42. Razložene skrěžene produkty i jih maksimalne porjadky

Actualités scientifiques et industrielles 148 (1934), S. 5--15

V najprostějšem slučaju razloženih skrěženih produktov, to jest tyh, ktore daju razložene algebry i zato imajut faktorne sistemy asociovane s jedinicoju, možno odnosenja v velikoj měri eksplicitno slěditi. To ostaje pravdivo i pri ne-Galoisovyh razpadnyh poljah, to jest pri maksimalnyh komutativnyh podpoljah. Sem naležeče proste algebraične fakty razvijajut se v §1. V §2, pri algebraičnom čislovom polju kako osnovnom polju, davam eksplicitne predstavjenja vseh maksimalnyh porjadkov i jih idealov posrědstvom modulov i komplementarnyh modulov osnovnogo razpadnogo polja (k).

Dalej davam razdělbu na oblasti: v jednu oblast račut se vse take maksimalne porjadky, ktore imajut jednakovy prěsěk s (k). Tym oblasti jedno-jednoznačno sootvěčajut porjadkam iz (k); glavnomu porjadku jest prirěđena glavna oblast. Maksimalne porjadky jednej oblasti transformujut se jedne v druge idealami, obrazovanymi iz modulov odpovědajučego porjadka; osoblivo v glavnoj oblasti ide o razširenja idealov iz (k). V §3 prěhodim k proizvoljnym prostym algebram. Utočnjenjem razdělby na oblasti, tako že pored prěsěka morajut sovpadati i (p)-adične komponenty maksimalnyh porjadkov na razvětvjenih městah, možno prěnesti teoremy dobite v razloženom slučaju. Osoblivo i togda maksimalne porjadky glavnoj oblasti prěhodet jedne v druge transformacijeju s razširenjami idealov iz (k).

Teoremy o glavnoj oblasti nahodet se pri Chevalley i Hasse; Chevalley takođe pokazuje, že bez utočnjene razdělby, odnosne k razvětvjenym městam, teoremy v obćem slučaju već ne drže.

§I. Matrične jedinice razloženih skrěženih produktov i komplementarne bazy razpadnyh polj

V tutom paragrafu ( ) znači proizvoljno osnovno polje. Nehaj (k/ ) jest Galoisovo separabilno razširenje (n)-togo stepena, ( ) Galoisova grupa s elementami (S,T, ), a (u_S,u_T, ) odpovědajuči operatory. Razgledajut se skrěžene produkty s faktornoju sistemoju jedinica, tedy razložene algebry

s

Ako položimo

iz faktornoj sistemy jedinica dobivajut se odnosenja

i

gdě ( (z)) znači slěd od (z) kako elementa (k/ ).

Teorem. Ako (a_1, ,a_n) jest baza (k/ ), a ( a_1, , a_n) k tomu komplementarna baza, togda

dava sistem matričnyh jedinic v (K). (K) možno predstaviti kako modulny produkt v formě

Bo po (2b) nastavaje

To jest ravno svojstvo matričnyh jedinic, zaradi definicijnyh ravnanj

komplementarnyh baz.

Zamětka 1. Ako (Z) jest kako-koli komutativno razširjuče polje nad ( ), vse ostaje, kogda (a_i) znači bazu (k_Z/Z), a (K_Z) stavaje se direktnoju sumoju polj. Substitucije grupy togda sut definirane tym, že na (Z) inducirajut identitet.

Zamětka 2. To, že (K=kE_ k), slěduje takođe neposrědno iz togo, že prava strana jest nenulovy ideal prostogo sistema (K).

