuslovno.

Drugymi slovami: iz predpostavjenja slěduje, že (a_S,T) sut transformacijne veličiny iz elementov,

Oslabjeno to znači: ((a_S,T)) stavaju transformacijne veličiny glavnyh idealov. Ako obratno (A) jest povsudu razložena, togda i glavne idealy ((a_S,T)) stavaju transformacijne veličiny idealov na vsakom městu, i (A) razloži se faktično po drugoj formulaciji predpostavjenja teorema o razloženih algebrah.

Iz dvuh pomočnyh teoremov neposrědnje slěduje dokaz teorema o glavnom rodu. Nehaj (c_S) znači nekaky ideal iz klasy (c_S). Predpostavjenje govori, po definiciji induciranoj klasnoj razdělby, že transformacijne veličiny (c_S) stavaju glavne idealy ((a_S,T)), ktore zadovoljajut predpostavjenja pomočnogo teorema 2. Zato sut glavne idealy ((d_S)), tako že

črez ((d_S)) stavaje jedinicoju. Idealy (c_S/(d_S)), ktore ležet v toj samoj klasi (c_S), takim načinom zadovoljajut predpostavjenje pomočnogo teorema 1. Zato jest idealna klasa (b) s

To znači, že klasy (c_S) sut simbolične ((1-S))-te stepeni klasy (b).

V cikličnom slučaju teorem o glavnom rodu prěhodi v znany teorem, kogda glavna klasa induciranoj klasnoj razdělby pri osnovanoj normaciji prěhodi v grupu tyh glavnyh idealov (( )), za ktore ( ) na vsih razvětvjenyh městah stavaje normnym ostatkom.

(Dostavljeno 27. 10. 1932.)