Čest III Statja Kapferera --- Noether

i dostatočne uslovja mnogokratnosti\

Historično, sravni uvod osnovnoj raspravy Maxa Noethera o toj temě5), fundamentalny teorem vyrastl iz pokusov rěšiti slědujuču fundamentalnu zadaču: pri vsakom danom polinomu v , treba uměti ustanoviti, je-li on dělimy s ili ne, t.j. takože, eksistujeta-li dva druge polinomy i v , tako, že jednačenje

stane identiteto v , .

Ta zadača ne rěšaje se Noetherovym teoremom; poslědnji treba bolje razuměti samo kako, hoti fundamentalnu, redukciju6) postavjenoj zadači k prostějši, imenujuče k pytanju o neobhodnyh i dostatočnyh uslovjah za obstojanje pojedinyh kongruencij . Kogda jest ? Samo kogda to poslědnje pytanje jest odgovorjeno, jest takože izpolnjena izhodna formulacija M.\ Noethera. To jest cilj toj raspravy, ktory takože faktično jest dosěgnuty, i to pokazovanjem konečno mnogyh uslovij mnogokratnosti, praktično bez težkosti kontrolovateljnyh, ktore za sut neobhodne i dostatočne. Dostatočno uslovje za , ktore ale ne jest takože neobhodno uslovje, jest poznano i često upotrěbjano i citovano v literaturi, napriměr v formě:

Za obstojanje kongruencije dostatočno jest, že vsaka točka prěseka , v polinomu pojavja se s ``dostatočno'' vysokoju mnogokratnostju.

Taj teorem sadrži se v teoremu I kako specialny slučaj; bo -kratna točka v jest ravnoznačna s ; togda a fortiori jest takože , t.j. takože . Ale obratno tvrđenje ne plati.

1. Za podrobno predstavjenje odkazuju na svoju rabotu s tym samym naslovom v specialnom svazku sprav Heidelberžskoj akademije 1927 ``Beiträge zur Algebra'', započetom A.\ Loewy, Freiburg i.\ Br., ktory sodrži raboty raznyh avtorov.

2. Sravni napr. B.\ L.\ van der Waerden, ``Zur Nullstellentheorie der Polynomideale''. Math.\ Annalen 96 (1926), S. 203.

3. V 1 citovanoj raspravy ja dokazal oba tvrđenja pojedino i direktno, t.j. bez idealno-teoretičnyh pojmov.

4. Bukvy i sut vybrane zato, aby napominati o sadržajnom soglasju označenogo s pojmami prosty ideal i primarny ideal , obyčnymi v novějšoj literaturi.

5. Max Noether, ``Über einen Satz aus der Theorie der algebraischen Funktionen'', Math.\ Annalen 6 (1872).

6. Nazvana redukcija jest približno sravnima s toj, koju vsak zna iz elementarnoj teorije čisel: svojstvo dělimości prirodnogo čisla s takim samym jest ekvivalentno svojstvu dělimości s , s , , s , gdě označajut različne proste dělitelji . Kako analog stepena prostogo čisla treba razuměti právě pojem primarny ideal'', v tekstu označeny s . [Sr. E.\ Noether, Idealtheorie in Ringbereichen'', Math.\ Annalen 83 (1921), uvod.]

Glavny teorem

Oběčano rěšenje problema možno kratko karakterizovati tako: pojedinomu možno pridružiti sistem od pozitivnyh cělyh racionalnyh čisel , a modulu ravno toliko cělyh racionalnyh pozitivnyh ili negativnyh čisel , tako že plati slědujuči glavny teorem:

Neobhodno i dostatočno za jest simultanno izpolnjenje uslovij

Pri tom

gdě označa mnogokratnost prěseka, odgovarajuču i opreděljenu rezultantoju.

V dokazu, bez ograničenja obče validnosti, predpoložimo , kako nulevu točku para , odgovarajuču . Dalje, ako jest kako-libo polinom7) v , , simbol bude označati čislo, ktore kaže, koliko krat vystupa kako faktor v ; ako ale identično izčezne, togda stavjaje se ravno . Čisla , pridružene k , opreděljajut se slědujučim sistemom jednačenj, ktory tvori metodičnu osnovu postupka:

On buduje se samo iz danogo para polinomov , : polinomy najprěd opreděljajut se kako identične s , eventualno po prěstavljanju porjada; porjadok dolžen byti tak, že . Pri toj fiksaciji, i samo togda, bude cělo-racionalny.

