43. Diferenciranje idealov i diferenta

Journal f. d. reine u. angew. Math. 188 (1950), S. 1--21

Uvod

Glavny teorem teorije razvětvjenja algebraičnogo čislovogo polja, kako znano, govori, že diferenta, ideal razvětvjenja, jest dělima najmanje ((e-1))-m stepenom prostogo ideala, ktory v prostom čislu (p) vhodit v (e)-m stepenu; točno ((e-1))-m stepenom, kogda (e) ne jest dělimy s (p), i vyšim stepenom, kogda (e) jest dělimy s (p).

Tuto jest analog tomu, že diferencialny kvocient (f'(x)) polinoma (f(x)) jest dělimy najmanje ((e-1))-m stepenom linearnogo faktora, ktory v (f(x)) vhodit v (e)-m stepenu; točno ((e-1))-m stepenom, kogda (e) ne jest dělimy s karakteristikoju oblasti koeficientov, i vyšim stepenom, kogda (e) jest dělimy s tutoju karakteristikoju.

V slědujučem pokazujem, že tu ide o něčto večše než formalna analogija. Diferentu možno razuměti kako diferencialny kvocient definujučego ideala čislovogo polja (K) v prirěđenoj cěločislnoj polinomialnoj oblasti od (x_1, ,x_n), pri čem diferencialny kvocient jest vzęt na městu (x= ), to jest pri (x_1= _1, ,x_n= _n), kde ( _1, , _n) znači modulnu bazu sistema cělyh čisel iz (K), glavnogo porjadka ( o). Pri tom definujuči ideal ( M) sootvěča cělosti relacij medžu ( _i), tedy sostojit iz vseh cěločislnih polinomov (f(x)), za ktore (f( )) izčezava. Diferencialny kvocient ( M'[x ]) jest definovany kako razlikovy kvocient, vzęt na městu (x= ).

Imenno, iz-za (f( )=0), razgledajmo ideal ( M) kako sostojany iz vseh razlik (f(x)-f( )). Dalje tvorimo razlikovy ideal

i razlikovy kvocient

pri čem tvorjenje kvocienta znači običny idealny kvocient, vzęt v polinomialnoj oblasti od (x) s cělymi čislami iz (K), tedy s čislami iz ( o), kako koeficientami. Togda diferenta ( D) definujetsja s

Razširenje oblasti koeficientov jest potrěbno, da razlikovy ideal i razlikovy kvocient obće byli definovane. Ide tedy o direktno obobčenje diferencialnogo kvocienta polinoma od jednej neizvěstnoj,

pri čem i tu treba razširiti polinomialnu oblast adjunkcijeju ( ), da razlike byli definovane. V samoj stvari idealny diferencialny kvocient prěhodit v polinomialny diferencialny kvocient, čim baza ( _i) sostojit iz stepenov jednogo elementa.

Dana definicija diferenty tako direktno se pripojuje k znanym faktam. Ona ale vvodit neinvariantne srědne članove, poněvadže ideal ( M) zavisi od vybranoj bazy. Ravnosilnu, polno invariantnu definiciju dobivamo, kogda vměsto cěločislnoj polinomialnoj oblasti vvodimo kolco ( O), izomorfno glavnomu porjadku ( o), ktoro stava izomorfno kolcu klasov ostatkov po ( M), i jego oblast koeficientov razširjamo črěz ( o) do ( O_ o). Razlikovy ideal tu vyvodit se iz vseh razlik ((x- )), kde (x) i ( ) sootvěčajut jedno drugomu po izomorfizmu od ( O) do ( o); razlikovy kvocient jest kvocient nulovogo ideala po ( B); diferenta vznikaje iz ( A), kogda každy put (x) zaměnja se izomorfnym ( ).

Tuta invariantna definicija bude v slědujučem postavjena na početok. Tako se direktno definuje diferenta proizvoljnogo komutativnogo kolca v odnosu k podkolcu, pri čem treba samo něktore uslovija o možnosti razširenja koeficientov. To jest na primjer vsegda slučaj pri eksistenciji modulnoj bazy, možlivo poslě prěhoda k vhodnym kvocientnym kolcam. Tym jest osoblivo definovana i diferenta proizvoljnogo porjadka čislovogo polja, takože diferenta kolca klasov ostatkov porjadka po stepenu prostogo čisla, relativna diferenta i diferenta pri algebraičnyh funkcijah od několikyh neizvěstnyh.