Nehaj nyně ( ) ima karakteristiku nula. Predstavjenje (K=kE_ k) razložene algebry ostaje pravdivo i togda, kogda (k) jest ne-Galoisovo razpadno polje za (K/ ). Prěhodi se k Galoisovomu razpadnomu polju ( k). Nehaj ( k) bude Galoisovo polje, sootvěčajuče k (k), ( ) jego grupa, ( u_S) odpovědajuči operatory, a ( K= kE_ k) razloženy skrěženy produkt. Podpolje (k) sootvěča podgrupě ( ) porjadka (h). Položimo

i

Togda osoblivo idempotent (E_ ) tvori jedinično predstavjenje ( ), a (E_ ), tako kako (E_ ), tvori jedinično predstavjenje ( ). Za tako definirane (E_ ) i (u_S_i) odnosenje (1) drži po jednej straně, a (2) drži polno. Najprvo

i slědovateljno

Iz (5) slěduje (2a) sumovanjem, iz togo (2b), a (1) slěduje po jednej straně:

Dokaz (K=kE_ k) idě nyně točno tako kako vyše. Kako polno matrično kolco nad ( ), (K) vsebuje vsako polje (n)-togo stepena kako podpolje, osoblivo i (k).

S pogledom na §3 treba ještě zamětiti, že prěhod od (K) k ( K) jest možny i kogda (K) ne razklada se. Pored (k) togda jest i ( k) razpadno polje, tedy (K) jest podobna k ( K), skrěženomu produktu iz ( ) s ( k). Pri tom, bo (k) jest razpadno polje, podgrupě ( ), sootvěčajučej k (k), sootvěča faktorna sistema jedinica; idempotent (E_ ) tedy jest definiran kako vyše. Iz togo obratno slěduje, že (K) jest izomorfna k (E_ K E_ ). Ta algebra jest izomorfna k kolcu avtomorfizmov lěvogo ideala ( K E_ ), tedy podobna k ( K); rang sovpada s rangom (K). V razloženom slučaju dobivamo

§II. Maksimalne porjadky razloženih skrěženih produktov i jih razdělba na oblasti

Od nyně nehaj ( ) jest konečno algebraično čislovo polje, (K) razložena algebra (n)-togo stepena nad ( ), a (k) Galoisovo ili ne-Galoisovo maksimalno komutativno podpolje, tedy (K=kE_ k). Nehaj (a, a) znači paru komplementarnyh konečnyh ( )-modulov iz (k), pri čem ( ) jest glavny porjadok od ( ), a (o) glavny porjadok od (k). Struktura maksimalnyh porjadkov iz (K) relativno k (k) opisana jest slědujučimi teoremami.

Teorem 1. Modulny produkt

jest maksimalny porjadok iz (K); osoblivo

stavaje se maksimalnym porjadkom.

Teorem 2. Transformacija od ( O) v ( O_a) děje se posrědstvom lěvogo ideala

i k njemu recipročnogo pravogo ideala

po ( O).

Zamětka. Sovpadanje dvuh komplementarnyh modulov (a, a) v produktu ( L R) vede ravno zaradi slědotvorjenja, učinjenoho črez (E_ ), k recipročnoj svęzi.

Teorem 3. Vse lěve i prave idealy po ( O) sut izčerpane tymi, ktore ukazane sut v teoremu 2. Maksimalne porjadky ( O_a) tedy izčerpaju vsu sovokupnost maksimalnyh porjadkov iz (K). Kaka-koli dva maksimalne porjadky ( O_a) i ( O_b) prěhodet jedne v druge transformacijeju s

i te ( L_ab) i ( R_ba) izčerpaju lěve i prave idealy po ( O_a).

Teorem 4. Kogda ( O_a) běži črez vse maksimalne porjadky iz (K), prěsěk

běži črez vse porjadky iz (k); tut prěsěk jest vsaky raz ravny porjadku od (a). Ako vse maksimalne porjadky, naležeče k jednomu i tomu samomu porjadku v (k), sobirajut se v jednu oblast, togda transformacija vnutri oblasti děje se lěvymi idealami ( aE_ b) po ( O_a) i recipročnymi pravymi idealami, pri čem (a) i (b) sut moduly odpovědajučego porjadka v (k).

Teorem 4a. Osoblivo transformacija maksimalnyh porjadkov glavnoj oblasti, to jest oblasti vseh maksimalnyh porjadkov, vsebujuči glavny porjadok (o) od (k), děje se idealami

gdě (a) i (b) sut idealy iz (k). Drugymi slovami: ako ( L) jest lěvy ideal maksimalnogo porjadka glavnoj oblasti i (o) jest vsebovano v pravom porjadku od ( L), togda ( L) jest razširenje (o)-ideala.