Polinomy opreděljajut se kako identične s pri pobočnom uslovju . Obče par polinomov opredělja se kako identičny s pri pobočnom uslovju .

Sistem jednačenj eq:kap-1 možno istinno bezkončno prodolžati v objasnjenom sposobu; glavny teorem ale potrěbuje stvoriti samo prve jednačenja sistema, gdě jest opreděljeno slědujučim faktom:

Pomočny teorem I. Eksistuje prirodno čislo [i to , pod razuměvaje se mnogokratnost prěseka, v kojoj točka , vystupa v , ] tako, že prve čisla, opreděljene s eq:kap-1, imenujuče , sut vsě večše od nule, pokym jednočasno i vsě slědujuče sut ravne nuli.

S urědnjenjem produktnogo teorema rezultantov, mnogokratnost prěseka v točce , za , bude

iz čego slěduje prěryv po najviše krokah. Iz toga jednočasno slěduje fakt

formula značitelna zato, že ona obče daje racionalnu i praktično legko izvršimu metodu opreděljenja mnogokratnosti prěseka, kogda odgovarajuča nuleva točka jest poznana.

Kogda čisla sut tako poznane, čisla opreděljajut se slědujučim sistemom jednačenj, odgovarajučim k eq:kap-1:

opredělja se kako identičny s . Jasno jest, že bude cělo-racionalny togda i samo togda, kogda . Ako to poslědnje jest izpolnjeno, dalje slěduje: bude cělo-racionalny togda i samo togda, kogda . Obče, ako uže jest cělo-racionalny, bude cělo-racionalny togda i samo togda, kogda .

Dokaz glavnogo teorema (teorema ) teraz oprě se na daljnji

Pomočny teorem II. Ako se postavi ravno , togda za vsako iz cěločiselnoj serije in inf. plati teorem:

Za kongruenciju

neobhodno i dostatočno jest simultanno izpolnjenje dveh uslovij:

Dokaz8) pomočnoho teorema dostava se kombinovanjem sistemov jednačenj eq:kap-1 i eq:kap-3. Ako se urědni, že po pomočnom teoremu I v nulevoj točce veče ne izčezne, t.j. že modul sostojit iz vsih polinomov (jest jediničny ideal), i zato stane trivialno, togda -kratno upotrěbjenje pomočnoho teorema II daje dokaz glavnogo teorema.

Bez dokazov, ktore nahodet se v mojej gore citovanoj raspravi, dodaju još dva dodatka k glavnomu teoremu:

Čislo glavnogo teorema jest identično s najmenej9) pozitivnym čislom takoho roda, že .

Sistemy jednačenj eq:kap-1 i eq:kap-3, i te, ktore iz njih vznikajut prěstavljanjem s , pri vhodnoj kombinaciji davajut racionalnu metodu točnogo čislovnogo opreděljenja ``naležečego'' k eksponenta 10), t.j. togo minimalnogo eksponenta iz teorema Ia.

E.\ Bertini10) dal obču formulu za . Že ta formula ale ne vsegda daje minimalnu vrědnost , pokazano jest v citovanoj raspravi na prikladu , . Nakonec treba ješče zamětiti, že i sama formula Bertinija može byti po novomu osnovana našim glavnym teoremom.

7. Ako za dopustimo takože drobno-racionalne funkcije , togda ; v poslědnjem slučaju može iměti i negativne vrědnosti.

8. Sr. takože dokaz v zamětce I ``Dodatka''.

9. Tu se tedy dostavajut točne eksponenty v protivnosti k ocěnkam gospođice Grete Hermann [``Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale'' (s upotrěboju posmrtno ostavjenyh teoremov K.\ Hentzelt), Math.\ Annalen 95 (1926)], gdě pri mnogo obćejšoj postavjenosti problema davajut se samo gorne granice.