Sovpadanje diferencialnoj definicije diferenty s obyčnoju slěduje iz točnogo strukturnogo izslědovanja Galoisovogo kolca razširenja, prirěđenogo čislovomu polju s pomoćju direktnogo produkta. Izslědovanje opira se na razloženje v direktnu sumu. V specialnom slučaju kolca klasov ostatkov po polinomu od jednej neizvěstnoj ono se svodit k analizi Lagrangevoj interpolacijskoj formuly.

Točnije, vvodit se kolco ( K), izomorfno čislovomu polju (K), ktoro obhvača ( o); jego oblast koeficientov, polje racionalnyh čisel, razširja se Galoisovym poljem (F) od (K). Tuta razširjena sistema ( K_F) stava direktnoju sumoju (n) prostyh komponentov, ktore sootvěčajut (n) izomorfizmam (K). Ti komponenty sut razširenja razlikovogo kvocienta i jego konjugatov; jednočasno nulovy ideal ( K_F) jest prěsěkom (n) idealov, vyvedenyh iz razlikovogo ideala i jego konjugatov. Proste komponenty imajut oblik (Fe^(i)), kde (e^(i)) značet komponenty jedinice. Razlikovy kvocient, poněvadže (e^(i)) pri (x= ) prěhodit v jedinicu, stava ( d e^(i)), kde ( d) znači diferentu ( o). Diferenta ( d) sostojit iz vseh elementov polja, ktore, pomnožene s (e), ležet v direktnom produktu porjadka samogo s soboju. Sootvěčno važet i za konjugaty.

Da iz togo dobiti definiciju črěz komplementarny modul, treba opaziti, že (e^(i)) stava linearnoju formoju v bazi (x_1, ,x_n), sootvěčnoj ( ); koeficienty pri (x) v (e^(i)) upravo daju bazu komplementarnogo modula od ( o) i jego konjugatov. Iz fakta, že razlikovy kvocient ima koeficienty iz ( o), odmah slěduje, že diferenta jest kvocient ( o) po jego komplementarnom modulu; tako dobivamo Dedekindovu definiciju. Razsmotrenja ne sut ograničene na glavny porjadok; one karakterizujut diferentu každogo porjadka kako kvocient porjadka po jego komplementarnom modulu.

Sovpadanje diferencialnoj definicije s definicijeju črěz fundamentalno ravnanje slěduje, v slučaju glavnogo porjadka, iz gore pomenutogo fakta, že idealny diferencialny kvocient prěhodit v polinomialny diferencialny kvocient, čim baza sostojit iz stepenov jednogo elementa, fundamentalnoj formy. Tym jest dany i pojmovy svęzok toj definicije s Dedekindovoju.

Na osnovi fundamentalnogo ravnanja znano direktno slěduje glavny teorem pomenuty na početku. K točnomu opreděljenju eksponentov vodi razsmotrenje diferenty ( d[p^t]) kolca klasov ostatkov glavnogo porjadka po (p^t) s dostatočno velikym (t); dostaje (t=n), čo jest za polja drugogo stepena takože nužno. Suštno jest, že diferenta ( d), razgledana modulo (p^t), točno prěhodit v ( d[p^t]). Potom možno ograničiti se na kolco klasov ostatkov po ( p^t). Ono jest izomorfno kolcu klasov ostatkov po polinomu od jednej neizvěstnoj s koeficientami modulo (p^t); diferenciranje tutogo polinoma dava, kako O. Ore pokazal drugim putem, točny pregled možlivyh eksponentov s pomoćju suplementnyh čisel.

Nakonec strukturno izslědovanje dava još znany teorem, že diferenta nadpolja od (K) jest produkt relativnoj diferenty s diferentoju od (K). To slěduje iz togo, že ista multiplikativna vlastnost važi za jedinice razloženja v direktnu sumu i zato za komplementarne moduly. Sootvěčne fakty važet i za relativne diferenty črěz prěhod k kvocientnym kolcam, takože za algebraične funkcijske polja s koeficientnym poljem karakteristiki nula. Pri karakteristiki (p) i pri cěločislnih algebraičnyh funkcijah strukturne vlastnosti sice ostajut; teorija razvětvjenja ale měnja se iz-za pojavjenja neseparabilnyh polj razširenja.

§1. Razširenje oblasti koeficientov kolca ili direktno tvorjenje produkta. Definujuči ideal

V tutom paragrafu osnovoju sut obča kolca; komutativny zakon množenja ne jest prědpoloženy. Naprotiv, ako protivno ne jest izrično zaznačeno, prědpoklada se eksistencija jedinicnogo elementa.