Dokazy opirajut se na prěhod k pojedinym městam. Dostatočno jest vsaky raz prěhoditi k kolcu drobov po (p), pri čem (p) běži črez vse proste idealy iz ( ). Ako ( C) jest proizvoljny ( )-modul iz (K), togda kako komponenta ( C_p) označaje se razširjeny modul ( C _p). Togda drži:

Lema. ( C) jest prěsěk vseh razširjenyh modulov ( C_p). Bo ako (w) leži v ( C_p), togda jest ( ), ne dělimo črez (p), tako že ( w C). Ako (w) leži v prěsěku vseh ( C_p), i (g) označaje ideal vseh ( ) s ( w C), togda (g) ne može byti dělimy črez nikako (p); tedy (g= ). Lema ne prědpoklada najvyšši rang modula.

Poslědice. Vsaky modul jest opreděljen svojimi komponentami. Ako ( D) jest pravi nadmodul od ( C), togda najmenej jedno ( D_p) jest pravi nadmodul od ( C_p). Osoblivo, ako ( M) jest porjadok v (K) i vse komponenty ( M_p) sut maksimalne porjadky po ( _p), togda i ( M) jest maksimalny porjadok.

Dokaz teorema 1. ( O_a) jest porjadok, bo ( O_a) jest konečny ( )-modul najvyššego ranga. Dalej

Da pokazati maksimalnost, po poslědici dostatočno jest pokazati maksimalnost vsakoj komponenty. Kako ( p) jest kolco glavnyh idealov, (a_p) i ( a_p) imajut nezavisne komplementarne bazy (a_1, ,a_n) i ( a_1, , a_n). Produkty ( a_iE a_k) tvore po §1 matrične jedinice; tedy

jest maksimalny. Kako ( O_a) jest maksimalny, slěduje takođe ( (a a)= ).

Dokaz teorema 2. Iz pravila slěda slěduje:

Dokaz teorema 3. Nehaj ( L) jest lěvy ideal po ( O). Togda osoblivo

s (l_1, ,l_n) kako ( )-bazoju od ( L). Položivši (l_ u_S_iz_i ), dobivamo (E_ l_ a_ ), tedy ( L=oE_ a). Pri regularnom ( L) mora (a) iměti najvyšši rang (n); togda ( aE_ o) jest recipročny pravy ideal. Obća tvrdnja slěduje črez kompoziciju.

Dokaz teorema 4. Prěsěk (t=[k, O_a]) jest porjadok. Kako podmnožstvo od ( O_a), on stavaje se oblastju pravyh multiplikatorov i jest največši porjadok iz (o), ktory toj uslov izpolnja; zato sigurno vsebuje porjadok (o_a) od (a). Da pokazati (t=o_a), dostatočna jest komponentna ravnost. Ako ( t_p), togda ( c_ik) za vsako (c_ik= a_iE_ a_k) jest linearna kombinacija (c_ij) s koeficientami iz ( _p). S drugej strany (a_k ) stavaje se linearnoju kombinacijeju (a_j) s koeficientami iz ( _p). Zaradi jedinstva predstavjenja črez (c_ij) te koeficienty morajut ležati v ( _p); tedy ( ) leži v porjadku od (a_p). Tym (t) jest ravny porjadku od (a).

Dokaz teorema 4a. Teorem jest specializacija teorema 4 na glavnu oblast. Ako najprvo ( O=oE_ o) i (o) jest takođe v pravom porjadku od ( L=oE_ a), togda ( aE_ a) naleži k glavnoj oblasti; tedy (a) jest ideal iz (k), i ( L= O a). Ako izhodimo iz ( O_a), odpovědajuče ( L= aE_ b), i (a^-1b) jest ideal iz (k); dobivamo ( L= O_a a^-1b).

§III. Maksimalne porjadky proizvoljnyh skrěženih produktov

Teoremy izvedene za razložene skrěžene produkty ostajut pravdive i v obćem slučaju, kogda se razdělba na oblasti utočnjuje. Fakty o glavnoj oblasti togda drže točno, druge morajut byti formulovane kako tvrdjenja o pojedinyh městah. Pri tom město nyně treba razuměti kako (p)-adično razširenje.