10. E.\ Bertini, Math.\ Annalen 34 (1889).

Teorem III i dodatok

Interesna specializacija glavnogo teorema slěduje iz ograničajučego predpoloženja, že nuleva točka odgovarajučego jest prosta točka najmene v jednej iz dveh krivulj , . Ako ona jest napr. prosta točka v , togda možno pokazati, že čislo glavnogo teorema jest točno ravno i že neravnosti glavnogo teorema možno zaměniti jedino uslovjem mnogokratnosti. To vodi k slědujučemu občemu teoremu:

Ako vsě točky prěseka , sut proste točky v , togda, predpoloživši že jest vzaimno prosty s , za obstojanje kongruencije neobhodno i dostatočno jest, že izčezaje v vsih tyh točkah, ale tako, že mnogokratnost prěseka v paru krivulj , v vsakoj iz njih jest najmene taka velika kako v paru krivulj , .

Taj teorem III jest ješče iz osobnoj pričiny značitelny: uslovje mnogokratnosti, ktore on potrěbuje, jest tako, že jego izpolnjenje ili neizpolnjenje može byti ustanovjeno konečno-kratnym diferencovanjem, nezavisno od formuly eq:kap-2, oprětoj na eq:kap-1. To jest neposrědnje jasno, ako cituju slědujuči ``teorem'', ktory ja postavil v 1923 roku11):

Ako i sut kako-libo dva vzaimno proste polinomy v , , a jest občna točka, ktora jest prosta točka od , togda mnogokratnost toj točky kako točky prěseka jest togda i samo togda ravna čislu , kogda mnogokratnost toj samej točky v paru krivulj , jest točno ; pri tom označa

Nakonec treba ješče spomenuti, že glavny teorem (teorem ) s maloju modifikacijoju može byti prěneseny takože na homogene polinomy v 3 variablah , , . To prěnesenje udaje se osobito elegantno v gore navednom specialnom slučaju. Imeno možno pokazati:

Teorem ostavaje popolno nezměnjeny, i po slovah, ako pod , , razuměvajut se homogene polinomy v treh variablah12).

11. H.\ Kapferer, ``Über die Multiplizität der Schnittpunkte von zwei algebraischen Kurven''. Jahresber.\ der D.\ M.-V. 32 (1923).

12. Pytanje o uslovjah za obstojanje homogene kongruencije v treh variablah jest, hoti pod silno specializovanymi predpoloženjami, takože jadro izslědovanja A.\ Ostrowski, ``Über die Maxwellsche Erzeugung der Kugelfunktionen'', Jahresb.\ der D.M.-V. 33 (1925). V toj notě predpoloženo jest: razpadaje se na same linearne faktory; i sut jednakoho porjada; . Poneže tu jest popolno bez singularnostij, glavny teorem Ostrowskijevoj noty možno razuměti kako specialny slučaj našego teorema III.

Dodatok, společně s E. Noether13)

Sistem jednačenj eq:kap-1 daje jednočasno racionalnu metodu za opreděljenje polnogo sistema ostatkov po , pod čim treba razuměti polny sistem predstaviteljev konečno mnogyh, v odnosu k oblasti koeficientov , modulo linearno nezavisnyh ostatkovyh klasov. S tym pojedine kroky v dokazu glavnogo teorema stavajut mnogo prozrěčne; jednočasno kako pobočny rezultat vyhodi fakt, že rezultanta-mnogokratnost soglasuje se s dolžinoju ideala ;

13. Idealno-teoretično tolkovanje pohodit od E.\ Noether, a osnovny dokaz (5) i (6) od H.\ Kapferer.

14. Polje treba, bez ograničenja obče validnosti, predpoložiti algebraično zatvorenym; v tom obsegu faktično platet vsě prědhodne teoremy, s izključenjem diferenciacijskogo uslovja. Dolžina jest takože opreděljena kako dolžina kompozicijnoj serije idealov, iduče od do . Sr. E.\ Noether, Jahresber.\ d.\ d.\ Math.-Ver. 34 (1925), S. 101 (kosa paginacija); podrobněje u H.\ Grell, Math.\ Annalen 97 (1927), S. 529.