1. Definicija direktnogo produkta. Kolco ( O _ h o), ili kratše ( O_ o), nazyva se direktny produkt kolc ( O) i ( o) v odnosu k ( h), ili nastalo iz ( O) razširenjem oblasti koeficientov ( h) do ( o), kogda slědujuče uslovija sut izpolnjene:

( O_ o) sadržuje ( O) i ( o) kako podkolca i jest produkt tyh kolc. Prěsěk ( O) i ( o) jest ( h); pri tom ( h) sadržuje jedinicny element. ( O) i ( o) sut elementno komutujut. Zato ( O_ o) sostojit iz bilinearnyh kombinacij

s (x_i O), (y_i o). Dva elementy sut jednaky točno togda, kogda oni po relacijah v ( O) s jednej strany i v ( o) s drugoj strany formalno stanut jednaky. Relacija

tedy mora moči biti svedena, dodavanjem formalno izčezajučih kombinacij oblika ((yh) -y(h )), na relacije v obojih faktorah.

Tymi potrěbami ravnost, dodavanje i množenje sut jednoznačno opreděljene s onymi faktorov. Ako ( O), ( o) i jih prěsěk sut izomorfne sootvěčnym kolcam, togda i direktny produkt jest izomorfny. Vsako kolco, ktoro jest produkt ( O) i ( o) i v ktorom oni elementno komutujut, jest homomorfny obraz direktnogo produkta.

2. Uslovije eksistencije. Ako ( O) i ( o) sut kolca s občim centralnym podkolcom ( h), direktny produkt ne mora eksistovati. Priměr: nehaj ( h= Z), ( O= h[x]) s relacijeju (1-2x=0), i ( o= h[y]) s relacijeju (1-2y=0). Obče obhvatajuče kolco s prěsěkom ( h) ne može eksistovati, bo v njem bylo by

Nužno i dostatočno uslovije za eksistenciju direktnogo produkta jest: mora eksistovati najmanje jedno kolco (R), ktoro obhvača ( O) i ( o), v ktorom jih prěsěk jest ( h) i v ktorom oni elementno komutujut. Ako direktny produkt eksistuje, on sam jest tako kolco. Obratno, konstruuje se direktny produkt kako cělost formalnyh bilinearnyh kombinacij, s ravnostju, dodavanjem i množenjem opreděljenymi pod 1. Kolco vloženja (R) togda zabezpečuje uslovije prěsěka.

3. Definujuči ideal. Sistem (S) elementov (z) iz ( O) nazyva se rodny sistem ( O) v odnosu k ( h), ako ( O= h[S]). Ako ( h) leži v centru ( O), togda ( O) stava homomorfny obraz nekomutativnoj polinomialnoj oblasti ( h\Z\), kde neizvěstne (Z) sootvěčajut sistemu (S). Važi

pri čem ( M) sostojit iz vseh polinomov (F(Z)), za ktore (F(z)=0) v ( O). Tuty dvustranny ideal ( M) nazyva se definujuči ideal. Ako (S) sostojit iz jednogo elementa (z) i ( M) jest glavny ideal, togda bazovy polinom (G(Z)) s (G(z)=0) nazyva se definujuče ravnanje.

4. Definujuči ideal direktnogo produkta. Nehaj ( O h\Z/ M). Pored ( h\Z\) razgledajmo ( o\Z\). Ideal razširenja ( M_ o) sostojit iz linearnyh kombinacij elementov ( M) s koeficientami iz ( o). Ako direktny produkt ( O_ o) eksistuje, togda

Relacije v direktnom produktu sut tedy točno relacije, ktore izhodet iz ( M) razširenjem koeficientov.

§2. Kolca s nezavisimoju modulnoju bazoju. Konstrukcija direktnogo produkta

1. Konstrukcija. Sistem (T) elementov (t) iz ( O) nazyva se ( h)-modulna baza ( O), kogda ( O) sostojit iz vseh linearnyh kombinacij

Modulna baza nazyva se nezavisima, kogda iz ( h_it_i=0) vsegda slěduje (h_i=0) za vse (i). Ako ( O) ima nezavisimu modulnu bazu, ktora sadržuje jedinicny element, togda direktny produkt ( O_ o) eksistuje za vsako razširjajuče kolco ( o) od ( h), čiji množestveny prěsěk s ( O) jest ( h) i čiji elementy komutujut s ( O). Kako elementy se berut vse linearny kombinacije

s ravnostju koeficientov v bazi (T). Tym jest kolco vloženja konstruovano; ono jest jednočasno direktny produkt. Baza (T) pri tom stava ( o)-bazoju od ( O_ o).