Definicija. Nehaj (K) jest prosta normalna algebra nad ( ), a (k) maksimalno komutativno podpolje. V oblast po (k) račut se vse maksimalne porjadky iz (K), ktore imajut jednaky prěsěk s (k) i krome togo na razvětvjenih městah od (K) imajut jednake (p)-adične komponenty. Ako prěsěk s (k) jest glavny porjadok, togda ide o glavnu oblast.

Za glavne oblasti togda drži:

Teorem 1. Maksimalne porjadky jednej glavnoj oblasti prěhodet jedne v druge transformacijeju s razširenymi idealami idealov iz (k). Drugymi slovami: lěve idealy maksimalnyh porjadkov glavnoj oblasti, ktore sut prime k diferentě i vsebujut (o) v svojem pravom porjadku, sut razširenja idealov iz (k).

Teorem 2. Ako (K) jest prostogo stepena, togda jest samo jedna glavna oblast; ona prěhodi v sebe črez razširjene idealy (k)-idealov. Odpovědajuči idealy fiksnogo maksimalnogo porjadka ( O) sut idealy iz (k), razširjene z dvustrannymi idealami iz ( O).

Dokaz. Dva maksimalne porjadky jednej glavnoj oblasti različe se samo na konečno mnogo městah; po definiciji to sut města, na ktoryh (K) razklada se. Tut (K) ima formu razgledanu v §§1--2. To jest jasno, ako (k) jest Galoisovo; ako faktorna sistema jest asociovana s jedinicoju, može byti zaměnjena jediničnoju sistemoju. Po §1 to drži i v ne-Galoisovom slučaju. Tedy na vsakom takom městu i zato obće ide o razširjene idealy.

Ako (K) jest prostogo stepena, ona jest ili razložena ili dělitevna algebra. V drugom slučaju ona ostaje dělitevna algebra na vseh razvětvjenih městah i zato ima samo jednu glavnu oblast, takže znovu drži transformacija s razširenymi idealami. Najobćejša transformacija dobiva se komponovanjem razširjenyh idealov s idealami, ktore transformujut maksimalny porjadok v sebe, tedy s dvustrannymi idealami; oni se, kako jest znano, razlikujut od centralnyh idealov samo na razvětvjenih městah, tedy od razširjenyh idealov.

Dalej drži:

Teorem 3. Maksimalne porjadky proizvoljnoj oblasti prěhodet jedne v druge črez idealy prime k diferentě, ktore na vsakom městu sut sostavjene iz modulov odpovědajučego porjadka tako kako ukazano v §2, teorem 3. Komponenty tyh modulov pri fiksnom idealu različe se od porjadka samo na konečno mnogo městah.

To slěduje neposrědno iz §2; treba samo iměti na paměti, že operatory (u_S) na pojedinyh městah morajut byti zaměnjene odpovědajučimi ekvivalentnymi.

Či i tut k vsakomu porjadku iz (k) sut maksimalne porjadky s tym porjadkom kako prěsěkom, potrěbuje bližše izslědovanje na razvětvjenih městah. Glavna oblast vsegda jest, kako možno vzęti iz skrěženogo, eventualno obobčenogo, produktnogo predstavjenja, ktore vodi k porjadku vsebujučemu (o), kogda faktorne sistemy sut vzęte kako cěle.

Dalejši vopros jest, v koj měri možno aritmetično razdělbo po oblastah karakterizovati algebraične razpadne polja. Drugymi slovami: proizvode različne razpadne polja vsegda različne oblastne razdělby, ili už različne glavne oblasti? Izčerpaju li možno glavne oblasti vseh razpadnyh polj vsu sovokupnost maksimalnyh porjadkov?

Že taka karakterizacija črez jeden samy maksimalny porjadok sigurno nemožna jest, pokazuju najprostějši priměry. Tako maksimalny porjadok

kvaternionskogo těla vsebuje pored glavnogo porjadka ([1,i]) takođe glavny porjadok

polja tretjih korenjev jedinice.

Göttingen, avgust 1932.