Dokazy v literaturi za soglasje obojih čisel mnogokratnosti (pri variablah) sut zelo složne; najprostějši jest ješče nepublikovany posmrtno ostavjeny dokaz Hentzelta.

t.j. s rangom kolca ostatkovyh klasov ili s čislom v odnosu k linearno nezavisnyh ostatkovyh klasov14).

Polny sistem ostatkov jest, s označenjami iz eq:kap-1 i pomočnoho teorema II, karakterizovany slědujučim

Polny sistem ostatkov po dany jest polinomami

Pri tom vsaky raz daje polny sistem ostatkov od do .

Iz definicije slěduje neposrědnje: , tedy . Teorem bude dokazany, ako pokazano jest:

Relacije eq:kap-4a i eq:kap-4b imeno govoret, že linearne kombinacije izčerpavajut ostatkove klasy od do , pokym eq:kap-5 vyražaje linearnu nezavisnost. Poneže stavaje jediničnym idealom, čto teraz slěduje iz konečnoj dolžiny , iz toga dostava se dokaz teorema i jednočasno fakt, že dolžina stavaje ravna , tedy po eq:kap-2 soglasuje se s rezultanta-mnogokratnostju.

Prva iz relacij eq:kap-4a čita se iz eq:kap-1; druga dostava se slědujučim sposobom:

Imamo ; tedy zaradi prve relacije eq:kap-4a takože , ili , iz čego slěduje zaradi .

Pred dokazom eq:kap-5 dajmo opazku neposrědnje čitanu iz eq:kap-1: i možeta iměti kako občni dělitelj samo polinom v , ne dělimy s : , , i i sut vzaimno proste. Zaradi bude takože ravno ; pri tom to bude ravno za vsako , kako dělitelj za vsako tako ; tedy jest primarna komponenta , naležeča k nulevoj točce.

Nehaj sut nuleve točky , različne od , , i nehaj sut eksponenty odgovarajučih primarnyh komponentov ; dalje v produktu neizvěstnu vyberemo kako element iz tako, že ostane . Ako se postavi ravno produktu specializovanogo s , togda i .

Iz predpoloženja slěduje , ili, spoločno s eq:kap-1, v formě identitetov:

To daje ale

Iz vzaimnoj prostosti i slěduje dalje

i s tym . Tym jest eq:kap-5, i teda teorem , dokazany.

Zamětka I. Relacije eq:kap-4a i eq:kap-4b spoločno s pomočnym teoremom II možno zapisati kako vzaimno recipročne relacije med kvocientami idealov15); pri tom dokaz drugoj relacije daje jednočasno dokaz pomočnoho teorema II:

Prva relacija predstavlja sjedinenje eq:kap-4a i eq:kap-4b; k drugoj treba zamětiti: v eq:kap-4a bylo dokazano ; obratno dostava se analogično kako eq:kap-5. Iz slěduje kako vyše:

Poneže po definiciji, imenujuče , iz toga vyhodi , tedy .

Že uslovje pomočnoho teorema II jest neobhodno, slěduje teraz tako: daje ; tedy i s tym, po eq:kap-3, ; tedy po drugoj relaciji eq:kap-6 bude .

Že uslovje jest dostatočno, čita se neposrědnje; konečno-kratno upotrěbjenje pomočnoho teorema II daje ale glavny teorem. Takože iteracija drugoj relacije eq:kap-6 daje dodatok I, imenujuče , tedy jediničny ideal, i jest najniži tak stepen, zaradi .

Zamětka II. Za polinom , ne dělimy s , možno ješče tvrditi: ako , , togda . Bo po teoremu modulo s ; tako vyhodi

Pri tom , i to po eq:kap-5 jest najniži tako stepen. Po pomočnom teoremu II jest ale toj najniži stepen; tedy stavaje ravno .

(Prišlo 24.\ 10.\ 1926.)

15. Pod kvocientom , kako poznano, razuměje se celost polinomov takyh, že .

16. Iz tih dveh vzaimno recipročnyh relacij jedna uslovjuje drugu po občej teoriji ireducibilnyh idealov; sr. Macaulay, Modular Systems, Nr. 72 i 73. Cambridge Tracts 19 (1916).