2. Moduly razširenja i suženja. Ako ( B) jest ( h)-modul v ( O), togda ( B_ o) znači ( o)-modul v ( O_ o), porođeny njim. Ako ( C) jest ( o)-modul v ( O_ o), togda jego modul suženja ([ C, O]) jest prěsěk s ( O). Ako ( B) ima nezavisimu ( h)-modulnu bazu, ktora može biti dopolnjena do nezavisimoj ( h)-modulnoj bazy ( O), togda ( B) jest modul suženja svojego razširenja:

Dokaz jest neposrědnje porovnanje koeficientov v prodolžanoj bazi.

3. Dostatočny kriterij. Ako eksistuje razširjajuče kolco ( f) od ( h), tako že direktne produkty ( O_ f) i ( o_ f) v odnosu k ( h), i dalej ( O_ f _ f o_ f), eksistujut, togda eksistuje ( O _ h o). Bo poslědnje direktno produktno kolco dava kolco vloženja, i

§3. Diferenta kolca po podkolcu. Diferencialny kvocient definujučego ideala

Odsej vsaka nastupajuča kolca sut komutativne. K tomu kolca ( O) i ( o) sut izomorfne, imenno ekvivalentne, razširenja podkolca ( h), i direktny produkt ( O_ o) v odnosu k ( h) jest prědpoloženy.

1. Definicija diferenty. Nehaj (x) proběgaje vse elementy ( O), a ( ) neka znači sootvěčny jemu izomorfny element iz ( o). Ideal porođeny vsěmi razlikami (x- ),

nazyva se razlikovy ideal. Razlikovy kvocient jest idealny kvocient nulovogo ideala po ( B):

Diferenta ( d) od ( o) v odnosu k ( h) jest

a diferenta ( D) od ( O) sootvěčno ( A[ x]). Obe sut izomorfno sootvěčajuče idealy.

2. Diferencialny kvocient definujučego ideala. Nehaj ( M) jest definujuči ideal ( O) v odnosu k ( h), sootvěčno rodnomu sistemu (z). Togda v ( o[Z])

Tedy

Diferencialny kvocient ( M') jest ( C[ Z]). On obhvača ( M) i pri (Z z) odnosno (Z ) prěhodit v diferentu ( O) odnosno ( o):

3. Slučaj definujučego ravnanja. Nehaj ( O) ima definujuče ravnanje

Togda diferenta jest definovana i jest glavny ideal s bazovym elementom

pri čem (G'(Z)) jest obyčny polinomialny diferencialny kvocient. Idealny diferencialny kvocient jest

V samoj stvari (1,z, ,z^n-1) tvorit nezavisimu modulnu bazu. Dalje

jest baza razlikovogo kvocienta; substitucijeju ( Z) dobivamo (G'(Z)).

§4. Diferenta direktnoj sumy

Nehaj

jest prědpoložena kako direktna suma idealov, s (e_i) kako komponentami jedinice. Dalej nehaj vsako (R_i) ima nezavisimu ( h_i)-modulnu bazu, ktora sadržuje (e_i), pri čem ( h_i= h e_i), i nehaj važi

za sootvěčne komplementarne sumandy. Togda i ( O) ima nezavisimu ( h)-modulnu bazu, tvorjenu iz baz (R_i), i diferenta ( O) v odnosu k ( h) jest direktna suma diferent (R_i) v odnosu k ( h_i).

Točnije: neka isto razloženje važi za ( o) s komponentami (r_i) i idempotentami ( _i). Togda v direktnom produktu

i razlikovy ideal se razlagaje tako, že komponenta (R_i _i) sadržuje razlikovy ideal direktnogo produktnogo tvorjenja (R_i r_i). Razlikovy kvocient jest direktna suma sootvěčnyh kvocientov. Zato, s ( A) za razlikovy kvocient i ( D, d) za diferenty,

Jedine česti dokaza sut porovnanja koeficientov v nezavisimyh bazah, verifikacija ostrějših relacij prěsěka

izomorfizmy

i identifikacija

tedy razlikovogo kvocienta komponenta. Iz togo slěduje tvrđena direktno-sumna forma diferenty.

§5. Galoisovo kolco razširenja polja. Strukturne teoremy

1. Osnovne kolca. Nehaj (K) jest separabilno polje (n)-togo stepena nad osnovnym poljem (P). Dalej nehaj (F) jest sootvěčno Galoisovo polje, ktoro obhvača (n) konjugovanyh polj

i jest jih produkt. Nehaj ( K) znači k (K) izomorfno ekvivalentno razširenje od (P), tako že ([ K,F]=P). Poněvadže ( K) ima konečnu nezavisimu (P)-modulnu bazu, eksistujut direktne produkty

Kolco ( K_F) nazyva se Galoisovo kolco razširenja ( K). Ono jest produkt svojih (n) podkolc ( K_K^(i)).

Vsaky ideal iz ( K) jest ideal suženja svojego razširenja v ( K_K) ili ( K_F); vsaky ideal iz ( K_K) jest ideal suženja svojego razširenja v ( K_F). To slěduje iz §2, bo nad poljami vsaky modul ima dopolnjajuču nezavisimu bazu.

Označimo

konjugovane razlikove ideale i

konjugovane razlikove kvocienty. Jih razširenja v ( K_F) budut ( B_F^(i)) i ( A_F^(i)).

2. Direktno-sumno razloženje. Strukturny teorem glasi: nulovy ideal Galoisovogo kolca razširenja ( K_F) jest prěsěk razširenj (n) konjugovanyh razlikovyh idealov; samo ( K_F) jest direktna suma razširenj (n) konjugovanyh razlikovyh kvocientov:

Osoblivo

kako direktna suma, i jego nulovy ideal jest prěsěk sootvěčnogo razlikovogo ideala s razlikovym kvocientom.

Dokaz opira se na to, že kolco klasov ostatkov po každom ( B_F^(i)) ima rang jeden nad (F), i že iz separabilnosti ( B_F^(i)) sut poparno različne i vzajemno proste. Iz togo slěduje jedinstveno direktno-sumno predstavjenje jedinice

pri čem

Sootvěčne proste komponenty sut (Fe^(i)).

3. Predstavjenje komponentov črěz konjugovane elementy. Ako

jest komponentno predstavjenje elementa (x) iz ( K), togda komponenty sut konjugovane. Osoblivo ( ^(1), , ^(n)) sut (n) konjugovane vrědnosti, ktore (x) prijma pod izomorfizmami od ( K) do (K^(i)).

Iz togo slěduje: ako (B) jest absolutny modul v ( K), i (B^(i)) sut jego komponenty v ( K_F), togda

4. Komplementarne bazy. Vsakoj (P)-bazi (t_1, ,t_n) od ( K) jest prirěđena komplementarna baza (T_1, ,T_n). K njej izomorfne bazy (A_1^(i), ,A_n^(i)) od (K^(i)) sut opreděljene koeficientami komponentov jedinice:

Ako ( _1^(i), , _n^(i)) sut konjugovane bazy sootvěčne (t_j), togda matrice

sut recipročne:

Komplementarna baza komplementarnoj bazy jest znovu izhodna. Ako dvě bazy sut svęzane črěz ((s)=(t)P), togda komplementarne sut svęzane kontragredientnym odnosom

Ako

togda važi s ( Sp) kako slědom, t. j. sumoju konjugatov,

5. Definujuče ravnanje. V rukopisu prědviděna razrabotka specialnogo slučaja definujučego ravnanja i Lagrangevoj interpolacijskoj formuly ostala nezapolnjena. Prědhodne teoremy daju invariantnu formu sootvěčnyh tvrđenj.

§6. Diferenta porjadka

Strukturne teoremy za polja nyně treba zaoštriti v smislu cělosti. Nehaj ( h) jest cělo zamknjeno podkolco osnovnogo polja (P), čije kvocientno polje jest (P). Dalej nehaj ( O) jest ( h)-porjadok v ( K), tedy podkolco obhvačajuče ( h), čije kvocientno polje jest ( K), i ktoro ima konečnu, ne nužno nezavisimu, ( h)-modulnu bazu. Izomorfny porjadok v (K) nehaj bude ( o), jego konjugaty ( o^(i)); kolco porođeno nimi v (F) nehaj bude ( g).

Direktne produkty ( O_ o) i ( O_ g) eksistujut. Diferenta od ( O) odnosno ( o) v odnosu k ( h) jest tedy definovana. Označimo ( B) razlikovy ideal, ( A=(0): B) razlikovy kvocient, i

diferenty.

Strukturny teorem za Galoisovo kolco razširenja porjadkov glasi: razlikovy ideal i razlikovy kvocient porjadka prěhodet razširenjem v sootvěčne ideale poljovogo slučaja; razlikovy kvocient jest suženje razširenogo kvocienta. Dalej važi

i zato

Diferenta ( d) tedy sostojit iz vseh elementov (x) od (K), za ktore (xe^(1)) leži v ( O_ o). Ona jest različna od nulovogo ideala.

Komplementarny modul. Ako ( O) ima nezavisimu ( h)-bazu (t_1, ,t_n), togda komplementarne elementy (T_1, ,T_n) tvore bazu ( h)-modula ( C), komplementarnogo modula od ( O). Togda

Bo ako pišemo

togda ( d) sostojit iz elementov (d), za ktore vsi (dA_i) ležet v ( o). V specialnom slučaju regularnogo porjadka s bazoju

tako jest

Ekvivalentno komplementarny modul ( C) sostojit iz vseh elementov (c) od ( K), za ktore slědy

sut cěle, tedy v ( h).

Dodatok. Ako v porjadku eksistuje nezavisima ( h)-modulna baza, togda razlikovy kvocient ( A) jest prěsěk vseh konjugovanyh razlikovyh idealov, različnyh od sootvěčnogo razlikovogo ideala:

To slěduje iz togo, že togda i razlikovy ideal jest ideal suženja svojego razširenja.

Fundamentalno ravnanje. Ako eksistuje fundamentalno ravnanje, tako že poslě adjunkcije neizvěstnyh i prěhoda k kvocientnomu kolcu porjadok ima bazu (1,u, ,u^n-1), togda diferenta jest dana polinomialnym diferencialnym kvocientom definujučego ravnanja. Ako

togda diferenta može biti pročitana iz koeficientov (G'(u)). Pri cěloj zamknjenosti slěduje potrěbno množenje sadržaja koeficientnyh idealov; tym stava možliva teorija razvětvjenja črěz razsmotrenje fundamentalnogo ravnanja modulo (p^t).

§7. Teorija razvětvjenja glavnogo porjadka modulo (p^t)

Nehaj jest dano čislovo polje, ( h) jego kolco cělyh čisel; ili relativno polje v odnosu k kvocientnomu kolcu glavnogo porjadka po prostom idealu, pri čem (p) znači bazovy element tutogo prostogo ideala. Poslě adjunkcije neizvěstnyh (u_1, ,u_n) i glavny porjadok i kolco klasov ostatkov po (p^t) imajut ( h)-modulnu bazu

Diferenta v obojih slučajah jest dana s (G'(u)). Diferenta glavnogo porjadka prěhodit modulo (p^t) v diferentu kolca klasov ostatkov po (p^t).

Ako

togda kolco klasov ostatkov po (p^t) jest direktna suma komponentov, ktore sootvěčajut kolcam klasov ostatkov po ( p_i^te_i):

Po §4 diferenta toj direktnoj sumy jest direktna suma komponentnyh diferent. Zato dostaje razgledanje kolca klasov ostatkov po stepenu ( p^N).

Vyberimo ( ) tako že

pri čem ( (x)) jest prosta funkcija modulo (p) stepena (f). Za (t 2) zaměnja se ( ) s ( ^*= e_1), kde (e_1) jest prvi idempotent razloženja kolca klasov ostatkov modulo (p^t). Togda važi čak

Baza modulo (p^t) jest dana s

Bo iz (( ( ),p)= p) i ((p)= p^e) slěduje v kolcu klasov ostatkov

tako že vyše stepeny mogut sukcesivno biti izražene črěz niže. Definujuče ravnanje v odnosu k toj bazi ima oblik

pri čem (M(x)) modulo (p) ne jest dělimy s ( (x)). Tym diferenta kolca klasov ostatkov jest dana polinomialnym diferencialnym kvocientom (F'( )). Na tutoj osnovi opreděljenje eksponentov svodi se na rezultaty O. Ore, osoblivo na suplementne čisla i tvrđenja Dedekind-Henselovogo tipa. Jednočasno rezultaty črěz prěhod k kvocientnomu kolcu važet za relativne diferenty; dodaje se samo izražajnost diferenty nadpolja kako produkta diferenty podpolja i relativnoj diferenty.

Prijeto 25 oktobra 1949.